1、圓錐曲線的統一焦半徑公式在解題中的應用宜昌二中黃群星經常會用到焦半徑公式. 解決這類問題, 弦長公式,三種圓錐曲線的焦半徑公 最后一個公式往往被大家無視,現在我想專門談談這個我們在解決有關直線與圓錐曲線的關系問題時, 我們可以用到的公式有： 平面上兩點之間的距離公式, 式,和圓錐曲線的統一焦半徑公式. 公式的使用.一.在橢圓中的運用：2x例i ：橢圓-2 a2y1(a b0的離心率為,過右焦點F且斜率為2k (0)的直線與C相交與A,B兩點,uuin 假設AFuuu3FB,求k的值.解法一： e設橢圓的方程為2x4b22 y b21,右焦點為屈,0,設直線的方程為my焰b ,設 A(xi, y

2、i),B(X2, y2)(m2 4)y2 2_3mby b2222x 4y 4b0my x 、. 3buuin. AFuur -3FB (、3bXi, yi)3(X2、3b,y2)yi3y2yiy22 3mb(m2 4)2byi y2-(m 4)將帶入得yiy2.3mb-2m 43、3mb2_7 m 49m2b2yi y2 苛H2b(m2 4)k0,m0, m解法uuuu AFuuuu 3FBep3epI焰1 cos2cos1 cos2通tanJ2即 k r眨3- sin由題意得23評述：解法二應用了圓錐曲線的統一焦半徑公式,從而大大簡化了解題的過程.那么, 在什么情況下可以用這個公式呢？先看

3、這個公式的結構： PF 一夷一,其中,e是離心率,P為焦準距, 是過焦點的直線的傾斜角,正是由于傾斜角的存在, 使得這個公式在解決有關過焦點的直線的斜率和 傾斜角的問題時相當便捷,而且,公式是根據圓錐曲線的統一定義推導出來,對橢圓,雙曲線和拋物線都適用,這是它的一大優越之處.二.在雙曲線中的運用：例2:雙曲線的中央為原點 O,焦點在x軸上,兩條漸近線分別為l1,l2,經過右焦點F垂直uuur uur于li的直線分別交li,l2于A,B兩點,OA,AB,OB成等差數列,且BF, FA同向求雙曲線的離心率OA AFOB BF 設直線AB被雙曲線所截得的線段的長為 4,求雙曲線的方程.解： 如圖 F

4、A=b,OF=c, .OA= a OF 平分角Z AOB 設 FB=mb,OB=m a,那么有 2 AB OA OB即 2(m 1)b a ma設直線AB的傾斜角為 ,COSb 、5epep . c 51 ecos 1 ecos有C a 6, c 3,5, b a 2評述：雙曲線的焦半徑公式 x2雙曲線的方程為36PF = a ex ,由于正負號和絕對值符號的存在,使得這個公式在運用起來又很多不方便,而統一焦半徑公式正好巧妙的解決了這一問題.三.在拋物線中的使用：例3:平面上一點 P到點F (1,0)的距離與它到直線求點P的軌跡方程x=3的距離之和為4,過A的直線與軌跡 C交與MN兩點,求解：

5、設P(x,y),由題意得J(X1)2MN得最大值當x 3時,.(x 1)2 y2當x 3時,12(x4)一 (x 1)2y2 3,(x 1)24x點p的軌跡方程為12(x 4)(34)(P=2)2y 4x(0 x3)(P=6)D 當0,60時,MN當(60,120)時,MNMFFN當120,180)時,MNMFFNMF2681 cos1 cos1 cos2641 cos1 cos_ 2 sin2681 cos1 cos1 cosFNMN81 cos4sin281 cos0,60(60,120)120,180)1當(60,120)時 4MN當120,180)時 MN163MN當0,60時綜上,當600或8161 a2奕31200時,|mn|有最大值奕3評述：這個題目涉及到兩條拋物線, 而要求的弦長不一定是來自于直線和同一條拋物線的交點,另外,開口向右的那條拋物線又不是標準方程,所以要用坐標形式的焦半徑公式可謂困難重重,而統一焦半徑公式用的參變量與位置無關,所以這個問題它同樣迎刃而解.有時候,一個問題能否解決,解決的