1、二元一次方程（組）奧數培訓【例1】已知方程組的解x，y滿足方程5x-y=3，求k的值.【思考與分析】本題有三種解法，前兩種為一般解法，后一種為巧解法.（）由已知方程組消去k，得x與y的關系式，再與5x-y=3聯立組成方程組求出x，y的值，最后將x，y的值代入方程組中任一方程即可求出k的值.（）把k當做已知數，解方程組，再根據5x-y=3建立關于k的方程，便可求出k的值.（）將方程組中的兩個方程相加，得5x-y=2k+11，又知5x-y=3，所以整體代入即可求出k的值.把代入，得，解得k=-4.解法二：×3×，得17y=k-22，解法三：+，得5x-y=2k+11.又由5x-

2、y=3，得2k+11=3，解得k=-4.【小結】解題時我們要以一般解法為主，特殊方法雖然巧妙，但是不容易想到，有思考巧妙解法的時間，可能這道題我們已經用一般解法解了一半了，當然，巧妙解法很容易想到的話，那就應該用巧妙解法了.【例2】某種商品價格為每件元，某人身邊只帶有元和元兩種面值的人民幣各若干張，買了一件這種商品. 若無需找零錢，則付款方式有哪幾種（指付出元和元錢的張數）？哪種付款方式付出的張數最少？【思考與分析】本題我們可以運用方程思想將此問題轉化為方程來求解. 我們先找出問題中的數量關系，再找出最主要的數量關系，構建等式. 然后找出已知量和未知量設元，列方程組求解.最后，比較各個解對應的

3、x+y的值，即可知道哪種付款方式付出的張數最少. 解：設付出元錢的張數為x，付出元錢的張數為y，則x，y的取值均為自然數. 依題意可得方程：2x+5y=33. 因為5y個位上的數只可能是或，所以2x個位上數應為或. 又因為x是偶數，所以x個位上的數是，從而此方程的解為：由得x+y=12；由得x+y=15. 所以第一種付款方式付出的張數最少.答：付款方式有種，分別是：付出張元錢和張元錢；付出張元錢和張元錢；付出張元錢和張元錢.其中第一種付款方式付出的張數最少.【例3】 解方程組    【思考與分析】 本例是一個含字母系數的方程組.解含字母系數的方程組同解含字母系數的

4、方程一樣，在方程兩邊同時乘以或除以字母表示的系數時，也需要弄清字母的取值是否為零.    解：由，得   y=4mx，                  把代入，得  2x+5（4mx）=8，    解得  （25m）x=-12，當25m0，    即m時，方程無解，則原方程組無解.  &

5、#160; 當25m0，即m時，方程解為將代入，得故當m時，原方程組的解為 【小結】 含字母系數的一次方程組的解法和數字系數的方程組的解法相同，但注意求解時需要討論字母系數的取值情況對于x、y的方程組中，a1、b1、c1、a2、b2、c2均為已知數，且a1與b1、a2與b2都至少有一個不等于零，則時，原方程組有惟一解；時，原方程組有無窮多組解；時，原方程組無解.【例4】某中學新建了一棟4層的教學大樓，每層樓有8間教室，這棟大樓共有4道門，其中兩道正門大小相同，兩道側門大小也相同.安全檢查中，對4道門進行了訓練：當同時開啟一道正門和兩道側門時，2分鐘內可以通過560名學生；當同時開啟一道正門和一

6、道側門時，4分鐘可以通過800名學生.（1） 求平均每分鐘一道正門和一道側門各可以通過多少名學生？（2） 檢查中發現，緊急情況時因學生擁擠，出門的效率將降低20.安全檢查規定，在緊急情況下全大樓的學生應在5分鐘內通過這4道門安全撤離.假設這棟教學大樓每間教室最多有45名學生，問：建造的這4道門是否符合安全規定？請說明理由.【思考與解】（1）設平均每分鐘一道正門可通過x名學生，一道側門可以通過y名學生.根據題意，得所以平均每分鐘一道正門可以通過學生120人，一道側門可以通過學生80人.（2） 這棟樓最多有學生4×8×45=1440（人）.擁擠時5分鐘4道門能通過5×

7、2×（120+80）×（1-20%）=1600（人）.因為 1600>1440，所以建造的4道門符合安全規定.答:平均每分鐘一道正門和一道側門各可以通過120名學生、80名學生；建造的這4道門符合安全規定.【例5】某水果批發市場香蕉的價格如下表：張強兩次共購買香蕉50千克（第二次多于第一次），共付款264元，請問張強第一次、第二次分別購買香蕉多少千克？【思考與分析】要想知道張強第一次、第二次分別購買香蕉多少千克，我們可以從香蕉的價格和張強買的香蕉的千克數以及付的錢數來入手.通過觀察圖表我們可知香蕉的價格分三段，分別是6元、5元、4元.相對應的香蕉的千克數也分為三段，我

8、們可以假設張強兩次買的香蕉的千克數分別在某段范圍內，利用分類討論的方法求得張強第一次、第二次分別購買香蕉的千克數.解：設張強第一次購買香蕉x千克，第二次購買香蕉y千克由題意，得0<x<25當0<x20，y40時，由題意，得當0<x20，y>40時，由題意，得（與0<x20，y40相矛盾，不合題意，舍去）當20<x<25時，25<y<30此時張強用去的款項為5x+5y=5（x+y）=5×50=250<264（不合題意，舍去）.綜合可知，張強第一次購買香蕉14千克，第二次購買香蕉36千克.答： 張強第一次、第二次分別購買香

9、蕉14千克、36千克.【反思】我們在做這道題的時候，一定要考慮周全，不能說想出了一種情況就認為萬事大吉了，要進行分類討論，考慮所有的可能性，看有幾種情況符合題意.【例6】 用如圖中的長方形和正方形紙板做側面和底面，做成如圖的豎式和橫式兩種無蓋紙盒. 現在倉庫里有張正方形紙板和000張長方形紙板，問兩種紙盒各做多少個，恰好將庫存的紙板用完？【思考與分析】我們已經知道已知量有正方形紙板的總數1000，長方形紙板的總數2，未知量是豎式紙盒的個數和橫式紙盒的個數. 而且每個豎式紙盒和橫式紙盒都要用一定數量的正方形紙板和長方形紙板做成，如果我們知道這兩種紙盒分別要用多少張正方形紙板和長方形紙板，就能建立起如下的等量關系：每個豎式紙盒要用的正方形紙板數 × 豎式紙盒個數 + 每個橫式紙盒要用的正方形紙板數 × 橫式紙盒個數 = 正方形紙板的總數每個豎式紙盒要用的長方形紙板數 × 豎式紙盒個數 + 每個橫式紙盒要用的長方形紙板數 × 橫式紙盒個數 = 長方形紙板的總數通過觀察圖形，可知每個豎式紙盒分別要用張正方形紙板和張長方形紙板，每個橫式紙盒分別要用張正方形紙板和張長方形紙板.解：由題中的等量關系我們可以得到