2023-2024學年度下學期5月聯考高一數學試卷試卷滿分：150分★祝考試順利★注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.4．考試結束后，請將答題卡上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數滿足，則在復平面內對應的點位于（）A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根據復數代數形式的除法運算化簡復數，再根據復數的幾何意義判斷即可.【詳解】因為，所以，所以在復平面內對應的點為，位于第一象限.故選：A2.已知向量，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據向量垂直的坐標表示求解.【詳解】根據題意，，因為，所以，得.故選：B3.已知表示不同的直線，表示不同的平面，則下列說法正確的是（）A.若，且，則 B.若，則C.若，，則 D.若，則【答案】D【解析】【分析】根據空間中線面、面面的位置關系一一判斷即可.【詳解】對于A：若且，則或與相交，故A錯誤；對于B：若，則或，又，當，則與平行或相交或異面，當，則與平行或異面，故B錯誤；對于C：若，，則或，又，所以或與相交（不垂直）或，故C錯誤；對于D：若，則或，又，所以，故D正確.故選：D4.已知正四棱臺的上、下底面邊長分別為2和4，其表面積為，則該正四棱臺的體積為（）A. B.28 C. D.14【答案】B【解析】【分析】由正四棱臺的結構特征可知其高即為對角面的等腰梯形的高，斜高即為側面等腰梯形的高，由上下底長度和表面積可確定斜高，再求體積.【詳解】設正四棱臺的斜高為h，高為H，表面積為，得，則側棱長為，正四棱臺上下底面對角線長為，正四棱臺的高，正四棱臺的體積.故選：B5.在中，角，，的對邊分別為，，，已知，，，則角（）A. B.或 C. D.或【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理求出，即可求出.【詳解】由正弦定理可得，即，解得，因為，所以，又，所以或，所以或．故選：D．6.已知圓錐的頂點為，側面面積為，母線長為為底面圓心，為底面圓上的兩點，且，則直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設底面半徑為，根據圓錐的側面積求出，取、、的中點、、，連接、、、，即可得到為直線與所成角（或補角），最后由余弦定理計算可得.【詳解】設底面半徑為，又母線長為，側面面積為，所以，即，解得，則，取、、的中點、、，連接、、、，則且、且，，所以為直線與所成角（或補角），又，所以，所以直線與所成角的余弦值為.故選：A7.已知的內角的對邊分別為，若，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，利用三角恒等變換化簡得，得，代入化簡得，結合基本不等式求最小值.【詳解】，得，即，中，，由，則，，所以，，由正弦定理，，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為.故選：C.8.已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，側面底面，則四棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設外接圓的半徑為，四棱錐的外接球的半徑為，利用正弦定理求出，再由面面垂直的性質得到平面，從而得到，再由球的表面積公式計算可得.【詳解】依題意，，設外接圓的半徑為，四棱錐的外接球的半徑為，則，即，又側面底面，底面為正方形，側面底面，，平面，所以平面，所以，所以四棱錐的外接球的表面積.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.-在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分.9.已知為虛數單位，則下列命題正確的是（）A.在復平面內，點是原點，若對應的向量為，將繞點按逆時針方向旋轉得到，則對應的復數為B.虛數滿足C.復數滿足，則的最大值為3D.已知均為實數，是關于的方程的一個解，則【答案】BD【解析】【分析】根據復數代數形式的乘法運算判斷A，根據復數的運算法則及模判斷B，根據復數的幾何意義判斷C，根據虛根成對原理及韋達定理判斷D.【詳解】對于A：將繞點按逆時針方向旋轉得到，則對應的復數為，故A錯誤；對于B：設，則，所以，，所以，故B正確；對于C：設，由，表示以為圓心，為半徑的圓，又表示圓上的點到點的距離，又，所以的最大值為，故C錯誤；對于D：因為是關于的方程的一個解，所以也是關于的方程的一個解，所以，即，故D正確；故選：BD10.如圖，在棱長為1的正方體中，點在線段上運動，則下列結論正確的是（）A.平面平面 B.三棱錐體積為定值C.在上存在點，使得面 D.的最小值為2【答案】ABC【解析】【分析】證明平面即可判斷A，由平面即可判斷B，當為中點時，證明平面平面，即可判斷C，化折線為直線，利用余弦定理判斷D.【詳解】對于A：由正方體的性質可知，平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，同理可證，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；對于B：因為，平面，平面，所以平面，又，所以點到平面的距離為定值設為，的面積也為定值，又為定值，故B正確；對于C：當為的中點時，點也為的中點，則，由平面，平面，所以平面，即平面，同理可證平面，又，平面，所以平面平面，又平面，所以面，故C正確；對于D：如下圖，將沿著翻折到與平面共面且、在的異側，連接與交于點，則即為的最小值，又，，所以，即的最小值為，故D錯誤.故選：ABC11.已知外接圓的圓心為點，半徑為，下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則在上的投影向量為C.若，當取最小值時，D.若為銳角三角形，，則的取值范圍為【答案】ABD【解析】【分析】根據外心的性質及數量積的運算律得到即可判斷A，根據數量積的運算得到，再結合投影向量的定義判斷B，設，即可得到，從而求出，即可判斷C，利用正弦定理得到，，再由數量積的運算律得到，從而轉化為關于的三角函數，結合的范圍及正弦函數的性質判斷D.【詳解】對于A：因為外接圓的圓心為點，設的中點為，則，所以，故A正確；對于B：若，則，即，所以，所以在上的投影向量為，故B正確；對于C：設的中點為，則，設，則，所以，又，所以，即，所以，則，故C錯誤；對于D：由A可知，同理可得，由正弦定理，所以，，所以，又為銳角三角形，所以，解得，所以，所以，所以的取值范圍為，故D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知為虛數單位，若復數，是的共軛復數，則______．【答案】##【解析】【分析】根據復數代數形式的除法運算化簡復數，即可得到其共軛復數，再計算其模.【詳解】因為，所以，所以.故答案為：13.已知的內角分別為，若，，則______．【答案】【解析】【分析】依題意利用兩角和的正弦公式及同角三角函數的基本關系求出，，再由兩角差的正弦公式計算可得.【詳解】因為，又，即，即，解得，，所以.故答案為：14.我國南北朝的偉大科學教祖暅于5世紀提出了著名的祖暅原理，意思就是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個幾截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等．如圖1，為了求半球的體積，可以構造一個底面半徑和高都與半球的半徑相等的圓柱，與半球放置在同一平面上，然后在圓柱內挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐后得到一個新幾何體，用任何一個平行底面的平面去截它們時，兩個截面面積總相等.如圖2，某個清代陶瓷容器的上、下底面為互相平行的圓面（上底面開口，下底面封閉），側面為球面的一部分，上、下底面圓半徑都為6cm，且它們的距離為24cm，則該容器的容積為______（容器的厚度忽略不計）．【答案】【解析】【分析】構造一個底面半徑為，高為12的圓柱，通過計算可得高相等時截面面積相等，根據祖暅原理可得容器的體積的一半等于圓柱的體積減去等高的小圓錐的體積.【詳解】先求容器一半的體積，根據圖一左圖，可知，則球的半徑為，且上底面圓的面積為，建立一個底面半徑為，高為12的圓柱，如圖一右圖，那么根據祖暅原理，挖去一個與圓柱等高的小圓錐，其底面面積為，所以，所以整個容器的容積為.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵是讀懂題意，構建圓柱，圓錐，通過計算得到高相等時截面面積相等，根據祖暅原理得到幾何體的體積.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，為了測量兩山頂間的距離，四點在同一鉛錘平面內，飛機沿水平方向在兩點進行測量，途中在點測得，在點測得，測得．（1）求點和點之間的距離；（2）求兩山頂間的距離．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據題中在兩點觀測到的俯角，得出相關角，利用正弦定理，可得PM長度;（2）觀察角的特點以及三角形中求出角和邊長，正余弦定理靈活應用，中，得，中，余弦定理得.【小問1詳解】依題意可知，，，在中，根據正弦定理，，所以，則.【小問2詳解】由題設知，在中，由正弦定理可得：，，中，，由余弦定理得：，,所以兩山頂點M，N之間的距離為.16.如圖，在直三棱柱中，．（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）勾股定理證得，線面垂直的性質證得，得平面，所以平面平面；（2）連接，與相交于點，可證平面，直線與平面所成角為，求出，由，代入求值即可.【小問1詳解】，有，則，直三棱柱中，平面，平面，，平面，，平面，平面，平面平面；【小問2詳解】連接，與相交于點，連接，，側面為正方形，則有平面，平面，，平面，，平面，則直線與平面所成角為，，則，，又，則，則，所以直線與平面所成角的余弦值為．17.如圖，的內角的對邊分別為是邊的中點，點在邊上，且滿足與交于點．（1）試用，表示和；（2）若，求．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據平面向量線性運算法則得到，設，根據平面向量共線定理的推論求出，即可求出；（2）首先用、表示出、，再根據數量積的運算律及定義計算可得.【小問1詳解】因為，所以，即，設，所以，又、、三點共線，所以，解得，所以.【小問2詳解】因為，設，又、、三點共線，所以，解得，所以，所以，又，即，即，解得或（舍去）.18.如圖，的內角的對邊分別為，已知，為線段上一點，且．（1）求角；（2）若，求面積的最大值；（3）若，求．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由三角恒等變換公式得到，即可得解；（2）依題意可得，將兩邊平方，結合數量積的運算律及基本不等式求出的最大值，再由面積公式計算可得；（3）設，，在、中利用正弦定理得到，即可求出.【小問1詳解】因為，由正弦定理可得，即，所以，所以，又，所以，所以，即，又，所以，則.【小問2詳解】因為，所以，所以即，解得，當且僅當即、時等號成立.故，當且僅當即、時等號成立.所以面積的最大值為．小問3詳解】設，，則，，在中由正弦定理，即，在中由正弦定理，即，所以，即，即，又，則，即，解得，即.19.如圖1，在矩形中，是線段上的一動點，如圖2，將沿著折起，使點到達點的位置，滿足點平面．（1）如圖2，當時，點是線段的中點，求證：平面；（2）如圖2，若點在平面內的射影落在線段上．①是否存在點，使得平面，若存在，求的長；若不存在，請說明理由；②當三棱錐的體積最大值時，求點到平面的距離．【答案】（1）證明見解析（2）①存，；②【解析】【分析】（1）取的中點，連接、，即可證明為平行四邊形，從而得到，即可得證；（2）①當點與點重合，即時平面，此時，由線面垂直的性質得到，即可得到平面，結合，即可證明平面；②在矩形中作，垂足為點，延長交于點，設，即可由利用基本不等式求出體積最大值，即可此時的長度，再結合①得解.【小問1詳解】取的中點，連接、，因為