1、關(guān)于兩根的非對(duì)稱式求值問(wèn)題的若干轉(zhuǎn)化策略  一元二次方程兩根對(duì)稱式求值問(wèn)題，一直是中考數(shù)學(xué)考查“根與系數(shù)關(guān)系”等知識(shí)的傳統(tǒng)題。近年來(lái)，關(guān)于兩根的非對(duì)稱式求值問(wèn)題頻繁出現(xiàn)在中考試卷中。這類試題深受命題者的青睞，主要基于以下兩個(gè)特點(diǎn)：(1)改變對(duì)稱式求值解法的程式化格調(diào)，這類試題一般解法較多而富有變化；(2)要求學(xué)生能對(duì)所學(xué)知識(shí)和方法靈活運(yùn)用，不墨守成規(guī)，體現(xiàn)時(shí)代創(chuàng)新精神；(3)這類試題一般都能轉(zhuǎn)化為對(duì)稱式求值問(wèn)題，突出了化歸等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用。本文擬就兩根非對(duì)稱式轉(zhuǎn)化，突破比較常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化模式，較為系統(tǒng)地介紹十種轉(zhuǎn)化策略。一、定義轉(zhuǎn)化法非對(duì)稱式，常可以直接由方程根的定義轉(zhuǎn)化為對(duì)稱

2、式。例1、已知、是方程x2+2x-5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則2+2的值為：_。(2000年遼寧省中考試題)分析：由方程根的定義得2+2-5=0，故2+2=(2+2)+=5+=0。二、降次變形法降次思想是處理很多數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思考方法。方程ax2+bx+c=0(a0)，經(jīng)過(guò)移項(xiàng)可變形為，ax2=-bx-c，左邊是x的二次式，右邊是x的一次式。利用這種從左到右的降次，是將非對(duì)稱式轉(zhuǎn)化為對(duì)稱式的重要途徑。例2、已知x1、x2是關(guān)于x的方程x2-3x+m=0兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)(1)求S關(guān)于m的函數(shù)解析式，并求自變量m的取值范圍；(2)當(dāng)函數(shù)值S=7時(shí)，求的值。(1999年溫州市中考試題)分析：(1)由

3、韋達(dá)定理和根的判別式易得S=9-2m(m。(2)當(dāng)S=7時(shí)，m=1。可得方程x2-3x+1=0。欲求，關(guān)鍵在于對(duì)“”降次。由方程根的定義可得：=3x1-1，故=x1(3x1-1)+8x2=3-x1+8x2=3(3x1-1)-x1+8x2=8x1-3+8x2=8(x1+x2)-3=21。三、升次變形法與降次處理相對(duì)的是，可用升次變形將非對(duì)稱式轉(zhuǎn)化為對(duì)稱式。例3、已知一元二次方程(m+1)x2+2mx+m+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，并且這兩個(gè)根又不互為相反數(shù)。(1)求m的取值范圍；(2)當(dāng)m在取值范圍內(nèi)取最小的偶數(shù)時(shí)，方程的兩根為x1、x2，求3(1-4x2)的值。(1998年黃岡市中考試題)分

4、析；(1)由題意得m-且m-1，m0， (2)最小偶數(shù)m=2，可得方程3x2+4x-1=0，由方程根的定義得1-4x2=3 ，故3(1-4x2)=9(x1x2)2=1。四、拆項(xiàng)變形法例4、已知：m、n是一元二次方程x2-3x+1=0的兩根，代數(shù)式2m2+4n2-6n+1999的值=_。(1999年福州市中考試題)分析：由方程根的定義可得：n2-3n=1。故對(duì)4n2進(jìn)行拆項(xiàng)變形，可得：2m2+4n2-6n+1999=2(m2+n2)+2(n2-3n)+1999=2011。五、添項(xiàng)變形法例5、已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2px-p2-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1和x2。(1)略。(2)若p=-1，求

5、的值。(2000年泰州市中考試題)分析：添與配成對(duì)稱式，則+2+2x2=(+ )-( -2-2x2)=( +)-x2(-2x2-2)=+=(x1+x2)(x1+x2)2-3x1x2。當(dāng)p=-1時(shí)，方程為x2-2x-2=0，則x1+x2=2，x1x2=-2，故原式值為20。說(shuō)明：該問(wèn)題的添項(xiàng)還有以下方案，請(qǐng)讀者自行完成：(1)添2與2配成對(duì)稱式；(2)添2x1與2x2配成對(duì)稱式；(3)添2+2x1 與2+2x2配成對(duì)稱式。六、減元變形法利用數(shù)學(xué)的一個(gè)重要方法減元法，設(shè)法將雙根的非對(duì)稱式減元為易于求值的單根代數(shù)式。例6、若、是方程x2-3x-5=0的兩個(gè)根，則2+22-3的值是多少？(1998年荊

6、州市中考試題)分析：由韋達(dá)定理得：+=3，則=3-，故2+22-3=(3-)2+22-3=32-9+9=3(2-3)+9=3×5+9=24。七、常值代換法針對(duì)已知的二次方程的系數(shù)與非對(duì)稱式中系數(shù)的特殊關(guān)系，利用兩根之和或兩根之積進(jìn)行常值代換，將非對(duì)稱式轉(zhuǎn)化為對(duì)稱式。例7、同例6分析：注意到方程與非對(duì)稱式系數(shù)中都有數(shù)字“3”，由韋達(dá)定理可得3=+，故2+22-3=2+22-(+) =2-+2+(+)2-3=24。根據(jù)系數(shù)特征，有時(shí)還需常值代換兩根積，例8、同例5分析：注意到方程x2-2x-2=0和非對(duì)稱式系數(shù)中都有數(shù)字“2”，則2=x1+x2=-x1x2，故+2+2x2=+(x1+x2

7、)-x1=+ (下略)。八、構(gòu)造轉(zhuǎn)化法通過(guò)構(gòu)造出一個(gè)對(duì)偶式，再設(shè)法消去這個(gè)式子，從而把非對(duì)稱式轉(zhuǎn)化為對(duì)稱式。例9、若、是方程x2-3x-5=0的兩根，則2+22-3的值是()A、21B、24C、27D、29(1998年揚(yáng)州市中考試題)分析：設(shè)2+22-3=A，它的對(duì)偶式2+22-3=B，則A+B=3(2+2)-3(+)=3(+)2-6-3(+)=48；A-B=(2-2)+3(-)=(-)(+-3)=0。2A=48，即得A=24。故2+22-3=24。九、公式轉(zhuǎn)化法對(duì)于形如m+n的非對(duì)稱式，可直接運(yùn)用下面的公式轉(zhuǎn)化為對(duì)稱式：m+n=(+)+(-)。例10、已知方程x2-6x+7=0的兩根為x1、

8、x2，且x1x2，不解方程求3x1-x2的值。分析：由韋達(dá)定理得x1+x2=6，x1x2=7，則(x1-x2)2=8，即x1-x2=2，由上述公式得：3x1-x2=(x1+x2)+(x1-x2)=(x1+x2)+2(x1-x2)=6+4。十、利用公式基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化有些非對(duì)稱式是分式的形式，常需要運(yùn)用公式的基本性質(zhì)變形，從而轉(zhuǎn)化為對(duì)稱式問(wèn)題。例11、已知：m、n是一元二次方程x2+5x-3=0的兩根，求代數(shù)式的值。(2000年孝感市中考試題)分析：由題意得m+n=-5，mn=-3。則=。例12、已知x1、x2是方程x2-3x-4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求的值。(1997年黃石市中考試題)分析：由題意得x1+x2=3，x1x2=-4。易得(x1-x