1、圓錐曲線的解題技巧一、常規七大題型：(1)中點弦問題具有斜率的弦中點問題,常用設而不求法(點差法)：設曲線上兩點為(x1,y1),(x2,y2),代入方程,然后兩方程相減,再應用中點關系及斜率公式(當然在這里也要注意 斜率不存在的請款討論),消去四個參數.22如：(1) :+4=1(a Ab >0)與直線相交于 A、B,設弦 AB中點為 M(X0,y0),那么有 a2 b2xoyo .+ k =0. a bx2 y2(2) =1(a >0,b >0)與直線l相父于A、B,設弦AB中點為M(x°,yo)那么有a2 b2x0y.,2k =0 a b(3) y2=2px

2、( p>0)與直線 l 相交于 A、B 設弦 AB 中點為 M(x0,y°),那么有 2y°k=2p,即 y0k=p.2典型例題給定雙曲線x2 -匕=1.過A(2,1)的直線與雙曲線交于兩點P1及F2,2求線段P1 P2的中點P的軌跡方程.(2)焦點三角形問題橢圓或雙曲線上一點 P,與兩個焦點F1、F2構成的三角形問題,常用正、余弦定理搭 橋. 22 ,一一x y_,八 典型例題 設P(x,y)為橢圓下十三=1上任一點,'(c,0) , F2(c,0)為焦點, a b/PF1F2 =* , /PF2F1 = P . sin(： ")(1)求證離心率

3、e =；sin ,： ,sin :(2)求 |PFi|3 + PF2|3 的最值.(3)直線與圓錐曲線位置關系問題直線與圓錐曲線的位置關系的根本方法是解方程組,進而轉化為一元二次方程后利用判 別式、根與系數的關系、求根公式等來處理,應特別注意數形結合的思想,通過圖形的直觀性幫助分析解決問題,如果直線過橢圓的焦點,結合三大曲線的定義去解.典型例題拋物線方程y2 =p(x +1) (p >0),直線x +y =1與*軸的交點在拋物線準線的右邊.(1)求證：直線與拋物線總有兩個不同交點(2)設直線與拋物線的交點為 A、B,且OAL OB,求p關于t的函數f的表達式.(4)圓錐曲線的相關最值(范

4、圍)問題圓錐曲線中的有關最值(范圍)問題,常用代數法和幾何法解決.<1>假設命題的條件和結論具有明顯的幾何意義,一般可用圖形性質來解決.<2>假設命題的條件和結論表達明確的函數關系式,那么可建立目標函數(通常利用二次函 數,三角函數,均值不等式)求最值.(1),可以設法得到關于 a的不等式,通過解不等式求出a的范圍,即：“求范圍,找不等式.或者將a表示為另一個變量的函數,利用求函數的值域求出a的范圍；對于(2)首先要把 NAB的面積表示為一個變量的函數,然后再求它的最大值,即：“最值問題,函數思想.最值問題的處理思路：1、建立目標函數.用坐標表示距離,用方程消參轉化為一

5、元二次函數的最值問題,關 鍵是由方程求x、y的范圍；2、數形結合,用化曲為直的轉化思想；3、利用判別式,對于二次函數求最值,往往由條件建立二次方程,用判別式求最值；4、借助均值不等式求最值.典型例題拋物線y2=2px(p>0),過M (a,0)且斜率為1的直線L與拋物線交于不同的兩點 A、B, |AB| w 2P(1)求a的取值范圍；(2)假設線段AB的垂直平分線交x軸于點N,求4NAB面積的最大值.(5)求曲線的方程問題1 .曲線的形狀 這類問題一般可用待定系數法解決.典型例題直線L過原點,拋物線 C的頂點在原點,焦點在 x軸正半軸上.假設點 A (-1, 0)和點B (0, 8)關于

6、L的對稱點都在 C上,求直線L和拋物線C的方程.2 .曲線的形狀未知-求軌跡方程典型例題直角坐標平面上點 Q (2, 0)和圓C： x2+y2 = 1,動 點M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數 九(九>0), 求動點M的軌跡方程,并說明它是什么曲線.(6)存在兩點關于直線對稱問題在曲線上兩點關于某直線對稱問題,可以按如下方式分三步解決：求兩點所在的直線,求這兩直線的交點,使這交點在圓錐曲線形內.(當然也可以利用韋達定理并結合判別式來解決)22x y典型例題橢圓 C的萬程+<=1,試確定 m的取值范圍,使得對于直線43y = 4x + m ,橢圓C上有不同兩點關于直線對稱(7)兩

7、線段垂直問題 .y1 , y2圓錐曲線兩焦半徑互相垂直問題,常用ki - k2 =- =-1來處理或用向量的坐標x1 , x2運算來處理.典型例題直線l的斜率為k ,且過點P(-2,0),拋物線C:y2 = 4(x +1),直線l與拋物線C有兩個不同的交點(如圖).(1)求k的取值范圍；(2)直線l的傾斜角9為何值時,A、B與拋物線C的焦點連線互相垂直.四、解題的技巧方面：在教學中,學生普遍覺得解析幾何問題的計算量較大.事實上,如果我們能夠充分利用幾何圖形、韋達定理、曲線系方程,以及運用“設而不求的策略,往往能夠減少計算量. 下面舉例說明：(1)充分利用幾何圖形解析幾何的研究對象就是幾何圖形及

8、其性質,所以在處理解析幾何問題時,除了運用代 數方程外,充分挖掘幾何條件,并結合平面幾何知識,這往往能減少計算量.典型例題設直線3x+4y + m = 0與圓x2 + y2+x2y = 0相交于P、Q兩點,O為坐標原點,假設 OP_LOQ ,求m的值.(2)充分利用韋達定理及“設而不求的策略我們經常設出弦的端點坐標而不求它,而是結合韋達定理求解,這種方法在有關斜率、中點等問題中常常用到.典型例題中央在原點 O,焦點在y軸上的橢圓與直線 y = x + 1相交于P、Q兩點,且OP_LOQ , |PQ4巴0 ,求此橢圓方程.2(3)充分利用曲線系方程利用曲線系方程可以防止求曲線的交點,因此也可以減

9、少計算.2222典型例題求經過兩圓 C1： x +y 4x+2y=0和C2： x +y 2y 4 = 0的交點,且圓心在直線l : 2x+4y 1 =0上的圓的方程.(4)充分利用橢圓的參數方程橢圓的參數方程涉及到正、余弦,利用正、余弦的有界性,可以解決相關的求最值的問題.這 也是我們常說的三角代換法.22典型例題P為橢圓 與+4=1上一動點,A為長軸的右端點,B為短軸的上端點,求四a b邊形OAPB面積的最大值及此時點 P的坐標.(5)線段長的幾種簡便計算方法 充分利用現成結果,減少運算過程一般地,求直線與圓錐曲線相交的弦AB長的方法是：把直線方程 y = kx + b代入圓錐曲線方程中,得

10、到型如 ax2 +bx+c = 0的方程,方程的兩根設為 xA, xB,判別式為4,；TT那么|AB|= Ji +k2 |xA xB|= V1 +k2 -一,假設直接用結論,能減少配方、開方等運算|a|過程.例 求直線x y+1 =0被橢圓x2+4y2 =16所截得白線段AB的長.結合圖形的特殊位置關系,減少運算在求過圓錐曲線焦點的弦長時,由于圓錐曲線的定義都涉及焦點,結合圖形運用圓錐曲線的定義,可回避復雜運算.22例 弓、F2是橢圓 工+工=1的兩個焦點,AB是經過的弦,假設|AB|=8,求值259| F2A| |F2B| 利用圓錐曲線的定義,把到焦點的距離轉化為到準線的距離例 點A (3,

11、 2)為定點,點F是拋物線y2 =4x的焦點,點P在拋物線y2 = 4x上移動,假設|PA|十|PF|取得最小值,求點 P的坐標.圓錐曲線解題方法技巧歸納第一、知識儲藏：1,直線方程的形式(1)直線方程的形式有五件：點斜式、兩點式、斜截式、截距式、一般式.(2)與直線相關的重要內容傾斜角與斜率k =tan=；注三0,二)點到直線的距離d = AByoF夾角公式：Ja2 + b2.k2 - kitan 二1 k2ki(3)弦長公式直線 y =kx +b 上兩點 A(X|, y1), B(x2, y2)間的距離：AB = Ji + k2 x1 - x2= J(1 + k2)(xi + X2)2 4

12、xiX2 或 AB = Ji q I yi - y2(4)兩條直線的位置關系 l1_L 12 y k1k2=-i l1 12 y k=k2且b1Ab22、圓錐曲線方程及性質(1)、橢圓的方程的形式有幾種？(三種形式) 22標準方程：=1(m 0, n - 0且 m ； n) m n距離式方程：,(x , c)2 , y2 , (x - c)2 y2 = 2a參數方程：x = acos., y = bsin ?(2)、雙曲線的方程的形式有兩種22標準方程： =1(m n ： 0) m n距離式方程：| (x c)2 y2 一,(x - c)2 y2 |= 2a(3)、三種圓錐曲線的通徑你記得嗎？

13、22橢圓：汽；雙曲線：生；拋物線：2P aa(4)、圓錐曲線的定義你記清楚了嗎？22如：F1、F2是橢圓土+匕=1的兩個焦點,平面內一個動點M滿43足MFj - MF2 =2那么動點M的軌跡是()A、雙曲線；B、雙曲線的一支；C、兩條射線；D、一條射線(5)、焦點三角形面積公式：P在橢圓上時,S&PF =b2 tan-1 220P在雙曲線上時, 法產2 = b2 cot-| PF. |2 | PF_ |2 _4c2 -+ -1 (其中 ZF1PF2 =e,cos9 =1_1J12-1-,PF1*PF2=|PFi | PF2 |cos0 )|PF111PF2|(6)、 記 住 焦 半 徑

14、 公 式： (1)橢圓焦點在x軸上時為a ±e%;焦點在y軸上時為a±eyO,可簡記為“左加右減,上加下減.(2)雙曲線焦點在x軸上時為e|x0|±a(3)拋物線焦點在x軸上時為|x1 | +.,焦點在y軸上時為| % |十十(6)、橢圓和雙曲線的根本量三角形你清楚嗎？_第二、方法儲藏1、點差法(中點弦問題)22設A(xy1)、B(x2, y2 ), M(a,b)為橢圓二 + L=1的弦AB中點那么有4322222222父十竺=1,且+紅=1;兩式相減得收1 X2 +、 y2 =0434343Xi -X2 Xi X2yi - y2 yi y23a- 4-3 kAB

15、-F2、聯立消元法：你會解直線與圓錐曲線的位置關系一類的問題嗎？ 經典套路是什么？如果有兩個參數怎么辦？設直線的方程,并且與曲線的方程聯立,消去一個未知數,得到一個二次方程,使用判別式至0,以及根與系數的關系,代入弦 長公式,設曲線上的兩點 AX1, yi, BX2, y2,將這兩點代入曲線方 程得到兩個式子,然后 -Q,整體消元,假設有兩個字母未知數,那么要找到它們的聯系,消去一個,比方直線過焦點, 那么可以利用三點A、B、F共線解決之.假設有向量的關系,那么尋 找坐標之間的關系,根與系數的關系結合消元處理. 一旦設直線 為丫=4+慳就意味著k存在.例i、三角形ABC的三個頂點均在橢圓4X2

16、+5y2=80上,且點A 是橢圓短軸的一個端點點 A在y軸正半軸上.i假設三角形ABC的重心是橢圓的右焦點,試求直線 BC的方程； 2假設角A為90°, AD垂直BC于D ,試求點D的軌跡方程.分析：第一問抓住“重心,利用點差法及重心坐標公式可求出中點 弦BC的斜率,從而寫出直線BC的方程.第二問抓住角A為900可得 出ABLAC,從而得X2+yy2-i4yi十丫2十i6 =0 ,然后利用聯立消元 法及交軌法求出點D的軌跡方程；解：i設 B Xi, yi ,CX2, y2 ,BC 中點為x., y.,F2,0那么有2222漢+旦=10+紅=1 20 1620 16二0兩式作差有 x1

17、 x2x1 一x2y1 - y2y1y2 = 0 上紀1620F2,0為三角形重心,所以由XiX2y1 + y2+4=0 得yo一,代入1得T直線BC的方程為6x-5y-28 = 02)由 AB LAC 得x1x2 + y1y214(y1 + y2)+16 = 0(2)設直線 BC 方程為 y = kx + b,代入4x2 + 5y2 = 80,(4 5k2)x2 10bkx 5b2 -80 =0x1x2-10kb5b2 -802- , x1 x2 =24 5k4 5k8k4b2 -80k2y1 y2 二2, y1 y2 二24 5k24 5k2代入2式得- 2 -9b -32b -1624

18、5k2=0,解得b =4(舍)或b = _49直線過定點0, -6 ,設D x,y,_2_2_ _9y 9x -32y-16=0所以所求點D的軌跡方程是乂2+"-鳥2=泮2尸4. 994、設而不求法 例2、如圖,梯形ABCD中ab =2CD| ,點E分有向線段AC所成的比為人雙曲線過C、D、E三點,且以A、B為焦點當尹W時, 求雙曲線離心率e的取值范圍.分析：本小題主要考查坐標法、定比分點坐標公式、雙曲線的概念和性質,推理、運算水平和綜合運用數學知識解決問題的水平.建立直角坐標系xOy,如圖,假設設C色,h,代入三一 2a2b2=1,求得h=| ,22進而求得Xe =|l|,yE =

19、111,再代入4=1 ,建 立 a b目標函數fa,b,c,九=0 ,整理fe, K=0,此運算量可見是難上加難.我們對h可米取設而不求的解題策略,建立目標函數fa,b,c,九=0,整理fe,九=0化繁為簡.解法一：如圖,以AB為垂直平分線為y軸,直線AB為x軸,建立直角坐標系xOy ,那么CD,y軸由于雙曲線經過點 C、D,且以A、B為焦點,由雙曲線的對稱性知 C、D關于y軸對稱依題意,記 A(-c,0 ), C'-,hE(x0,y0 ),其中 c|AB| 為雙2'2曲線的半焦距,h是梯形的高,由定比分點坐標公式得-c - o c x 2_1 -2 cX0 1 ：.,.2Q.

20、+1, hy° 丁22設雙曲線的方程為3-5=1, a b那么離心率er a由點C、E在雙曲線上,將點C、E的坐標和e=£代入雙曲線方 a由式得,22匚Jb24'程得22J-4bh2將式代入式,整理得2 e_4-4Z=1 +2人,故, =1 Y-e2 1由題設2工3得,2工1_31343e2 2 4解得7 <e< ,10所以雙曲線的離心率的取值范圍為 舊,尺分析：考慮|AE , AC為焦半徑,可用焦半徑公式,|AE , AC用E,C的橫坐 標表示,回避h的計算,到達設而不求的解題策略.解法二：建系同解法一,|AE =-a + exE , AC| = a

21、+ e% ,c,又添貴,代入整理I一舄,由題-.2' -2 cxe -1 21；幾 2 . 3 陽 23. 3設一£兒£彳導,-<1<34' 3 e2 2 4解得. 7 <e < .10所以雙曲線的離心率的取值范圍為厲,而5、判別式法例3雙曲線C上工=1,直線l過點aQZ.,斜率為k,當0<k<1 22時,雙曲線的上支上有且僅有一點 B到直線l的距離為22 ,試求k的 值及此時點B的坐標.分析1:解析幾何是用代數方法來研究幾何圖形的一門學科,因 此,數形結合必然是研究解析幾何問題的重要手段.從“有且僅有 這個微觀入手,對照

22、草圖,不難想到：過點 B作與l平行的直線,必 與雙曲線C相切.而相切的代數表現形式是所構造方程的判別式 =0.由此出發,可設計如下解題思路:1 : y =kx_、,20 ：； k ：: 1直線1'在1的上方且到直線1的距離為421': y = kx1'白9代入雙曲線方程,消去 v,令判別式0=0解得k的值解題過程略.分析2:如果從代數推理的角度去思考,就應當把距離用代數式表達,即所謂“有且僅有一點 B到直線1的距離為行,相當于化歸的方程有唯一解.據此設計出如下解題思路:簡解：設點M(x,J/)為雙曲線C上支上任一點,那么點 M到直 線1的距離為:kx 一二；2 x2 -

23、 2k. k2 - 1于是,問題即可轉化為如上關于x的方程.由于0<k<1,所以 2 + x2 >|x a kx ,從而有kx一42 +x2 一%2k = -kx + J2 + x2 + J2k.于是關于x的方程)_ kx 2 x22k = 2(k2 1)二 卜2 +x2 2 =(j2(k2 +1) -<2k +kx)2,| j2(k2 1) - .2k kx 02 _, _2u ik2 -1 x2 +2k?：2(k2 +1) -v2k x +(<2(k2 +1) -V-2k ) -2 =0, 3 ：.j2(k2 - 1) -A<；2k kx .0.由0 &

24、lt;k <1可知：方程(k2 -1x2 +2&2(k2 + 1) J5kx +(；2(k2 +1) Jk 2 2 = 0 的二根同正,故,2(k2 +1) J5k + kx >0恒成立,于是 心)等價于 , _1 -2k2 -1 x2 2k . 2(k2 1) - . 2k x . 2(k2 1) - .2k -2 = 0.由如上關于x的方程有唯一解,得其判別式 = 0,就可解得,2 5k 二.5點評：上述解法緊扣解題目標,不斷進行問題轉換,充分表達了全局觀念與整體思維的優越性.例4橢圓C：x2 +2y2 =8和點P (4, 1),過P作直線交橢圓于A、B兩點,在線段AB

25、上取點Q,使竺=_9 ,求動點Q的軌跡所 PB QB '在曲線的方程.分析：這是一個軌跡問題,解題困難在于多動點的困擾,學生往往不知從何入手.其實,應該想到軌跡問題可以通過參數法求解.因 此,首先是選定參數,然后想方設法將點 Q的橫、縱坐標用參數表 達,最后通過消參可到達解題的目的.由于點Q(x,y)的變化是由直線AB的變化引起的,自然可選擇直線 AB的斜率k作為參數,如何將乂丫與卜聯系起來？ 一方面利用點 Q在 直線AB上；另一方面就是運用題目條件： 變=一處來轉化.由a、B、PB QBP、Q四點共線,不難得到x =4(XA+XB)-XAXB ,要建立X與k的關系,只需 -8一% x

26、b)將直線AB的方程代入橢圓C的方程,利用韋達定理即可.通過這樣的分析,可以看出,雖然我們還沒有開始解題,但對于如何解決此題,已經做到心中有數.在得到x = f(k )之后,如果能夠從整體上把握,熟悉到：所謂消參,目的不過是得到關于x, y的方程(不含k),那么可由y=k(x-4)+1解得k = 口,直接代入x=f(k哪可得到軌跡方程.從而簡化消去參的過x -4AQ 可得：4 - x1 = x 一整QBx2 - 4 x2 - x程.簡解：設A(Xi,yi)B(x2,力2“,那么由整=解之得：*=4(><1+><2-J)8 -(xi x2)設直線AB的方程為：y = k(

27、x-4)+1 ,代入橢圓C的方程,消去y得出關于x的一元二次方程：(2k2 +1 k2 +4k(1 -4k)x +2(1 -4k)2 -8 = 0(2)4k(4k -1) 一 2k2 1 ,一, 、2_2(1 -4k) -82k 1代 入 (1), 化 簡 得4k 3x 二k 2與 y = k(x -4) +1 聯立,消去 k得：(2x + y -4(x -4) = 0.在(2)中,由 = 64k2 +64k+24 >0 ,解得 2回 2+、：而.結合(3) 4"4可求得 16 -2 10 一 ,.16 2 10 x.9 9故知點Q的軌跡方程為：2x + y-4 = 0(16-

28、加-<16+2師).99點評：由方程組實施消元,產生一個標準的關于一個變量的一元 二次方程,其判別式、韋達定理模塊思維易于想到.這當中,難點在引出參,活點在應用參,重點在消去參.,而“引參、用參、消參三步曲,正是解析幾何綜合問題求解的一條有效通道 .6、求根公式法22例5設直線l過點P 0, 3,和橢圓人+上=1順次交于A、B兩點, 94試求的取值范圍. PB分析：此題中,絕大多數同學不難得到： 絲=.上,但從此后卻一 PB Xb籌莫展,問題的根源在于對題目的整體把握不夠 .事實上,所謂求取 值范圍,不外乎兩條路：其一是構造所求變量關于某個或某幾個 參數的函數關系式或方程,這只需利用對應

29、的思想實施；其二那么 是構造關于所求量的一個不等關系.分析1：從第一條想法入手, 黑=已經是一個關系式,但由于有兩個變量Xa,Xb,同時這兩個變量的范圍不好限制, 所以自然想到利 用第3個變量一一直線AB的斜率k.問題就轉化為如何將Xa,Xb轉化 為關于k的表達式,到此為止,將直線方程代入橢圓方程,消去 y得 出關于x的一元二次方程,其求根公式呼之欲出.簡解1:當直線l垂直于x軸時,可求得竺=；PB 5當l與X軸不垂直時,設 A(xyi )B(X2, y2),直線l的方程為:y=kx+3,代入橢圓方程,消去 y得(9k2+4X2+54kx+45=0解之得X1,2-27k -6 9k2 -5一

30、9k2 4由于橢圓關于y軸對稱,點P在y軸上,所以只需考慮kA.的情形.當k A 0時,所以空=PB_ -27k 6 9k2 -5-27k-6 9k2 -5k -2x x2 =2)9k 49k 4X_ -9k 2.9k2 -5 =1 18k 18x2 9k +2,9k2 -59k +2J9k2 5 1-9+2J9-5 =(54k)2 _1809k2 +4 運 0,解得 k2 >-,9所以-1 _1 18 J,9 2 9 -鼠25綜上AP 1-1 -PB 5分析2:如果想構造關于所求量的不等式,那么應該考慮到：判別式往往是產生不等的根源.由判別式值的非負性可以很快確定k的取值范圍,于是問題

31、轉化為如何將所求量與 k聯系起來.一般來說,韋達定理總是充當這種問題的橋梁,但此題無法直接應用韋達定理,原因在于AhW不是關于"2的對稱關系式.原因找到后,解決問題的方法自然也就有了,即我們可以構造關于 X1,X2的對稱關系式.簡解2:設直線l的方程為：y = kx + 3,代入橢圓方程,消去y得9k2 4 x2 54kx 45 = 0*)-54kXi X2 二2, 9k2 445X1X22. 9k2 +4令 土 =九,貝 U,九 J+2 = 324k2X2145k - 20在*中,由判別式可得-5,y+；+2W,解得2從而有 4 ； 324k 電,所以 "45k20 -

32、51一 _ _ 5.51 結合0 c九<1得 Y h <1.5綜上, AP-1 < PB點評：范圍問題不等關系的建立途徑多多,諸如判別式法,均值不等式法,變量的有界性法,函數的性質法,數形結合法等等.此題 也可從數形結合的角度入手,給出又一優美解法解題猶如打仗,不能只是忙于沖鋒陷陣,一時局部的勝利并不能 說明問題,有時甚至會被局部所糾纏而看不清問題的實質所在,只有 見微知著,樹立全局觀念,講究排兵布陣,運籌帷幄,方能決勝千里第三、推理練習：數學推理是由的數學命題得出新命題的基 本思維形式,它是數學求解的核心.以的真實數學命題,即定義、 公理、定理、性質等為依據,選擇恰當的解題

33、方法,到達解題目標, 得出結論的一系列推理過程.在推理過程中,必須注意所使用的命題 之間的相互關系(充分性、必要性、充要性等),做到思考縝密、推 理嚴密.通過編寫思維流程圖來錘煉自己的大腦,快速提升解題水平.例6橢圓長軸端點為A,B, O為橢圓中央,F為橢圓的右焦點, 且 AF FB =1 , OF =1 .(I )求橢圓的標準方程；(n)記橢圓的上頂點為m ,直線i交橢圓于p,q兩點,問：是否存在直線l ,使點F恰為&PQM的垂心？假設存在,求出直線l的方程； 假設不存在,請說明理由.思維流程:I由 AF 常=i,港=i(a + c)(a-c) = 1 , c=1a= 2,b=1寫出

34、橢圓方程由 F為 APQM 的重心一p PQ_LMF,MP.L FQ -k PQ = 1(n)3x2 4mx 2m2 一2 =0兩根之和, 兩根之積得出關于m的方程解出m解題過程：22(I)如圖建系,設橢圓方程為 x2+(=1(a>b>0),那么c=1 a b又 AF FB=1 即(a + c) (ac) = 1 = a2c2a2 = 22故橢圓方程為' y2 =1(H )假設存在直線l交橢圓于P,Q兩點,且F恰為APQM的垂心,那么設 P(Xi,yJQ(X2,y2),M(0,1),F(1,0),故 kpQ=1,.y=x-m于是設直線l為 y = x + m,由？2 得,x

35、2 2y2 = 23x 4mx 2m -20-1T一 . . . MP FQ = 0 = x1(x2 -1) + y2(y1 -1)又 yi =x +m(i =1,2)得 x1(x2 1) + (x2 +m)(x1 + m 1)= 0 即2x1x2 +(x1 + x2)(m -1)+ m2 -m = 0由韋達定理得2c 2m -2 4m, 八 2 八2 (m -1) m2 - m - 03 34 4 .角牛得m =-或m=1 (舍)經檢驗m =-符合條件.5 3點石成金：垂心的特點是垂心與頂點的連線垂直對邊,然后轉化為兩向量乘積為零.例7、橢圓E的中央在坐標原點,焦點在坐標軸上,且經過A(-2

36、,0)、B(2,0)、51,3三點. ,2(I )求橢圓E的方程：(H )假設點D為橢圓E上不同于A、B的任意一點,F(-1,0), H (1,0), 當ADFH內切圓的面積最大時,求 DFH內心的坐標；思維網程:設方程為mx2 + ny2 = 1 一 得到m,n的方程由橢圓經過A、B、C三點(D1一解出m,n由ADFH內切圓面積最大轉化為ADFH面積最大轉化為點D的縱坐標的絕對值最大最大D為橢圓短軸端點ADFH面積最大值為 J3S.DFHx周長x r內切圓2得出D點坐標為0,±解題過程:(I )設橢圓方程為mx2 + ny2 =1 (m > 0,n a 0 )將A(-2,0)

37、、B(2,0)、C(1,3)代入橢圓E的方程,得4m =1,99 解得 m =-, n = -m n = 143422橢圓E的方程t+?=1當點D在橢圓的上頂點時,h最大為V3 ,所以S&FH的最大值為V3 .設ADFH的內切圓的半徑為R,由于ADFH的周長為定值6.所以,1S.DFH -R 6所以R的最大值為今所以內切圓圓心的坐標為(0,1T1點石成金：S省勺內切圓=2M的周長父堂內切圓例8、定點C(-1,0)及橢圓x2+3y2=5,過點C的動直線與橢圓 相交于A, B兩點.(I)假設線段陽中點的橫坐標是?求直線AB的方程；(H)在x軸上是否存在點m ,使mA .mB為常數？假設存在

38、,求出點M的坐標；假設不存在,請說明理由.思維流程:(I )解：依題意,直線AB的斜率存在,設直線AB的方程為y = k(x+1),將 y=k(x+1)代入 x2 +3y2 =5 , 消去 y 整理得 (3k2 +1)x2 +6k2x + 3k2 5 = 0.設 A(.y) B(x2, y2),3k2 1白線段AB中點的橫坐標是2)得2 = _二=,解得2 3k 12 =36k4 -4(3k2 1)(3k2 -5) 0, 那么"26k2k也,符合題意.3所以直線AB的方程為x-向y+l=0,或x + V3y+1 = 0.(H)解：假設在x軸上存在點M (m,0),使MA .MB為常數

39、.當直線AB與x軸不垂直時,由(I )知_ 2_ 2_ 6k_3k -56x1 x2 一二 2 4 ,x1x2 -2 , .(3)3k13k 1所以 MA MB = (x - m)(x2 -m) y1y2 =(x -m)(x2 -m) k2(x1 1)(x2 1)= (k2 +1)x#2 +(k2 -m)(x1 2) +k2 + m2.將(3)代入,整理得(6m -1)k2 -5MA MB 二3k2 12 c 1 6m 14二 m 2m - 23 3(3k1)1214(2m1)(3k2 1)-2m- 333k2 1注意到MA ,而是與k無關的常數,從而有6m + 14 = 0,T T 4MA

40、MB9m=I, 此時3當直線AB與x軸垂直時,此時點A, B的坐標分別為m = 一工時,3綜上,在x軸上存在定點M17,0 I；使麗,礪為常數.,3點石成金：MA MB二2(6m-1)k2 -53k2 1m21214(2m-)(3k2 1)-2m- 333k2 1m21 6m 14=m 2m3 3(3k2 1)例9、橢圓的中央在原點,焦點在 x軸上,長軸長是短軸長的2倍且經過點M (2, 1),平行于OM的直線l在y軸上的截距為m (m #0), l交橢圓于A、B兩個不同點.(I )求橢圓的方程;(H )求m的取值范圍;(m)求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.思維流程:22解：(

41、1)設橢圓方程為 T+* =1(a Ab >0) a ba2 = 8b2 =222橢圓方程為人工=182a =2b那么?41 解得十 =1la2 b21(H) .直線l平行于OM,且在y軸上的截距為m1二l的方程為：y=x + m2又KOM1 -x m22L=1222mx 2m 一 4 = 0直線l與橢圓交于 A、 B 兩個不同點,.-： =(2m)2 -4(2m2 -4) 0, 解得-2 <m <2,且m#0(m)設直線MA、MB的斜率分別為k1, k2,只需證實k1+k2=0即可設 A(x1, y1), B(x2, y2),且x1 +x2 = -2m, x1x2 = 2m

42、2 -4那么 K =3k2x1 - 2x? - 2由 x2 2mx 2m2 -4 = 0可得2,x1 x2-2m, x1x2 = 2m - 4而 k1 . k2y1 -1 y2 -1 (y1 -1)-(x2 - 2) (y2 -1)(X -2) r =x1 - 2x2 - 2(x1 - 2)(x2 - 2)11(-x1 m-1)(x2 -2) (- x2 m-d)(x1 一 2)(x1 -2)(x2 -2)x1x2 (m 2)(x1 x2)-4(m -1)(x1 -2)(x2 -2)2m2 -4 (m -2)(-2m) - 4(m -1)(x1 -2)(x2 -2)222m -4 -2m 4m

43、 -4m 4 小 0(x1 -2)(x2 -2)kk2 = 0故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形點石成金：直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形 u kk2=0例10、雙曲線 三一匚=1的離心率e =包3,過A(a,0),B(0,4)的直 a b3線到原點的距離是.2(1)求雙曲線的方程;(2)直線丫 =4+5*#0)交雙曲線于不同的點C, D且C, D都 在以B為圓心的圓上,求k的值.思維流程:解：: ( 1 ) J = 2 W ,原點到直線 AB :上義=1的距離 a 3'a babab、3d =一= = .Ja2 b2 c2 .b = 1, a =、3 .故所求雙曲

44、線方程為 二.y2 =1 3(2 ) 把y = kx +5代入x2-3y2=3中消去 y, 整理得22(1 -3k2)x2 -30kx -78 =0.設 C(x1,yJD(x2,y2),CD 的中點是 E(%,y.),那么XoXi x2 _15 k2- 1 - 3k 2k BEyo 1XoXo ky0 k = 0,5 k+ + k = 0,又 k 豐 0,1 - 3k 2故所求k= ± v7 .點石成金：C, D都在以B為圓心的圓上u BC=BDu BEXCD;例11、橢圓C的中央在坐標原點,焦點在 x軸上,橢圓點到焦點距離的最大值為3,最小值為1.(I)求橢圓C的標準方程;C上的B不是左右頂點),且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點.求證:(II)假設直線1 ：y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點(A、直線1過定點,并求出該定點的坐標.思維流程:22解：(I)由題意設橢圓的標準方程為 與+當=1(a AbA0), a b由得：a+c = 3, a-c=1,a = 2, c =1, 222 o.b