1、定定義義),(zyxf設設在在有有界界閉閉區區域域上上 有有界界)1(: 分割分割,1v ,2v nv )2(iv 取點取點 ),(iii 作和：作和：)3(iv ),(iiif ni 1)4(求極限求極限0limdiv ),(iiif ni 1, 若此極限若此極限則稱之為則稱之為( , , )f x y z上上的的在在 三重積分三重積分記為記為 ),(zyxfdv9.3 9.3 三重積分的計算三重積分的計算9.39.31 1直角坐標系中三重積分的計算直角坐標系中三重積分的計算2的體積dxdydz （時 1),(zyxf） 。 注注: 1dxdydzzyxfdvzyxf),( ),(， dxd

2、ydz 稱為直角坐標系下的體積元素。 如果),(zyxf表示某物體在點),(zyx處的密度，是 該物體所占有的空間閉區域，),(zyxf上在連續，則 iiiinivf) , ,(1是該物體質量 m 的近似值， niiiidfdvzyxfm10),(lim),(。 dxdydzzyxfdvzyxf)()(，二.直角坐標系下三重積分的計算 。面上，得投影域投影到把xyDxy).(型區域為的交點不多于兩個邊界曲面的的直線與軸且穿過區域設平行于xySZxyzoxyD),(1yxzz ),(2yxzz 分成兩部分：的交線把柱面，柱面與軸的行于的邊界為準線作母線平以SSZDxy)()(, )()(2122

3、11yxzyxzyxzzSyxzzS，：，：xyzoxyD),(1yxzz ),(2yxzz ),(),(21)(yxzyxzDdzzyxfdxdyxy，先對 Z 積分“先一后二或“細棒法，則，與，的交點的縱坐標為線，此直線與軸的的直作平行于，內任一點過)()()(21yxzyxzSzyxDxy xyDyxzyxzdxdydzzyxfdxdydzzyxf)()(),(),(21，注注：1若平行于) ( 軸或軸yx的直線與 S 的交點不多于 兩個，則同樣可把投影到yoz面（xoz或面）上， 得到先對 x（或 y）的積分。 2若平行于坐標軸的直線與 S 的交點多于兩個，則可 把分 成幾塊處理。 3

4、計算三重積分也可化為先計算一個二重積分，再計算 一個定積分（先先二二后后一一法法） 。 設空間閉區域11 ),(),(),(czczDyxzyx， xyz1c2czDoz先二后一法) 切片法其中)(zD是用平面 z=z 截閉區域 所得的平面閉區域，則有 1c .),(),()(21zDccdxdyzyxfdzdvzyxf xyD：122 yx。111112222),(xxyxdzzyxfdydxI， 解：先對積分 zxyzo111z22yxz例 1把三重積分dxdydzzyxfI),(化為各種次序的三次積分，其中是由平面1z及錐面222yxz所圍成的立體。xyo1121 xy21 xyxyD，

5、 221( , , )xyxyDIdxdyf x y z dz由22yxz解得22yzx， 先對積分 x yzD：10z，zyz。2222( , , )yzzyzyDIdydzf x y z dx， yzo1z22yxzxyzo1zy zyyzD 102222),(zzxzxzdyzyxfdxdzI，由22yxz解得22xzy， 先對積分 y xzD：10 z，zxz。2222( , , )xzzxzxDIdxdzf x y z dyxyzo1z22yxzxzo1zx zxxzD解：在xoy面上的投影區域為 xyD：.210 , 10 xyx 例 2計算三重積分xdxdydz，其中為三個坐標

6、平面及平面12zyx所圍成的閉區域。 yxxxdzdydxxdxdydz21211000481)2(41)21 (103221100dxxxxdyyxxdxx。xyzo1211例 3計算三重積分dxdydzz2，其中是由橢球面1222222czbyax所圍成的空間閉區域。xyzozD分析分析：被積函數中缺變量yx 和，用平行于xoy平面 去截，其截面是橢圓。故用“先二后一法” 。解： ,1),(222222czcczbyaxzyx，,)(22zDccdxdydzzdxdydzz其中 D(z)為平面上的zz橢圓盤：2222221czbyax， )1 (11222222)(czabczbczadx

7、dyzD故32222154)1 (abcdzczzabdxdydzzcc。 三三、利利用用對對稱稱性性簡簡化化三三重重積積分分的的計計算算 1 1設上連續在有界閉區域),(zyxf。若面關于yoz ),(面或面或xozxoy對稱，被積函數),(zyxf關于變量 x（或 z，或 y）是奇函數，則0 ),(dxdydzzyxf； 若),(zyxf關于變量 x（或 z，或 y）是偶函數，則 三重積分等于其一半對稱區域上重積分的兩倍。 2 2若將 x 換為 y，y 換為 z，z 換為 x，積分區域不變， 則將被積函數中的變量作同樣變換后所獲得的積分 的值，與原積分的值相同。 (輪換對稱性輪換對稱性).

8、1),(,ddd1)1ln(222222222 zyxzyxzyxzyxzyxz其中其中計算計算. 0ddd1)1ln(222222 zyxzyxzyxz,平平面面對對稱稱積積分分區區域域關關于于 xOy.的的奇奇函函數數被被積積函函數數是是關關于于z例例4 4解解例 5計算dxdydzzxI)( 22，1222zyx為。 解：dxdydzzdxdydzxI22 ， 由輪換對稱性知： dxdydzzdxdydzydxdydzx222 ， )(112222 zDdxdydzzdxdydzzI.158)(4)1 (210421122dzzzdzzz（1）變換 T：wvuzzwvuyywvuxx,，

9、 一對一的變為把區域； 9 93 32 2三重積分的普通換元法那三重積分的普通換元法那么么（2）上面變換中的函數在區域具有連續偏導數； 定理：設則dxdydzzyxf),(, , , ( , ,)fx u v wy u v wz u v wJ dudvdw9 93 32 2 柱面坐標系下三重積分的計算柱面坐標系下三重積分的計算 設),(zyxM為空間內一點，并設面在點 xoyM上的 投影P的極坐標為 ,，則稱三元有序數組) , ,(z 是點 M 的柱面坐標，其中z , ,的取值范圍規定為： 0，20，z。 xyzo),(zyxM),( P顯然： sincoszzyx。 三組坐標面分別為： 常數

10、，即以 z 軸為軸的圓柱面； 常數，即過 z 軸的半平面； 常數z，即與xoy面平行的平面。 1000cossin0sincos),(),(zzyxJ， dzddzfdxdydzzyxf) ,sin,cos(),(。xyzo),(zyxM),( P例 6計算dvzyx)(，其中是 由224yxz 與zyx322所圍成的區域。 解：兩曲面的交線為 3z42222yxyxz 1322zyx， 224yxzzxyozyx322133在xoy平面上的投影區域為3,(22yxyxDxy， 在柱面坐標下43 , 30 ,20),(22zz. 積分區域關于xoz平面、yoz平面對稱，而被 積函數yx, 分別

11、關于, x變量變量為 y奇函數， 0ydvxdv。 zdvydvxdvdvzyx )(.413 22433020zdzddzdv在xoy平面上的投影區域為 16),(22yxyxDxy， 例 7一形體0 , 4 zzy是由平面和圓柱面 1622 yx所圍成，已知其上任一點的密度與該點到軸的距離 z成正比，求其 m質量。解：密度函數)0(),(22kyxkzyx，則 dxdydzyxkm22 。 xyzo1622yx4zy44dxdydzyxkm22sin404020dzddk403220)sin4(ddk.3512)sin643256(20kdk 在柱面坐標下 sin40 , 40 ,20),

12、(zz， 設空間一點M的直角坐標為),(zyx，從點 M 向 xoy平面引垂線，垂足為 P，令rOM ，設OM 與軸 z正向的 夾角為， OP與軸 x正向的 夾角為， 則稱三元有序數組) , ,(r 是點 M 的球面坐標，其中 的取值范圍規定為 , ,r： r0，0，20。 9 93 33 3 球面坐標系下三重積分的計算球面坐標系下三重積分的計算),(rMzxyoryxzP cos sinsinsin cossincosrzrOPyrOPxsin0sincoscossinsincossinsinsinsincoscoscossin),(),(2rrrrrrrzyxJ 三組坐標面分別為： 常數r

13、，即以原點為心的球面； 常數，即以原點為頂點，軸 z為軸的圓錐面； 常數，即過軸 z的半平面。 dxdydzzyxf),( ddrdrrrrfsin)cos,sinsin,cossin(2例 8計算三重積分dxdydzzyx)( 222，是其中 由圓錐面222zyx與上半球面222yxRz所圍 成的區域。 解：在球面坐標系下，圓錐面222zyx化為4，上半球面RryxRz 222化為， ,0 ,40 ,20),(Rrrdxdydzzyx)(222404200sinRdrrdd4002220sinRdrrrdd.5225)221 (255RR222yxRzzxyo222yxz解：在球面坐標系下，曲面22yxz化為4，例 9計算三重積分dxdydzzyx2221，其中是 由曲面22yxz與1z所圍成的閉區域。 平面1z化為cos1r， cos10 ,40 ,20 ),(rr。xyzo1z22yxz4cos122022200sin11drrrdddx