1、EX1.矢量空間練習(xí)試只用條件1 8證實(shí)八 2 , 0 和1完成人：梁立歡 審核人：高思澤 證實(shí)：由條件5、7得1111 2只需證實(shí)0 和1這兩式互相等價(jià)根據(jù)條件70(0 0)00現(xiàn)在等式兩邊加上0),根據(jù)條件上式左根據(jù)條件(4),(4)、0)0)0)0)0),根據(jù)條件4、0(1 1)(1)(7)1)練習(xí) 證實(shí)在內(nèi)積空間中假設(shè)對(duì)任意成立,那么必有1完成人：谷巍審核人：肖桂斐證實(shí)由題意可知,在內(nèi)積空間中假設(shè)對(duì)任意成立,那么有=0于是有1,2,由于在內(nèi)積空間中1,2,對(duì)任意成立,那么可取 12,那么有12, 12 =0 成立(3)根據(jù)數(shù)乘的條件(12)可知,那么必有12./(4)即12故命題成立,

2、即必有 12.#練習(xí) 矢量空間運(yùn)算的12個(gè)條件是不是獨(dú)立的有沒(méi)有一條或兩條是其余各條 的邏輯推論如有,試證實(shí)之.(完成人：趙中亮審核人：張偉)解：矢量空間運(yùn)算的12個(gè)條件是獨(dú)立的.#練習(xí) (1)在第二個(gè)例子中假設(shè)將加法的規(guī)定改為：和矢量的長(zhǎng)度為二矢量長(zhǎng)度之和,方向?yàn)槎噶克鶌A角180的分角線方向,空間是否仍為內(nèi)積空間(2)在第二個(gè)例子中假設(shè)將二矢量由口 B內(nèi)積的定義改為|a| |B|sin或1 1 、一 一 _.一 一,一一、一1A Bsin ,空間是否仍為內(nèi)積空間2 (3)在第三個(gè)例子的空間中,假設(shè)將內(nèi)積的定義改為*.l ,m I1 m1 2I2 m2 3I3 m3 4I4 m4空間是否仍為

3、內(nèi)積空間(4)在第四個(gè)例子的函數(shù)空間中,假設(shè)將內(nèi)積的定義改為b *f (x), g(x) f (x)g(x)xd燉 ab *2f (x), g(x) f (x)g(x)x dx a空間是否仍為內(nèi)積空間(完成人：張偉 審核人：趙中亮) 解：(1)在第二個(gè)例子中假設(shè)將加法的規(guī)定改變之后,空間不是內(nèi)積空間由于將規(guī)定改之后對(duì)于任意的矢量不一定存在逆元,如一個(gè)不為零的矢量設(shè)為A,那么任意矢量和它相加后,得到的矢量的長(zhǎng)度不為零,所以一定不能得到零矢量,即找不到逆元.所以空間不是內(nèi)積空間.(2)在第二個(gè)例子中假設(shè)將內(nèi)積的定義改之后,空間不是一個(gè)內(nèi)積空間.證實(shí)如下:*B般情況下,A,B CA B C sinC

4、,即有A B sinC sin = A,B A,C所以內(nèi)積的定義改變之后不是內(nèi)積空間.(3)在第三個(gè)例子中假設(shè)將內(nèi)積的定義改之后,空間仍然是一個(gè)內(nèi)積空間.證實(shí)如下:一 *m,1. *.(mi 1i一*.*.*2m2 12 3m3 13 4m4 14).*11 m1212 m2313 n*414 m41, m1, m1i(mini) 212 (m2 血)3L (m31, maiv. 1,1(1imi1, m*212 m21,n*313 m3*414 mu)(1i*%) 414 (m4*n1212n2 313山)*、% 414 Q).*1i ma一*a(1i mia 1 ,m*212 m2a一 *

5、212 m2*313 m3a一 *31 3 m3.*414 m4a一 *.414 m4)|1i |2 2I"2 3|13 |2 4|14 |2 0,對(duì)任意 1 成立假設(shè)1,1bf (x),g(x) fa(x)g(x)xdx后,空間不是內(nèi)積空間.0,那么必有 1i 1213140,即 10綜上所述,新定義的內(nèi)積規(guī)那么符合條件(9)一條件(i2),所以仍為內(nèi)積空(4)在第四個(gè)例子的函數(shù)空間中,假設(shè)將內(nèi)積的定義改為由于 f (x), f (x)_ * _f (x) f (x)xdxbi2一 .,一 一一一 ,f(x) xdx,積分號(hào)內(nèi)的函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù),它不能保證對(duì)于任意的f X積分出來(lái)后

6、都大于零,即不符合條件12,所以不是內(nèi)積空間在第四個(gè)例子的函數(shù)空間中,假設(shè)將內(nèi)積的定義改為- b 2f x, gx f xgxx dx后,仝間是內(nèi)積仝問(wèn) a x*-2 g (x)f (x)x dx*g(x), f (x)證實(shí)如下：*2I f (x), g(x) f (x)g(x)x dx aiif (x), g(x) h x*2f (x)g(x)x dxb *2f (x)h(x)x dxf (x),g(x) f(x),h xIIIf (x), g(x)a2 , f (x)g(x)ax dx a*2 ,f (x)g(x)x dx a f (x), g(x)b22 ,、iv f (x), f (x

7、) f (x) x dx 0,對(duì)任息成立 a,一b2c_右 f(x), f(x) a f (x) x dx 0 ,那么必有 f x 0綜上所述,新定義的內(nèi)積規(guī)那么符合條件9一條件12,所以仍為內(nèi)積空 問(wèn).練習(xí) 假設(shè)a為復(fù)數(shù),證實(shí)假設(shè) a時(shí),Schwartz不等式中的等號(hào)成立.完成人：肖桂斐審核人：谷巍證實(shí)：當(dāng)假設(shè) a時(shí),分別帶入Schwartz不等式的左邊和右邊.左邊二 ,a a 2.2右邊二 a a ,左邊二右邊,說(shuō)明當(dāng) a時(shí),Schwartz不等式中的等號(hào)成立.小#練習(xí) 證實(shí)當(dāng)且僅當(dāng)| a| | a|對(duì)一切數(shù)a成立時(shí),與 正交.并在三維位形空間討論這一命題的幾何意義.完成人：趙中亮審核人：

8、張偉證實(shí)：解：當(dāng)| a| |a|對(duì)一切數(shù)a成立時(shí),有22I a| I a|即( a, a) ( a, a)得(,)(,a) ( a, ) ( a, a) ( , ) ( , a) ( a, ) ( a, a)即(,a) ( a, )/(,)a a (,)由于a可以取一切數(shù),所以當(dāng)a取純虛數(shù)時(shí),即a ' a得(,)(,)由此得(,)只能是實(shí)數(shù)當(dāng)a取非零實(shí)數(shù)時(shí),即a a(,)(,)只有(,)0時(shí),即與正交時(shí)才成立所以當(dāng)| a | | a |對(duì)一切數(shù)a成立時(shí),與正交. 當(dāng)與正交時(shí),(,)0那么(,)(,)0取a為任意數(shù)那么(,)a a ( , )0(,a) ( a,)2( , a) 2( a

9、,)(,)2( , a) ( a, a)( , )2( a,)( a, a)(,)(,a) (a, ) (a, a)( , )(, a) (a, ) ( a, a)( a, a) ( a, a)|a|2 | a|2得 |a| |a|即|a| |a |對(duì)一切數(shù)a成立綜上,當(dāng)且僅當(dāng)|a | |a |對(duì)一切數(shù)a成立時(shí),與 正交.在三維位形空間中,這一命題的幾何意義是：對(duì)角線相等的平行四邊形是 矩形.練習(xí)證實(shí)：當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)一切數(shù)成立時(shí),與正交(完成人：班衛(wèi)華 審核人：何賢文)證實(shí)：由于| 卜|兩邊平方得0那么構(gòu)成以為變量的二次函數(shù),要使對(duì)一切成立,判別式包小于等于零,即()2 0只需0即(,)(,)0得

10、(,)0所以當(dāng)對(duì)一切數(shù) 成立時(shí),與 正交.練習(xí)在四維列矩陣空間中,給定四個(gè)不正交也不全歸一的矢量:11110111,2-,3, ,4,00110001它們構(gòu)成一個(gè)完全集,試用 Schmidt方法求出一組基矢.(完成人：肖桂斐 審核人：谷巍)解：由Schmidt方法,所求基矢：100011 ,11,110010001I 20100010032,1110100001000010330010111110000100001000010001練習(xí)在上題中,改變四個(gè)的次序,取1010011211113001110重新用Schmidt方法求出一組基矢.(完成人：何賢文' 審核人：班衛(wèi)華)解：由空間中

11、不滿足正交歸一條件的完全集4,/求這個(gè)空間的一組基矢(1)首先取1為歸一化的11000取22 /向2,選擇常數(shù)312使21與1正交,即/0( 1 , 2 )( 1, 2)312覆行013121 ,2/11取2為歸一化的2 :0_2_112 | 2.311(3)1 3132a23,選擇常數(shù)隊(duì)和323使32正交,即1(1,3)0231313歸一化的3為012611(4)取 441 3142 3243 334,選擇為數(shù)314,324,334使 4 與已選定的1, 2, 3正交,即#練習(xí)位矢量歸一化的4為44(0011 , 2,01212123 , 4).那么找到一組基矢為在三維位形空間中,i取三個(gè)歸

12、一化的矢量:,k是在互相垂直的x, y, z三個(gè)軸上的單高思澤11,2" j)1 (j k)2在內(nèi)積就是點(diǎn)乘積的定義下它們并不正交.現(xiàn)在改變正交的定義：定義這三個(gè) 矢量1 .證實(shí)：定義一個(gè)歸一化的完全集里面的矢量彼此互相正交,等于定有一 種內(nèi)積規(guī)那么.2 .求出這個(gè)新的內(nèi)積規(guī)那么,即將任意兩個(gè)矢量r ix1 jy kz1,2 ix2 jy2 kz2 的內(nèi)積表為 X1,y1,Z1 和 X2,y2,Z2 的函數(shù)./3 .驗(yàn)證所求的內(nèi)積規(guī)那么符合條件912./4 .用,j= 0驗(yàn)證所求出的內(nèi)積規(guī)那么./1證實(shí)：在一個(gè)歸一化的完全集里面的矢量集合里,任意的兩個(gè)矢量正交,根據(jù)矢量的正交 性定義

13、,兩個(gè)矢量 少和小的內(nèi)積為零,即,0.2解:2,3的關(guān)系,可得到如下變換:由上面的關(guān)系得：ri 1 x1( 2 2r21X2 /( 2 21 ) y1( '. 2 3. 2 21 )z11)Y2 ( v 2 3 .2 21)Z21(X1 y1 Z1)2( - 2y1. 2Z1)3、,2z11(X2 y2 Z2)2( 2y22z2)3 . 2Z2由此,2Z2)3、. 2Z2)、*Z1)2Z1(X2 y(1心)(1(X1V1乙)2(、,2y1、.2乙)32Z1,1(X2V2Z2)2( 2y2.*.(X1 V1Z1)(X2 y2 Z2)(1, 1)2(y1Z1)(y2Z2)(2,2)4Z1Z

14、2( 3,3)*, ,2(X1V1乙)(V2Z2)2(X2 V2Z2)(y1乙)(1,2)、2z2(xV1*2Z2W1 Z1)2乙汕 Z2) ( 2,3)定義1,2,3互相正交,有矢量的正交性,得（1,（1） 3,33,31（1,（2） 1,32,30由此可得*r1,r2X1y1Z1 X2y2Z22y1乙y2Z24z1Z23證實(shí):* ,(r2,r1)(X2y2 Z2) (X1*, y Z1) 2(y2 Z2) (y1*、*Z1) 4Z2Z1)(X1 y1、*.Z1) (X2 y2 Z2) 2( y1*Z1) (y2 Z2) 4z1 Z2(0/2)(r1,r2a) (x1y1.*,Z1) (X2

15、y2 Z2)a 2( y1、*/*、Z1) (y2 Z2)a 4z1z2a (r1,r2)a(r ,r ) |(x y z) |2 2|(y z) |2 4| z|2 0 當(dāng)(r,r) 0 時(shí),只有 x,y,z 都同時(shí)等 于0才能滿足,即r 0綜上所述,所求的內(nèi)積規(guī)那么符合條件912.4,見(jiàn)(2)練習(xí)在n維空間中,# J, i=1,2,3.,n是一組完全集不一定正交,現(xiàn)在有n個(gè)矢量i , i=1,2,3.,n也不一定正交D=1)2)n)證實(shí) i線性相關(guān)的必要和充分條件維D=0O完成人：何賢文審核人：班衛(wèi)華解：對(duì)于矢量空間的n個(gè)矢量的集合iDi0,此式是關(guān)于個(gè)矢量的集合 J的齊次方程組n)n)(

16、1)(n,1) 1(n,2)2(n,n)假設(shè) i線性相關(guān),那么滿足iDi0至少有一組非零解,那么要求:1,2,2)n)假設(shè) D=0,D=0那么方程1)必有非零解,即滿足有一組不為零的復(fù)數(shù)使得故 i線性相關(guān).niDi 0i 1#練習(xí) 一個(gè)矢量空間有兩個(gè)不同的子空間 S1和S2,證實(shí)除去以下兩種情況外, / 包括S1的全部元和S2的全部元的那個(gè)集合并不是子空間：1 S1是S2的子空間或S2是S1的子空間；2 S1和S2其中之一只含有零矢量一個(gè)元.完成人：張偉/審核人：趙中亮證實(shí)：1設(shè)子空間S1和S2的維數(shù)分別為 m, n,它們共同的基矢的個(gè)數(shù)為l l m,l n個(gè),當(dāng)S1不是S2的子空間且S2不是

17、S1的子空間時(shí)、它們之間含有 /不同的基矢.那么當(dāng)S1空間的一個(gè)矢量和 0空間的一個(gè)矢量做加法的時(shí), 它們得到的矢量并不能一定在包括Si的全部元和S2的全部元的那個(gè)集合中找到,由于加法后得到的 矢量的維數(shù)可以大到 m n l維,而m n l m,且m n l n所以包括S1的全部元和S2的全部元的那個(gè)集合并不是矢量空間, 從而不是子空問(wèn).2當(dāng)S1和S2其中之一只含有零矢量一個(gè)元時(shí),它必然是另一個(gè)子空間的子空間,由此可見(jiàn)2只不過(guò)是1的特例,顯然得證.#練習(xí)閱讀狄拉克的?量子力學(xué)原理? §6,分析他建立左矢空間的方法與我們的方法有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn).、完成人：梁立歡審核人：高思澤分析：本

18、書(shū)從空間的方向入手建立左矢量.我們對(duì)現(xiàn)有的一個(gè)矢量空間定義了其 中矢量的加法、數(shù)乘和標(biāo)量積運(yùn)算,稱(chēng)此空間為單一空間.現(xiàn)在對(duì)照這個(gè)空間 再建以下兩個(gè)空間.一個(gè)叫右矢空間,它的構(gòu)造同單一空間完會(huì)一樣,每一個(gè) 矢量即右矢都與單一空間里的矢量相對(duì)應(yīng),這些右矢有加法和數(shù)乘的運(yùn)算, 其定義和規(guī)那么與單一空間相同.第二空間比照右欠空間來(lái)建立,稱(chēng)為左矢空間, 其實(shí)右矢空間的每一個(gè)矢量在左矢空間都有一個(gè)左矢與其相對(duì)應(yīng).,左矢空間中的事情不能隨意去規(guī)定,需要同右矢空間的事情相互協(xié)調(diào),它們通過(guò)標(biāo)量積 聯(lián)系起來(lái).這樣建立的左矢空間是一個(gè)完全確定的即有明確加法和數(shù)乘運(yùn)算 規(guī)那么的欠量空間.狄拉克是從對(duì)偶矢量的方向入手建立左矢量.假定有一個(gè)數(shù)C.它是右矢量?的函數(shù),就是說(shuō),對(duì)每一個(gè)右矢量| 有一個(gè)函數(shù)C與之相應(yīng),并且進(jìn)一步 假定此函數(shù)是線性函數(shù), 其意義是,相應(yīng)于I I 的數(shù)等于相應(yīng)于I 的數(shù)與 相應(yīng)于的數(shù)之和,相