1、第6章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 33第6章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析6.0 引言 與拉氏變換是連續(xù)時間傅立葉變換的推廣相對應，Z 變換是離散時間傅立葉變換的推廣。 Z 變換的基本思想、許多性質(zhì)及其分析方法都與拉氏變換有相似之處。當然，Z 變換與拉氏變換也存在著一些重要的差異。6.1 雙邊Z變換6.1.1 雙邊Z變換的定義前面討論過，單位脈沖響應為hn的離散時間LTI系統(tǒng)對復指數(shù)輸入的響應yn為 (6.1)其中 (6.2)式(6. 2)就稱為hn的雙邊Z變換。 當z=時，Z變換就轉(zhuǎn)變?yōu)楦盗⑷~變換。因此一個離散時間信號的雙邊Z變換定義為： (6.3)式中z是一個復變量。而xn與它的雙邊z變換之間

2、的關系可以記做 6.1.2 雙邊Z變換的收斂域xn的雙邊Z變換為一無窮級數(shù)，因此存在級數(shù)是否收斂的問題，即一方面并非所有信號的Z變換都存在；另一方面即使某信號的Z 變換存在，但并非Z平面上的所有點都能使X(z)收斂。那些能夠使X(z)存在的點的集合，就構(gòu)成了X(z)的收斂域，記為ROC。只有當式(6.3)的級數(shù)收斂，才存在。存在或級數(shù)收斂的充分條件是 (6.4) 在xn給定的條件下，式(6.4)級數(shù)是否收斂取決于z的取值。在z復平面上，使式(6.4)級數(shù)收斂的z取值區(qū)域就是X(z)的收斂域。6.1.3 零極點圖如果X(z)是有理函數(shù)，將其分子多項式與分母多項式分別因式分解可以得到： (6.5)

3、則由其全部的零極點即可表示出，最多相差一個常數(shù)因子。在 Z 平面上表示出全部的零極點，即構(gòu)成的幾何表示零極點圖。如果在零極點圖上標出ROC，則該零極點圖可以確定一個信號。在 Z 平面上將零點、極點表示出來即為零極點圖。圖 6.1 零極點圖例6.1 有序列，由式（6.1.3）式，它的為：要使收斂，就必須滿足，即，因此可得 (6.6)當在0到1之間取值時，其零極點圖和ROC如圖6.2所示：圖 6.2 例6.1的收斂域例6.2 設，那么當，即時，上使是收斂的，可得 (6.7)當在0到1取值時，其零極點圖和ROC如下圖所示：圖 6.3 例6.2的收斂域例6.1和

4、例6.2的結(jié)論是應該熟記的，在以后的學習將經(jīng)常用到。例6.3 設一個信號是兩個實指數(shù)序列之和于是其z變換為可得它ROC為。例6.4 信號的Z變換為 ，ROC：圖 6.4 例6.4的收斂域6.1.4收斂域的特征ROC的特征：性質(zhì)1：的ROC是Z平面內(nèi)以原點為中心的圓環(huán)。性質(zhì)2：ROC內(nèi)不包含任何極點。性質(zhì)3：如果是有限長序列，那么ROC就是整個z平面，可能除去和/或。性質(zhì)4：如果是一個右邊序列，并且的圓位于ROC內(nèi)，那么的全部有限值都在這個ROC內(nèi)。性質(zhì)5：如果是一個左邊序列，而且的圓位于ROC內(nèi)，那么滿足的全部值都一定在這個ROC內(nèi)。性質(zhì)6：如果是一個雙邊序列，而且的圓位于這個ROC內(nèi)，那么該

5、ROC一定是由包括在內(nèi)的圓環(huán)組成的。性質(zhì)7：如果的變換是有理的，那么它的就被極點所界定，或者延伸至無限遠。性質(zhì)8：如果的變換是有理的，而且若是右邊序列，那么ROC就位于平面內(nèi)最外層極點的外邊；也就是半徑等于極點中最大模值的圓的外邊。而且若是因果序列（即為等于0的右邊序列），那么也包括。性質(zhì)9：如果的變換是有理的，而且若是左邊序列，那么ROC就位于平面內(nèi)最里層的非零點的里邊；也就是半徑等于中除去的極點中最小模值的圓的里邊，并且向圓內(nèi)延伸到可能包括。特別是若是反因果序列(即為等于0的左邊序列)，ROC那么也包括。例6.5 討論信號的Z變換。 (6.8)在時，兩部分收斂域無公共部分，表明此時不存在。

6、當時，ROC為。如圖所示。圖 6.5 例6.5的收斂域 6.2 雙邊Z變換的性質(zhì)Z變換的許多性質(zhì)與離散時間傅立葉變換的性質(zhì)相似，其推論方法也相同。主要討論其ROC的變化。1、 線性若 ，ROC: ；，ROC: 則 ，包括 (6.9)如果在線性組合過程中出現(xiàn)零極點相抵消，則ROC可能會擴大。2、 時移若 ，ROC: 則 ，ROC: （6.10)但在和可能會有增刪。當信號時移可能會改變其因果性，故ROC在，有可能改變。3、Z域尺度變換若 ，ROC: 則 ，ROC: (6.11)因為時收斂，則時，收斂。所以。當時，即為移頻特性。若是一般復數(shù)，則的零極點不僅要將的零極點逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，而且在徑向有

7、倍的尺度變化。4、時域反轉(zhuǎn)若 ，ROC: 則 ，ROC: （收斂域邊界倒置） (6.12)信號在時域反轉(zhuǎn)，會引起的零極點分布按倒量對稱發(fā)生改變。如果是的零/極點，則就是的零/極點。即：與的零極點呈共軛倒量對稱。圖 6.6給出了其示意圖。圖6.6零極點呈共軛倒量對稱 例如，的ROC為：，則的ROC為：。5、時域內(nèi)插 若 ，ROC: 則 ， ROC： （6.13）6、共軛對稱若 ，ROC: 則 ，ROC: （6.14）當是實信號時，于是有。表明如果有復數(shù)零極點，必共軛成對出現(xiàn)。7、卷積性質(zhì)，ROC包括： （6.15）如果在相乘時出現(xiàn)零極點抵消的情況則ROC可能擴大。該性質(zhì)是LTI系統(tǒng)Z變換分析法的

8、理論基礎。8、Z域微分若 ，ROC: 則 ，ROC: （6.16）利用該性質(zhì)可以方便地求出某些非有理函數(shù)的反變換或具有高階極點的的反變換。例6.6 求下面的反變換:，解：因為 所以 例6.7 求下面的反變換: ，解：因為 ，所以 9、初值定理若 ，則 （6.17）10、終值定理若 ，除了在可以有單階極點外，其它極點均在單位圓內(nèi)，則 （6.18）下圖為極點的位置與信號終值之間的關系：圖6.7 極點的位置與信號終值之間的關系6.3常用信號的雙邊Z變換表6.1 幾個常用的Z變換對信號變換ROC1續(xù)表6.1 幾個常用的Z變換對6.4雙邊Z反變換我們先來推導雙邊Z變換的反變換：因為 所以 則 令，從時，

9、 Z 沿著ROC內(nèi)半徑為 r 的圓周變化一周。所以反變換的定義為 （6.19）其中 C 是 ROC 中逆時針方向的圓周。求解雙邊Z反變換通常使用部分分式展開法和冪級數(shù)展開法。一、部分分式展開法當是有理函數(shù)時，可將其展開為部分式 （6.20）步驟：1.求出的的所有極點；2.將展開為部分分式；3.根據(jù)總的ROC，確定每一項的ROC；4.利用常用變換對和z變換性質(zhì)求出每一項的反變換。例6.8 將展開為部分分式有： 所以二、 冪級數(shù)展開法 由的定義，將其展開為冪級數(shù)，有 （6.21）展開式中項的系數(shù)即為。當是有理函數(shù)時，可

10、以通過長除的方法將其展開為冪級數(shù)。例如：，由式（6.21）可得。6.4離散時間LTI系統(tǒng)的復頻域分析6.4.1 系統(tǒng)函數(shù)根據(jù)卷積性質(zhì) （6.22）式中分別是系統(tǒng)輸入、輸出和單位脈沖響應z的變換。稱為系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)或轉(zhuǎn)移函數(shù)。只要單位圓是在的ROC內(nèi)，將在單位圓上求值（即），就變成系統(tǒng)的頻率響應。6.4.2 系統(tǒng)函數(shù)與線性常系數(shù)差分方程考慮一個LTI系統(tǒng)，其輸入、輸出滿足下列線性方程 （6.23） 兩邊取z變換，并利用線性和時移性質(zhì)可得 于是有 （6.24）的ROC需要通過其它條件確定，如：（1）系統(tǒng)的因果性或穩(wěn)定性。（2）系統(tǒng)是否具有零初始條件等。例6.9 假設關于一個LTI系統(tǒng)給出下列信息：

11、1、若系統(tǒng)的輸入是，那么輸出是。其中a是實數(shù)。2、若,那么輸出是。求該系統(tǒng)的差分方程。解:由第一條信息，所給出的信號的z變換是于是可得：因為是特征函數(shù)，于是有：解得：，所以即： 因此該系統(tǒng)的差分方程為：6.4.3系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性LTI系統(tǒng)的特性可以由或描述，因而也可以由連同ROC來表征。稱為系統(tǒng)函數(shù)。1、因果性如果LTI系統(tǒng)因果，則時，所以，的ROC是最外部極點的外部，并且包括。2、穩(wěn)定性若LTI系統(tǒng)穩(wěn)定，則，則的傅立葉變換存在。表明單位圓在的ROC內(nèi)。即的ROC必包括單位圓。因此，因果穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)其的全部極點必須位于單位圓內(nèi)，反之亦然。當是關于Z的有理函數(shù)時，因果性要求的分子階數(shù)不能高

12、于分母階數(shù)。例6.10 已知一因果LTI系統(tǒng)的差分方程為試確定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。若，用z變換確定上述系統(tǒng)的輸出。解：的變換為所以極點為，收斂域為。的變換為所以于是得：6.4.4 系統(tǒng)函數(shù)零極點圖與頻率響應的幾何求值當ROC包括時，Z變換在單位圓上的情況就是，因此也可以利用零極點圖對其進行幾何求值。其方法與拉氏變換時類似：考查動點在單位圓上移動一周時，各極點矢量和零點矢量的長度與幅角變化的情況，即反映系統(tǒng)的頻率特性。 （6.25）， （6.26） （6.27）由零極點圖所做的矢量，如圖6.8所示。圖6.8 零極點圖的矢量示意圖例6.11 一階系統(tǒng)：,其，則當時，ROC包括單位圓。相應的頻率響應為，

13、模記為 顯然， 取決于的變化。 圖6.9 時的矢量示意圖 圖6.10 時的矢量示意圖當時，在處最大，時，最小，呈單調(diào)變化 圖6.11 時頻率響應的模特性圖和相位特性圖當時，頻率響應的模特性圖和相位特性圖為 圖6.12 時頻率響應的模特性圖和相位特性圖可以看出：越小，極點靠原點越近，系統(tǒng)的頻率響應越平緩，系統(tǒng)的衰減越快，上升越快。越大，極點靠單位圓越近，系統(tǒng)頻響越尖銳，頻響的極大值越大，系統(tǒng)帶寬越窄，相位的非線性程度越厲害。6.5 系統(tǒng)的方框圖表示6.5.1 系統(tǒng)的互聯(lián)1、 級聯(lián)，ROC包括： （6.28）2、 并聯(lián)，ROC包括： （6.29）3、 反饋聯(lián)接：，ROC包括： （6.30） （a）

14、級聯(lián) （b）并聯(lián) （c）反饋聯(lián)接圖6.13 系統(tǒng)的互聯(lián)6.5.2 由線性常系數(shù)差分方程描述的因果LTI系統(tǒng)的方框圖表示由線性常系數(shù)差分方程描述的LTI系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)為有理函數(shù)，可以將其因式分解或展開為部分分式。不同的分解對應不同系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，下面介紹由系統(tǒng)函數(shù)來設計LTI系統(tǒng)的級聯(lián)與并聯(lián)結(jié)構(gòu)。1、 級聯(lián)型將因式分解 （6.31）其中是二階（或一階）系統(tǒng)函數(shù)。由此即可得系統(tǒng)的級聯(lián)結(jié)構(gòu)：圖6.14 系統(tǒng)的級聯(lián)結(jié)構(gòu)2、 并聯(lián)型將展開為部分分式 （6.32）圖6.15 系統(tǒng)的并聯(lián)結(jié)構(gòu)6.6 單邊Z變換6.6.1單邊Z變換舉例我們先給出單邊Z變換的定義： （6.33）單邊Z變換是雙邊Z變換的特例，也就是因

15、果信號的雙邊Z變換。因此單邊Z變換的ROC一定是最外部極點的外部，并包括。所以在討論單邊Z變換時,不再強調(diào)其ROC。它的反變換也一定與雙邊Z變換的反變換一致： （6.34）如果信號不是因果序列，則其與不同。例6.12 分析信號的Z變換。，；     ，顯然 。例6.13 分析信號的Z變換。，；    ，顯然 ，這是因為在的部分對雙邊Z變換起作用，而對單邊Z變換不起作用所致。6.6.2單邊Z變換性質(zhì)單邊Z變換除了時移特性與雙邊Z變換略顯不同外，其它性質(zhì)與雙邊Z變換的情況是一致的，只要所涉及的信號是因果信號。

16、時移特性：如果 則 （6.35）證明： 同理可得： （6.36） （6.37）單邊Z變換在將線性常系數(shù)差分方程變換為代數(shù)方程時，可以自動將方程的初始條件引入，因而在解決增量線性系統(tǒng)問題時特別有用。6.6.3利用單邊Z變換分析增量線性系統(tǒng)我們用一個例子來說明單邊Z變換在分析增量線性系統(tǒng)時的應用。例6.14 已知某離散時間系統(tǒng)的輸入輸出方程為，當輸入信號為時，求系統(tǒng)的輸出響應。已知。解： 方程兩邊同時求單邊Z變換，則有， 所以 習題六6.1設信號為為利用（6.3）式求該信號的變換，并標出對應的收斂域。6.2設xn是一個絕對可和的信號，其有理變換為。若已知在有一個極點，能夠是(a) 有限長信號嗎？

17、（b）左邊信號嗎？ （c）右邊信號嗎？ （d）雙邊信號嗎？6.3已知利用部分分式展開求下面的反變換： 6.4 求出下列每個序列的變換，畫出零極點圖，指出收斂域，并指出序列的傅立葉變換是否存在。（a）（b）6.5有一矩形數(shù)列設（a） 求信號，并直接計算它的z變換。（b） 注意到 利用表6.1求的變換。6.6考慮穩(wěn)定LTI系統(tǒng)的下列系統(tǒng)函數(shù)，不用求反變換，試判斷是否是因果的系統(tǒng)。（a）（b） （c）6.7關于一個單位脈沖響應為，變換為的LTI系統(tǒng)S，已知下列5個事實：1是實序列。2是右邊序列。34有兩個零點5的極點中有一個位于圓上的一個非實數(shù)位置。試回答下列兩個問題：（a） S是因果的嗎？ （b）S是穩(wěn)定的嗎？6.8 （a）求由差分方程 表示的因果LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)（b） 若為 用z變換求。6.9考慮