1、問題解決策略教學比較研克杭州鐵路五小張美琴k問題的提出h學牛在問題解決策略上的，小學階段以算術思維為主，即通過數量的計算求出答案，而 本學期區里進行了-項實驗:小學四年級學生圖形等式推算與代數結構的建構。這個實驗是 通過圖形等式推算代數結構的構建，推動小學生在數學學習中從“算術思維向代數思維過 渡”，從“具體運算向形式運算階段轉換”，最終提高小學牛解決應用問題的能力。簡而言z, 就是利用圖形符號代表問題中的未知數量，根據相應關系列出含有圖形的數量關系式，再根 據數量關系式求出圖形所代表的數。這和我們平吋所說的方程思想是一致的，只是用圖形符 號代替了方程式中的x和y符號。相比z下，這個方法抽象程

2、度更高。所以在問題解決的策 略上有了兩種不同的方向：算術法和代數法。本次研究旨在了解這兩種解決策略對于小學生 來說哪種更為他們接受和喜歡，哪種方法更有利于此類問題的解決。算術思維與代數思維哪 種更符合小學住的思維方式，更利于問題的解決？k研究的內容h本次活動選取的素材是類似我國古代的傳統數學名題“雞兔同籠”問題，在解決這類 問題上，以前往往是采用畫圖、列表與假設、替換等策略，使學生直觀地把握了替換過程中 的道理，感受到替換策略的在解決問題中的價值。而區里的實驗小則是用兩個符號代表其中 的未知數，列出含有兩個未知數量的圖形算式，再通過推算求出未知數雖:。前面是建立在直 觀基礎上的算術思維方式，而

3、后-種是抽象的代數思維方式。本次活動設計了兩個不同的教 學方案：第一方案用假設法解題；第二方案用圖形推算法解題。通過對比教學來分析研究的 問題。k研究的對象1五年級的學牛已經學習了列方程解決問題，但雞兔同籠問題是一元二次方程，其小有兩 個未知數量,與書上所涉例題結構上不同,相比之下結構更為復雜。而且但老師們都反映平 時孩了們并不習慣于列方程解題，一方面由于教科卩上的習題較為簡單，另一方面孩了們覺 得列方程太麻煩，要寫出解設等步驟。而圖形推算不要求孩子們寫出解設等步驟解題，避免 了繁朵的解題步驟可能更易被孩子們接受打喜愛。在四年級進行圖形推算的實驗吋，孩子們 在學習解雞兔同籠這一問題時困難較大。

4、對于五年級的學牛，隨著年齡的增長，理解能力的 提高，這個困難會否有所緩解？k研究的過程i1 前測（1）設計前測題在2008年4月中旬設計前測題，第一題為常見的雞兔同籠問題（已知頭、足總數z和, 每只雞每只兔的腳數。）；第二題同結構但悄景不同（已知兩種鉛筆價錢總數和總支數和與每 種筆的單價）；第三題稍有變化，其中一個總量沒有直接告知；第四題結構有變化（已知總 數z和與份數z差）。（2）實施前測2008年4月29日中午，在學生不知情的情況下，由各班級原授課教師協助組織進行前 測。在試測前，沒冇給學生任何的解題提示，也沒冇讀題，直接訃學生獨立地解答。如果學 牛自己認為解題己經完成，就把測試卷交給老師

5、，學住在解題過程屮，沒有任何的討論與交 流，整個測試過程基本反映了學生獨立地在口然情景下解答這些問題的水平。2. 課前訪談（1）訪談問題：a. 今天的題冃難嗎？b. 你以前接觸過這樣的題冃嗎？c. 什么時候接觸過這樣的題口？d. 你覺得算術法和方程那個方法好？好在哪里？（2）進行訪談前測試后我們對學牛的解題情況進行初步整理，在整理的基礎上，選擇了部分學住一一 進行訪談。訪談的學生中由任課老師指定，每個班好中差各一人，共12人。3. 設計預案在2008年5刀，設計兩個教學預案。預案一以假設法為教學方法。預案二教學圖形推算法。4. 進行課堂教學。在5月卜旬分別在四個班內進行教學。本次實驗在五1和五

6、2班實施的第一方案：用假 設法解題的教學，在五3、五4班實施第二方案：用圖形推算法解題的教學。5刀20 li下午 在五1班進行教學，5月21 h±午在五3班進行教學，5月28 h上午，分別在五2和五4 班進行教學。5. 后測（1）設計后測題第一題、笫二題結構想同，悄景不同，都是雞兔同籠問題的基本結構（己知總數z和與 份數或z和）；第三題稍冇變化，其中一個每份數沒冇直接告知；第四題結構冇變化（已知 總數之和與份數之差）。（2）實施后測在5月28日屮午，要求與實施方法與前測相同。此時離五1班上課已有8天，離五3 班上課也已有7天，而五2、五4班則剛剛在上午進行了課堂學習。6. 課后訪談（

7、1）訪談問題：a. 你喜歡今天的課嗎？為什么？哪幾個環節比較喜歡？b. 你覺得雞兔同籠問題難嗎？哪里比較難？c你覺得圖形推算法好嗎？好在哪里？d.你覺得圖形推算法和我們學過的什么方法相似？（后兩個問題針對五3、4兩個班的學主）（2）進行訪談：在課堂教學后我們立即對學生進行訪談。訪談的學生主要根據課堂表現，冇表現比較活 躍，正確率比較高的，也有表現一般的，另外還有比較沉默，解題存在閑難的。k實驗結果及分析1.前測情況及分析 五1班（共35人）題號通過人數通過率假設法解答列表法方程其他115 a42. 9%11人1人3人215人42. 9%9人1人4人36人17%1人45人14. 3%五2班（共3

8、3人）題號通過人數通過率假設法解答列表法方程其他117人51. 5%15人1人1人217 a51.5%14 a1人2人315人45.5%11人1人3人410人30.3%五3班（共32人）題號通過人數通過率假設法解答列表法方程其他115 a46.9%9人4人2人210人31. 3%9人1人38人25%5人3人3人46人18.8%五4班（共32人）題號通過人數通過率假設法列表法方程:其他115人46.9%11人2人1人1人211人34.4%6人2人1人2人39人2s. 1 %5人1人1人2人412 a37.5%3人從前測情況看，部分孩子已經對典型的雞兔同籠問題冇了一定的了解和學握，第一題 正確的共

9、有62人，占總人數的47%。第二、三兩題的正確率比第一題有了明顯下降，全體 學生的通過率分別為40%和28. 8%0 一方面學生可能受到情境的干擾，另一方面問題中數據 的類型與問題的復雜性也可能影響著問題的解決，如第二題數據為小數，第三題小植樹總棵 數沒有直接出現，第4題與前兒題在結構上有了變化，已知條件一個是總數一個為相差數, 相當于雞兔同籠問題中的己知腳的總數與雞兔只數之差。通過人數為25%。學牛:解答這類問 題的方法分為三類：假設法，列表法，方程；其屮有46位同學是用假設法解答這些問題, 占總人數的34.8%,盡管五年級的孩子已經學習了方程，但孩子們還是不習慣用方程解答， 只冇一個孩子所

10、冇的題ii均用方程解答。一方面可能孩了們不習慣于列方程解決問題，期一 方面本題中冇兩個未知雖，等量關系比較難以尋找。2. 課前訪談情況及分析從訪談的結果來看，除了三個好生外，其余孩了均認為這些題冃很難。冇10個學生說 接觸過雞兔同籠這樣的題目，時間在三年級。一半學生認為方程的方法好是好，就是太麻煩。 從以上的結果可看出，孩子們雖然在三年級的思維訓練屮就接觸過這類題目，在但還是覺得 非常難，特別是這次練習中乂出現了變化了的一些題型。另外孩了們對于方程的認同感z所 以不強，關鍵還在于方程的解題格式比較繁瑣所致。3. 后測悄況及分析五1班題號通過人數通過率假設法解答方程127人77. 1%27 a2

11、28 a80%28 a323 a65.7%23人413 a37. 1%7人6人（3人正確列出方程，計算錯）五2班題號通過人數通過率假設法解答方程124人72. 7%24人225人75.8%25人（1人計算錯誤）321人63.6%21 a （1人計算錯誤）413 a39.4%12 a（2人計算錯誤）1人五3班題號通過人數通過率假設法列表法圖形算式118人56. 3%15人1人2人（3人列圖形算式，但不會解。）222人68.7%17人5人311人：. 1%11人46人18.8%6人3人列出了圖形算式但沒有解答五4班（29人參加測試）題號通過人數通過率假設法圖形算式116人55.2%7人9人（另有1

12、人圖形算式正確，但計算錯。）223人79. 3%6人17人（另冇3人圖形算式正確，但計算錯。）313人44.8%12 a1人410人34. 5%1人9人（另有11人圖形算式正確，但沒解答）對比前后測的情況，兩個教學設計都促進了學牛對此類問題的解決。先看用假設法進行教學的兩個班級，笫一二題的正確率比較高，笫一題分別為77.1%、 72.7%；第二題分別為80%, 75.8%,這說明大部分學生已經能從雞兔同籠問題中遷移出 來，建立了基木結構的雞兔同籠問題的模型，掌握了用假設法解決此類問題的方法，能夠脫 離表彖的控制，拓展延伸到一般的問題中去。第三題的止確率比前兩題稍低，分別為：65. 7% 和63

13、.6% ,部分學生對于稍加變化的題型會冇困難，這一點也符合學生掌握知識的一般規 律。而笫四題的正確率只有37. 1 %和39.4%,說明學生能比較順利地完成和同結構問題的 遷移，但対于變化了結構的問題則較難掌握。在方法的選擇上絕大部分學牛采用假設法解題, 特別是剛剛上過課的學生，僅有一人在做最后一題時用了方程方法來解。由此可見，學生對 于假設法印象非常深刻，另外這也是山于受近因效應的影響，只有碰到閑難時才有個別人會 去嘗試別的方法。我們也應看到最后一題五1班正確的13人中有6人選擇了用方程的方法 解，另外3人也列出了正確的方程，只是計算錯誤。代數思維相比算術思維，在解決一些結 構不清楚的難題時

14、有其優勢。再來看教學了圖形推算法的兩個班級，笫一題的正確率分別為56.3%、55.2%；笫二 題分別為68.7%, 79.3%；第三題的正確率分別為:34.4%和44. 8%；第四題的正確率只有 18.8%和34.5%。與前測相比，除了第二題外學生正確率的提高并不顯著，當然這不能排 除數據、情境等因素的干擾。與笫一堂課相比笫二堂課的教學在幫助學生理清雞兔同籠問題 的棊木結構，建立模型1二還冇差距。在方法的選擇上五3班大部分學生是用假設法來解題的, 這其屮原因是教師對于圖形算式的解法認識不夠，事先在這個班沒有單獨的一堂課去進行解 法指導，而只是花了十多分鐘時間稍加提點，所以在課堂教學中，許多學生

15、都不能正確解題, 而教師事后又沒冇系統的配套練習跟進。五4班也冇一小部分學生是川了假設法解題，但川 圖形推算方法的學生明顯多于前者，特別是最后一題，正確的10人屮有9人是用圖形推算 法解題的，另外有11人正確列出了圖形算式，但沒解答，前血兒題中也有學生能列圖形算 式卻無法解答。這些都說明了圖形推算的方法是算式好列式難解。學生根據題中數量關系列 出圖形算式是比較容易的，而難點是在圖形算式的解答上。所以如果用這個方法解決問題, 則事先必須在圖形算式的解答上做好準備。第三題兩個班只有一人采用圖形算式方法解題, 這可能跟問題有關，這題的問題是損壞的花瓶有幾個？問題屮只出現了一個未知量，其他習 題都是兩

16、個未知量，列出兩個圖形算式。這從測后訪談也可以看出，一個其余三題都用圖形 推算法的學生就說出了這樣的因惑。但與用假設法計算的兩個班相比，學習了圖形推算方法的兩個班級正確率的增幅并不顯 著。這和事先學生對兩種方法的理解程度有關，學生以前曾經學習過這類問題，在三年級的 思維訓練中就專門冇這樣一課，學習過川假設法解題。所以今天的課堂就是對原冇知識的回 顧與喚醒，而圖形推算法則完全是新的方法，新方法的建立在開始時的效果一定不如ih方法。 這就像我們的電腦程序，新的視窗系統肯定要比舊的先進，功能更強，操作更簡便，但在實 際使用中，我們仍習慣于ii系統，因為那時一直用慣了的，比較順手。3.課后訪談情況及分

17、析大部分學生喜歡這堂課，理由不一，有的認為這些題冃有挑戰性，有的認為教師很親切, 冇的認為圖形推算的方法很新等等，總的來說，我們的學生很善良，他們很少會對老師說不 好或不喜歡這些字。對于這類題的難度，不少孩子認為第一個壞節比較容易，這和他們的學 習基礎也有關系，而笫三個壞節這類結構變化了的雞兔同籠問題最難。學習圖形推算法的兩 個班的學牛大部分是比較認可這種方法的，認為列算式比較容易，但也有不少學生認為很難 解，特別是五3班的學牛，這和學牛課堂教學與后測情況相一致。也有部分學生能把圖形推 算法和方程相聯系，認為都是把不知道的假設成一個符號，列出算式。k我們的思考（一）兩種方法的優劣對比以30枚硬

18、幣，由2分和5分纟r成，共值9角9分，兩種硬幣各多少枚？為例。首先我 們先來看看兩種方法的解題過程。用算術方法解，實質上是耍我們找出一個用四則運算符號把已知數聯系起來的式子，用 來表不所求的未知數，然示再計算這個式了的值。學生在用假設法解這一題時，首先要假設 全是2分碩幣，計算出價格為2x30,與99分z間存在差距，這個差距就是因為把其中的5 分碩幣也看成了 2分，每枚5分硬幣少算了 （5-2）分，這總共少掉的部分錢里有幾個3 分，就是5分碩幣的枚數，就門j用算式（99-2x30） - （5-2）來表示所求的未知數5分 硬幣的枚數。這個過程相當繁雜，尤其是假設全是2分，求出來的卻全是5分的枚數

19、，學生 難以理解。通過第一堂課的教學，學生掌握的是同一類結構的問題，這個方法在變化了結構 的題烈而而則沒有多大的優勢，這從后測中最后一題兩個班的止確率普遍不高町以看出。而如果用圖形推算來解題，就有可能玄接或者間接地把題目的條件（包括c知的和未知 的）用等式表示出來。在上面的這個例了里，我們只要先用兩個圖形符號如和分別代表 兩種硬幣的枚數，就很容易把題目里的條件用圖形算式 + =30, x2 + ax5=99表示 出來，然后通過等式變形，消元等步驟得到二（992x30）十（5-2）o從兩個解題過程 來看，第二種方法在列出圖形等式上冇易于理解的特點。同樣是后測卷中的最后一題，第二 個班級列出正確圖

20、形算式的學牛達到69%。這是因為盡管問題中的數量關系氣了變化，列出 的圖形算式不同詢兩題，但列方程的思維方法和步驟基木上是一樣的。這個方法可以解決許 多用算術方法不易解出甚至無法解出的實際問題。因為用圖形推算的方法來解應用題，只耍 求我們能夠根據題意列岀兩個含有圖形的等式，而不象用算術法那樣，限定我們肓接寫出表 示未知數的算式。所以，從列式這一點來說，要容易得多。但從學生后測情況來看，學習了圖形推算法的學生在解決這類問題時在止確率上反血 不如用假設法解題的學生，這其中很人一個原因是學生對于解圖形算式存在困難。而五4 班情況要好于五3班，這也是由于有了第一節課的教訓，任教老師事先做了鋪墊，在五4

21、 班進行了解圖形算式的教學。但從實際情況來看，學生們仍然在解圖形算式上存在困難，這 大大地影響著學生能否解題成功。這就好比是一個士兵拿到了一件精良的武器卻不會使用， 最終他只能又拿起白己原先陳口的兵器。所以要使學生真正掌握圖形推算方法解題，事先必 須落實圖形算式的解法。（二）教師的教學實施過程對學生解題方法的掌握有很大的影響第一位教師在五1和五2班都是教學用假設法解決雞兔同籠問題，五1班學生是在隔了 8天示進行測試，五2班則是在上午第三節學習麻在屮午進行測試，按照遺忘的規律來看， 應該是五2班學生的情況要優于五1班，但實際怙:況并非如此 讓我們來看看兩個班前后測 得通過率。五1班兩次測試通過率

22、五2班兩次測試通過率前測通過率后測通過率詢測通過率后測通過率42. 9%77. 1%51.5%72. 7%42. 9%80%51.5%75.8%17%65. 7%45.5%63.6%14. 3%37. 1%30.3%39.4%雖然兩個班在后測吋的通過率基本接近，但從增幅來看，五1班耍優于五1班，特別是 第三題的增幅達到48. 7%,這說明五1班學綸的掌握情況要好于五2班。分析教師的教學過 程，我們對能對以看到問題癥結所在，笫一次教學時教師在笫一個環節學生獨立計算雞兔同 籠問題后，在反饋時學牛假設都是兔，列出算式：20x4 54二26（只）26一 （4-2） =13 （只） 教師非常強調學牛自己說理，讓學牛說解題思路。學住在解釋算法時的回答非常到位，表達 也很清晰：假設都是兔子就應該有80只腳，現在只有54只腳，少了 26只，每只雞應該少 算兩只腳，有幾個2只腳就有幾只雞。這樣的解釋使學生在理解的革礎上拿握了這種解法, 使學生既知然更知其所以然。而在五2班中，教師只是反饋了學生的兩種不同的假設法：假 設都是雞和假設都是兔，在比較兩種方法的界同后提煉數量關系式，但恰恰錯過