1、1一、極限存在準則二、兩個重要極限第六節極限存在準則兩個重要極限第六節極限存在準則兩個重要極限21. 1. 夾逼準則夾逼準則一、極限存在準則一、極限存在準則00lim,lim,nnnnnnnnnnnyxzyaza，(1)從某項起，即，當時，有(2) nnnxyz、：準則 若數列滿足 下列條件lim.nnnxxa則的極限存在，且3,1aynnn時，有當,max021nnnn 取時，有因此，當nn .nnayaaza即，且,2aznnn時，有當, azxyannn.成立即，axn.limaxnn故， 上述數列極限存在的準則可以推廣到函數的極限上述數列極限存在的準則可以推廣到函數的極限證證,azay

2、nnn時，當使得, 0, 0, 021nn，時，上面兩式同時成立則nn 4注意注意: :( )( )( )( )nnnng xh xgyzyxzh x，(或)(或)(或)(或利用夾逼準則求極限)關鍵是構造出與且與的極限是容易求的.00000()()()(, )( )( )( ),lim( ),lim( ),lim( )xxxxxxxxxxu xxmg xf xh xg xah xaf x若(1) 當（或） 時，準則(2)則存在，且 等于a.5例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnn21limlim=111nnnnnn，又221limlim=

3、1111nnnnn，由夾逼準則得由夾逼準則得. 1)12111(lim222 nnnnn6(1)lim1(2)lim1(0)nnnnnaa 結論： nnnnn4321lim例2解nnnnn4443214444limnn且44321limnnnnn 例例2 2的結果可以推廣到更一般的情形的結果可以推廣到更一般的情形: :.,maxlim,212121knnknnnkaaaaaaaakaaa其中，個正數，則是設72. 2. 單調有界準則單調有界準則nx若滿足條件,121nnxxxx單調增加,121nnxxxx單調減少單調數列單調數列準則 單調有界數列必有極限 8.)(3333的極限存在重根式證明數

4、列例nxn證證,1nnxx顯然 ;是單調遞增的nx, 331x又, 3kx假定kkxx3133, 3 ;是有界的nx.lim存在nnx,31nnxx,321nnxx),3(limlim21nnnnxx,32aa 2131,2131aa解得(舍去舍去).2131limnnx.limaxnn設94例, 0, 0), 3 , 2 , 1()(2111axnxaxxnnn且設nnxlim求)(nnnxaxx211nnxax annxx1)(2121nxa)1 (21aa，1,1nnxx即,limaxnn設.lim存在故，nnx),(21aaaa則,aa.limaxnn解：解：11xxxann10扇形扇

5、形aobaob的面積的面積證證: :于是，xsin21x21xtan212(0,)x當時，有aobaob 的面積aodaod的面積二、二、 兩個重要極限兩個重要極限211sin1(0,)2sincosxxxxx上式除以可得，0sin1xxx()limdcbax1o1122(0(0,)xx，-，(續) 當時，則于是tan()1sin()sin()xxxx111sin()()tan()222xxx211(,0)sincosxxxx 故，2sincos1(0)xxxx綜上，02x當時，22201 cos1 cos2sin2222xxxxx 0lim(1 cos )0 xx(夾逼準則)0sinlim1

6、xxx(夾故，逼準則)12說說明明( )0sin( )lim1,( )f xf xf x(1)更一般形式330sinlim1xxx如sinlim0.xxx（2）注意0tanlimxxx例5求xxxxcos1sinlim0原式解：11113201coslim.xxx例6求解解2202sin2limxxx原式220)2(2sinlim21xxx20)22sin(lim21xxx2121 .21 140arcsinlim.xxx例7 求解解: :arcsin ,sin00.txxtxt令則，且時，原式原式tttsinlim0tttsinlim10=1151lim sinxxx例8求原式xxx11si

7、nlim1xxxxxxx232sin233tanlim023xxix2sin3tanlim0例例9. 9. 求求解解: 原式 解解: tttsinlim0161lim(1).nnn先證存在nnnx)11 ( 設21! 2) 1(1! 11nnnnnxn).11 ()21)(11 (!1)11 (! 2111nnnnnnnnnnnnn1!) 1() 1(1lim(1)xxex（）1121212232111()()()nnnnnnnnnnnnnnnnnnnabac abc abcabc aabab abab abbba17).11 ()221)(111 ()!1(1)111 ()221)(111

8、(!1)111 (! 21111nnnnnnnnnnnxn,1nnxx顯然 ;是單調遞增的nx!1! 2111nxn1212111n1213n, 3 ;是有界的nx.lim存在故nnxennn)11 (lim記為)71828. 2(e類似地類似地, ,18.)11 (limexxx可證：說明：10lim(1)xxxe（1）等價形式：1( )( )0lim (1( )f xf xf xe（2）更一般形式：2310lim(1)xxx例6331xxx)(lim6331)(limxxx6e191(1)lim(1)(2)lim(1)xxkxxxx解解: (1)tx 令，則xxx)1 (lim1ttt )1 (lim1 1limttt)1 (1e1說明說明 ：( )1( )( )111lim (1)lim (1)xxxxxxe