1、1第二章第二章函數的概念與基本初等函數函數的概念與基本初等函數考點考點 1 1函數的概念函數的概念1.(2015浙江，7)存在函數f(x)滿足：對任意xr r 都有()a.f(sin 2x)sinxb.f(sin 2x)x2xc.f(x21)|x1|d.f(x22x)|x1|1.d排除法，a 中，當x12，x22時，f(sin 2x1)f(sin 2x2)f(0)，而 sinx1sinx2，a 不對；b 同上；c 中，當x11，x21 時，f(x211)f(x221)f(2)，而|x11|x21|，c 不對，故選 d.2.(2015新課標全國，5)設函數f(x)1log22x，x1，2x1，x

2、1，則f(2)f(log212)()a.3b.6c.9d.122.c因為21，log212log2831，所以f(2)1log22(2)1log243，f(log212)2log21212log2122112126， 故f(2)f(log212)369， 故選 c.3.(2014山東，3)函數f(x)1log2x21的定義域為()a.0，12b.(2，)c.0，12 (2，)d.0，12 2，)3.c(log2x)210， 即 log2x1 或 log2x2 或 0 x0，解得x1 或x1，xa1，a2x1，3xa1，xa2，如圖 1 可知，當xa2時，f(x)minfa2 a213，可得a8

3、；當aa2，xa1，1xa2，3xa1，x0.若f(0)是f(x)的最小值，則a的取值范圍為()a.1,2b.1,0c.1,2d.0,27.d當x0 時，f(x)(xa)2，又f(0)是f(x)的最小值，a0.當x0 時，f(x)x1xa2a，當且僅當x1 時取“”.要滿足f(0)是f(x)的最小值， 需 2af(0)a2， 即a2a20， 解之， 得1a2， a的取值范圍是 0a2.選 d.8.(2016江蘇，5)函數y 32xx2的定義域是_.8. -3,1要使原函數有意義，需且僅需 3-2x-x20.解得-3x1.故函數定義域為-3，1.39.(2015浙江，10)已知函數f(x)x2x

4、3，x1，lgx21，x1，則f(f(3)_，f(x)的最小值是_.9.02 23f(f(3)f(1)0， 當x1 時，f(x)x2x32 23， 當且僅當x 2時，取等號；當x1 時，f(x)lg(x21)lg 10，當且僅當x0 時，取等號，f(x)的最小值為 2 23.考點考點 2 2函數的基本性質函數的基本性質1.（2017北京,5）已知函數 f（x）=3x（）x， 則 f（x） （）a. 是奇函數，且在 r 上是增函數b. 是偶函數，且在 r 上是增函數c. 是奇函數，且在 r 上是減函數d. 是偶函數，且在 r 上是減函數1.a顯然，函數的定義域為全體實數，f（x）=3x（）x=3

5、x3x， f（x）=3x3x=f（x） ，即函數 f（x）為奇函數，又由函數 y=3x為增函數，y=（）x為減函數，故函數 f（x）=3x（）x為增函數，故選 a2.（2017新課標,5）函數 f（x）在（，+）單調遞減，且為奇函數若 f（1）=1，則滿足1f（x2）1 的 x 的取值范圍是（）a.2，2b.1，1c.0，4d.1，32. d函數 f（x）為奇函數若 f（1）=1，則 f（1）=1，又函數 f（x）在（，+）單調遞減，1f（x2）1，f（1）f（x2）f（1） ，1x21，解得：x1，3，故選 d.3.（2017山東,10）已知當 x0，1時，函數 y=（mx1）2的圖象與 y

6、=+m 的圖象有且只有一個交點，則正實數 m 的取值范圍是（）a、 （0，12，+）b、 （0，13，+）c、 （0，）2，+）d、 （0，3，+）3. b根據題意，由于 m 為正數，y=（mx1）2為二次函數，在區間（0，）為減函數，（，+）為增函數，函數 y=+m 為增函數，4分 2 種情況討論：當 0m1 時，有1，在區間0，1上，y=（mx1）2為減函數，且其值域為（m1）2， 1，函數 y=+m 為增函數，其值域為m，1+m，此時兩個函數的圖象有 1 個交點，符合題意；當 m1 時，有1，y=（mx1）2在區間（0，）為減函數， （，1）為增函數，函數 y=+m 為增函數，其值域為m

7、，1+m，若兩個函數的圖象有 1 個交點，則有（m1）21+m，解可得 m0 或 m3，又由 m 為正數，則 m3；綜合可得：m 的取值范圍是（0，13，+） ；故選 b4.(2016山東，9)已知函數f(x)的定義域為 r r,當x12時，fx12 fx12 ，則f(6)()a.2b.1c.0d.24.d當x12時，fx12 fx12 ，即f(x)f(x1)，t1，f(6)f(1).當x0 時，f(x)x31 且1x1，f(x)f(x)，f(2)f(1)f(1)2，故選 d.5.(2015天津，7)已知定義在 r r 上的函數f(x)2|xm|1(m為實數)為偶函數，記af(log0.53)

8、，b(log25)，cf(2m)，則a，b，c的大小關系為()a.abcb.acbc.cabd.cba5.c因為函數f(x)2|xm|1 為偶函數可知，m0，所以f(x)2|x|1，當x0 時，f(x)為增函數，log0.53log23，log25|log0.53|0，bf(log25)af(log0.53)cf(2m)，故選 c.6.(2015福建，2)下列函數為奇函數的是()a.yxb.y|sinx|c.ycosxd.yexex56.d由奇函數定義易知yexex為奇函數，故選 d.7.(2015廣東，3)下列函數中，既不是奇函數，也不是偶函數的是()a.yxexb.yx1xc.y2x12x

9、d.y 1x27.a令f(x)xex， 則f(1)1e，f(1)1e1， 即f(1)f(1)，f(1)f(1)，所以yxex既不是奇函數也不是偶函數，而 b、c、d 依次是奇函數、偶函數、偶函數，故選 a.8.(2015安徽，2)下列函數中，既是偶函數又存在零點的是()a.ycosxb.ysinxc.ylnxd.yx218.a由于ysinx是奇函數；ylnx是非奇非偶函數；yx21 是偶函數但沒有零點；只有ycosx是偶函數又有零點.9.(2014北京，2)下列函數中，在區間(0，)上為增函數的是()a.yx1b.y(x1)2c.y2xd.ylog0.5(x1)9.a顯然yx1是(0，)上的增

10、函數;y(x1)2在(0，1)上是減函數,在(1，)上是增函數；y2x12x在xr r 上是減函數；ylog0.5(x1)在(1，)上是減函數.故選 a.10.(2014陜西，7)下列函數中，滿足“f(xy)f(x)f(y)”的單調遞增函數是()a.f(x)12xb.f(x)x3c.f(x)x21d.f(x)3x10.d根據各選項知，選項 c、d 中的指數函數滿足f(xy)f(x)f(y).又f(x)3x是增函數，所以 d 正確.11.(2014山東，5)已知實數x，y滿足axay(0a1y21b.ln(x21)ln(y21)c.sinxsinyd.x3y311.d根據指數函數的性質得xy，此

11、時x2，y2的大小不確定，故選項 a、b 中的不等式不恒成立；根據三角函數的性質，選項 c 中的不等式也不恒成立；根據不等式的性質知，選項 d中的不等式恒成立.12.(2014湖南，3)已知f(x),g(x)分別是定義在 r r 上的偶函數和奇函數，且f(x)g(x)x3x21，則f(1)g(1)()6a.3b.1c.1d.312.c用“x”代替“x”，得f(x)g(x)(x)3(x)21，化簡得f(x)g(x)x3x21，令x1，得f(1)g(1)1，故選 c.13.(2014新課標全國，3)設函數f(x)，g(x)的定義域都為 r r，且f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，則下列結論中正確

12、的是()a.f(x)g(x)是偶函數b.f(x)|g(x)|是奇函數c.|f(x)|g(x)是奇函數d.|f(x)g(x)|是奇函數13.bf(x)為奇函數，g(x)為偶函數， 故f(x)g(x)為奇函數，f(x)|g(x)|為奇函數， |f(x)|g(x)為偶函數，|f(x)g(x)|為偶函數，故選 b.14.(2014湖北，10)已知函數f(x)是定義在 r r 上的奇函數，當x0 時，f(x)12(|xa2|x2a2|3a2).若xr r，f(x1)f(x)，則實數a的取值范圍為()a.16，16b.66，66c.13，13d.33，3314.b當x0 時，f(x)x，0 xa2a2，a

13、22a2，又f(x)為奇函數，可得f(x)的圖象如圖所示，由圖象可得，當x2a2時，f(x)maxa2，當x2a2時，令x3a2a2，得x4a2，又xr r，f(x1)f(x)，可知 4a2(2a2)1a66，66 ，選 b.15.（2017江蘇,11）已知函數 f（x）=x32x+ex，其中 e 是自然對數的底數若 f（a1）+f（2a2）0則實數 a 的取值范圍是_15. -1，函數 f（x）=x32x+ex的導數為：f（x）=3x22+ex+2+2=0，可得 f（x）在 r 上遞增；又 f（x）+f（x）=（x）3+2x+exex+x32x+ex=0，可得 f（x）為奇函數，則 f（a1

14、）+f（2a2）0，即有 f（2a2）f（a1）=f（1a） ，即有 2a21a，解得1a716.（2017山東,15）若函數 exf（x） （e2.71828是自然對數的底數）在 f（x）的定義域上單調遞增， 則稱函數 f （x） 具有 m 性質 下列函數中所有具有 m 性質的函數的序號為_f（x）=2xf（x）=3xf（x）=x3f（x）=x2+216.對于，f（x）=2x， 則 g（x）=exf（x）=為實數集上的增函數；對于，f（x）=3x， 則 g（x）=exf（x）=為實數集上的減函數；對于，f（x）=x3， 則 g（x）=exf（x）=exx3， g（x）=exx3+3exx2=

15、ex（x3+3x2）=exx2（x+3） ，當 x3 時，g（x）0，g（x）=exf（x）在定義域 r 上先減后增；對于，f（x）=x2+2，則 g（x）=exf（x）=ex（x2+2） ，g（x）=ex（x2+2）+2xex=ex（x2+2x+2）0 在實數集 r 上恒成立，g（x）=exf（x）在定義域 r 上是增函數具有 m 性質的函數的序號為17.(2016四川，14)已知函數f(x)是定義在 r r 上的周期為 2 的奇函數，當 0 x0，則x的取值范圍是_.20.(1，3)由題可知，當2x0.f(x1)的圖象是由f(x)的圖象向右平移 1個單位長度得到的，若f(x1)0，則1x3

16、.21.(2014四川,12)設f(x)是定義在 r r 上的周期為 2 的函數,當x1,1)時,f(x)4x22，1x0，x，0 x0)，g(x)logax的圖象可能是()3.d當a1 時，函數f(x)xa(x0)單調遞增，函數g(x)logax單調遞增，且過點(1，0)，由冪函數的圖象性質可知 c 錯；當 0a0)單調遞增，函數g(x)logax單調遞減，且過點(1，0)，排除 a，因此選 d.4(2014遼寧，16)對于c0，當非零實數a，b滿足 4a22ab4b2c0 且使|2ab|最大時，3a4b5c的最小值為_4.2設 2abt，則 2atb，因為 4a22ab4b2c0，所以將

17、2atb代入整理可得 6b23tbt2c0，由0 解得85ct85c，當|2ab|取最大值時t85c，代入式得bc10，再由 2atb得a32c10，所以3a4b5c2 10c4 10c5c5c2 10c5c 2222，當且僅當c52時等號成立.考點考點 4 4指數與指數函數指數與指數函數1.（2017天津,6）已知奇函數 f（x）在 r 上是增函數，g（x）=xf（x） 若 a=g（log25.1） ，b=g（20.8） ，c=g（3） ，則 a，b，c 的大小關系為（）a、abcb、cbac、bacd、bca1.c奇函數 f（x）在 r 上是增函數，當 x0，f（x）f（0）=0，且 f（

18、x）0，g（x）=xf（x） ，則 g（x）=f（x）+xf（x）0，g（x）在（0，+）單調遞增，且g（x）=xf（x）偶函數，a=g（log25.1）=g（log25.1） ，則 2log25.13，120.82，由 g（x）在（0，+）單調遞增，則 g（20.8）g（log25.1）g（3） ，bac，故選 c2.（2017北京,8）根據有關資料，圍棋狀態空間復雜度的上限 m 約為 3361， 而可觀測宇宙中普通物質的原子總數 n 約為 1080， 則下列各數中與最接近的是（）（參考數據：lg30.48）a.1033b.1053c.1073d.1093102.d由題意： m3361，n1

19、080，根據對數性質有： 3=10lg3100.48，m3361 （100.48）36110173， =1093， 故選 d3.(2014遼寧，3)已知a132，blog213，c121log3，則()a.abcb.acbc.cabd.cba3.ca213(0，1)，blog213(，0)，clog1213log23(1，)，所以cab.4.(2015山東，14)已知函數f(x)axb(a0，a1) 的定義域和值域都是1,0，則ab_.4.32當a1 時，f(x)axb在定義域上為增函數，a1b1，a0b0，方程組無解；當 0a1 時，f(x)axb在定義域上為減函數，a1b0，a0b1，解得

20、a12，b2.ab32.5.(2014上海，9)若f(x)23x12x，則滿足f(x)0 的x的取值范圍是_.5.(0，1)令y1x23，y212x，f(x)0 即為y1y2，函數y1x23，y212x的圖象如圖所示，由圖象知：當 0 x1 時，y1y2，所以滿足f(x)0，且a1)的圖象如圖所示，則下列函數圖象正確的是()4.b因為函數ylogax過點(3,1),所以 1loga3,解得a3,所以y3x不可能過點(1， 3),排除 a；y(x)3x3不可能過點(1，1)，排除 c；ylog3(x)不可能過點(3，1)，排除 d.故選 b.125.(2014天津，4)函數f(x)12log(x

21、24)的單調遞增區間為()a.(0，)b.(-，0)c.(2，)d.(-，2)5.d函數yf(x)的定義域為(，2)(2，)，因為函數yf(x)是由ylog12t與tg(x)x24 復合而成，又ylog12t在(0，)上單調遞減，g(x)在(，2)上單調遞減，所以函數yf(x)在(，2)上單調遞增.選 d.6.(2014四川，9)已知f(x)ln(1x)ln(1x)，x(1,1).現有下列命題：f(x)f(x)；f2x1x22f(x)；|f(x)|2|x|.其中的所有正確命題的序號是()a.b.c.d.6.af(x)ln(1x)ln(1x)f(x)，故正確；因為f(x)ln(1x)ln(1x)

22、ln1x1x，又當x(1，1)時，2x1x2(1，1)，所以f2x1x2ln12x1x212x1x2ln1x1x22ln1x1x2f(x)，故正確；當x0，1)時，|f(x)|2|x|f(x)2x0，令g(x)f(x)2xln(1x)ln(1x)2x(x0，1)，因為g(x)11x11x22x21x20，所以g(x)在區間0，1)上單調遞增，g(x)f(x)2xg(0)0，即f(x)2x，又f(x)與y2x都為奇函數，所以|f(x)|2|x|成立，故正確，故選 a.7.(2016浙江,12)已知ab1.若 logablogba52,abba,則a_，b_.7.42設 logbat，則t1，因為

23、t1t52，解得t2，所以ab2，因此abbaa2bab2，解得b2，a4.聯立結合b1，解得b2，a4.8.(2015浙江,12)若alog43，則 2a2a_.8.4332a2a2log432log432log2 32log233 333433.9.(2015福建，14)若函數f(x)x6，x2，3logax，x2(a0，且a1)的值域是4，)，13則實數a的取值范圍是_.9.(1，2由題意f(x)的圖象如圖，則a1，3loga24，1a2.10.(2014重慶，12)函數f(x)log2xlog2(2x)的最小值為_.10.14依題意得f(x)12log2x(22log2x)(log2x

24、)2log2xlog2x1221414，當且僅當 log2x12，即x12時等號成立，因此函數f(x)的最小值為14.考點考點 6 6函數與方程函數與方程1.（2017新課標,11）已知函數 f（x）=x22x+a （ex1+ex+1）有唯一零點，則 a= （）a.b.c.d. 11. c因為 f（x）=x22x+a（ex1+ex+1）=1+（x1）2+a（ex1+）=0，所以函數 f（x）有唯一零點等價于方程 1（x1）2=a（ex1+）有唯一解，等價于函數 y=1（x1）2的圖象與 y=a（ex1+）的圖象只有一個交點當 a=0 時，f（x）=x22x1，此時有兩個零點，矛盾；當 a0 時

25、，由于 y=1（x1）2在（，1）上遞增、在（1，+）上遞減，且 y=a（ex1+）在（，1）上遞增、在（1，+）上遞減，所以函數 y=1（x1）2的圖象的最高點為 a（1，1） ，y=a（ex1+）的圖象的最高點為b（1，2a） ，由于 2a01，此時函數 y=1（x1）2的圖象與 y=a（ex1+）的圖象有兩個交點，矛盾；當 a0 時，由于 y=1（x1）2在（，1）上遞增、在（1，+）上遞減，且 y=a（ex1+）在（，1）上遞減、在（1，+）上遞增，所以函數 y=1（x1）2的圖象的最高點為 a（1，1） ，y=a（ex1+）的圖象的最低點為14b（1，2a） ，由題可知點 a 與點

26、b 重合時滿足條件，即 2a=1，即 a=，符合條件；綜上所述，a=，故選 c2.(2015山東，10)設函數f(x)3x1，x1，2x，x1，則滿足f(f(a)2f(a)的a取值范圍是()a.23，1b.0,1c.23，d.1, )2.c當a2 時，f(a)f(2)2241，f(f(a)2f(a)，a2 滿足題意，排除 a，b 選項；當a23時，f(a)f23 32311，f(f(a)2f(a)，a23滿足題意，排除 d 選項，故答案為 c.3.(2015天津， 8)已知函數f(x)2|x|，x2，x22，x2，函數g(x)bf(2x)， 其中br r，若函數yf(x)g(x)恰有 4 個零

27、點，則b的取值范圍是()a.74，b.，74c.0，74d.74，23.d記h(x)f(2x)在同一坐標系中作出f(x)與h(x)的圖象如圖，直線ab：yx4，當直線lab且與f(x)的圖象相切時，由yxb，y（x2）2，解得b94，94(4)74，所以曲線h(x)向上平移74個單位后，所得圖象與f(x)的圖象有四個公共點，平移 2 個單位后，兩圖象有無數個公共點，因此，當74b2 時，f(x)與g(x)的圖象有四個不同的交點，即yf(x)g(x)恰有 4 個零點.選 d.154.(2014湖南，10)已知函數f(x)x2ex12(x0 時，yf(x)與yg(x)的圖象有交點，即g(x)f(x

28、)有正解，即x2ln(xa)(x)2ex12有正解， 即 exln(xa)120 有正解， 令f(x)exln(xa)12，則f(x)ex1xa0，故函數f(x)exln(xa)12在(0，)上是單調遞減的， 要使方程g(x)f(x)有正解， 則存在正數x使得f(x)0， 即 exln(xa)120，所以a1e2exx ，又y1e2exx 在(0，)上單調遞減，所以am，其中m0，若存在實數b，使得關于x的方程f(x)b有三個不同的根，則m的取值范圍是_.5.(3，)如圖,當xm時，f(x)|x|;當xm時，f(x)x22mx4m，在(m，)為增函數，若存在實數b,使方程f(x)b有三個不同的

29、根,則m22mm4m0，m23m0，解得m3.6.(2015湖南，15)已知函數f(x)x3，xa，x2，xa，若存在實數b，使函數g(x)f(x)b有兩個零點，則a的取值范圍是_.6.(，0)(1，)若 0a1 時，函數f(x)x3（xa） ，x2（xa）在 r r 上遞增，若a1或a0 時，由圖象知yf(x)b存在b使之有兩個零點，故a(，0)(1，).7.(2015安徽，15)設x3axb0，其中a，b均為實數，下列條件中，使得該三次方程僅16有一個實根的是_(寫出所有正確條件的編號).a3，b3；a3，b2；a3，b2；a0，b2；a1，b2.7 .令f(x)x3axb，f(x)3x2

30、a，當a0 時，f(x)0，f(x)單調遞增，必有一個實根，正確；當a0 時，由于選項當中a3，只考慮a3 這一種情況，f(x)3x233(x1)(x1)， f(x)極大f(1)13bb2，f(x)極小f(1)13bb2， 要有一根，f(x)極大0，b2，正確，所有正確條件為.8.(2015江蘇，13)已知函數f(x)|lnx|，g(x)0，0 x1，|x24|2，x1，則方程|f(x)g(x)|1 實根的個數為_.8.4令h(x)f(x)g(x)，則h(x)lnx，0 x1，x2lnx2，1x2，x2lnx6，x2，當 1x2 時，h(x)2x1x12x2x0，故當 1x2 時h(x)單調遞

31、減，在同一坐標系中畫出y|h(x)|和y1的圖象如圖所示.由圖象可知|f(x)g(x)|1 的實根個數為 4.9.(2015北京，14)設函數f(x)2xa，x1，4xax2a，x1.(1)若a1，則f(x)的最小值為_；(2)若f(x)恰有 2 個零點，則實數a的取值范圍是_.9.(1)1(2)12，12，)(1)當a1 時，f(x)2x1，x1，4（x1） （x2） ，x1.當x1.當x1 時，且當x32時，f(x)minf32 1，f(x)最小值為1.(2)1當a0 時，2xa0，由 4(xa)(x2a)0 得xa或x2a.a 1，)，2a 1，)，17此時f(x)無零點.2當 0a1

32、時，若有 2 個零點，只須a1，2a1，12a1.3當 1a2 時，x1，2xa，xlog2a0，1)，x1 時，由f(x)0，得xa或 2a，a1，).2a1，)，有 3 個零點，不合題意.4當a2 時，x1，則 2xa0，x1 時，由f(x)0，得xa或 2a，a，2a1，)，此時恰有 2 個零點，綜上12a1 或a2.考點考點 7 7函數模型及其應用函數模型及其應用1.(2016山東,10)若函數yf(x)的圖象上存在兩點,使得函數的圖象在這兩點處的切線互相垂直,則稱yf(x)具有t性質.下列函數中具有t性質的是()a.ysinxb.ylnxc.yexd.yx31.a對函數ysinx求導

33、,得ycosx,當x0 時,該點處切線l1的斜率k11,當x時,該點處切線l2的斜率k21,k1k21,l1l2；對函數ylnx求導,得y1x恒大于0,斜率之積不可能為1;對函數yex求導,得yex恒大于0,斜率之積不可能為1;對函數yx3,得y2x2恒大于等于 0,斜率之積不可能為1.故選 a.2.(2016四川,5)某公司為激勵創新,計劃逐年加大研發資金投入.若該公司 2015 年全年投入研發資金 130 萬元,在此基礎上,每年投入的研發資金比上一年增長 12%,則該公司全年投入的研發資金開始超過 200 萬元的年份是(參考數據：lg 1.120.05,lg 1.30.11,lg 20.3

34、0)()a.2018 年b.2019 年c.2020 年d.2021 年2.b設x年后該公司全年投入的研發資金為 200 萬元,由題可知,130(112%)x200,解得xlog1.12200130lg 2lg 1.3lg 1.123.80,因資金需超過 200 萬,則x取 4,即 2019 年.選 b.3.(2015北京,8)汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗 1 升汽油行駛的里程.如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是()18a.消耗 1 升汽油,乙車最多可行駛 5 千米b.以相同速度行駛相同路程,三輛車中,甲車消耗汽油量最多c.甲車以 80 千米/時的速度行駛 1 小時,消耗 10 升汽油d.某城市機動車最高限速 80 千米/時.相同條件下,在該市用丙車比用乙車更省油3.d汽車每消耗 1 升汽油行駛的里程為“燃油效率”,由此理解 a 顯然不對；b 應是甲車耗油最少；c 甲車以 80 千米/小時的速度行駛 10 km,消耗 1 升汽油.故 d 正確.4.(2014湖南,8)某市生產總值連續兩年持續增加,第一年的增長率為p,第二年的增長率為q,則該市這兩年