1、多元統(tǒng)計復(fù)習(xí)概要 1考試范圍 本次考試共分作9個考點，其中有4個考點：抽樣分布、方差分析、卡方檢 驗以及回歸分析是老師課件上的內(nèi)容，多元正態(tài)分布、均值向量、協(xié)方差矩陣、 聚類分析、主成分分析以及因子分析5個考點均為書本上的內(nèi)容。看上去內(nèi)容很 多，實質(zhì)上除了最后兩個考點計算涉及到矩陣和行列式的運算外，其他的都基本 只是將數(shù)值代入公式進行計算，掌握其原理就行了。 2題型 A卷：1道簡答題，7道計算題 B卷：3道簡答題，5道計算題 根據(jù)本校生透露，同濟考試一般來說都采用A卷 3預(yù)備知識 數(shù)理統(tǒng)計： (1) 假設(shè)檢驗：Z檢驗、t檢驗都可以針對均值的檢驗，卡方(x2)檢驗是針 對方差的檢驗，Z檢驗是針對

2、樣本比例的檢驗。 (2) 點佔計以及區(qū)間佔計：與參數(shù)的假設(shè)檢驗是一個問題的兩個方面。 線性代數(shù)： 矩陣的基本運算法則 矩陣的相關(guān)性質(zhì)，如(正交矩陣、對稱矩陣、逆矩陣、相似矩陣等性 (1) (2) 質(zhì)) 行列式的基本運算法則及基本變換 齊次方程的求解方法 (3) (4) H 4考試內(nèi)容: lx抽樣分布 a）比例的區(qū)間估計、精度、樣本容量的確定 說明：1）比例的區(qū)間佔計。這是本科學(xué)的數(shù)理統(tǒng)計的內(nèi)容，有時間的同學(xué)可以 對照任一本數(shù)理統(tǒng)計的書中“參數(shù)檢驗”章節(jié)進行學(xué)習(xí)，區(qū)間估計與單總體的參 數(shù)檢驗其實是一個問題的兩個方面，前者是以一定的把握（如95%）估計理想的 總體參數(shù)（未知）存在于以我們所得的樣本

3、參數(shù)（如平均值、方差、比例）什么 樣的允許誤差范圍內(nèi)；后者則是已知理想的總體參數(shù)，以一定的把握檢驗所得的 樣本參數(shù)是否在此把握對應(yīng)的誤差范H內(nèi)。 2）精度。即d,佔計區(qū)間的誤差大小 n. 3）樣本容量。即n,即需要抽樣的個數(shù),越大越能達(dá)到精度的要求。 公式：d=ZaJp其中，Z為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位點，P為 樣本比例，n為樣本容量，d為誤差大小 例題：“抽樣分布和參數(shù)估計”課件p6061頁、p70 2、多元正態(tài)分布 a） b） c） 說明： 數(shù)字特征、性質(zhì) 馬氏距離、歐氏距離 均值向量和協(xié)方差陣的估計 a）因為隨機抽樣的樣本是隨機的，只能山不同的統(tǒng)il數(shù)字表示，所以我們 可用統(tǒng)計的參數(shù)來代表所有

4、的統(tǒng)計樣本，稱作數(shù)字特征。一般來說，有三個參數(shù) 最重要，平均值、方差以及樣本比例。從概率論的理想角度來說，對應(yīng)分別就是 均值、方差、總體比例。樣本向量指的是有許多個變量的樣本，于是就成為了向 量。對應(yīng)這個向量X,于是它的數(shù)字特征也成為了向量，分別對應(yīng)為均值向量、 協(xié)方差矩陣（無論及樣本比例向量了）。性質(zhì)是不必死記的，考試也不會直接考, 但可通過概率論的基礎(chǔ)知識類比得出（參看書本P4P5）。 b）歐氏距離就是n維空間里的距離，沒有考慮到統(tǒng)計樣本的概率分布悄況， 馬氏距離相當(dāng)于是空間距離與概率單位距離的比值。不理解不要緊，直接代入公 式計算就行了。但在這里還要記清楚二元正態(tài)方差的逆矩陣表達(dá)式以及矩

5、陣的相 關(guān)運算。 C）對應(yīng)一元統(tǒng)計的參數(shù)估計，對于均值向量用平均值的矩陣估計，對于協(xié) 方差均值則用離差陣估計，不過貌似都不考 公式：馬氏距離p9：正態(tài)分布的協(xié)方差逆矩陣pH 例題：課本p63 3、均值向量和協(xié)方差陣的檢驗 說明：其實原理與一元參數(shù)檢驗的方法是一致的，只是所用到的檢驗函數(shù)不一樣 （如t檢驗變成了 T檢驗）。但考試應(yīng)該只考p26的均值檢驗步驟。 4、方差分析1 a) b) c) 說明： 方差分析的u的、原理 單因素方差分析表 雙因素方差分析表 a）本章節(jié)十分重要，是對那些具有多種影響水平的因素對實際試驗的影 響，簡而言之，前面的章節(jié)著眼與對單個正態(tài)總體的數(shù)字特征的研究；而本章節(jié) 則

6、涉及到因變量以及統(tǒng)計變量（即具有不同水平的W素）之間的關(guān)系，確定因素 變量對因變量的影響顯著性。但是，方差分析并不能得出因變量與自變量的具體 線性關(guān)系，只能基于對統(tǒng)計數(shù)總偏差平方和的分解而進行方差分析，進而確定 其對試驗影響的顯著性。而回歸分析則補充了單純的方差分析所帶來的缺陷，能 夠得出具體的回歸方程。因此，有些教材J概率論與數(shù)理統(tǒng)計,劉次華,高等敎 育出版社、將方差分析與回歸分析合在一起作為一個章節(jié)。 b）單因素分析是指僅對一種影響因素的影響顯著性進行分析，U標(biāo)是為了 清楚到底試驗的總體偏差是山于不同水平效應(yīng)差異（組間平均和）引起的還是曲 隨機誤差（組內(nèi)平均和）引起的，于是我們將兩者相除得

7、出F值，看F值是否 能通過F檢驗，如果能則說明該因素對試驗影響十分顯著。 C）雙因素分析與單因素分析的原理是一樣的，只是多了一個因素，公式 上有所調(diào)整。而考慮到因素與因素之間的交互作用的雙因素分析是我們的考試內(nèi) 容。的確，在這個分析里，因素與因素之間的交互作用是最值得我們注意的地方， 但是課件上已經(jīng)沒有將這種交互作用的量化公式給出，證明這題的計算過程在考 試中是不必考的。對統(tǒng)計學(xué)有興趣的同學(xué)可以隨便借一本統(tǒng)計學(xué)的教材看交互作 用效應(yīng)差異是如何用統(tǒng)計數(shù)據(jù)表示的（統(tǒng)計學(xué)，賈俊平,清華大學(xué)出版社，p270 但是，我們起碼應(yīng)該將方差分析表中各個字母代表的含義記住，分別是a、b、n； 以及記住自山度和F

8、值的計算公式。 呢H 公式或表格: 來源 平方和 iMrti 度 均方和 A Sa a- /(41) B Sb b-i Sb/a AyzB SaxB (41)(01) 1)3-1) 誤差 I ab(n-1) Se /abn-1) 總和 St abn-1 s/a-i) S/agV) 彳/如一1) SgJ fD 1) 孚/a如一D 其中，a為A因素的樣本的影響水平，b為B因素的樣本的影響水平，n為 每個交互作用的試驗結(jié)果的樣本容量 例題：“方差分析”課件：p3538 5v回歸分析1 a) b) c) d) e) f) 回歸分析的主要內(nèi)容和分析步驟 一元部分： 回歸方程的顯著性檢驗、方差分析表 預(yù)測

9、區(qū)間的近似計算、精度控制、 控制：以案例1為例。 曲線回歸的分析步驟、線性化 回歸方程的標(biāo)準(zhǔn)誤差 回歸分析是統(tǒng)訃學(xué)里三大分析之首 （主成分分析、判別分析），因為既簡 因為大家都學(xué)了這么久了。B0, 0 1 說明： 單乂實用。過程和原理我就不必多說了， 是不必我們手算的。只是增加了方程的檢驗、預(yù)測和控制，也是考試的重點所在。 C）方程的顯著性檢驗其實就是上一章單因素分析的一個特例，其中參數(shù)的個 數(shù)就是因素的水平個數(shù)。此時，我們可以注意到9對于一元回歸分析：方差分析 二 11 表中對應(yīng)3=2 （對應(yīng)兩個參數(shù)00, P 1）；對于多元回歸分析，a=p+l, P為解釋 變量的個數(shù)。同樣地，我們需要知道

10、方差分析表的各項指標(biāo)需要我們知道是怎么 得來的。 d）方程的預(yù)測區(qū)間估計比樣本的區(qū)間估計要來的復(fù)雜，有比較多繁瑣的證明， 所以同學(xué)們只要記住公式就行了。在運用公式的時候，記得所查t函數(shù)的自山度 為N-2, 乂因為我們所要做的雙邊區(qū)間估汁（即d）,所以用到對應(yīng)的分位點為 0/2.這在我們査表時是需要注意:到的。至于Se ,即我們所說的殘差平方和，是很 容易通過統(tǒng)計數(shù)據(jù)計算出來的（見“一元回歸”課件p21） e）預(yù)測與控制是回歸分析里的同一個問題的兩個方面。前者是已知解釋變量 求因變量的區(qū)間；后者是預(yù)設(shè)了因變量的區(qū)間反求解釋變量的控制區(qū)間。控制的 計算方法是建立在區(qū)間預(yù)測的基礎(chǔ)上的（此時假定每一點

11、的區(qū)間估計值都是常量 d）,然后將預(yù)設(shè)W變量y代入控制的不等式來求X。我們需要注意的是分位點選 取問題以及不等式的建立問題，當(dāng)雙側(cè)控制需要用Z檢驗的1/2分位點，當(dāng)單側(cè) 控制是用單側(cè)分位點；建立控制不等式時，y的可能最小值（y-d）應(yīng)大于控制值 下界；最大值（y+d）應(yīng)小于控制值上界。 f）考試基本不考，大家注重曲線回歸的分析步驟和線性化的方法即可。 公式或表格: 1、方程檢驗的方差分析表（一元回歸分析） ms 尸匕匕 fil 耳二 鼻 1 TVS Sr Se/(N-2) $ yvi 注：多元回歸的將自由度1改作P，N2改作N-P-1 2、一元回歸的區(qū)間預(yù)測以及控制： dZadSE/（N- 注

12、：Se為殘差平方和，N為樣本容量（取的點個數(shù)），Z為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位點值，雙側(cè) 控制時用1/2分位點0/2,單側(cè)控制時則改用單側(cè)分位點a。 例題：書本：P7173,老師所給的K聚類例題 7、卡方檢驗 a) b) c) d) 總體分布的卡方檢驗、思想原理 兩個比例差異的檢驗 獨立性檢驗 兩個相關(guān)樣本比例差異檢驗 a）在以往我們學(xué)過的但總體正態(tài)分布的比例檢驗當(dāng)中，對比例的檢驗用 說明： 到的還是Z檢驗，如今從另一個角度出發(fā)，針對多個正態(tài)總體的比例進行卡方 檢驗，不僅僅大大降低了計算強度，還能夠?qū)哂卸嘀笜?biāo)的正態(tài)主體進行檢驗， 其參數(shù)檢驗的范W可以說是大大擴展了。 b）在復(fù)習(xí)總體間的比例差異檢驗的

13、時候，不妨可以對比一下這個與方差 分析的差別（形式相似但實質(zhì)差異很大），在兩個總體的比例檢驗中，其實只有 一個因子（酒店），每個存在兩個水平（酒店1和2）,但是這兩個水平是獨立的, 其和是一個常數(shù)ni （即樣本i的容fi）,我們的研究對象是在每個水平下的結(jié)果 （成功或失敗）。而且，它并非如方差分析那樣是分析樣本的具體指標(biāo)值，而是 分析樣本的頻數(shù)。有了這樣的類比之后，可能對兩種統(tǒng)計分析方法都會有比較清 楚的理解。 C）相較于比例差異檢驗，獨立性檢驗就是多引入了一個因子（例題中是 不入住的理111）,而且每個因子都有2個或2個以上的水平（酒店n）,我們研究 的對象是在不同因子的不同水平下的頻數(shù)大小

14、，從而分析這兩種因子是否獨立。 還得注意卡方檢驗函數(shù)的自山度為（a-1） （b-1）, a、b為兩個因子的水平多少。 d）因為引入一個條件，這個條件使得原來的一個的因子（酒店）變作了兩 個（改革前的酒店和改革后的酒店），并且這兩個因子（即樣本）存在相關(guān)關(guān)系, 如今的研究U的就集中在了二者之間的差異性上。還有另一個區(qū)別就是最后的檢 驗用到的方法是Z檢驗，在通過顯著性檢驗后，我們還可以通過比較樣本比例 得出樣本比例的變化趨勢。 公式：1、兩個比例差異檢驗: 桝11 火7小$出72、， 注：其中fo為歹轡表中特定單元的觀測頻數(shù)，fe為列聯(lián)表中特定單元的期 望頻數(shù)。=. ni為第i個因子的樣本容量，

15、_ =召+ X2 =蘭 + Z?2 Z? 即為比例估計值 2、獨立性檢驗 ；譏護八尸山皆X瞬容量 行總計 SXX n 行總計X列總計 其他同比例差異檢驗，只是對于每一個單元格來說，都有各自不一樣的期 望頻數(shù)。 3、相關(guān)樣本的比例差異檢驗 條住g)2 是 Ait 是 A B A-B 否 C D C*D 總計 aY B-D McNEMAR拔嘶 22列$賽 0 O 剛樣本比例是 上三為對條件1艮應(yīng)為是的比例, /,匕1為對條件2反應(yīng)為昱的比例, 8 n 為此，定義統(tǒng)計S 檢驗此統(tǒng)計量Z能否通過Z檢驗，能通過則說明兩個樣本存在顯著差異。 例題：“卡方檢驗與非參數(shù)檢驗”課件pM17： P25-29； P

16、3334 8、主成分分析1 e) 思想、累計貢獻率、信息提取率 f）計算過程、例題 9、因子分析1 a) b) c) 說明: 因子分析模型 各個符號（阿、hi2、gj2）的統(tǒng)計學(xué)意義 利用主成分法尋找因子分析模型、計算 這兩章聯(lián)系的太緊密了，必須合起來講。 1）這是本次考試當(dāng)中技術(shù)含量比較拓的章節(jié)，詳細(xì)原理什么的我就直接略 去了，因為說起來乂一大通了，大家容易煩。簡單來說，主成分分析就是用兒個 X的線性組合來表示幾個Y,因子分析則用兒個X的線性組合來表示幾個Y。 詢者是為了能將指標(biāo)減少到兒個（即方差的重新分配）；后者則是為了能夠找到指 標(biāo)之間的共性（同樣是方差的重新分配）。共同點是同樣用方差來

17、表示指標(biāo)的信 息量，原始方差損失越少代表信息損失越少。課件上說，因子分析比主成分分析 更加有實際的意義，這個問題可以留待大家去挖掘。 2）概念說明： 累計貢獻率：每個Yi特征值通過排序所加起來占總方差的百分比（可以證 明Yi的總方差等于Xi的總方差），表示從詢兒個主成分中提取總信息的白分比。 信息提取率：每個主成分對Xi貢獻的方差與Xi總方差的比值，表示前兒個 主成分提取了某個變量的信息的百分比 aij： Xi與Fj之間的協(xié)方差。若Xi為各分量已標(biāo)準(zhǔn)化了的隨機變量，貝呃ij 為Xi與Fj之間的相關(guān)系數(shù) hi?：反映了公共因子對Xi的影響，可以看成是公共因子對Xi的方差貢獻, 稱為共性方差（co

18、ininunality） gj-：反映了公共因子Fj對所有指標(biāo)變量XI、X2的影響，可視為公共因子 Fj對XI、X2的總方差貢獻。其實這兩個很容易分辨，慣例上i為行，j為列, 因此含有i的字母自然是表示對行的影響（每一行代表一個Xi）；含有j的字 母表示對列的影響（每一列代表一個公共因子Fj） 3）計算過程：求解兩個分析模型的荷載矩陣的方法是一致的，但實際上主 成分法求解因子分析模型是有問題的（課本上有介紹，P198）,有興趣的同學(xué)可 以自行研究一下。現(xiàn)在總結(jié)一下求解步驟： （1）利用協(xié)方差矩陣Z,列行列式方程求解特征值入。別看這個很簡單，但 如果這協(xié)方差陣變得一般化以后就必須解三次方程了。對于較為特殊的協(xié)方差 陣，如“主成分分析”課件P10的例題，可以通過行列式的行列變換先將行列式 化簡，再用行或列展開行列式，避免入三次方的出現(xiàn)。本例題的特殊性在于矩陣 11 對角線上存在兩個相同的數(shù)值，因此可以通過用第3行加上第2行（性質(zhì)：行列 式值不變），使得2行1列的值為0,2行2列與3列的數(shù)值相同，然后乂可以用 第3列減去第2列，使得2行3列的值為0,此時我們就可以用第2行進行行列 式展開，避免了三次項的出現(xiàn)。不過這個只是個特例，對于一般的