1、4.4 AR譜估計的性質 AR模型譜估計具有一些很好的性質, 下面簡要討論之. 4.4.1 AR模型與線性預測譜估計等價 在第三章討論 階前向(及后向)線性預測時, 已經根據最小均方預測誤差 準則, 分別導出預測系數與信號自相關函數之間的關系. 例如, 對 階前 向預測誤差濾波器, 有下列一組線性方程: (4.4.1a) 相應的矩陣形式為 (4.4.1b) 上式即為Yule-Walker方程. 式中 表示線性一步預測誤差, 即 pp?pixxpixxpixxpixxkiRaRneEpkikRakR1min210, )()0()(, 3 , 2 , 1, 0)()(?00)(1)0() 1()(

2、) 1()0() 1 ()() 1 ()0(min21?neEaaRpRpRpRRRpRRRpppxxxxxxxxxxxxxxxxxx)(ne (4.4.2) 為最小均方預測誤差. 預測系數 與預測器的單 位沖激響應 的關系為 , 另一方面, 若 同時又是一個 階AR過程, 滿足差分方程: 其中, 是均值為0, 方差為 的白噪聲, 這時AR(p)模型的Yule- Walker方程如下: (4.4.3) ?piipinxanxnxnxne1,)()()( ?)()(min2)(neE), 2, 1(,piaip?)(nhpnanh?)(pn, 2 , 1?)(nxp?pkpknwknxanx1)

3、()()()(nw2w?001)0() 1()() 1()0() 1 ()() 1 ()0(21?wpppxxxxxxxxxxxxxxxxxxaaRpRpRpRRRpRRR?比較式(4.4.1)和(4.4.3)可知, 若AR模型與線性預測誤差濾波器具有相同 的階次 , 且 , 則AR模型系數與預測系數是一樣的. 以上說明: （a）一個 階的AR模型等效于一個 階的最佳線性預測器. (b)預測誤差濾波器是AR模型 的逆濾波器. 在AR(p)模型中, 白噪聲 激勵 產生 ; 若將 作為一 階預測誤差濾波器的輸入, 其輸出為 . 顯然有 因此 階預測誤差濾波器是AR(p)模型的逆濾波器(又稱白化濾波

4、器),如 圖4.4.1所示. p2min2)(wneE?pp)(zH)(nw)(zH)(nx)(nxp)()(nwne?pkkpkzazAzH111)(1)()()(1zAzH?p? 或者說 , AR(p)參數可以作為p階線性預測系數來求取 , 準則是使預測誤差功率最小. (c)基于以上分析, 也可將AR(p)模型定義為 式中, 是 階最佳一步線性預測器的預測值, 即 綜上所述, AR模型譜估計與線性預測譜估計是等價的. 圖4.4.1 AR模型與預測誤差濾波器 (a) AR模型; (b) 預測誤差濾波器(白化濾波器) )(nx)(nw)(1)(zAzH?)(a)(nx)()(nwne?)()(

5、1zAzH?)(b)()( ?)(nwnxnx?)( ? nxp?pkkpknxanx1,)()( ?線性預測 1-A(z) ? ? ? )(nx)( ? nx)()(nwne?4.4.2 AR模型隱含自相關函數延拓特性 (外推) 本節討論AR譜估計的分辨率問題. 1. 譜分辨率概念 譜估值 的頻域分辨率, 是指 保持其真實譜 中兩個 鄰近的譜峰仍被分辨出來的能力. 決定 分辨率的主要因素是所使用的數據的長度, 也即窗函數的寬 度 . (可根據信號的時-頻特性進行粗略解釋) 例如: 對長度為 的信號, 若取樣間隔為 , 則由DFT做譜分析時,其分辨率 近似為 ; 經典譜估計的分辨率正比于 (即

6、窗函數主瓣的寬度,其中 為正 整數). 可見, 譜分辨率反比于所使用的信號長度 . )(?jxxeP)(?jxxeP)(?jxxeP)(?jxxePNNsTNfsNk?2kN 假設真實譜 中有兩個相距為的譜峰, 為了在 譜中區分它們, 則要求 因此, 數據長度應滿足 (4.4.4) 為了保證 的分辨率, 希望 要大. (但增大N會使 的起伏 加劇) 2. AR譜估計的譜分辨率 在經典譜估計中, BT法的功率譜估計值為 它是把 以外的 值都視為零, 其分辨率不可避免地要受到 窗函數的寬度( ? )的限制. )(?jxxeP)(?jxxePBWNk?2BWkN?2?)(?jxxePN)(?jxxe

7、PmjmxxxxjxxemRmReP?)(?)(?DFT)(?pm ? |)(?mRxxp?p? AR模型隱含著數據和自相關函數的外推, 使其可能的長度超過給定的長 度, 這時AR譜對應的自相關函數在 后并不等于零, 因此避免了窗函 數的影響, 使其具有很高的譜分辨率. 已知 模型輸出的復功率譜估值為 (4.4.5) 式中, 的系數即為 的模型參數 ,可由自相 關函數的 估計值 求得; 是 的復 共軛. 假設該 是由一個無限長的自相關函數序列 的Z變換得到的, 因此有 (4.4.6a) pm ? |)(AR p)(?)(?)(?12AR?zAzAzSw?)(?zA)(AR p) 1, 2 ,

8、1(0?apkak?1?p)(?,),1 (?),0(?pRRRxxxxxx?)(?1?zA)(?zA)(?ARzS)(?mRxx?mmxxwzmRzAzA)(?)(?)(?12?上式兩邊同乘以 , 得 (4.4.6b) 兩邊再同取Z反變換, 考慮到 并設 是因果的, 且 , 可得 式(4.4.6b)左邊 , 式(4.4.6b)右邊 )(?zA?mmxxwzmRzAzA)(?)(?)(?12?pkkkpzazAzH1,?11)(?1)(?)(?)(?1zHZnh?)(?nh1)(?lim)0(?zHhz)(?)(?22mmhww?, )(?)( ?)(?)( ?)(?)(?01?plxxxxm

9、mjxxlmRlamRmaemRzAZ?0m?0m? 根據Z變換性質和H(z)的表達式. 因此得到 , (4.4.7) 設 , 對于 , 由于 , 故上式可寫成 , (4.4.8) 以上表明, 在 模型中, 對于 范圍內的 值, 可由上式外推得 到. 外推過程可一直持續到使 很小. 這就避免了用窗函數截取時產 生的卷積效應, 因而分辨率大大提高. 進一步, 對于 的情況, 由式(4.4.7)可寫出 (4.4.9) )(?)(?)( ?20mlmRlawplxx?0?m1)0( ?apm ?0)(?2?mw?plxxxxlmRlamR1)(?)( ?)(?pm?)(AR ppm?)(?mRxx)

10、(?mRxxpm, 2 , 1 , 0?plxxplwxxxxpmlmRlamlmRlamR112, 2 , 1),(?)( ?0,?)(?)( ?)(? 上式與前節推導的Yule-Walker方程相同, 只是式中用 代替 . 顯然, 只要 的 個值與 相同, 那么由上式解出的 模型參數 就一定與求解Yule-Walker方程得到的參數一致. )(?mRxx)(mRxx)(?mRxx1?p)(mRxx)(AR p)( ? la4.4.3 AR譜估計與最大熵譜估計 (MESE)等效 1.何謂最大熵譜估計何謂最大熵譜估計 由以上分析可以得到啟示: 為了改善功率譜估計的分辨率, 可由已知的一 段有限

11、長自相關序列 ,通過外推求得未知的 (直至 時, 已可忽略為止), 然后再用這樣的序列估計功率譜, 顯然其分辨率將優于經典譜估計法. 外推自相關函數的方法很多, 伯格(Burg)提出按“最大熵準則”進行外推. 最大熵譜估計(MESE)指的是: 在已知 , 的條件下, 采用最大熵準則外推自相關函數方 法估計信號的功率譜. 又稱“最大熵外推”功率譜估計法, 或“短數據”功率譜 估計法. 最大熵譜估計: Maximum Entropy Spectral Estimation, MESE )(,),1 (),0(NRRRxxxxxx?NmmRxx?),(Nm?)(mRxx)(mRxxNm ?按“最大熵

12、準則”外推,得到的自相關函數所對應的時間序列具有最大熵 (最隨機), 其功率譜是最白的. 2.按最大熵準則外推自相關函數的方法 設 為零均值高斯平穩隨機序列, 若已知其自相關函數 的 個值: , 現求下一個在最大延時之外的自相關函數值 . 包含 的由 個自相關函數值組成的矩陣為 (4.4.10) 已知 維零均值高斯隨機矢量的熵為 (4.4.11) 式中, 為常數; 為矩陣 的行列式 )( nx)(mRxx1?N)(,),1 (),0(NRRRxxxxxx?)1(?NRxx) 1(?NRxx2?N?)0()() 1()()0() 1 () 1() 1 ()0() 1(xxxxxxxxxxxxxx

13、xxxxxxRNRNRNRRRNRRRN?R2?NKpHxx?)1(lndet21RK)1(det?NxxR) 1(?NxxR 要使熵 最大, 必須使 最大, 即要選擇 使 達到最大. 為此令 用歸納法可證明, 滿足上式條件相當于 (4.4.12) 上式 是 的一次函數, 解之即得 . 然后繼續采用相同的 方法構造 , 即由已知的 外推得到 ? ,直到 時, 已可忽略為止. ) 1()1(det?NNxxxxRRH)1(det?NxxR) 1( ?NRxx)1(det?NxxR0) 1() 1(?NdRNdxxxxR0) 1 ()() 1()2() 1 ()2() 1()0() 1 (?xxx

14、xxxxxxxxxxxxxxxRNRNRNRRRNRRR?) 1(?NRxx) 1(?NRxx)2(?NxxR),0(xxR),1 (xxR,?)(NRxx) 2(?NRxxNm ?)(mRxx參見王宏禹 ,p265.及 沈鳳麟, p441. 3. 最大熵譜估計與AR譜估計等效 可以證明, 對于零均值高斯平穩隨機序列而言, 最大熵譜估計與AR譜估 計等效. 這種等效性體現在: 以最大熵準則外推自相關函數, 等價于用已知的 個自相關函數值去 匹配一個 信號模型的參數, 而一旦通過解Yule-Walker方程求出信號模 型的參數后, 則功率譜估計就可按下式直接計算: (4.4.13) 由于上述等效性, 以及AR模型法與預測濾波法的緊密聯系, 最大熵譜分 析可以應用AR模型法與預測濾波法進行研究. 最大熵譜估計克服了經典法中數據長度與分辨率的矛盾, 在短數據情況 下仍能準確地進行譜估計. 1?NAR212MESE)(1)(?pmmjemaS?4.4.4其它性質 AR譜估計的其它性質還有: (1)AR模型的最小相位特性 如果自相關矩陣 正定的, 則由Yule-Walker方程解出的信號模型參 數 , ,? , 構成的 階AR模型是穩定的, 且是唯一的. 這說明, 的零點全部在單位園內(或者說, AR模型的系統函數 的極 點全部在單位園內). (