2008年普通高等學校招生全國統一考試（廣東卷）(理科)全解析廣東佛山南海區南海中學 錢耀周一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1已知，復數的實部為，虛部為1，則的取值范圍是（ C ）ABCD【解析】，而，即， 2記等差數列的前項和為，若，則（ D ）A16B24C36D48【解析】，故一年級二年級三年級女生373男生3773703某校共有學生2000名，各年級男、女生人數如表1已知在全校 學生中隨機抽取1名，抽到二年級女生的概率是0.19現用分層抽樣的方法在全校抽取64名學生，則應在三年級抽取的學生人數為（ C ）A24B18C16D12 表1【解析】依題意我們知道二年級的女生有380人，那么三年級的學生的人數應該是，即總體中各個年級的人數比例為，故在分層抽樣中應在三年級抽取的學生人數為4若變量滿足則的最大值是（ C ）A90 B80 C70 D40【解析】畫出可行域,利用角點法易得答案C.5將正三棱柱截去三個角（如圖1所示分別是三邊的中點）得到幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側視圖（或稱左視圖）為（ A ）EFDIAHGBCEFDABC側視圖1圖2BEABEBBECBED【解析】解題時在圖2的右邊放扇墻(心中有墻),可得答案A.6已知命題所有有理數都是實數，命題正數的對數都是負數，則下列命題中為真命題的是（ D ）ABCD【解析】不難判斷命題為真命題，命題為假命題，從而上述敘述中只有 為真命題7設，若函數，有大于零的極值點，則（ B ）ABCD【解析】，若函數在上有大于零的極值點，即有正根。當有成立時,顯然有,此時，由我們馬上就能得到參數的范圍為.8在平行四邊形中，與交于點是線段的中點，的延長線與交于點若，則（ B ）ABCD開始n整除a?是輸入結束輸出圖3否【解析】此題屬于中檔題.解題關鍵是利用平面幾何知識得出,然后利用向量的加減法則易得答案B.二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分（一）必做題（912題）9閱讀圖3的程序框圖，若輸入，則輸出 ， （注：框圖中的賦值符號“”也可以寫成“”或“”）【解析】要結束程序的運算，就必須通過整除的條件運算，而同時也整除，那么的最小值應為和的最小公倍數12，即此時有。10已知（是正整數）的展開式中，的系數小于120，則 【解析】按二項式定理展開的通項為，我們知道的系數為，即，也即，而是正整數，故只能取1。11經過圓的圓心，且與直線垂直的直線方程是 【解析】易知點C為，而直線與垂直，我們設待求的直線的方程為，將點C的坐標代入馬上就能求出參數的值為，故待求的直線的方程為。12已知函數，則的最小正周期是 【解析】,此時可得函數的最小正周期。二、選做題（1315題，考生只能從中選做兩題）13（坐標系與參數方程選做題）已知曲線的極坐標方程分別為，則曲線與交點的極坐標為 【解析】我們通過聯立解方程組解得,即兩曲線的交點為。14（不等式選講選做題）已知，若關于的方程有實根，則的取值范圍是 【解析】方程即,利用絕對值的幾何意義(或零點分段法進行求解)可得實數的取值范圍為15（幾何證明選講選做題）已知是圓的切線，切點為，是圓的直徑，與圓交于點，則圓的半徑 【解析】依題意，我們知道,由相似三角形的性質我們有,即。三、解答題：本大題共6小題，滿分80分解答須寫出文字說明，證明過程或演算步驟16（本小題滿分13分）已知函數，的最大值是1，其圖像經過點（1）求的解析式；（2）已知，且，求的值【解析】（1）依題意有，則，將點代入得，而，故；（2）依題意有，而，。17（本小題滿分13分）隨機抽取某廠的某種產品200件，經質檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件已知生產1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元設1件產品的利潤（單位：萬元）為（1）求的分布列；（2）求1件產品的平均利潤（即的數學期望）；（3）經技術革新后，仍有四個等級的產品，但次品率降為，一等品率提高為如果此時要求1件產品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？【解析】的所有可能取值有6，2，1，-2；，故的分布列為：621-20.630.250.10.02（2）（3）設技術革新后的三等品率為，則此時1件產品的平均利潤為依題意，即，解得 所以三等品率最多為18（本小題滿分14分）設，橢圓方程為，拋物線方程為如圖4所示，過點作軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為，已知拋物線在點的切線經過橢圓的右焦點（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；（2）設分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在拋物線上是否存在點，使得為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標）【解析】AyxOBGFF1圖4（1）由得，當得，G點的坐標為，過點G的切線方程為即，令得，點的坐標為，由橢圓方程得點的坐標為，即，即橢圓和拋物線的方程分別為和；（2）過作軸的垂線與拋物線只有一個交點,以為直角的只有一個，同理 以為直角的只有一個。若以為直角，設點坐標為，、兩點的坐標分別為和， 。關于的二次方程有一大于零的解，有兩解，即以為直角的有兩個，因此拋物線上存在四個點使得為直角三角形。19（本小題滿分14分）設，函數，試討論函數的單調性【解析】 對于，當時，函數在上是增函數；當時，函數在上是減函數，在上是增函數；對于，當時，函數在上是減函數；當時，函數在上是減函數，在上是增函數。20（本小題滿分14分）FCPGEAB圖5D如圖5所示，四棱錐的底面是半徑為的圓的內接四邊形，其中是圓的直徑，垂直底面，分別是上的點，且，過點作的平行線交于（1）求與平面所成角的正弦值；（2）證明：是直角三角形；（3）當時，求的面積【解析】（1）在中，而PD垂直底面ABCD，,在中，,即為以為直角的直角三角形。設點到面的距離為,由有,即 ;(2),而,即,，,是直角三角形；（3）時,即,的面積21（本小題滿分12分）設為實數，是方程的兩個實根，數列滿足，（）（1）證明：，；（2）求數列的通項公式；（3）若，求的前項和【解析】（1）由求根公式，不妨設，得，（2）設，則，由得，消去，得，是