1 離散數學作業(yè) 2答案 集合恒等式與等價關系的判定 一 、 集合 運算 跟我練習 （ 每題 10 分，共 20 分 ） 1 設集合 A a, b, a, b， B=a, b, a, b ，求 BA， AB 和 A B，BA 解 BA a, b, a, b a, b, a, b= a, b ； AB=a, b, a, ba, b, a, b = a, b, a, b, a, b ； A B=a, b, a, b a, b, a, b = a, b ； BA= a, b, a, b, a, b a, b= a, b, a, b 2 設 A， B， C 為任意集合， 試 證： (AB)C= A(B C) 證明 設任意 x(AB)C， 那么 xAB 或 x C ， 也就是 xA 或 xB 或 xC， 由此得 xA 或 xBC，即 x A (B C) 所以 ， (AB)C A (BC) 又因為對 任意 x A (BC )，由 xA 或 x B C ， 也就是 xA 或 xB 或 xC； 得 xA B 或 xC，即 (AB)C 所以 ， A (BC ) (AB)C 故 (AB)C= A(B C) 一 、 集合 運算 自我練習 （ 每題 15 分，共 30 分 ） 3 設 A=a, b, 1, 2， B= a, b, 1, 1，求（ AB）， A B 和 （ A B） （ A B） 解： A B=a, b, 1, 2 a, b, 1, 1=a, b,2 A B=a, b, 1, 2 a, b, 1, 1= a, b， a ， a, b， b ， a, b， 1 ， a, b，1 ， 1， a ， 1， b ， 1， 1 ， 1， 1 ， 2， a ， 2， b ， 2， 1 ， 2， 1 ( A B ) - ( A B ) =a, b, 1, 2, a, b, 1-1=a, b, 2, a, b, 1 4設 A, B, C 是 三 個任意集合 ，試證 A (B C)=(A B) (A C) 證明： 設任意 x A (B C)，那么 x A 且 x B C， 也就是 x A 且 x B， 或 x A 且 x C； 由此得 x A B 或 x A C，即 x (A B ) (A C ) 2 所以， A (B C) (A B ) (A C ) 又因為對 任意 x (A B ) (A C )，由 x A B 或 x A C， 也就是 x A 且 x B， 或 x A 且 x C； 得 x A 且 x B C，即 x A (B C) 所以 ， (A B ) (A C ) A (B C) 故 A (B C)=(A B ) (A C ) 二、關系性質與等價關系的判定（ 每題 25 分，共 50 分 ） 5設集合 A=a , b , c上的二元關系 R = a , a ， b , b ， b , c ， c , c ， S = a , b ， b , a ， T = a , b ， a , c ， b , a ， b , c ， 判斷 R， S， T 是否為 A 上自反的、對稱的和傳遞的關系并說明理由 解：（ 1） R 具有 自反 性，傳遞性。因為恒等關系 IA R ，所以 R 具有 自反 性，且滿足傳遞性的性質。 （ 2） S 具有 對稱 性。因為 S 的逆關系 S 1=S，所以 R 具有 對稱 性。 （ 3） T 沒有任何性 質。 6設集合 A = a, b, c, d， R， S 是 A 上的二元關系，且 R = , , , , , , , S = , , , , , , , , 試判斷 R 和 S 是否為 A 上的等價關系，并說明理由 解：（ 1） R 是 A 上的 等價 關系 。因為恒等關系 IA=, , , R，所以 R 具有 自反 性；因為 S 的逆關系 S 1=S，所以 R 具有 對稱 性； R 同時滿足傳遞性。 （ 2） S 不 是 A 上的 等價 關系 。因為 S 不滿足 自反 性， S， 所以 S 不 是 A 上的等價 關系 。 活動說明 ： 本次活動分兩個部分，第一部分 是 集合運算 題， 主要有 集合運算 的計 3 算題和證明題，它是 第 1 章重點 掌握的內容 這一部分內容分為兩個階段，第一階段是“跟我練習”，跟我練習是讓同學們跟著老師做題（填空），初步熟悉做題方法和書寫格式第二階段是“自我練習”，自我練習是要求同學們自己獨立完成一個計算題和證明題，進一步掌握集合計算題和證明題的解題方法這一部分共四個題目 ，其中跟我練習兩題，每題 10 分，共 20 分；自我練習兩題，每題15 分，共 30 分 第二部分是關系性質與等價關系的判定 關系性質是第 2 章的基礎內容，對它掌握的好壞直接影響本章后續(xù)內容的學習，而等價關系的判定是第 2 章重點內容之一希望大家通過這次本次練習 ，熟悉這種題型，加深對關系性質的理解，掌握等價關系的判定方法 這一部分共兩個題目，每題 25 分，共 50 分 注意 ：大家在做關系性質與等價關系的判定的題目時，必須給出自己判斷并要說明理由，如果只給出自己判斷而沒有說明理由，并且判定正確，每題只能得到 10