9.1.1平面直角坐標系的概念教學設計學習目標1.數學抽象素養：通過生活實例與數學模型的結合，理解平面直角坐標系的相關概念，能夠準確識別和描述坐標系的構成要素，提升從具體情境中抽象出數學概念的能力。2.邏輯推理素養：經歷探索平面直角坐標系中各象限及坐標軸上點的坐標特征的過程，培養邏輯推理能力，學會運用歸納、類比等方法得出一般性結論。3.數學運算素養：掌握在平面直角坐標系中確定點的坐標以及根據坐標確定點的位置的方法，能夠準確進行坐標的計算和點的定位，提高數學運算的準確性和熟練度。4.直觀想象素養：借助平面直角坐標系，將平面內的點與有序數對建立一一對應關系，直觀感受數與形的相互轉化，增強對數學問題的直觀理解和空間想象能力。5.數學應用素養：體會平面直角坐標系在實際生活中的廣泛應用，能夠運用平面直角坐標系的知識解決簡單的實際問題，提高運用數學知識解決實際問題的能力。重難點1.重點理解平面直角坐標系的概念，掌握坐標軸、原點、象限等基本要素。學會在平面直角坐標系中確定點的坐標，以及根據坐標找到對應的點。2.難點理解平面直角坐標系中各象限及坐標軸上點的坐標特征，并能靈活運用這些特征解決相關問題。體會平面直角坐標系中數與形的相互轉化，感受其在實際問題中的應用，建立數學模型解決實際問題。自學導思知識關聯平面直角坐標系是在學生已經學習了數軸的基礎上進行的進一步拓展。數軸是規定了原點、正方向和單位長度的直線，它能將實數與直線上的點一一對應。而平面直角坐標系則是由兩條互相垂直且有公共原點的數軸組成，它將平面內的點與有序數對建立了一一對應關系，是數軸概念的二維拓展，為后續學習函數、解析幾何等知識奠定了基礎。數學思想方法在學習平面直角坐標系的過程中，蘊含著多種數學思想方法。例如，通過將平面內的點用坐標表示，體現了“數”與“形”相互轉化的思想，即把幾何圖形中的點轉化為代數中的有序數對，同時也能根據有序數對在平面內確定點的位置；在探索各象限及坐標軸上點的坐標特征時，運用了歸納總結的思想方法，從具體的點的坐標中歸納出一般性的規律。歷史背景平面直角坐標系是由法國數學家笛卡爾創立的。在笛卡爾生活的時代，代數和幾何是相互獨立的兩個學科。笛卡爾通過思考如何將幾何圖形與代數方程聯系起來，發明了平面直角坐標系。這一偉大的發明使得幾何問題可以用代數方法來解決，代數問題也能通過幾何圖形直觀地展現，為數學的發展開辟了新的道路，極大地推動了數學的進步，對后來的科學發展產生了深遠的影響。預習檢測1.在平面內，兩條互相_______且有_______的數軸組成平面直角坐標系。其中，水平的數軸稱為_______或_______，習慣上取_______為正方向；豎直的數軸稱為_______或_______，取_______為正方向；兩坐標軸的交點為平面直角坐標系的_______。答案：垂直；公共原點；x軸；橫軸；向右；y軸；縱軸；向上；原點2.對于平面內任意一點P，過點P分別向x軸、y軸作垂線，垂足在x軸、y軸上對應的數a、b分別叫做點P的_______、_______，有序數對（a，b）叫做點P的_______。答案：橫坐標；縱坐標；坐標3.平面直角坐標系被兩條坐標軸分成四個部分，每個部分稱為一個_______，按_______方向依次叫做_______、_______、_______、_______。坐標軸上的點_______任何象限。答案：象限；逆時針；第一象限；第二象限；第三象限；第四象限；不屬于新課導入同學們，在我們的生活中，常常需要確定位置。比如，當我們在電影院里找座位時，需要知道排號和座位號；在地圖上尋找一個城市的位置時，也需要一種準確的定位方法。今天，老師將帶領大家走進一個全新的數學世界，學習一種能精確確定平面內點的位置的方法——平面直角坐標系。（教師播放一段視頻，展示在大型商場中人們使用電子地圖尋找店鋪位置的場景，以及在軍事演習中通過坐標定位目標的畫面）大家看，在這些場景中，都需要準確地確定位置。那么，如何用數學的方法來實現呢？這就是我們今天要學習的內容。讓我們一起開啟這趟探索之旅，去了解平面直角坐標系的奧秘。共學激思環節一：引入平面直角坐標系的概念1.教師在黑板上畫出一條數軸，提問：同學們，我們之前學習了數軸，誰能說一說數軸的三要素是什么？預設答案：原點、正方向、單位長度。教師：非常好。數軸可以將實數與數軸上的點一一對應起來，那么在一個平面內，如何確定點的位置呢？（教師在黑板上畫出一個平面，在平面上隨意標記幾個點）現在老師在這個平面上有幾個點，怎么準確描述它們的位置呢？2.教師展示一個帶有橫縱線條的方格紙，類似于棋盤（如下所示），并在方格紙上標記一個點A。A提問：同學們，現在我們來看這個方格紙，假如我們把橫向的線看作一排一排，縱向的線看作一列一列，那怎么確定點A的位置呢？預設答案：可以通過說明點A在第幾行第幾列來確定位置。比如點A在第4行第5列。教師：很好，這是一種確定平面內點位置的方法。那如果我們把這些行和列用數學的方式來表示，就可以引入平面直角坐標系。教師在黑板上畫出平面直角坐標系，講解：我們在平面內畫兩條互相垂直、原點重合的數軸，組成平面直角坐標系。水平的數軸稱為x軸或橫軸，習慣上取向右為正方向；豎直的數軸稱為y軸或縱軸，取向上為正方向；兩坐標軸的交點為平面直角坐標系的原點。3.讓學生觀察自己課桌上準備的平面直角坐標系模型，互相交流坐標系的構成要素。教師巡視并指導學生，確保學生理解平面直角坐標系的基本概念。環節二：學習點的坐標表示1.教師在平面直角坐標系中標記一個點P，講解點的坐標確定方法。教師：對于平面內任意一點P，過點P分別向x軸、y軸作垂線，垂足在x軸、y軸上對應的數a、b分別叫做點P的橫坐標、縱坐標，有序數對（a，b）叫做點P的坐標。例如，過點P向x軸作垂線，垂足對應的數是3，向y軸作垂線，垂足對應的數是2，那么點P的橫坐標是3，縱坐標是2，點P的坐標就是（3，2）。2.教師在平面直角坐標系中再標記幾個點，讓學生說出這些點的坐標。（教師標記點Q、R、S等，點Q的坐標為（2，4），點R的坐標為（0，3），點S的坐標為（5，0））提問：哪位同學來說一說點Q的坐標？預設答案：點Q的橫坐標是2，縱坐標是4，坐標為（2，4）。提問：點R的坐標呢？預設答案：點R的橫坐標是0，縱坐標是3，坐標為（0，3）。提問：點S的坐標呢？預設答案：點S的橫坐標是5，縱坐標是0，坐標為（5，0）。3.組織學生進行小組活動，每個小組在平面直角坐標系中隨意標記5個點，然后互相說出對方標記點的坐標，進行交流和核對。教師巡視各小組活動情況，及時給予指導和糾正。環節三：探索各象限及坐標軸上點的坐標特征1.教師引導學生觀察平面直角坐標系被坐標軸分成的四個部分，講解象限的概念。教師：平面直角坐標系被兩條坐標軸分成四個部分，每個部分稱為一個象限，按逆時針方向依次叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。坐標軸上的點不屬于任何象限。2.讓學生在平面直角坐標系中分別找出第一象限、第二象限、第三象限、第四象限內的點，觀察這些點的坐標特征。提問：請同學們在第一象限內找幾個點，觀察它們的橫坐標和縱坐標有什么特點？預設答案：第一象限內點的橫坐標是正數，縱坐標也是正數。提問：第二象限內的點呢？預設答案：第二象限內點的橫坐標是負數，縱坐標是正數。提問：第三象限內的點呢？預設答案：第三象限內點的橫坐標是負數，縱坐標也是負數。提問：第四象限內的點呢？預設答案：第四象限內點的橫坐標是正數，縱坐標是負數。教師總結：第一象限內的點的坐標特征是（+，+），第二象限內的點的坐標特征是（，+），第三象限內的點的坐標特征是（，），第四象限內的點的坐標特征是（+，）。3.教師引導學生觀察坐標軸上點的坐標特征。提問：x軸上的點的縱坐標有什么特點？預設答案：x軸上的點的縱坐標為0。提問：y軸上的點的橫坐標有什么特點？預設答案：y軸上的點的橫坐標為0。教師總結：x軸上的點的坐標可以表示為（x，0），y軸上的點的坐標可以表示為（0，y）。4.組織學生進行小組討論，總結各象限及坐標軸上點的坐標特征，并填寫如下表格：象限或坐標軸坐標特征第一象限（+，+）第二象限（，+）第三象限（，）第四象限（+，）x軸（x，0）y軸（0，y）每個小組推選一名代表進行發言，分享小組討論結果。教師對各小組的發言進行點評和總結，強化學生對各象限及坐標軸上點的坐標特征的理解。環節四：應用平面直角坐標系解決實際問題1.教師展示一個實際問題：如圖，這是某城市的部分地圖，以市政府為原點，正東方向為x軸正方向，正北方向為y軸正方向建立平面直角坐標系。已知醫院的坐標為（2，3），超市的坐標為（3，1），請在圖中找出醫院和超市的位置。（教師給出一個簡單的地圖示意圖，標有市政府的位置）教師引導學生分析：首先我們要根據已知條件建立好平面直角坐標系，然后根據醫院和超市的坐標來確定它們在圖中的位置。學生獨立思考并嘗試在圖中找出醫院和超市的位置，教師巡視并給予個別指導。請一位同學上臺在黑板上的地圖示意圖中指出醫院和超市的位置，并講解自己的思路。預設答案：因為醫院的坐標是（2，3），橫坐標是2，說明醫院在市政府的正西方向距離2個單位長度的地方，縱坐標是3，說明在市政府正北方向距離3個單位長度的地方，所以可以確定醫院的位置；超市的坐標是（3，1），橫坐標是3，說明超市在市政府正東方向距離3個單位長度的地方，縱坐標是1，說明在市政府正南方向距離1個單位長度的地方，從而確定超市的位置。2.教師提出新的問題：若學校在市政府的正南方向4個單位長度處，圖書館在市政府的正東方向5個單位長度處，求學校和圖書館的坐標。學生思考并回答：學校的坐標是（0，4），圖書館的坐標是（5，0）。教師引導學生總結解決此類實際問題的步驟：首先要根據題目條件建立合適的平面直角坐標系，然后根據點與原點的相對位置關系確定點的坐標。3.組織學生進行小組合作，完成如下問題：在你們小組所在的教室中，以教室的某個角落為原點，建立平面直角坐標系，確定小組內每位同學的位置坐標。每個小組進行討論，確定原點和坐標軸的方向，然后測量并計算出每位同學的坐標。小組完成后，推選一名代表向全班匯報小組的結果，分享建立坐標系和確定坐標的過程。檢學反思1.在平面直角坐標系中，點（3，5）在第_______象限，點（4，2）在第_______象限，點（0，7）在_______軸上，點（5，0）在_______軸上。答案：二；四；y；x2.已知點P的坐標為（a，b），若a＞0，b＜0，則點P在第_______象限；若a=0，b≠0，則點P在_______上。答案：四；y軸3.如圖，在平面直角坐標系中，三角形ABC的三個頂點坐標分別為A（1，3），B（3，1），C（0，2）。請在圖中畫出三角形ABC，并求出三角形ABC的面積。（此處學生需要根據坐標在平面直角坐標系中畫出三角形ABC，然后通過分割或補形的方法求出三角形的面積。答案：三角形ABC的面積為6.5）4.已知點M（a+3，2a1）在y軸上，求點M的坐標。答案：因為點M在y軸上，所以橫坐標為0，即a+3=0，解得a=3。將a=3代入2a1，可得2×（3）1=7。所以點M的坐標為（0，7）。我的反思在本節課的教學中，成功之處在于通過多種方式引導學生積極參與學習。從生活實例引入平面直角坐標系的概念，激發了學生的學習興趣，讓學生感受到數學與生活的緊密聯系。在講解點的坐標表示、各象限及坐標軸上點的坐標特征時，通過讓學生自主觀察、小組討論、上臺展示等方式，充分發揮了學生的主體作用，培養了學生的自主學習能力和合作交流能力。在應用平面直角坐標系解決實際問題環節，學生能夠將所學知識運用到實際情境中，提高了學生解決問題的能力。然而，在教學過程中也存在一些不足之處。例如，在引導學生探索各象限及坐標軸上點的坐標特征時，部分學生對坐標特征的理解不夠深入，可能是因為給予學生自主探索的時間不夠充分，沒有讓學生充分經歷從具體到抽象的過程。在今后的教學中，需要更加注重學生的學習過程，給予學生足夠的時間進行思考、討論和總結，幫助學生更好地理