辨析概率模型明確參數意義 單元整體視角下的概率模型復習課教學設計 一、教學內容解析1.內容本節課研究的是人教A版《普通高中教科書·數學選擇性必修第三冊》第七章7.4二項分布與超幾何分布單元整體視角下的高三復習課。2.內容解析內容的本質：有無放回是超幾何分布與二項分布最好的界定，當超幾何分布的N值趨向于無窮大，n趨向于無窮小時，超幾何分布分布近似可以看成二項分布，其中兩點分布是特殊的二項分布。內容的課標解讀：《課標（2020年修訂版）》指出：選擇性必修概率單元的學習，可以幫助學生感悟離散型隨機變量及其分布列的含義，知道可以通過隨機變量更好地刻畫隨機現象；理解伯努利試驗，掌握二項分布，了解超幾何分布；基于隨機變量及其分布解決簡單的實際問題，具體內容要求為：1.通過具體實例，了解伯努利試驗，掌握二項分布及其數字特征，并能解決簡單的實際問題。2.通過具體實例，了解超幾何分布及其均值，并能解決簡單的實際問題。蘊含的思想和方法：本節課通過典型例題與高考真題幫助學生辨析概率模型，明確參數意義。從高考真題引入，結合教材典型例題，進一步體會從特殊到一般、概率、模型、數形結合等數學思想，發展數學抽象、數學建模和數據分析等核心素養。知識的上下位關系：教材編排與新課標對教學內容的要求基本一致，從上位知識來看，教材重視對概念、公式等知識的直觀分析，例如樣本點的樹狀圖，樣本空間的集合示意圖，以及事件的關系、條件概率、全概率公式等知識的直觀分析。從下位知識來看，完成兩類概率模型的學習，就完成了離散型隨機變量的學習，將進入正態分布（連續型隨機變量）的學習。育人價值：在探究過程中，體現了數學的科學價值和應用價值，這樣不僅有利于學生更好地感受不同概率分布間的差異，明確其適用條件，而且幫助學生體會到概率和模型思想在現實世界中的應用，使得數學的育人功能落在實處。同時，學生從現實情境中體會到引入概率分布的必要性，有助于培養學生探索事物本質和規律的欲望，發展學生的創新思維，體驗數學理性思維的形成過程，對促進科學精神的提升有著十分重要的作用。基于以上分析，本單元的教學重點：n重伯努利試驗，二項分布及其數字特征，超幾何分布及其均值。3.教材對比分析表1給出了人教A版，B版，湘教版，蘇教版，北師大版教科書中本課時的位置、上下位關系。版本章節上下位關系人教A版7.4二項分布與超幾何分布前位知識：條件概率與全概率公式、離散型隨機變量及其分布列、數字特征，后期要學習正態分布。人教B版4.1概率與統計前位知識：條件概率與全概率公式、離散型隨機變量及其分布列，后期要學習隨機變量的數字特征及正態分布。北師大版6.4概率前位知識：條件概率與全概率公式、離散型隨機變量及其分布列、數字特征，后期要學習正態分布。通過對比發現，盡管三版教科書在編排體系上不盡相同，但是各版教科書中均融入了《課標（2020年修訂）》的設計理念。三版教科書“二項分布與超幾何分布”模塊的邏輯主線基本一致，都遵循了“背景→概率模型的特征→參數的意義→應用”介紹順序，且均是借助具體實例充分感知“伯努利試驗”、“獨立”、“重復”等試驗特征。基于此，本單元的教學思路也延續了這種教學思路。二、目標和目標解析1.各維度單元目標詳解單元核心知識目標核心知識教學目標二項分布、超幾何分布掌握二項分布:通過具體實例，了解伯努利試驗，能利用n重伯努利試驗的特征推導二項分布的分布列;能根據服從二項分布的隨機變量的實際意義猜想出均值，并能由定義計算二項分布的均值，知道二項分布方差的表達式;會使用計算機軟件計算分布列及概率P（了解超幾何分布:通過簡單隨機抽樣，知道超幾何分布的特征、分布列及其均值，能說出二項分布與超幾何分布的區別與聯系；數學思想方法目標思想方法教學目標概率思想掌握n重伯努利試驗的特征，解決實際問題;了解超幾何分布的特性及均值。特殊與一般發現二項分布的數字特征及性質;由特殊到一般地推導二項分布和超幾何分布的分布列。模型思想能掌握n重伯努利試驗的特征，建立二項分布模型，了解利用概率進行決策的思想;了解二項分布和超幾何分布的聯系與區別。核心素養目標數學抽象抽象離散型隨機變量及其分布列的概念，理解隨機變量均值和方差的意義和作用;抽象n重伯努利試驗的特征，建立二項分布模型。邏輯推理能用歸納和類比，由特殊到一般地得出二項分布與超幾何分布的分布列、均值與方差的性質等，能準確、清晰、有條理地進行表述.數值計算能求簡單離散型隨機變量的分布列以及均值和方差.數學建模能綜合應用所學的概率知識，分析現實生活中的某些隨機現象，進行獨立思考，建立概率模型，清晰、準確地表述求解過程，并進行簡單的決策.2.單元教學目標(1)通過具體實例，了解伯努利試驗，能利用n重伯努利試驗的特征推導二項分布的分布列;能根據服從二項分布的隨機變量的實際意義猜想出均值，并能由定義計算二項分布的均值，知道二項分布方差的表達式;會使用計算機軟件計算分布列及概率P（（2）通過簡單隨機抽樣，知道超幾何分布的特征、分布列及其均值，能說出二項分布與超幾何分布的區別與聯系，在具體情境中，通過代數運算，體會實際問題中變量間的關系。3.單元目標解析達成上述目標的標志是：(1)能結合具體實例解釋伯努利試驗,能利用n重伯努利試驗的特征推導二項分布的分布列。(2)能根據服從二項分布的隨機變量的實際意義猜想出均值,并能用定義計算二項分布的均值,知道二項分布方差的表達式。(3)能結合簡單隨機抽樣解釋超幾何分布的特征、分布列及均值,能闡述二項分布與超幾何分布的區別與聯系。(4)能在實際問題中,抽象概率分布模型，正確識別并建立二項分布模型、超幾何分布模型，并用其解決簡單的實際問題。三、教學問題診斷分析1.問題診斷學生已經具備的認知基礎：（1）高一學生已經學習了概率論的基礎知識，如概率的定義、性質、計算方法和隨機變量的概念，是學生掌握二項分布和超幾何分布的前提。（2）高二階段已學完計數原理，包括排列、組合和二項式定理等，為理解二項分布和超幾何分布提供了必要的數學工具；此外，學生已經學習過離散型隨機變量的分布列、均值、方差等概念，能夠理解和計算簡單的離散型隨機變量的分布。（3）學生具備了一定的數學建模能力，能夠將實際問題抽象為數學問題，并運用概率論的知識進行求解。盡管學生已經具備了一定的認知基礎，但在復習二項分布與超幾何分布時，仍可能面臨以下問題：（1）概念混淆：學生可能對二項分布和超幾何分布的概念混淆不清，無法準確區分兩者的區別和聯系。（2）實際問題解決能力不足：學生可能無法將二項分布和超幾何分布的知識應用于實際問題中，或者無法準確識別問題的類型和特征。（3）知識遷移能力有限：學生可能無法將二項分布和超幾何分布的知識與其他數學知識（如正態分布、線性回歸等）進行遷移和整合。綜上所述，通過對學生認知基礎的診斷分析，我們可以更加準確地把握學生的學習情況和問題所在，從而采取針對性的教學策略和方法，幫助他們更好地復習和掌握二項分布與超幾何分布的知識。因此，本節課的教學難點確定為：在實際問題中抽象出模型的特征，辨析二項分布和超幾何分布。2.學情調查在開始本單元的教學之前，借助問卷星了解學生學習情況，涉及的問題如下：①通過之前的學習，你認為概率模型的一般研究路徑是什么？②你清楚二項分布的定義及參數的意義嗎？③在抽樣試驗（如抽次品或摸球模型）中，你能區分二項分布和超幾何分布？④你了解正態分布中的參數μ，σ四、教學支持條件分析1.信息技術支持本單元涉及概率模型源于實際情境，數據較多，不易處理，可以借助excel和GeoGebra軟件進行計算、列表和作圖。在二項分布和超幾何分布的教學中，有關概率的計算、概率分布圖和正態密度曲線的繪制都需要借助信息技術工具，因此加強與信息技術的融合是本單元教學內容的需要而決定的。2.教法學法分析可以采取如下的方法突破上述兩方面難點：(1)教師首先要具備研究概率模型的一般觀念，學生將經歷抽象隨機試驗的特征及明確參數意義的過程。(2)教師在研究概率分布的基本路徑指引下，通過設計恰當的問題，引導學生關注兩類概率分布的特征，通過例1借助信息技術，深刻理解兩類分布間的差異與聯系，明確其適用的條件；同時，在日常復習中對“立足教材、融通高考、回歸課本”有所滲透，學生對研究教材、研究高考真題的教學模式和教學路徑的相對熟悉。五、課時教學過程設計環節一夯實基礎，模型簡單應用引導語：前一單元我們學習了離散型隨機變量的有關知識，即在一個確定的試驗背景下，求指定隨機變量的分布列，并計算出該隨機變量的均值和方差。本節課我們利用這些概率知識研究兩類重要的概率模型—二項分布、超幾何分布。辨析概率模型，我們必須要了解該模型的試驗特征，隨機變量的含義，概率的計算方法。師生活動1：老師帶領學生回顧概率模型的學習過程，明晰研究概率模型的一般路徑：“背景→概率模型的特征→參數的意義→應用”，引出本節課的研究內容是：辨析概率模型明確參數意義。問題1：(2018·新高考Ⅲ,8)某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨立。設X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數，D(X)=2.4,P(X=4)<P(X=6),則p=（）；A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3問題2：（2023年新課標甲卷理科19）一項試驗旨在研究臭氧效應實驗方案如下：選40只小白鼠，隨機地將其中20只分配到實驗組，另外20只分配到對照組，實驗組的小白鼠飼養在高濃度臭氧環境，對照組的小白鼠飼養在正常環境。設X表示指定的兩只小白鼠中分配到對照組的只數，求X的分布列和數學期望。設計意圖：學生結合兩個高考真題實例，充分感知不同概率模型的試驗特征，為二項分布、超幾何分布的概念做好準備；用小組合作探究的形式，幫助學生從實際問題中，抓住“試驗特征——明確適用條件——探究參數意義”。

師生活動2：學生分小組進行匯報，教師輔助進行點評，構建“生生互疑、生生互學”的學習氛圍。三種常見概率分布模型特征分析：1.二項分布（）我們把只包含兩個可能結果的試驗叫做伯努利試驗。一般地，在n重伯努利試驗中，設每次實驗中事件A發生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發生的次數，則X的分布列為．如果X的分布列具有上述形式，則稱隨機變量X服從二項分布（binomialdistribution），記作．如果，那么．2.超幾何分布不放回抽樣：一般地，假設一批產品共N件，其中有M件次品．從N件產品中隨機抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件產品中的次品數，則X的分布列為其中，．如果X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從超幾何分布（hypergeometricdistribution），記作.如果，設，則．設計意圖：通過小組合作學習及匯報展示的形式，讓學生對兩個概率分布的模型特征從概率分布規律從代數表征形式、表格方式等方面進行辨析，突出整體結構思想，在各分布模型識別過程中注意各概率模型分布特點及相互聯系，強化對各模型中均值、方差等參數含義的理解。環節二回歸教材，研究典型例題引導語：現在我們已經明確了二項分布、超幾何分布的模型特征，接下來讓我們借助信息技術對它們做進一步探究。例1一個袋子中有100個大小相同的球，其中有40個黃球、60個白球，從中隨機地摸出20個球作為樣本．用X表示樣本中黃球的個數．（1）分別就逐個有放回摸球和一次性不放回摸球，求X的分布列；（2）分別就逐個有放回摸球和一次性不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計總體中黃球的比例，求誤差不超過0.1的概率。思考：（1）本題中每次摸球是一個什么試驗？（2）若采用有放回摸球，則各次試驗的結果獨立嗎?X服從什么分布？（3）若采用無放回摸球，則各次試驗的結果獨立嗎?X服從什么分布？將小球擴大一定倍數，此時“誤差不超過0.1的概率”如何變化？解析：（1）①逐一有放回摸球：每次摸到黃球概率為0.4，且各次實驗結果相互獨立，相當于做20次伯努利試驗，因此，X的分布列為②一次性不放回摸球：各次實驗結果不獨立，，X的分布列為（2）樣本中的黃球比例是一個隨機變量，誤差不超過0.1的意思是，解得，分別按逐一有放回摸球和一次性不放回摸球計算．接下來請學生利用數學軟件GeoGebra中的“概率計算器”對此問題進行合作探究、展示交流。所以.這說明，在相同的誤差限制下，采用一次性不放回摸球估計的結果更可靠些．追問：將小球數擴大一定倍數？此時“誤差不超過0.1的概率”如何變化？讓學生小組合作，用數學軟件GeoGebra進行數學實驗，并討論、交流、分享．如：將小球數擴大10倍，即“一個袋子中有1000個大小相同的球，其中有400個黃球、600個白球，從中隨機地摸出200個球作為樣本”，此時“誤差不超過0.1的概率”又如何？不難發現．仍然有結論：在相同誤差限制下，采用超幾何分布估計的結果更可靠些．與此同時我們會發現：此時兩個概率已經很接近了，且兩種分布的概率分布圖特別相似，都很像“鐘形曲線”。總結：（1）逐一有放回抽樣用二項分布，一次性不放回抽樣用超幾何分布；在相同誤差限制下，采用超幾何分布估計的結果更可靠些．（2）對于一次性不放回抽樣，當n遠遠小于N時，每取一次后，對N的影響很小，此時，超幾何分布可以用二項分布近似．設計意圖：例1選自教材第79頁例6，利用GeoGebra進行數學實驗，引導學生對此題進行深度思考，改變各參數的值，觀察超幾何分布和二項分布的變化情況，引導學生思考二項分布和超幾何分布的區別與聯系，了解二項分布、超幾何分布的聯系與區別．環節三辨別模型，明確參數意義課堂小結是課堂教學不可缺少的重要環節，根據本節課學生學習內容及學習過程，引導學生主要從以下幾方面進行課堂小結：1．通過本節課的學習，談談你對概率二項分布、超幾何分布之間的聯系與區別的認識。2．學習反思：通過這節課的學習，你能從數學知識、方法、思想層面進行總結嗎？請同學們帶著這兩個問題，對以下小結單進行填寫完善，小組討論，交流分享本節課的學習體會。設計意圖：引導學生對本節課所學內容和方法進行歸納概括，讓學生形成較完整的概率三分布的知識、思想和方法的認知結構，進一體會概率數學模型應用的思想，充分感受數學的力量和數學的有用性。環節四歸納真題，深化概率模型練習1：（2018·新課標1·理20）某工廠的某種產品成箱包裝，每箱件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產品中任取件作檢驗，再根據檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗，設每件產品為不合格品的概率都為，且各件產品是否為不合格品相互獨立。（1）記件產品中恰有件不合格品的概率為,求的最大值點；（2）現對一箱產品檢驗了件，結果恰有件不合格品，以（1）中確定的作為的值．已知每件產品的檢驗費用為元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付元的賠償費用．（i）若不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為，求;（ii）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據，是否該對這箱余下的所有產品作檢驗？練習2：（2018·天津·高考理16）已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數分別為24，16，16.現采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進行睡眠時間的調查。（I）應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數，求隨機變量X的分布列與數學期望；（ii）設A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發生的概率.設計意圖：通過梳理近幾年高考試卷中利用二項分布、超幾何分布解決實際問題的試題，我選擇這兩題作為練習題，練習1要求學生能從實際情景中抽象出對應的概率分布，用概率知識解釋客觀事實，進行概率決策，練習2考查了超幾何分布，其主要用于抽檢產品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質是古典概型。六、課后練習鞏固6.1（2024·全國新Ⅱ卷·高考真題）某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成績為0分；若至少投中一次，則該隊進入第二階段.第二階段由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得0分.該隊的比賽成績為第二階段的得分總和．某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨立．(1)若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率．(2)假設，（i）為使得甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率最大，應該由誰參加第一階段比賽？（ii）為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數學期望最大，應該由誰參加第一階段比賽？6.2（2019·天津·高考真題（理））設甲、乙兩位同學上學期間，每天7：30之前到校的概率均為.假定甲、乙兩位同學到校情況互不影響，且任一同學每天到校情況相互獨立.（Ⅰ）用表示甲同學上學期間的三天中7：30之前到校的天數，求隨機變量的分布列和數學期望；（Ⅱ）設為事件“上學期間的三天中，甲同學在7：30之前到校的天數比乙同學在7：30之前到校的天數恰好多2”，求事件發生