§5.5復數章節副標題011.通過方程的解，認識復數.2.理解復數的代數表示及其幾何意義，理解兩個復數相等的含義.3.掌握復數的四則運算，了解復數加、減運算的幾何意義.課標要求內容索引01第一部分

落實主干知識02第二部分

探究核心題型03課時精練落實主干知識章節副標題021.復數的有關概念(1)復數的定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，其中

是復數z的實部，

是復數z的虛部，i為虛數單位.(2)復數的分類：復數z＝a＋bi(a，b∈R)實數(b

0)，虛數(b

0)(當a

0時為純虛數).ab＝≠＝(3)復數相等：a＋bi＝c＋di?

(a，b，c，d∈R).(4)共軛復數：a＋bi與c＋di互為共軛復數?

(a，b，c，d∈R).(5)復數的模：向量

的模叫做復數z＝a＋bi的模或絕對值，記作

或

，即|z|＝|a＋bi|＝

(a，b∈R).a＝c且b＝da＝c，b＝－d|z||a＋bi|2.復數的幾何意義(1)復數z＝a＋bi(a，b∈R) 復平面內的點Z(a，b).(2)復數z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量

.3.復數的四則運算(1)復數的加、減、乘、除運算法則：設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝

；(a＋c)＋(b＋d)i②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝

；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝

；(a－c)＋(b－d)i(ac－bd)＋(ad＋bc)i(2)幾何意義：復數加、減法可按向量的平行四邊形法則或三角形法則進行.如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復數加、減法的幾何意義，即

＝

，

＝

.2.i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*).3.i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*).4.復數z的方程在復平面上表示的圖形(1)a≤|z|≤b表示以原點O為圓心，以a和b為半徑的兩圓所夾的圓環；(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)為圓心，r為半徑的圓.1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)復數z＝0沒有共軛復數.(

)(2)復數可以比較大小.(

)(3)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，當a＝0時，復數z為純虛數.(

)(4)復數的模實質上就是復平面內復數對應的點到原點的距離，也就是復數對應的向量的模.(

)√×××2.(必修第二冊P95T1(3)改編)已知復數z＝i3(1＋i)，則z在復平面內對應的點位于A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限√z＝i3(1＋i)＝－i(1＋i)＝1－i，z在復平面內對應的點為(1，－1)，位于第四象限.3.(2023·合肥模擬)已知i是虛數單位，若|1＋ai|＝5，則實數a等于√由z(1－i)＝i，返回4.已知復數z滿足z(1－i)＝i(i為虛數單位)，則z的虛部為________.探究核心題型章節副標題03例1

(1)(多選)(2023·銀川模擬)若復數z滿足z(1－2i)＝10，則√√題型一復數的概念對于B，z－2＝2＋4i－2＝4i，為純虛數，故B正確；對于C，z＝2＋4i，其在復平面內對應的點為(2,4)，在第一象限，故C錯誤；(2)(2024·杭州模擬)若復數z滿足z(1＋i)＝－2＋i(i是虛數單位)，則|z|等于√依題意，z(1＋i)＝－2＋i，√√√x1，x2均為虛數，不能比較大小，故B錯誤；解決復數概念問題的方法及注意事項(1)復數的分類及對應點的位置問題都可以轉化為復數的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數化為代數形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可.(2)解題時一定要先看復數是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部.跟蹤訓練1

(1)(多選)下面是關于復數z＝－1－i(i為虛數單位)的命題，其中真命題為A.|z|＝2B.z2＝2iC.z的共軛復數為1＋iD.z的虛部為－1√√B選項，z2＝(－1－i)2＝1＋2i＋i2＝2i，B正確；C選項，z的共軛復數為－1＋i，C錯誤；D選項，z的虛部為－1，D正確.(2)(2023·淄博模擬)若復數z＝

的實部與虛部相等，則實數a的值為A.－3 B.－1 C.1 D.3√所以2a＋1＝a－2，解得a＝－3，故實數a的值為－3.(3)(2023·懷化模擬)若復數z是x2＋x＋1＝0的根，則|z|等于√∵x2＋x＋1＝0，綜上，|z|＝1.A.－i B.i C.0 D.1√題型二復數的四則運算(2)(多選)(2023·忻州模擬)下列關于非零復數z1，z2的結論正確的是A.若z1，z2互為共軛復數，則z1·z2∈RB.若z1·z2∈R，則z1，z2互為共軛復數√√設z1＝a＋bi(a，b∈R)，由z1，z2互為共軛復數，得z2＝a－bi，則z1·z2＝a2＋b2∈R，故A正確；當z1＝2＋2i，z2＝1－i時，z1·z2＝4∈R，此時z1，z2不是共軛復數，故B錯誤；由z1，z2互為共軛復數，得|z1|＝|z2|，(1)復數的乘法：復數乘法類似于多項式的乘法運算.(2)復數的除法：除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數.跟蹤訓練2

(1)(2022·新高考全國Ⅱ)(2＋2i)(1－2i)等于A.－2＋4i B.－2－4iC.6＋2i D.6－2i√(2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i＋4＝6－2i.(2)(2023·濟寧模擬)已知復數z滿足z·i3＝1－2i，則

的虛部為A.1 B.－1 C.2 D.－2√∵z·i3＝1－2i，∴－zi＝1－2i，√題型三復數的幾何意義(2)(2023·邢臺模擬)已知i是虛數單位，復數z＝a＋bi(a，b∈R)，且|z－i|＝|z＋2－i|，則|z－3＋

i|的最小值為A.5 B.4 C.3 D.2√因為z＝a＋bi(a，b∈R)，則z－i＝a＋(b－1)i，z＋2－i＝(a＋2)＋(b－1)i，解得a＝－1，則z＝－1＋bi，由于復數、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可以把復數、向量與解析幾何聯系在一起，解題時可運用數形結合的方法，使問題的解決更加直觀.跟蹤訓練3

(1)在復平面內，O為坐標原點，復數z1＝i(－4＋3i)，z2＝7＋i對應的點分別為Z1，Z2，則∠Z1OZ2的大小為√∵z1＝i(－4＋3i)＝－3－4i，z2＝7＋i，(2)(2023·太原模擬)已知復數z滿足|z－2|＝1，則|z－i|的最小值為√設z＝x＋yi(x，y∈R)，所以(x－2)2＋y2＝1，即z在復平面內對應點的軌跡為圓C：(x－2)2＋y2＝1，如圖，返回課時精練章節副標題0412345678910111213141516一、單項選擇題1.已知a，b∈R，a＋3i＝(b＋i)i(i為虛數單位)，則A.a＝1，b＝－3 B.a＝－1，b＝3C.a＝－1，b＝－3 D.a＝1，b＝3√因為a＋3i＝(b＋i)i＝－1＋bi，所以a＝－1，b＝3.123456789101112131415162.(2023·西安模擬)已知i是虛數單位，復數z滿足z－i＝

，則復數z的共軛復數為A.2 B.－2 C.2i D.－2i√12345678910111213141516所以z＝2，所以復數z的共軛復數為2.123456789101112131415163.如果一個復數的實部和虛部相等，則稱這個復數為“等部復數”，若復數z＝(2＋ai)i(其中a∈R)為“等部復數”，則復數

＋ai在復平面內對應的點在A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限√12345678910111213141516∵z＝(2＋ai)i＝－a＋2i，又∵“等部復數”的實部和虛部相等，復數z為“等部復數”，∴－a＝2，解得a＝－2，12345678910111213141516√12345678910111213141516復數z1＝a＋i，z2＝1－2i，解得a＝2，即z1＝2＋i，123456789101112131415165.已知m，n為實數，1－i(i為虛數單位)是關于x的方程x2－mx＋n＝0的一個根，則m＋n等于A.0 B.1 C.2 D.4√由1－i是關于x的方程x2－mx＋n＝0的一個根，則1＋i是關于x的方程x2－mx＋n＝0的一個根，則m＝1－i＋1＋i＝2，n＝(1－i)×(1＋i)＝2，即m＝2，n＝2，則m＋n＝4.123456789101112131415166.(2023·齊齊哈爾模擬)已知復數z1與z＝3＋i在復平面內對應的點關于實軸對稱，則

等于A.1＋i B.1－i C.－1＋i D.－1－i√因為復數z1與z＝3＋i在復平面內對應的點關于實軸對稱，所以z1＝3－i，123456789101112131415167.(2024·滄州模擬)設復數z滿足|z－1＋i|＝2，z在復平面內對應的點為(x，y)，則A.(x＋1)2＋(y－1)2＝4 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4C.(x－1)2＋(y－1)2＝4 D.(x－1)2＋(y＋1)2＝4√復數z滿足z＝x＋yi(x，y∈R)，則|x－1＋(y＋1)i|＝2，∴(x－1)2＋(y＋1)2＝4.8.(2023·貴陽模擬)歐拉公式exi＝cosx＋isinx由瑞士著名數學家歐拉創立，該公式將指數函數的定義域擴大到復數集，建立了三角函數與指數函數的關聯，在復變函數論占有非常重要的地位，被譽為數學中的天橋.依據歐拉公式，下列選項中不正確的是A.對應的點位于第二象限B.為純虛數√12345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516二、多項選擇題9.(2023·衡陽模擬)已知i為虛數單位，則下列結論中正確的是A.i＋i2＋i3＋i4＝0B.3＋i>1＋iC.若復數z為純虛數，則|z|2＝z2D.復數－2－i的虛部為－1√√12345678910111213141516對于A，由虛數的運算性質，可得i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0，故A正確；對于B，虛數不能比較大小，故B不正確；對于C，當z＝i時，|z|2＝1，z2＝－1，此時|z|2≠z2，故C不正確；對于D，根據復數的概念，可得復數－2－i的虛部為－1，故D正確.12345678910111213141516√√√12345678910111213141516對于C，當z1＝3＋4i，z2＝5時，|z1|＝|z2|＝5，但是z1≠±z2，故C錯誤；12345678910111213141516三、填空題1234567891011121314151612.寫出一個同時滿足①②的復數z＝________.因為z?R，不妨設z＝bi(b∈R，b≠0)，則(bi)3＝－b3i＝－bi，解得b＝±1，即z＝±i符合.i(或－i)12345678910111213141516∴z＝－1＋i.－1＋i1234567891011121314151614.(2023·成都檢測)已知|z|＝