第1講：函數(shù)的基本性質(zhì)（單調(diào)性、最值和奇偶性）高頻考點突破

【考點梳理】

考點一：函數(shù)的有關(guān)概念

設(shè)A,2是非空的實數(shù)集,如果對于集合A中任意一個數(shù)x,按照某種確

函數(shù)的定義定的對應(yīng)關(guān)系方在集合8中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng),那么就稱了：

AT為從集合A到集合B的一個函數(shù)

函數(shù)的記法y=Ax),x^A

定義域X叫做自變量，X的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域

值域函數(shù)值的集合｛y（x）|xeA｝叫做函數(shù)的值域

考點二：函數(shù)的單調(diào)性

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)Hx）的定義域為/,如果對于定義域/內(nèi)某個區(qū)間。上的

任意兩個自變量的值XI，X2

定義

當(dāng)X1<X2時，都有"1）<"2），那么就當(dāng)尤1<%2時，都有.他）>他），那么

說函數(shù)/U）在區(qū)間。上是增函數(shù)就說函數(shù)/U）在區(qū)間D上是減函數(shù)

弋￥）

,沏）：/2）

圖象描述o￡x

Opi~~%.~~x

自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的

考點三.函數(shù)的最值

前提設(shè)函數(shù)>=式無）的定義域為/,如果存在實數(shù)M滿足

（1）對于任意的尤G/,都有（3）對于任意的xe/,都有?主必；

條件

（2）存在刈6/,使得/fa））=M（4）存在無oG/,使得"o）=M

結(jié)論〃為最大值M為最小值

考點四.函數(shù)的奇偶性

奇偶性定義圖象特點

一般地，如果對于函數(shù)/（X）的定義域內(nèi)任意一個X,都有

偶函數(shù)關(guān)于詡對稱

K—x）=Kx）,那么函數(shù)以%）就叫做偶函數(shù)

一般地，如果對于函數(shù)兀1）的定義域內(nèi)任意一個工,都有

奇函數(shù)關(guān)于原點對稱

X）=—母）,那么函數(shù)/（X）就叫做奇函數(shù)

【題型歸納】

題型一：函數(shù)的定義域

1.（2022秋?安徽合肥?高一校考期末）函數(shù)/（無）=4二T+lg無的定義域為（）

A.(0,1]B.(0,+oo)C.(l,+oo)D.[l,+oo)

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式有意義列出不等式組求解即可.

【詳解】要使函數(shù)有意義，

fx-l>0

則c，解得X21,

[x>0

即函數(shù)的定義域為[1，+8）.

故選：D

2.（2023秋?遼寧沈陽?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)y=〃x+l）的定義域為[L2],則函數(shù)y=f（2x-l）的定義域為（）

-11「31

A.B.—,2C.[—1,1]D.[3,5]

【答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)定義域之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可.

【詳解】???函數(shù)y=F（x+l）的定義域為[1,2],即UW2,可得2WX+1W3,

?.?函數(shù)》=/（制的定義域為[2,3],

3

令2<2%—1<3,^-<x<2,

一3-

故函數(shù)y=〃2x-l）的定義域為-,2.

故選：B.

3.（2022秋?山東淄博.高一統(tǒng)考期末）函數(shù)/（X）=A/T5+108。6（2%-1）的定義域為（）

A.（0。B.（0,1]

【答案】D

【分析】根據(jù)被開方數(shù)不小于零，對數(shù)的真數(shù)部分大于零列不等式組求解.

fl-x>01

【詳解】由已知得c,八，

[2x-l>02

所以函數(shù)了⑴=月九+地區(qū)仁工-9的定義域為《』.

故選：D.

題型二：復(fù)雜（根式、分式）函數(shù)的值域

4.（2023秋?山東德州?高一統(tǒng)考期末）函數(shù)y=3/>的值域為（）

JJ

A.（0,+8）B.（0,l）U（l,+oo）C.{x|九wl}D.（l,+oo）

【答案】B

【分析】令〃”=占，求出y=〃x）的值域，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可求出函數(shù)y=32的值域.

【詳解】令，（無）=占，由X—Iwo,則〃X）HO,所以y=3專.3。，所以"1，又3上>0,所以函數(shù)y=32的

值域為（0，1）口（1，+8）.

故選：B

5.（2023秋?湖北襄陽?高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中，值域為（0,+"）的是（）

A.f^x）=4xB./（x）=x+—（J;>0）

C.f（^）=D.〃尤）=l-：（尤>1）

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域、幕函數(shù)的性質(zhì)、以及基本不等式可直接求得選項中各函數(shù)的值域進(jìn)行判斷即可.

【詳解】由已知/（x）=?值域為［0,+8）,故A錯誤；

x>0,/（x）=x+—>2.xx—=2,x=l時，等號成立，所以“無）=尤+!（尤>0）的值域是［2,+co）,B錯誤；

xVxx

因為定義域為x?T'+8）'jx+l〉0,函數(shù)值域為（0,+8）,故C正確；

/（x）=1—（x>1）,—e（0,1）,—e（—1,0）,所以九）40,1）,故D錯誤.

XXX

故選：C.

6.（2023秋?湖北?高一湖北省黃梅縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知函數(shù)/（x）=2d%+4+3的值域為

（0,+8），8（尤）=炮（尤2-10尤+54的值域為［1,會0）,貝！|a+6=（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

【分析】分別利用和g（元）的取值范圍求出參數(shù)。和6,即可求出a+人的值

【詳解】在函數(shù)〃x）=2（“令2-（。叫川中，值域為（0,+8）

...函數(shù)y=（a-2）三-（。+1）*+3的值域為R,

a—2=0f角星得：a=2

在g(x)=lg(x2-10x+5b)中，值域為［1,+co)

...在y=f-10x+5b中，值域為［10,+oo),

22

'：y=X-l0x+5b=(x-5)+5b-25,

...5匕-25=10,解得：b=7

Q+Z?=9,

故選：C

題型三：求解析式三大方法

7.(2023秋?河北唐山?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)滿足〃尤)+2/(-x)=x,則〃1)=()

A.—1B.1C.—D.—

33

【答案】A

【分析】分別令x=l,x=-l,然后解方程組可得.

［/(I)+2/(-1)=1

【詳解】分別令x=l,x=-l,則［八J解得=

故選：A

8.(2023秋?遼寧?高一遼河油田第二高級中學(xué)校考期末)已知二次函數(shù)〃x)=G2+Zzx+c(aw。),

/(x+l)-/(x)=2x,且"0)=1.

⑴求函數(shù)的解析式；

⑵求函數(shù)“X)在區(qū)間［T,1］上的值域.

【答案】(1)〃力=/一x+1

~3-

⑵了3

【分析】(1)函數(shù)圖象與y軸交點確定c值，函數(shù)y=/(x+l)-/(x)和函數(shù)y=2無相等，對應(yīng)系數(shù)相等確定。、b

值.

(2)根據(jù)區(qū)間［-1』上的單調(diào)性求出最值，即可得到區(qū)間［-M］上的值域.

【詳解】(1)解：因為“0)=1,所以c=l,所以/(x)=o?+6x+l,

又因為〃x+l)-〃x)=2x,所以［“％+1)~+6"+1)+1］-(辦2+灰+1)=2*，

所以2ax+a+Z?=2x,

2a=2Q=1

所以…，所以

b=-l9

即/(^)=x2—x+1.

(2)解：因為=f一》+1=1一￡|+|,所以/(X)是開口向上，對稱軸為尤=g的拋物線.

因為“尤)在-1，￡|遞減，在pl遞增，所以"x)min=/

因為〃T)=l+1+1=3,〃1)=1-1+1=1,

所以“x)max="T)=l+l+l=3,

「3-

所以“X)在上的值域為-,3.

9.(2023秋?吉林松原?高一校考期末)已知函數(shù)“尤-l)=lgL-

⑴求函數(shù)的解析式；

⑵判斷“X)的奇偶性；

丫

【答案】⑴〃x)=lg產(chǎn)-4-1(-1<尤<1)

L-X

(2)/(x)為奇函數(shù)，證明見解析

【分析】(1)利用換元法，可得函數(shù)/(x)的表達(dá)式;

(2)根據(jù)奇函數(shù)定義判斷可得答案.

【詳解】(1)令，=%-1,貝!］，+1=尤,

X

因為——>0,所以0cx<2,所以一Iv/vl,

由=得/(。=坨三，且一1V/V1,

所以〃x)=lg等(-1<%<1)；

1-X

(2)因為〃"=垣二(-1<%<1),

L-X

定義域關(guān)于原點對稱，

“T)=lgP1x+1

=一吟=-〃x),

所以/(X)為奇函數(shù).

題型四：分段函數(shù)

/、y,x<o,、

10.(2023秋?甘肅白銀?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)〃x)=、八，則〃log32)=()

A.1B.2C.1D.0

【答案】A

【分析】根據(jù)bg32的范圍代入分段函數(shù)的解析式利用對數(shù)運(yùn)算求值.

【詳解】因為題32>0,log31<0,所以/(log32)=/(-log32)=/^log3：=1,

故選：A

3x+4]<1

11.(2023秋?廣西河池?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(%)=*。"、1，若根<"，且/("Z)=/(")，貝1的取值范

3—2,%21

圍是()

41「4、

A.——,7B.[—1,7]C.[-1,7)D._—,7I

【答案】D

【分析】作出“X)的圖象，得到m=與心,〃41,2),問題轉(zhuǎn)化為時(〃)=￥'(3"-2),〃e[l,2),換元后進(jìn)行求

解，得到答案.

【詳解】作出“X)的圖象，如圖所示：

由3根+4=3”—2,[1,2),可得機(jī)

則械(〃)=336,(3"-2),ne[1,2),

令r=3"jw[3,9),

則〃礦⑺=(i)[-2)='(-釬-4]Je[3,9),

故時(〃)e-1,71

故選：D.

12.(2022秋?江西撫州?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(x)=K+1'X<°,則不等式f(2/-l)>f(3a+4)的解集為(

2-X2,X>0

-5C.（-co,-l）uf|-，+GOjD.

A.-l<a<—B.。<一1或4>一

22

【答案】D

【分析】根據(jù)已知得出函數(shù)/(x)=牙+1"<°在定義域R上單調(diào)遞減，即可根據(jù)單調(diào)性解不等式得出答案.

2—x2,x>0

_J__|_1%<0

【詳解】函數(shù)/(%)=2"'中，

2—x2,x>0

y=吩+1在％v0上單調(diào)遞減，y=2—工2在兀之o上單調(diào)遞減，—+1=2—02,

則函數(shù)〃x)=<聲+1"<°在定義域R上單調(diào)遞減，

2

2—X9X>0

???/（24—1）>/（3Q+4）,

2/—1v3a+4,解得：—1<x<—,

即不等式/(26-1)>〃3a+4)的解集為1-1卷

故選：D.

題型五：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍

一爐—ax—9,尤W1

13.(2022秋.四川廣安.高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(%)=〃在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)。的取值范圍

—,%>1

、x

為()

A.[-5,0)B.(—8,—2)

C.[-5,-2]D.(—8,0)

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可求出實數(shù)〃的取值范圍.

【詳解】由題意，xeR,

—尤2—cix—9,xW1

在/(力=a?中，函數(shù)單調(diào)遞增,

—,%>1

、x

-Q

>1

2x(-1)

〃<°，解得：一5<a<—2,

-l-a-9<—

1

故選：C.

14.（2022?全國?高一期末）已知函數(shù)/食）=加+無一3,若對任意的/々H+s），且比1彳尤2，/（*）_/（%）<3恒

玉-x2

成立，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.（-00,1）B.（-°o,l]C.（-8,0）D.（-°o,0]

【答案】D

【分析】不妨設(shè)1=%<三，令g（x）=/（x）-3x=*-2x-3,由題分析可得函數(shù)g。）在口，?）上單調(diào)遞減，討論“=0

和awO時，要使g（x）在[1,?）上單調(diào)遞減時需要滿足的條件，即可求出答案.

【詳解】不妨設(shè)<三,則玉-2<0,根據(jù)題意，可得〃西）-/色）>3（3-尤2）恒成立，即〃石）-3%>〃％）-3馬

恒成立.令g(x)=f(x)—3x=ax2-2x-3,

則g（玉）>g（%）恒成立，所以函數(shù)g（X）在[1,+s）上單調(diào)遞減.

當(dāng)。=0時，8。）=一2%一3在口,+8）上單調(diào)遞減，符合題意；

當(dāng)aW0時，要使g（x）=ad-2x-3在[l,+oo）上單調(diào)遞減，

a<0,

則-2/[解得“<0.

「J，

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍是（-甩0].

故選：D.

-ax^+4x-*（X<1）

15.（2022秋?陜西西安?高一長安一中校考期末）已知函數(shù)/（同=2是（-8,+8）上的增函數(shù)，則

logax（x>l）

實數(shù)a的取值范圍為（）

"31「5]「31「51

A.-,2B.-,3C.-,3D.2,-

\_2J\_2J[2」2」

【答案】A

【分析】根據(jù)分段函數(shù)是（-8,+s）上的增函數(shù)，則每一段都為增函數(shù)，且x=l右側(cè)的函數(shù)值不小于左側(cè)的函數(shù)值求

解.

【詳解】函數(shù)〃尤）=2'是（-8,+8）上的增函數(shù)，

logax（x>l）

a>Q

?一213

所以｛2a解得廣找2,

a>1

-?+4-—<0

[2

3

所以實數(shù)。的取值范圍是,，2

故選：A.

題型六：函數(shù)不等式恒成立問題

16.(2022秋?江西景德鎮(zhèn)?高一景德鎮(zhèn)一中校考期末)已知不等式9，-〃〃6，+4㈤20對任意上恒成立，則實數(shù)相的

取值范圍是()

A.(YO,1]B.(-00,2]C.(-°o,4]D.(一》,5]

【答案】C

【分析】變形給定的不等式，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及基本不等式求解作答.

【詳解】Vxe(0,+8),9x-m-6'+4A+1>0o32x-m-3'-2x+4-22x>0<=>m<(1)x+4.(j)A,

令1=(2)，>1,/(Z)=f+->2.P=4,當(dāng)且僅當(dāng)仁土即1=2,*=1。822時取等號，

2tVtt2

因此當(dāng)x=log“時，(|),+4.(于取得最小值4,則mV4,

所以實數(shù)相的取值范圍是(-8,4].

故選：C

17.(2023秋?遼寧本溪?高一校考期末)若不等式(x-l)2<log“x(a>0,且。工1)在xe(l,2]內(nèi)恒成立，則實數(shù)

a的取值范圍為()

A.[1,2)B.(1,2)

C.(1,V2]D.(2,0)

【答案】B

【分析】分析出0<。<1時，不成立，當(dāng)時，畫出“x)=log〃x,g(x)=(x-l)2的圖如數(shù)形結(jié)合得到實數(shù)。

的取值范圍.

2

【詳解】若此時無logax<Q,Tfn(x-l)>0,故(無一以<log”x無解；

若a>l,此時xe(l,2],log。尤>0,ffij(x-l)2>0,

令〃x)=k>g.x,g(x)=(尤—I)：

畫出兩函數(shù)圖象，如下:

故要想<log“x在xe(l,2]內(nèi)恒成立,

則要log.2>1,解得：ae(l,2).

故選：B.

18.(2019秋?山西長治?高一山西省長治市第二中學(xué)校校考期末)定義在R上的函數(shù)“X)滿足=且當(dāng)

_入2I10<無<]

：，若對任意的加+1],不等式〃。恒成立，則實數(shù)加的最大

2—2,x21

值是()

A.-1B.--C.--D.-

233

【答案】C

【分析】由已知條件可知，當(dāng)無20時，/(X)為減函數(shù)，再由偶函數(shù)的性質(zhì)將『(1-x)W/(x+%),可化為

/(|1一聞)4耳尤+向)，進(jìn)而可得|1一乂斗+時，化簡得(2根+2)xWl",從而得，可求出加

的范圍，從而可得其最大值

【詳解】因為在R上的函數(shù)〃x)滿足〃r)=/(x),

所以/(x)為偶函數(shù),

—x^+1,0?x<1

因為當(dāng)xNO時，〃x)=

2-2x,x>l

所以"％)在。+8)上為減函數(shù),

因為/。一%)</(%+m)，/(%)為偶函數(shù)，

所以/([一尤|)w/(k+〃z|)，所以"乂之0+同

兩邊平方化簡得，(2m+2)x<l-m2,

因為對任意的工?辦加+1],不等式+⑹恒成立,

(2m+2)m<l—m2

所以解得-1W加,

(2m+2)(m+1)<1-m2

所以實數(shù)加的最大值為-g,

故選：C

【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查偶函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用偶函數(shù)的性質(zhì)將對任意的彳目祖,機(jī)+1],不

(2m+2)m<1-m2,,______

等式“1-24/"+根)恒成立，轉(zhuǎn)化為(2加+2)(m+l)Wl-療'從而可得結(jié)果m?

題型七：利用奇偶性求函數(shù)的解析式

19.(2022秋?上海閔行?高一校考期末)設(shè)函數(shù)/⑺是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時，f(x)=-x2-7x,則不等式

/(x)-/(x-l)<0的解集為()

A.(—2,4)B.(—3.4)C.(-2,3)D.(—3,3)

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的奇偶性分析可得函數(shù)的解析式，結(jié)合不等式和二次函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)圖象的遞減

區(qū)間，分析可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)x>0,貝|-x<0,

所以/(—X)=—X2+lx,

因為/(X)是定義在R上的奇函數(shù)，

所以/(—尤)=—尤2+7x=-f(x),

所以/(x)=x2-7x,

77

即尤20時，/(X)=X2-7X,此時函數(shù)在[0,5)上單調(diào)遞減，在(于+8)單調(diào)遞增；

77

當(dāng)x<0時，/(X)=-X2-7X,此時函數(shù)在(-8,-萬)上單調(diào)遞增，在(-5,0)單調(diào)遞減；

77

所以函數(shù)4X)在(-亍5)上單調(diào)遞減，

fx-l>-4

^/(x)-/(x-l)<0,即f(x-l)>/(x),又由x—l<x,且/■(一)3=/(Y)J(3)=/(4),必有時，

[x<4

解得：-3<x<4,所以不等式/(x)—/(X—1)<0的解集為(一3,4).

故選：B.

【點睛】方法點睛：本題考查利用函數(shù)單調(diào)性和奇偶性求解函數(shù)不等式的問題，解決此類問題中，奇偶性和單調(diào)性

的作用如下：

(1)奇偶性：統(tǒng)一不等式兩側(cè)符號，同時根據(jù)奇偶函數(shù)的對稱性確定對稱區(qū)間的單調(diào)性；

(2)單調(diào)性：將函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量之間的大小關(guān)系.

20.(2022秋.浙江紹興.高一統(tǒng)考期末)若，(x),g(x)分別為定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且〃%)+8(彳)=2”,

則〃o)+g(i)=()

.35

A.1B.2C.—D.一

44

【答案】D

【分析】由奇偶性的定義求得Ax)與g(x)的表達(dá)式，然后求函數(shù)值.

【詳解】f(x)+g(x)=2*(1),貝|f(-x)+g(-x)=2T,

又〃x),g(x)分別為定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，

...-f(x)+g(x)=2T(2),

2X+2-X2X-2^X

(1)(2)兩式相加除以2得g(x)=,相減除以2得/(x)=

22

2

"(。)=。，g(])=4*，ig⑴。

24

故選：D.

2

21.(2023秋?河南許昌?高一校考期末)己知函數(shù)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù)，且〃x)+g(x)=3x+,則

x-2

〃%)=()

4x4x3x2x

A.6x-B.6x+C.3x—D.3x+

X2-4x2-4x2-4X2-4

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得出關(guān)于“X)、g(x)的等式組,由此可解得函數(shù)“X)的解析式.

【詳解】因為“X)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，所以〃-X)=-〃X),g(-x)=g(x).

22

〃x)+g("=3x+〃x)+g(x)=3x+

x-2x-2

所以，2，即'

2

/(-x)+g(-x)=_3x+_〃x)+g(x)=-3尤一

—x2x+2

2x

因此，/(x)=3x+

X2-4-

故選：D.

題型八：抽象函數(shù)的奇偶性問題

22.(2022秋?重慶合川?高一重慶市合川中學(xué)校考期末)定義在R上的函數(shù)/(x)滿足〃x+y)=/(x)+〃y),當(dāng)

x<0時，/?>0,則八無)滿足()

A./(1)=1

B.y=/(元)是偶函數(shù)

C.fC)在制，〃］上有最大值f(w)

D./(x+l)>0的解集為(—」)

【答案】C

【分析】先對羽y賦值計算得/(。)=。，再根據(jù)定義判斷/(為)為奇函數(shù)，結(jié)合當(dāng)x<o時，/。)>0判斷了。)單調(diào)遞

減，逐一結(jié)合選項判斷正誤即可.

【詳解】令x=y=o,則/(o+o)=/(o)+/(o),得/(o)=o,

令-x=y,則〃o)=/(x)+/(f),故“X)為R上的奇函數(shù)，故B錯誤；

任取玉<馬，則占-馬<0，貝!1/(占-9)>0,

〃尤1)=/［尤2+(龍1-尤2)］="無2)+/(占-無2)>/(*2),

故函數(shù)了(無)在R上單調(diào)遞減，則/⑴</(0)=0,故A錯誤；

故/(x)在加，用單調(diào)遞減，有最大值/(加)，故C正確；

/(x+l)>0=/(0),又函數(shù)/(無)在R上單調(diào)遞減，故x+l<0,

得xe(y,—1),故D錯誤.

故選：C.

23.(2022秋?浙江紹興?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/■(k)，Vx,yeR,</(x+y)=f(x)-/(a-y)+f(y)-/(a-x),

其中。/0,/(a)H0,則下列說法一定正確的是()

A.〃。)=1B.是奇函數(shù)

C.〃x)是偶函數(shù)D.存在非負(fù)實數(shù)T,使得〃x)=〃x+T)

【答案】D

【分析】利用特殊函數(shù)可判斷ABC的正確，利用賦值法可證明/(X)為周期函數(shù)，從而可得正確的選項.

【詳解】取/(x)=g,a=l,則

“x+y)=4"(x)"(a-y)+/(y)"(a-x)=32二，

因此/(x+y)=/(x)"(a-y)+/(y)"(a-x)成立，

此時/。)=；，/(-%)=/(%)=|,故〃x)為偶函數(shù)，故A錯誤，B錯誤.

取/(x)=sinx,a=:,貝i]/(a)=lwO,

/(x+y)=sin(x+y),/(x)./(a-y)+/(y)./(a-x)

=sinxcosy+cosxsiny=sin(x+y),

因此〃x+y)=f(x>/(0-0)+/1(0)"(々-彳)成立,

此時/(X)為奇函數(shù)，故C錯誤.

令x=y=0,則〃0)=2〃0)jg),

令尤=",y=。，則%)=/(。)+/(a),

若"0)=0,

令y=a,貝!IF(x+a)=/(%)?y(o)+/(a)-y(十一x),

且/(。)=產(chǎn)(a),而/(力0,故/(a)=L

所以/(x+a)=/(a-x)，

令x=y=a,則〃2a)=2/(a)〃0)=0,

令x=2a,貝l|/(2a+y)=〃2a>〃a-y)+/(y)-/(-a),

整理得到:/(2a+y)=〃y)"(-a),而/(2a+y)=f(—y),

故/(一y)=/(y)―/(—a)，此時令>="?,則〃。)=/(一力/(一。)=1,

故〃一。)=1或/(-a)=-L

若〃-a)=l,則〃-y)=〃y),故為偶函數(shù)，

故/(尤+。)=/(。一了)=/(無一。)即f(x)=f(2a+x),

所以/(x)為周期函數(shù)且周期為2a.

若〃-a)=-l,則〃->)=一〃y),故〃x)為奇函數(shù)，

^f(x+a)=f(a-x)=-f(x-a)Bpf(2a+x)=-f(x),

故〃4a+x)=-/a+2a)="x)

所以“X)為周期函數(shù)且周期為4a.

若〃。)片。，則/(“)=：,

此時/⑼=1一；=；，故〃o)=g或〃o)=_g

若/⑼=:，

令x=y=",則/(2a)=：x；+Jx：=；,

乙乙乙乙乙

令x=-3=。，貝!j/(O)=/(-a)〃O)+/(a)/(2a),所以/(_〃)=]

令y=。，則/(x+a)=〃x)〃o)+/(a)/(a-x)=g/(x)+g/(a-x),

令y=-。，貝i]〃x-a)=/(x)/(2a)+〃-a)〃a-x)=:/(x)+:”a-x),

故/(x+a)=/(x—a)即/(x+2a)=/(x),

故/(力為周期函數(shù)且周期為2a.

若"。)=彳，

令x=y=a,j^/(2a)=-；x；-；x：=-；，

乙乙乙乙乙

令x=—a，y=。，貝iJ/(O)=/(-a)〃O)+/(a)/(2a),所以八_“)=1

令y=a,則/(》+4)=〃尤)/(0)+〃4)〃0-尤)=-3/(力+；/(“-》)，

令y=_a,

則〃x-a)=/(x)/(2a)+/(-a)〃a一x)=-g/(x)+；〃a-x),

故〃x+a)=/(x-a)即〃X+2<7)=/(X),

故/(x)為周期函數(shù)且周期為2a.

綜上，/(x)為周期函數(shù)，故D正確.

故選：D.

【點睛】思路點睛：抽象函數(shù)的性質(zhì)問題，可以根據(jù)抽象函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)尋找具體的函數(shù)來輔助考慮，此處需要對

基本初等函數(shù)的性質(zhì)非常熟悉.另外，在研究抽象函數(shù)的性質(zhì)時，注意通過合理賦值來研究抽象函數(shù)的對稱性、周期

性.

24.(2019秋?山西長治?高一山西省長治市第二中學(xué)校校考期末)設(shè)奇函數(shù)%)在(0,+oo)上為單調(diào)遞減函數(shù)，且式2)=0,

則不等式37(TJ-2/(X)WO的解集為()

A.(-00,-2]U(0,2]B.[-2,0)U[2,+oo)

C.(-oo,-2]U[2,+oo)D.[-2,0)U(0,2]

【答案】D

【分析】由給定條件可得函數(shù)大龍)在(0,2)上的函數(shù)值為正，在(2,+oo)上的函數(shù)值為負(fù)，利用奇函數(shù)的性質(zhì)化簡不

等式，解出不等式即得.

【詳解】因函數(shù)兀0在(0,+oo)上為單調(diào)遞減函數(shù)，且式2)=0,即函數(shù)式工)在(0,2)上的函數(shù)值為正，在(2,+oo)上的

函數(shù)值為負(fù)，

又/W是奇函數(shù)，于是得woo/⑴<0o3>0,

5x5xx

因此，當(dāng)x>0時，/W>o,則有Ov爛2,當(dāng)％<0時，兀1)00,由奇函數(shù)的性質(zhì)得-23v0,

綜上，不等式[-2f⑶戌的解集為[-2,0)U(0,2].

3X

故選：D

題型九:利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性解不等式

25.(2022秋?江西撫州?高一統(tǒng)考期末)已知〃尤)=加-法+1是定義域為[a,a+l]的偶函數(shù)，則，一/=().

3|

A.0B.-C.J2D.一一

4Y4

【答案】B

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)列方程求出“，方，代入/-/計算即可.

【詳解】由〃力=加一8+1是定義域為的偶函數(shù)得

故選：B.

26.(2023秋?遼寧丹東?高一統(tǒng)考期末)若偶函數(shù)〃尤)在[0,+功上單調(diào)遞增，且〃5)=-/(-5),則不等式

#(x-l)>0解集是()

A.(^,0)u(6,+co)B.(-4,6)

C.(-<?,-4)U(6,-HX>)D.(^?,-4)U(O,6)

【答案】A

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合分類討論思想進(jìn)行求解即可.

【詳解】因為“X）是偶函數(shù)，所以由”5）=—/（—5）n/（5）=—/⑸n/（5）=0,

當(dāng)尤＞0時，由V（x-l）＞0n/（x-l）＞0=/（5）=＞/（|x-l|）＞/（5）,

因為〃尤）在[。,+司上單調(diào)遞增，

所以/（|xT|）＞〃5）=＞|x-[＞5nx＞6,或%＜一4,

而無＞0,所以無＞6；

當(dāng)x＜0時，由#（X-1）＞0^＞/（JC-1）＜0=/（5）=＞/（|X-1|）＜/（5）,

因為“X）在[0,+8）上單調(diào)遞增，

所以?/'（歸一[）＜/（5）=,一1|＜5=-4＜無＜6或彳＜—4,

而x＜0,所以T＜x＜0,

故選：A

27.（2023秋?上海徐匯?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)y="X）是R上的奇函數(shù),且是（-鞏。）上的嚴(yán)格減函數(shù)，若*D=。，

則滿足不等式（x-l）/（x）＞。的X的取值范圍為（）

A.y,-DB.（-1,0）C.（0,1）D.0,轉(zhuǎn)）

【答案】B

x-1＞0[^-1＜0

【分析】將a—D〃x）＞0等價于和根據(jù)奇函數(shù)以及單調(diào)性即可求解.

【詳解】由y="x）是R上的奇函數(shù)，且是（-8,0）上的嚴(yán)格減函數(shù)，若八1）=。可知：y（-L）=。且“X）在（0,+co）也

嚴(yán)格單調(diào)遞減，故

當(dāng)X＜—1和0＜x＜l時，/（x）＞0,當(dāng)一1〈尤＜0和X＞1時，/（x）＜0,

x—1＞0x—1＜0

故（X—l）/（x）＞0等價于彳/（尤）〉0和J/（x）＜0,解得T＜x＜0,

故選：B

題型十：函數(shù)性質(zhì)的綜合性問題

28.（2022春?安徽滁州?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)=

⑴用定義法證明在R上單調(diào)遞增；

⑵不等式/（1。無尤+加2）＞/log]X-4加在xe[4,16]時恒成立，求實數(shù)加的取值范圍.

\4）

【答案】(1)見解析

(2)(f,-3)U(T，+°°)

【分析】(1)利用定義法證明即可；

(2)利用函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為l°g2元+M>l°gy-4〃?恒成立，然后分離參數(shù)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題即可.

4

【詳解】(1)f(x)=^甲=l--1—,

')y+i3x+i

ii3國~y2

設(shè)玉<七，則/(XJ_/(%)=_3》+1+3*+1=(3%+1)(3*+1)'

???巧<三，二3,《竽，即/(％)-/仁)<。"(石)</(々)

所以/(可在R上單調(diào)遞增

/、

2

(2)/(x)在R上單調(diào)遞增，f(log2x+m)>/log產(chǎn)-4機(jī)等價于:

47

2

log2x+m>logix—4m

4

2

即m+4m>log；%-log2x在尤44/6］時恒成立,

4

logjX-log^=咋2：_log"=-1log,X

Zbg,2’

33

在xe［4,16］時，一］log21<--log24=-3

4+4心log；x-log2兀在x44』6］時恒成立，即：一+4心—3

(m+l)(m+3)>0,

機(jī)>一1或加<一3,

故答案為：(-00，-3川(-1,+°°)

29.(2023秋?重慶長壽?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(力=°-扁為奇函數(shù).

(1)求實數(shù)。的值，判斷函數(shù)〃x)的單調(diào)性并用定義證明；

⑵求關(guān)于*的不等式/(lg(2F-34+1))、的解集.

【答案】⑴。=1,/(力在R上是增函數(shù)，證明見解析

31、

(2)伙|一己(人<3或1v左<3}.

【分析】（1）根據(jù)題意，利用/（。）=0,求得。的值，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義和判定方法，以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),

即可求解；

3

（2）求得/⑴二寸把不等式轉(zhuǎn)化為外運(yùn)（2左2-3左+結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式組，即可求解.

【詳解】（1）解：因為〃X）的定義域是R且〃X）是奇函數(shù)，可得/⑼=0,可得。=1,

函數(shù)〃x）在R上是增函數(shù)，證明如下：

2224"1-4'2

任取石,%eR,且西＜z，則〃占)一〃蒞)=1—二——1+--------=7-—

人"I"J'J4,+14?+1(4』+1)(4%+1)

因為y=4”為增函數(shù)，且可＜%，所以0＜4否〈斗，

所以44+1〉0,4*+1>0,4』-4*<0,

所以〃石）—八々）＜0,即/1）＜/（%）,所以“X）在R上是增函數(shù).

23

（2）解：由（1）知/（力=1-下行在R上是增函數(shù)，且/⑴=1

則不等式/（1g（2嚴(yán)-34+1））W|,即為/（1g（2產(chǎn)-3人+1）卜”1）,

lg(2fc2-3Z:+l)<l2左2-34+141031.

可得,解得一一<k<—^\<k<3,

2M-3左+1>021-3%+1>022

31

所以不等式的解集為伏［-］（左＜5或lv々V3}.

30.（2023秋?安徽滁州?高一安徽省定遠(yuǎn)縣第三中學(xué)校聯(lián)考期末）已知函數(shù)/（耳=111-r上，其中機(jī)＞0且

/(1)+/(-1)=0,

（1）求加的值并寫出函數(shù)的解析式;

（2）判斷并證明函數(shù)〃力的奇偶性;

（3）已知“X）在定義域上是單調(diào)遞減函數(shù)，求使〃x）＜ln3的X的取值范圍.

【答案】（1）相=1,〃x）=ln|^

⑵奇函數(shù)，證明見解析

⑶xw（-l,2）

【分析】（1）由/。）+/（—1）=0求解即可;

（2）由函數(shù)奇偶性的定義判斷并證明即可;

(3)由ln3=ln|^j=/(-l),結(jié)合函數(shù)單調(diào)