二次根式的運(yùn)算的四種類型

類型一：利用基礎(chǔ)法則進(jìn)行計(jì)算

類型二：運(yùn)用乘法公式進(jìn)行計(jì)算

類型三：運(yùn)用等式規(guī)律進(jìn)行計(jì)算

類型四：與二次根式有關(guān)的化簡求值運(yùn)算

類型一：利用基礎(chǔ)法則進(jìn)行計(jì)算

1.計(jì)算：

（1）2712^48-V27；（2）V（-3）2-^+（2-n）0+|1-V3P

⑶（2V27-ty7i08-12^!）4-V12-⑷寫/鳴）-7（V3-2）2；

（5）（V48-3^-）-^V3W24XV45-

（6）MV-體+小）2；（7）國X啦丹浮；

⑻返呼（照篦）義立.（9）（2^12-2^+727）^2V3.

（10）舊-盛-V^+F；

【分析】（1）先把每個(gè)二次根式化為最簡二次根式，再合并同類二次根式即可；

（2）先根據(jù)算術(shù)平方根、立方根、零指數(shù)幕、絕對(duì)值的運(yùn)算法則計(jì)算，再合并即可；

（3）先算括號(hào)里面的，再算二次根式的除法即可.

（4）先分母有理化，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)計(jì)算，然后合并即可；

（5）先根據(jù)二次根式的乘法法則運(yùn)算，再把各二次根式化為最簡二次根式，接著把括號(hào)內(nèi)合并，然后進(jìn)

行二次根式的除法運(yùn)算，最后合并同類二次根式即可.

（6）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，然后進(jìn)行有理數(shù)的加減運(yùn)算；

（7）先根據(jù)二次根式的乘法和除法法則運(yùn)算，然后化簡二次根式后合并即可；

（8）先根據(jù)二次根式的除法和乘法法則運(yùn)算，然后化簡二次根式后合并即可.

（9）先把各二次根式化為最簡二次根式，然后合并同類二次根式后進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算.

（10）先進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算，然后化簡二次根式后合并即可；

【解答】解：（1）2V12+V48-V27

=2X2^3+4^3-3^3

=473+473-373

=

(2)+(2-n)0+|i-V3|

=3^+lW3-l

m(V2-l)2+2V8-(V5-2)(V5+2)

=3-272+4V2-(5-4)

=272+2；

(4)(2V27+yT108-

=(6V3+2V3-473)^273

=473^-273

=2.

(4)原式=：我-±+-2)

V3XV33

V12X3-3V3-|+V3-2

3o

_6-3V3--1+V3-2

-

"Io

=2-存-1+V3-2

o

-_―--1-?

3

(5)原式=(473-V3)+F+2%-

=3a+?+2a-3遍

=3+2^6-3A/6

=3-V6.

(6)原式=6-5+3

=4；

(7)原式=5/50X8-府

=V400-V9

=20-3

17；

(8)原式=,8X/+J18X/-J|X673X6

=2+3-2&-3近

=5-572.

(9)原式=(4百-當(dāng)應(yīng)+3正)4-2^3

3

=JW1_4-2A/3

3

=19

V

(10)原式=3&-2&-124?3

=3加-272-272

=-我；

類型二：運(yùn)用乘法公式進(jìn)行計(jì)算

2.計(jì)算：

⑴(V2-l)2+2V8-(V5-2)(V5+2);

⑵(2+V3)2-(3-272)(3+2>/2);

(3)(VB-V2)(V5+V2)-(VB-1)2，

(4)(3V2-2V3)(3V2+2V3)-(V2W3)2-

⑸(275-7)(2V5+7)-(V5-3)2-

(6)(2V3-1)(2V3+1)-(1-2V3)2-

⑺(275-373)2-(4+372)(4-372);

⑻(V3W2)2-(V7+V2)(V7-V2)-

【分析】(1)先根據(jù)完全平方公式、二次根式的性質(zhì)與化簡、平方差公式計(jì)算，再合并即可;

(2)先根據(jù)完全平方公式和平方差公式計(jì)算，然后合并即可；

(3)先根據(jù)平方差公式和完全平方公式計(jì)算，然后合并即可.

(4)根據(jù)平方差公式和完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可得到答案.

(5)根據(jù)平方差公式和完全平方公式將題目中的式子展開，然后計(jì)算加減法即可.

(6)利用平方差公式及完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算較簡便.

(7)利用完全平方公式和平方差公式展開，再算加減即可；

(8)根據(jù)完全平方公式和平方差公式將題目中的式子展開，然后計(jì)算加減法即可.

【解答】解：(1)(V2-l)2+2V8-(V5-2)(V5+2)

=3-2^2+472-(5-4)

=272+2；

(2)原式=4+4a+3-(9-8)

=4+45/3+3-1

—6+4A/3：

(3)原式=5-2-(5-2灰+1)

=5-2-6+2A/5

=2遙-3.

(4)(3V2-2^3)(3V2+2>/3)-(V2-V3)2

=(3V2)2-(2V3)2-(2+3-2V6)

=18-12-5+276

=1+2V6-

⑸(275-7)(275+7)-(V5-3)2

=20-49-(5-6娟+9)

=20-49-5+6A/5-9

=-43+6遙.

(6)(273-1)(273+1)-(1-273)2

=12-1-(1-4我+12)

=12-1-1+4f-12

=4展-2.

(7)(2V5-3V3)2-(4+3>/2)(4-3>/2)

=20-12^/15+27-16+18

=49-12715；

⑻(V3W2)2-(V?+V2)(V7-V2)

=3+2a+2-7+2

=2娓.

類型三：運(yùn)用等式規(guī)律進(jìn)行計(jì)算

3.閱讀下列材料，然后解答下列問題:

1_1義(&-1)飛

?+—)(加-1尸27

11X(V3-V2)

V3W2=(V3W2)(73-V2)

1_1義（灰-2）r=_

代+2=（旄+2）（泥-2）35-2；

以上這種化簡的方法叫分母有理化.

(1)]=_V7^V6_.

V7+V6

(2)1("為正整數(shù))=—Vn+l^x^n—?

Vn+1Wn

(3)化簡:111+?■■,p--------1-------——yO

V2+1+V3W2+V4+V3V100W99

(4)化簡下列式子的值:1111

V3+1+V5W3+V?W5+'",屈+\^?.

【分析】（1）利用分母有理化進(jìn)行計(jì)算即可;

（2）利用分母有理化，進(jìn)行計(jì)算即可；

（3）先進(jìn)行分母有理化，再進(jìn)行計(jì)算即可；

（4）先進(jìn)行分母有理化，再進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：⑴旨樂飛高需而如飛

⑵潟舶需熹《）同函

（3）-1W3-V2+-W100-V99

=Vloo-1

=10-1

=9；

（4）原式卷（證函）卷（V7~V^）+…弓■（倔”面）

=y(V3-lW5W3W7-V5+--W99-V??)

=y(V99-l)

_3Vn-i

"I-

4.【閱讀材料】

在進(jìn)行二次根式化簡時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如32這樣一類的式子，其實(shí)我們還可以將其

7TV3+1

2_2X(V3-1)_

進(jìn)一步化簡33xV53G叵/2X3娓

忑飛X娓寸;歸住IFV3+1=(V3+1)(V3-1)

2"-1)=?-1.以上這種化簡的步驟叫做分母有理化.

(V3)2-l2

【解決問題】

(1)仿照上面的解題過程，化簡：-^X=-=_V7+V6

V7-V6一—

(2)計(jì)算：T—+廠1廠+廠1廠+??-'----當(dāng)-----)X(#2025+1)-

V2+1V3+V2V4W3V2025W2024

(3)已知a=/-1/-，t)-L1L'求次+接的值.

V3+72V3W2

【分析】(1)分子分母分別乘(板小)即可;

(2)每一個(gè)分母都乘以它的有理化因式化簡后合并，再利用平方差公式計(jì)算即可.；

(3)由條件可得：a=V3-V2-b=V3+V2.可得：a+b=2?,ab=l,再利用平方差公式計(jì)算即可.

]二五不

【解答】解:(1)=W+\/6'

VV-Vs(VV-Vs)(VVW6)

(2)原式=

「h如力—__________

L(IW2)(V2-1)(V2W3)(V3-V2)(V2025W2024)(V2025-V2024)J,)

二(V2-1+V3-V2+-+72025-V2024)X(V2025+1)

=(V2025-1)X(42025+1)

=2025-1

=2024.

(3)?.%=」「=嘩「用用，

V3W2姮l他3)加用)

b=V3W2=(V3W2)啦，

a+b=2V3>ab=l,

a2+b2=(a+b)2-2ab=(2^3)2-2=10-

5.材料閱讀：在二次根式的運(yùn)算中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)諸如12的計(jì)算，需要運(yùn)用分式的基本性質(zhì),

TT'V3W2

1_加二&

將分母轉(zhuǎn)化為有理數(shù)，這就是“分母有理化”，例如:k3w

2二2X(7§尬)深篇產(chǎn)弟』+啦.類似地，將分子

V3W2=(V3-V2)X(V3W2)

轉(zhuǎn)化為有理數(shù)，就稱為“分子有理化”，例如：6巫—嘩

1V2V2

6-1二(?-1)x(於+1)=(返)2-12二3-12

根據(jù)上述知識(shí)，請(qǐng)你完成下列問題:

V3V3X(V3+1)-=(V3)2W3"3^3"WT'

(1)比較大小：一i—(填或"=")；

3W7V11-3

(2)計(jì)算：^-=-+L1L-+y—1L+-??+/1/；

1W2V2W3V3W4V2024W2025

(3)若—,求5a2-10a+15的值.

V3-1

【分析】(1)先分母有理化得到」^=亞巨，f—=WH,然后比較大小即可；

3-V72V11-32

(2)先分母有理化，然后合并同類二次根式；

(3)先利用分母有理化得到。=強(qiáng)+1,則移項(xiàng)得到a-1=百，再兩邊平方可得到。2-2a=2,然后把

5/-10a+15變形位5(a2-2a)+15,最后利用整體代入的方法計(jì)算.

【解答】解：(1)---------_■=—=-=1—=―I'^=—=

3-V7(3W7)(3W7)2V11-3(Vll-3)(V11+3)

-----------，

2

..W1T

?---------…，

22

?1<1.

故答案為：V;

(2)原式=&-1+V3-V2+V4-V3+...+V2025-V2024

=<2025-1

=45-1

=44；

/(通十2二百+1,

(3)?：a=.：

V3-1(V3-1)(V3+1)

??a-1=V3?

(a-1)2=3,

a1-2a+l=3,

??a?-2a=2,

???5Q2-10Q+15=5(“2-2a)+15=5X2+15=25.

6.有這樣一類題目：將±2《化簡,如果你能找到兩個(gè)數(shù)小小使加2+〃2=。且1m=加，a±WE將

變成加2+/±2冽〃，即變成(冽土〃)2,從而使La±2，^得以化簡.

(1)例如，：5+W^=3+2+2我=(W)2+(點(diǎn))2+W^XV3=(V3+72)2)

：75+2娓=7(V3W2)2=一'反+V2_>請(qǐng)完成填空.

(2)仿照上面的例子，請(qǐng)化簡>4-谷；

(3)利用上面的方法，設(shè)A=V6+4&，B=V3-V5-求N+8的值.

a(a>0)

【分析】(1)根據(jù)二次根式的性質(zhì)：V?=IaI=lo(a=o),即可得出相應(yīng)結(jié)果.

「a(a<0)

⑵根據(jù)⑴中“5+W^=3+2+2%=(?)2+(0)2+2^xa=(?W^)2"，將代數(shù)式轉(zhuǎn)

化為完全平方公式的結(jié)構(gòu)形式，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡求值，即可得出結(jié)果.

(3)根據(jù)題意，首先把”式和3式分別轉(zhuǎn)化為完全平方公式的結(jié)構(gòu)形式，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)把/

式和8式的結(jié)果分別算出，最后把/式和2式再代入4+2中，求出4+8的值.

【解答】解：(1)V5+276=2+3+276=(V2)2+(V3)2+2X72XV3=(V2+V3)2,

：75+2娓W(V3W2)2=V3W2'

故答案為：V3+V2；

(2)4-273=3+1-273=(V3)2+1-273=(V3-1)2>

?'?V4-2A/3=^/(V3-1)2=V3-1;

⑶'-^=6+472=4+2+472=(V4)2+(V2)2+2XA/4XV2=(2+V2)2'

；?A=V6+4V2=2啦,

..rr=6-2\^_5+1-2優(yōu)二(泥)2+12-2><1><而_(而-1)2

?IT，=~2~=2=2-2-

???B=V^=需=^^_=的-1V2-

...把/式和3式的值代入4+2中，得：A+B=2+V2

7.小明在解決問題：已知a=_J，求2a2-8a+l的值.

2W3

他是這樣分析與解的：1_2p(L__=2^

2+V3(2W3)(2-V3)

a-2=-V3?*,?(。-2)2=3,-4a+4=3

-

:?層-4a=19：.2層-8Q+1—2(層-4a)+1—2X(-1)+1=-1.

請(qǐng)你根據(jù)小明的分析過程，解決如下問題：

⑴「-=_&$_，L1L=——通二'尼_.

V3+V2V5W32

(2)化簡：=1L+L1L

V121+/119

VilW9V13Wil

(3)若a-4—，請(qǐng)按照小明的方法求出4a2-8?+1的值.

V2-1

【分析】(1)根據(jù)例題可得：對(duì)每個(gè)式子的分子和分母中同時(shí)乘以與分母中的式子相乘符合平方差公式

的根式，去掉分母，然后合并同類二次根式即可求解；

(2)根據(jù)小明的分析過程，a-1=加得02-2°=1,可求出代數(shù)式的值.

［解答］解：(1)原式=—囊_j^=V3-V2,原式=—廣省—J^=—(遍

(V3W2)(V3^/2)(V5W3)(V5-V3)2

-

故答案為：Vs_V2,

(2)原式=/(>/Ti--^n+...+y[i21-VTi9)

=_L(-3+11)

2

=4；

(2)a=—=V2+1>

V2-1

.'■a-1=V2>

；?(a-1)2=2,a2-2a+l=2,

??a2-2a~~11

，原式=4(a2-2a)+1=4X1+1=5.

8.閱讀材料：

材料一：兩個(gè)含有二次根式的非零代數(shù)式相乘，如果它們的積不含二次根式，那么這兩個(gè)代數(shù)式互為有

理化因式.

例如：V3xV3=3?(V6-42)(V6W2)=6-2=4.我們稱?的一個(gè)有理化因式是加，限用

的一個(gè)有理化因式是a+V2.

材料二：如果一個(gè)代數(shù)式的分母中含有二次根式，通常可將分子，分母同乘分母的有理化因式，使分母

中不含根號(hào)，這種變形叫做分母有理化.

例如：1.+1=(加+《小

273273X736V2-1(V2-1)(V2+1)

解答下列問題：

(1)根據(jù)以上概念直接在橫線上寫出273-遍的一個(gè)有理化因式+75_；

(2)若a=---^=-,求/-3a+l的值；

2-V3

（3）請(qǐng)?jiān)谝韵聠栴}①和②任選一個(gè)題作答:

①設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足(x+Vx^+2024)(y+Vy^+2024)=2024，求x+y+2024的值;

②化簡：皴吟.

【分析】（1）根據(jù)平方差公式的結(jié)構(gòu)，由于蓊個(gè)月是一個(gè)差結(jié)構(gòu)，即可找到一個(gè)和結(jié)構(gòu)作為有理化因

式；

（2）先將。有理化之后得2+百，再把。的值代入03-3a+l計(jì)算即可；

（3）①在（X+JX2+2024）（y+4y2+2024）=2024的兩邊分別除以左邊的每一個(gè)因式，即可得到》+

VX2+2024=-E------=Vy2+2024-y①和Wy2+2024=Vx2+2024-x②，①+②得x+y

y+Vy+2024

=0,從而可求解x+y+2024的值；

②將分子和分母分別用結(jié)合律重新整理之后，再有理化，接著運(yùn)用完全平方公式和平方差公式計(jì)算即可;

【解答】解：⑴(2V3-V5)(2V3W5)=12-5=7,

故答案為：2V3W5-

(2)a=~----廠=23，

2-V3(2-V3)(2W3)

/.6Z3-3a+l—a(a2-3)+1

=(2+V3)[(2+V3)2-3]+l

=(2+V3)(4+473)+1

=21+12禽.

2

(3)若選①：?；(X+VX+2024)(y+Vy^+2024)=2024，

AX+VX2+2024=-與------="+2024-y，①

y+Vy+2024

同理可得產(chǎn)"+2024="+2024-x，②

①+②得：x+y=O,

故xty+2024=2024.

若選②.*■3+)

3+V3-V63-->/3)

9-(V6-V3)2

_(3W6)2-3

6V2

—12+6遍

672

=V2+>/3-

類型四：與二次根式有關(guān)的化簡求值運(yùn)算

9.計(jì)算：已知，X=2-4，y=2+V3,求x2+y2-xy的值.

【分析】利用完全平方公式、平方差公式進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

【解答】解：/+--刈

—X2-Ixy+^+xy

=(x-y)2+xv

=(2-V3-2-V3)2+(2-V3)(2W3)

=12+1

=13.

10.已知：x=V3+2>7=W3+2-計(jì)算：

(1)xy；

(2)x2+y2-xy.

【分析】(1)利用平方差公式計(jì)算9的值；

(2)先計(jì)算出x+y的值，再利用完全平方公式得到，+/一孫=(x+))2-3孫，然后利用整體代入的方

法計(jì)算，

【解答】解：(1)Vx=V3+2,y=-V3+2,

.'.xy—(2+A/3)X(2-V3)—4-3—1；

(2)Vx=V3+2,尸-愿+2,

/.X-Fj=4,

.?./切2-肛=(%勺;)2-3J^=42-3X1=13.

11

11.若XT7Fy='^7r求代數(shù)式N+3盯+/的值.

【分析】先把化簡，再根據(jù)完全平方公式把/+3盯+/變形后代入計(jì)算即可.

【解答】解：將x、y分母有理化得：

2-V3(2^泮3)(2WL3)=2啦，

2W3(2^廠3)(2W廠3)=2$，

.,.原式=(x+y)2+孫

(2W3+2-V3)2+(2+V3)(2-V3)

=17.

12.已知火=廠1廠，1求下列各式的值:

V3-V2y-7wr,

⑴x^xy+y2；

(2)工二.

xy

【分析】(1)先利用分母有理化法則求出xS/，y=V3-V2,進(jìn)而得到x+y=2?,孫=1,再根

據(jù)完全平方公式的變形求解即可；

(2)根據(jù)工(三刁)二2紅■進(jìn)行求解即可.

xyxy

【解答】解：(1)：x-二b，

V3-V2丫V3W2

?“廣當(dāng)啤「用啦,y-廠當(dāng)嘩廠用用,

(63)(e啦)Y由啦)E%)

x+y=V3W2+V3-V2=273,xy=(V3+V2)X(?_&)=3-2=1,

.??/+盯切2=(%+j;)2-孫=12-1=11;

(2)工二

xy

xy

(x+y)2-2xy

xy

_12-2

"I-

=10.

13.我們已經(jīng)知道(JW+3)(W§-3)=4,因此將7J—分子、分母同時(shí)乘“丁石+3”，分母就變成了

V13-3

4.例如：S—=1怖巴——=8(V13+3)=(^從而可以達(dá)到對(duì)根式化簡的目

V13-3(V13-3)(V13+3)4^

的.根據(jù)上述閱讀材料解決下列問題：

已知—,b-?

V5+1V5-1

C1)化簡a,b；

(2)求代數(shù)式2a2+次＞+2廬的值.

【分析】(1)根據(jù)題干中提供的分母有理化的方法進(jìn)行化簡即可；

(2)根據(jù)化簡后的0、6的值得出m=(?-1)(如+1)=3-1=2，a+b=V3-1+V3+1=2V3-將

2a2+仍+2乂變形為2Q+6)2-3",再代入計(jì)算即可.

2

【解答】解：(1)=-^—

aV3+1

2(73-1)

(V3+1)(V3-1)

_2(V3-1)

3-1

—V3-1；

V3-1

2(V3+1)

(V3+1)(V3-1)

—2(遍+1)

3-1

=Vs+1；

⑵Va=V3-1,b=V3+1.

二ab=(V3-l)(V3+1)

=3-1

=2；

a+b=V3