北師大新版九年級上學期《4.6利用相似三角形測高》2019年同

步練習卷

選擇題（共1小題）

1.如圖，以點。為支點的杠桿，在A端用豎直向上的拉力將重為G的物體勻速拉起，當

杠桿OA水平時，拉力為F-,當杠桿被拉至時，拉力為Fi，過點Bi作BiC±OA,

過點4作垂足分別為點C、D.

①△OSCs/XOAiD；

@OA-OC=OB-OD；

?OC'G=OD'FV,

④P=為.

其中正確的說法有（）

C.3個D.4個

二.填空題（共1小題）

2.在△ABC中，ZACB=9Q°,8c=8,AC=6,以點C為圓心，4為半徑的圓上有一動點

三.解答題（共48小題）

3.如圖，是一個照相機成像的示意圖.

（1）如果像高MN是35mm,焦距是5Qmm,拍攝的景物高度AB是4.9m,拍攝點離景物有

多遠？

（2）如果要完整的拍攝高度是的景物，拍攝點離景物有4加，像高不變，則相機的焦距

應調整為多少？

4.如圖，花叢中有一路燈桿48.在燈光下，小明在￡＞點處的影長。E=3米，沿8。方向

行走到達G點，0G=5米，這時小明的影長G4=5米.如果小明的身高為1.7米，求路

燈桿A8的高度（精確到0.1米）.

5.學習投影后，小明、小穎利用燈光下自己的影子長度來測量一路燈的高度，并探究影子

長度的變化規律.如圖，在同一時間，身高為1.6機的小明（A8）的影子長是3機，

而小穎（EH）剛好在路燈燈泡的正下方X點，并測得加=6".

（1）請在圖中畫出形成影子的光線，并確定路燈燈泡所在的位置G；

（2）求路燈燈泡的垂直高度GH；

（3）如果小明沿線段38向小穎（點X）走去，當小明走到中點Bi處時，求其影子Bi。

的長；當小明繼續走剩下路程的上到處處時，求其影子&C2的長；當小明繼續走剩下

3

路程的工到用處，…按此規律繼續走下去，當小明走剩下路程的」一到當處時，其影

4n+1

子B?Cn的長為（直接用n的代數式表示）

A

HB、B

6.如圖，在一個長40"z、寬30機的長方形小操場上，王剛從A點出發，沿著AnBnC的路

線以3根/s的速度跑向C地.當他出發4s后，張華有東西需要交給他，就從A地出發沿

王剛走的路線追趕.當張華跑到距B地22神的。處時，他和王剛在陽光下的影子恰好

3

重疊在同一條直線上.此時，A處一根電線桿在陽光下的影子也恰好落在對角線AC上.

（1）求他們的影子重疊時，兩人相距多少米？（OE的長）

（2）求張華追趕王剛的速度是多少？（精確到0.1%/s）

7.馬戲團讓獅子和公雞表演蹺蹺板節目.蹺蹺板支柱的高度為1.2米.

（1）若吊環高度為2米，支點A為蹺蹺板PQ的中點，獅子能否將公雞送到吊環上，為什

么？

（2）若吊環高度為3.6米，在不改變其他條件的前提下移動支柱，當支點A移到蹺蹺板尸。

的什么位置時，獅子剛好能將公雞送到吊環上？

8.小胖和小瘦去公園玩標準的蹺蹺板游戲，兩同學越玩越開心，小胖對小瘦說：“真可惜！

我只能將你最高翹到1米高，如果我倆各邊的蹺蹺板都再伸長相同的一段長度，那么我

就能翹到1米25,甚至更高！”

（1）你認為小胖的話對嗎？請你作圖分析說明；

（2）你能否找出將小瘦翹到1米25高的方法？試說明.

5。/

八一

她而P

9.問題背景在某次活動課中，甲、乙、丙三個學習小組于同一時刻在陽光下對校園中一些

物體進行了測量.下面是他們通過測量得到的■些信息：

乙組：如圖2,測得學校旗桿的影長為900c".

丙組：如圖3,測得校園景燈（燈罩視為球體，燈桿為圓柱體，其粗細忽略不計）的高度為

200cm,影長為156c7”.任務要求：

（1）請根據甲、乙兩組得到的信息計算出學校旗桿的高度；

（2）如圖3,設太陽光線與。。相切于點M.請根據甲、丙兩組得到的信息，求景燈

燈罩的半徑.（友情提示：如圖3,景燈的影長等于線段NG的影長；需要時可采用等式

1562+2082=2602）

10.王大伯要做一張如圖1的梯子，梯子共有8級互相平行的踏板，每相鄰兩級踏板之間的

距離都相等.已知梯子最上面一級踏板的長度421=05”，最下面一級踏板的長度人為

=0.8〃z.木工師傅在制作這些踏板時，截取的木板要比踏板長，以保證在每級踏板的兩

個外端各做出一個長為4cm的樺頭（如圖2所示），以此來固定踏板.現市場上有長度為

2.1m的木板可以用來制作梯子的踏板（木板的寬厚和厚度正好符合要制作梯子踏板的要

求），請問：制作這些踏板，王大伯最少需要買幾塊這樣的木板？請說明理由.（不考慮

鋸縫的損耗）

11.在同一時刻兩根木竿在太陽光下的影子如圖所示，其中木竿AB=2米，它的影子BC=

1.6米，木竿的影子有一部分落在墻上，尸/=1.2米，MN=0.8米，求木竿PQ的長

度.

0

12.如圖，要測量人民公園的荷花池48兩端的距離，由于條件限制無法直接測得，請你

用所學過的數學知識設計出一種測量方案，寫出測量步驟.用直尺或圓規畫出測量的示

弋----

意圖，并說明理由（寫出求解或證明過程）.----

13.某班研究性學習小組，到校外進行數學探究活動，發現一個如圖所示的支架必2,于是

他們利用手中已有的工具進行一系列操作，并得到了相關數據，從而可求得支架頂端P

到地面的距離.

實驗工具：①3米長的卷尺；②鉛垂線（一端系著圓錐型鐵塊的細線）.

實驗步驟：

第一步，量得支架底部A、8兩點之間的距離；

第二步，在AP上取一點C,掛上鉛垂線。，點。恰好落在直線A8上，量得和的

長；

第三步，在B尸上取一點E,掛上鉛垂線EF,點尸恰好落在直線A8上，量得跖和8尸的

長.

實驗數據：

線段ABCDADEFBF

長度（米）2.510.81.20.6

問：（1）根據以上實驗數據，請你計算支架頂端P到地面的距離（精確到0.1米）;

（2）假定你是該小組成員，請你用一句話談談本次實踐活動的感受.

14.小明和幾位同學做手的影子游戲時，發現對于同一物體，影子的大小與光源到物體的距

離有關.因此，他們認為：可以借助物體的影子長度計算光源到物體的位置.于是，他

們做了以下嘗試.

（1）如圖1,垂直于地面放置的正方形框架A8C。，邊長為30c機，在其正上方有一燈

泡，在燈泡的照射下，正方形框架的橫向影子A'B,D'C的長度和為6。八那么燈泡

離地面的高度為.

（2）不改變圖1中燈泡的高度，將兩個邊長為30cm的正方形框架按圖2擺放，請計算此

時橫向影子A'B,D'C的長度和為多少？

（3）有“個邊長為。的正方形按圖3擺放，測得橫向影子A'B,D'C的長度和為6,求

燈泡離地面的距離.（寫出解題過程，結果用含a,6,〃的代數式表示）

15.把一個等腰直角三角形和一個正三角形分別分割成3個三角形，使等腰直角三角形中的

3個小三角形和正三角形中的3個小三角形分別相似？請畫出三角形的分割線，在小三角

形的各個角上標出度數.

正三角形等膊直角三角形

16.一塊直角三角形木板的一條直角邊長為1.5米，面積為1.5平方米，要把它加工成

一個面積最大的正方形桌面，甲、乙兩位同學的加工方法分別如下所示，請你用學過的

知識說明哪位同學的加工方法符合要求.(加工損耗忽略不計，計算結果中的分數可保留)

17.一塊三角形廢料如圖所示，ZA=30°,NC=90°,AB=12.用這塊廢料剪出一個矩

形COEF,其中，點。、E、尸分別在AC、AB、BC±.要使剪出的矩形CZJEF面積最大,

點E應選在何處?

18.如圖，路燈A離地8米，身高1.6米的小王(CD)的影長DB與身高一樣，現在他沿

方向走10米，到達E處.

(1)請畫出小王在E處的影子EH；

(2)求即的長.

A

19.某校八年一班的一節數學活動課安排了測量操場上懸掛國旗的旗桿的高度.甲、乙、丙

三個學習小組設計的測量方案如圖所示：甲組測得圖中8。=60米，。。=3.4米，CD=

1.7米；乙組測得圖中，8=1.5米，同一時刻影長尸。=0.9米，￡2=18米；丙組測得

圖中，EF//AB,FH//BD,8。=90米，m=0.2米，人的臂長(FH)為0.6米.請你任

20.如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標作為點A,再在河的這一邊

選定點B和C,使然后，再選點E,使ECLBC,用視線確定和4E的交

點D此時如果測得3。=60米，。。=30米，EC=25米，求兩岸間的大致距離AB.

E

21.小玲用下面的方法來測量學校教學大樓的高度：如圖，在水平地面上放一面平面鏡,

鏡子與教學大樓的距離出=25米.當她與鏡子的距離CE=2.5米時，她剛好能從鏡子中

看到教學大樓的頂端2.已知她的眼睛距地面高度。C=1.6米.請你幫助小玲計算出教

學大樓的高度A8是多少米(注意：根據光的反射定律：反射角等于入射角).

B

22.有一塊三角形的余料ABC,要把它加工成矩形的零件，已知：BC=8cm,高AO=12cm,

矩形EFGH的邊EF在BC邊上，G、H分別在AC,A2上，設HE的長為ycm、EF的長

為xcm

(1)寫出y與x的函數關系式.

(2)當無取多少時，EFGH是正方形？

23.如圖，A、8兩點被池塘隔開，在外任選一點C,連接AC、BC分別取其三等分點

M、N量得MN=38m.求AB的長.

24.如圖1,己知四邊形A8CD,點尸為平面內一動點.如果那么我們稱

點尸為四邊形ABCO關于A、8的等角點.如圖2,以點8為坐標原點，BC所在直線為

x軸建立平面直角坐標系，點C的橫坐標為6.

(1)若A、。兩點的坐標分別為A(0,4)、D(6,4),當四邊形ABCD關于A、8的等角

點尸在。C邊上時，則點P的坐標為；

(2)若A、。兩點的坐標分別為A(2,4)、D(6,4),當四邊形ABC。關于A、8的等角

點尸在QC邊上時，求點P的坐標；

(3)若A、。兩點的坐標分別為A(2,4)、D(10,4),點P(無，y)為四邊形ABCD關

于A、B的等角點，其中x>2,y>0,求y與x之間的關系式.

25.右邊兩圖是一個等腰Rt^ABC和一個等邊△￡>￡￡要求把它們分別割成三個三角形,

使分得的三個三角形互相沒有重疊部分，并且AABC中分得的三個三角形和中分

得的三個小三角形分別相似，請畫出兩個三角形中的分割線，標出分割得到的小三角形

中兩個角的度數.

26.一塊三角形材料如圖所示，ZA=30°,ZC=90°,48=12,用這塊材料剪出一個矩

形CDEF,其中。、E、尸分別在8C、AB,AC上.

（1）若設AE=尤，貝ijAP=；（用含尤的代數式表示）

（2）要使剪出的矩形C。所的面積最大，點E應選在何處?

27.身高1.6米的安心同學在某一時刻測得自己的影長為1.4米，此刻她想測量學校旗桿的

高度.但當她馬上測量旗桿的影長時，發現因旗桿靠近一幢建筑物，影子一部分落在地

面上，一部分落在墻上（如圖）.她先測得留在墻上的影子。=1.2米，又測地面部分的

影長BC=3.5米，你能根據上述數據幫安心同學測出旗桿的高度嗎？

N

28.如圖，小東用長為32〃的竹竿做測量工具測量學校旗桿的高度，移動竹竿，使竹竿、

旗桿頂端的影子恰好落在地面的同一點，此時，竹竿與這一點相距8;〃、與旗桿相距22m,

ZD=70°,ZB=50°,Z￡=30°,分別過兩個三角形

的一個頂點畫直線/、m,使直線/將△ABC分為兩個小三角形，直線相將△OEP分成兩

個小三角形，并使△ABC分成的兩個小三角形分別與△￡）所分成的兩個小三角形相似,

并標出每個小三角形各個內角的度數.（畫圖工具不限，不要求寫作法，只要畫出一種分

法.）

30.作圖題（不寫作法，保留作圖痕跡）

畫出邊長是左邊四邊形2倍的相似形;

（2）如圖所示，在△ABC中畫出長寬之比為2：1的矩形，使長邊在上.

A

31.如圖，在斜坡的頂部有一鐵塔AB,在陽光的照射下，塔影。E留在坡面上，已知鐵塔

底座寬0）=14機，塔影長。E=36機，小明和小華的身高都是1.6加，小明站在點E處，

影子也在斜坡面上，小華站在沿DE方向的坡腳下，影子在平地上，兩人的影長分別為

4m與2m,那么求塔高AB.

32.一塊直角三角形木版的一條直角邊為1.5〃z,面積為157，要把它加工成一個面積

最大的正方形桌面，小明打算按圖1進行加工，小華準備按圖2進行裁料，他們誰的加

工方案符合要求？

圖1圖2

33.為了測量圖（1）和圖（2）中的樹高，在同一時刻某人進行了如下操作：

圖（1）：測得竹竿C。的長為0.8米，其影CE長1米，樹影AE長2.4米.

圖（2）：測得落在地面的樹影長2.8米，落在墻上的樹影高1.2米，請問圖（1）和圖（2）

中的樹高各是多少？

34.已知：如圖，在△ABC中，AB=3,AC=2,能否在AC上(不同于A,C)找到點D,

過點。作。E〃A3交于BC于E,過點E作斯〃AC交A2于R連接即，將△ABC分

割成四個相似的小三角形，但其中至少有兩個小三角形的相似比不等于1?若能，求出點

。位置；若不能，請說明理由.

35.一塊直角三角形木板，它的一條直角邊AB長面積為1.5"/.甲、乙兩位木匠分

別按圖①、②把它加工成一個正方形桌面.請說明哪個正方形面積較大(加工損耗不計).

36.如圖，在由邊長為1的小正方形組成的網格圖中有一個格點三角形&8仁(注：頂點均

在網格線交點處的三角形稱為格點三角形)

(1)請直接寫出AABC中AB邊上的高線長：；

(2)請在圖中畫一個格點三角形。ER使得?△ABC,且相似比為2：1；

(3)若建立平面直角坐標系后，A、B、C三點的坐標分別為A(2,4)、B(1,0)、C(4,

2).請在圖中確定格點M,使得的面積為7.5,請直接寫出所有符合題意的格點

在物理學中我們學過光的反射定律.數學綜合實踐小組想利用光的反射定律測量池塘對岸一

棵樹的高度AB測量和計算的部分步驟如下：

①如圖，在地面上的點C處放置了一塊平面鏡，小華站在3C的延長線上，當小華從平面

鏡中剛好看到樹的頂點A時.測得小華到平面鏡的距離8=2米，小華的眼睛E到地面

的距離￡0=1.5米；

②將平面鏡從點C沿8C的延長線向后移動10米到點尸處，小華向后移動到點a處時，小

華的眼睛G又剛好在平面鏡中看到樹的頂點A,這時測得小華到平面鏡的距離FH=3米;

③計算樹的高度A8：設米，BC=y米.

VZABC=ZEDC=90°,ZACB^ZECD

：.MABCsXEDC

-AB_BC……

"ED^DC

任務：請你根據材料中得到的測量數據和計算步驟，將剩余的計算部分補充完整.

38.如圖，如圖用一根鐵絲分成兩段可以分別圍成兩個相似的五邊形，已知它們的面積比是

1：4,其中小五邊形的邊長為-4）cm,大五邊形的邊長為（f+2x）cm（其中x>0）.求

這這根鐵絲的總長.

(油4所(x2+2x)cm

39.小明用這樣的方法來測量建筑物的高度：如圖所示，在地面上（￡處）放一面鏡子,他

剛好從鏡子中看到建筑物（48）的頂端8,他的眼睛離地面1.25米（CZ）=L25米）,如

果小明離鏡子1.50米（CE=1.50米）,與建筑物的距離是181.50米（04=181.50米）.那

么建筑物的高是多少米?

40.一塊三角形的余料，底邊8C長18米，高4。=10米，如圖.要利用它裁剪一個長寬

比是3：2的長方形，使長方形的長在上，另兩個頂點在A3、AC上，求長方形的長

EH和寬￡尸的長.

41.如圖，在△ABC中，ZB=90°,ZA=60°,AB=1,作等腰三角形△ACZ）,使NCA。

=30°,且點。和B位于AC異側，連結2。交AC于點。

（1）請在所給圖形基礎上畫出符合要求的其中一個草圖，并在圖中找出相似三角形后說明

理由

（2）在（1）的條件下，求出4?長.

42.如圖，小明在打網球時，使球恰好能打過網，而且落在離網4米的位置上，求球拍擊球

43.如圖，一條東西走向的筆直公路，點A、B表示公路北側間隔150米的兩棵樹所在的位

置，點C表示電視塔所在的位置.小王在公路南側直線行走，當他到達點尸的位置

時，觀察樹A恰好擋住電視塔，即點P、A、C在一條直線上，當他繼續走180米到達點

。的位置時，以同樣方法觀察電視塔，觀察樹B也恰好擋住電視塔.假設公路兩側48〃

PQ,且公路的寬為60米，求電視塔C到公路南側尸。的距離.

44.如圖，甲、乙兩樓樓頂上的點A和點E與地面上的點C這三點在同一條直線上，點、B、

。分別在點E、A的正下方且。、B、C三點在同一條直線上，B、C相距50米，D、C

相距80米，乙樓高2E為2。米，求甲樓高AD

45.一塊材料的形狀是銳角三角形ABC,邊BC=120mm,高4。=80〃皿，把它加工成正方

形零件如圖，使正方形的一邊在上，其余兩個頂點分別在AB,AC上.

(1)求證：AAEFsAABC；

(2)求這個正方形零件的邊長.

46.如圖，△ABC是一塊面積為2700c“，的三角形木板，其中3。=90。/1,現在要將這塊木

板加工成一個正方形的桌面，如圖所示，正方形。即是要加工成的桌面，點。、M

分別在A8、AC邊上，點E、歹在BC邊上，根據以上數據求出這個正方形桌面的邊長.

47.如圖（1）是一種廣場三聯漫步機，其側面示意圖如圖（2）所示，其中AB=AC=12051,

48.閱讀下列材料：小華遇到這樣一個問題：

已知：如圖1,在△A8C中，三邊的長分別為48=/而，AC=、歷，BC=2,求的正切

值.

小華是這樣解決問題的：

如圖2所示，先在一個正方形網格（每個小正方形的邊長均為1）中畫出格點△ABC（△ABC

三個頂點都在小正方形的頂點處），然后在這個正方形網格中再畫一個和△ABC相似的格

點、ADEF,從而使問題得解.

（1）如圖2,△OEF中與NA相等的角為,/A的正切值為.

（2）參考小華的方法請解決問題：若的三邊分別為LM=2,MN=2&,LN=2jm

求/N的正切值.

E

49.小亮和小穎想用下面的方法測量學校教學樓的高度：如圖，小亮蹲在地上，小穎站在小

亮和教學樓之間，兩人適當調整自己的位置，當樓的頂部M、小穎的頭部8及小亮的眼

睛A恰好在一條直線上時，兩人分別標定自己的位置C、D,然后測出兩人之間的距離

CZ)=2相，小穎與教學樓之間的距離DN=38%(C、D、〃在同一直線上)，小穎的身高

20=16〃，小亮蹲地觀測時眼睛到底面的距離AC=L九請你根據以上測量數據幫助他

們求出教學樓的高度M.

一

BI

口

置

50.已知：如圖所示，要在高A￡)=80M7機，底邊BC=120機7〃的三角形余料中截出一個正方

形板材PQMN,AD與PN交于E.求正方形的邊長.

北師大新版九年級上學期《4.6利用相似三角形測高》

2019年同步練習卷

參考答案與試題解析

選擇題（共1小題）

1.如圖，以點。為支點的杠桿，在A端用豎直向上的拉力將重為G的物體勻速拉起，當

杠桿OA水平時，拉力為F；當杠桿被拉至04時，拉力為用，過點Bi作BiC±OA,

過點4作垂足分別為點C、D.

①△OSCs/XOAiD；

@OA-OC=OB-OD；

@OC'G=OD'Fi；

其中正確的說法有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據在同一平面內，垂直于同一直線的兩直線互相平行判斷出SC〃4。，然后求

出△OBiCs/XOAiD,判斷出①正確；

根據相似三角形對應邊成比例列式求解即可得到②正確；

根據杠桿平衡原理：動力義動力臂=阻力X阻力臂列式判斷出③正確；

求出F的大小不變，判斷出④正確.

【解答】解：：囪。，。!，ArDLOA,

J.BiCZ/AiD,

：.AOBiC^/\OAiD,故①正確；

.OC_QB1

"ODOAf）

由旋轉的性質得，OB=OBi，OA=OAV

：.OA-OC=OB-OD,故②正確；

由杠桿平衡原理，OC-G=OD-FX,故③正確;

.1.F1的大小不變，

F—Fi，故④正確.

綜上所述，說法正確的是①②③④.

故選：D.

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質，杠桿平衡原理，熟練掌握相似三角形的判定

方法和性質并準確識圖是解題的關鍵.

二.填空題（共1小題）

2.在△ABC中，ZACB=90°,BC=8,AC=6,以點C為圓心，4為半徑的圓上有一動點

D,連接A。，BD,CD,則《BD+AD的最小值是

【分析】如圖，在CB上取一點F,使得CF=2,連接CD,AF.由△尸推出更

BD

=空=工，推出DF=LBD,推出根據。尸+AONAF即可解決問題；

CD2

【解答】解：如圖，在CB上取一點R使得CP=2,連接C￡?,AF.

B

；.C￡）=4,CF=2,C2=8,

：.Crr=CF'CB,

?CD=CB

"CFCF'

,?NFCD=ZDCB,

:ZCDs^DCB,

???DF=CF=1,

BDCD2

:.DF=LBD,

2

LBD+AD=DF+AF,

2

?：DF+AD^AF,AF=感^^二2不員,

:.LBD+AD的最小值是2國,

2

故答案為2A/IQ.

【點評】本題考查相似三角形的應用，兩點之間線段最短，勾股定理等知識，解題的關鍵是

學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題.

三.解答題（共48小題）

3.如圖，是一個照相機成像的示意圖.

（1）如果像高A/N是35根機，焦距是50/ww,拍攝的景物高度AB是49小拍攝點離景物有

多遠？

（2）如果要完整的拍攝高度是2根的景物，拍攝點離景物有4羽，像高不變，則相機的焦距

應調整為多少？

35mm

【分析】(1)利用相似三角形對應邊上的高等于相似比即可列出比例式求解;

(2)和上題一樣，利用物體的高和拍攝點距離物體的距離及像高表示求相機的焦距即可.

【解答】解：根據物體成像原理知：￡\LMNsALBA,

.MN_LC

"AB^LD-

(I),像高MV是35加"z,焦距是50sM7,拍攝的景物高度AB是4.9利,

?0.035=4.9

"0.05ID-

解得：LD=7,

.??拍攝點距離景物7米;

(2)拍攝高度是2加的景物，拍攝點離景物有4〃,，像高不變,

?352000

"LC=4000)

解得：LC=70,

，相機的焦距應調整為70mm.

【點評】本題考查了相似三角形的應用，解題的關鍵是根據題意得到相似三角形，并熟知相

似三角形對應邊上的高的比等于相似比.

4.如圖，花叢中有一路燈桿AB.在燈光下，小明在。點處的影長。E=3米，沿BD方向

行走到達G點，0G=5米，這時小明的影長G4=5米.如果小明的身高為1.7米，求路

燈桿A8的高度（精確到0.1米）.

A

-DEGH

【分析】根據AB8"，CDLBH,FG±BH,可得：AABEsdCDE,則有型=.DE一和

ABDE+BD

四=一第一，而型=/，即DE=HG,從而求出BO的長，再代入前

ABHG+GD+BDABABDE+BDHG+GD+BD

面任意一個等式中，即可求出AB.

【解答】解：根據題意得：AB1BH,CDLBH,FGLBH,（1分）

在RtAABE和RtACZ)￡中,

'：AB±BH,CD1BH,

：.CD//AB,

可證得：

△CDEsAABE

.?.史=DE①,（4分）

AB-DE+BD

同理：一些一②，（5分）

ABHG+GD+BD

又CD=FG=1.7m,

由①、②可得：

DE_HG

DE+BD=HG+GD+BD'

即3_5,

3+BD=10+BD'

解之得：BD=1.5m,（6分）

將BD=75代入①得：

AB=5.95m^6.0m.（7分）

答：路燈桿48的高度約為6.0m.（8分）

（注：不取近似數的，與答一起合計扣1分）

【點評】解這道題的關鍵是將實際問題轉化為數學問題，本題只要把實際問題抽象到相似三

角形中，利用相似比列出方程即可求出.

5.學習投影后，小明、小穎利用燈光下自己的影子長度來測量一路燈的高度，并探究影子

長度的變化規律.如圖，在同一時間，身高為1.6機的小明（AB）的影子長是3機，

而小穎（EH）剛好在路燈燈泡的正下方X點，并測得加=6".

（1）請在圖中畫出形成影子的光線，并確定路燈燈泡所在的位置G；

（2）求路燈燈泡的垂直高度GH；

（3）如果小明沿線段5H向小穎（點X）走去，當小明走到①/中點Bi處時，求其影子81cl

的長；當小明繼續走剩下路程的上到歷處時，求其影子歷C2的長；當小明繼續走剩下

3

路程的工到用處，…按此規律繼續走下去，當小明走剩下路程的,到瓦處時，其影

4n+1

子BnQn的長為祖.（直接用n的代數式表示）

~2n+2~

4A

B,B

【分析】（1）確定燈泡的位置，可以利用光線可逆可以畫出；

（2）要求垂直高度G”可以把這個問題轉化成相似三角形的問題，圖中△ABCs^GHC由

它們對應成比例可以求出GH；

（3）的方法和（2）一樣也是利用三角形相似，對應相等成比例可以求出，然后找出規律.

【解答】解：（1）如圖（2分）

（2）GH±HC,

C.AB//GH,

：.AABC^/XGHC,

A（3分）

GH-HC

VAB=1.6/77,BC=3m,HB=6m

?1.63

，GH=4.8(m).(4分)

(3)同理△AiBiCis^GHCi，

.A1B1_B1C1

.GH=HC］，

設長為x(M,則二6二x,

4.8x+3

解得：(m),即B［C［二"(加?(5分)

同理1.6二B2c2,

4.8B2c2+2

解得比Q=1(m),(6分)

.1.6_BnCn

?------一,

【點評】本題只要是把實際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性質對應邊成比例

解題，此題有三問，比較麻煩，但方法一樣.

6.如圖，在一個長40機、寬30%的長方形小操場上，王剛從A點出發，沿著的路

線以3根/s的速度跑向C地.當他出發4s后，張華有東西需要交給他，就從A地出發沿

王剛走的路線追趕.當張華跑到距B地2Z,z的D處時，他和王剛在陽光下的影子恰好

3

重疊在同一條直線上.此時，A處一根電線桿在陽光下的影子也恰好落在對角線AC上.

（1）求他們的影子重疊時，兩人相距多少米？（OE的長）

（2）求張華追趕王剛的速度是多少？（精確到O.lm/s）

【分析】⑴提示：利用平行投影的性質，確定AC〃Z)E,利用三角形相似(△ACBS/XDEB)

求解即可;

(2)利用勾股定理求出BE的長，然后求出王剛的時間，減去4得到張華的時間，再根據

速度=路程+時間列式計算即可求解.

【解答】解：(1)根據題意可知：DE//AC,

：.LACBs4DEB

-DE_BD,

"AC

在RtA4BC中，AB=40m,BC=30m,BD

\,在一個長40m＞寬30/77的長方形小操場上,

.,.AC—50m,

在

嘲得即由處

(2)根據題意得

/.￡>￡2=BD2+BE2,

"BE=VDE2-BD2=^(y-)-(y)=y=2m,

:.s-AB+BE=42m,

.??/王=二^-=42m=145,

v王3m/s

張=￡王-4=10s,

；.s張=AO=AB-BD=40-2—⑵-

3333

112

v張=」—Q3.7?I/S.

10

答：（1）他們的影子重疊時，兩人相距也■米.

3

（2）張華追趕王剛的速度是3.7M/S.

【點評】本題考查了相似三角形的性質及勾股定理在實際生活中的運用，解答此類問題的關

鍵是根據題意列出方程求解.

7.馬戲團讓獅子和公雞表演蹺蹺板節目.蹺蹺板支柱AB的高度為1.2米.

（1）若吊環高度為2米，支點A為蹺蹺板尸。的中點，獅子能否將公雞送到吊環上，為什

么？

（2）若吊環高度為3.6米，在不改變其他條件的前提下移動支柱，當支點A移到蹺蹺板尸。

的什么位置時，獅子剛好能將公雞送到吊環上？

【分析】（1）當獅子將蹺蹺板P端按到底時可得到而AB為的中位線,

AB^1.2（米），QH=24>2

（2）由于所以/有組故可求得。反的值.

QH-PQ3

【解答】解：（1）獅子能將公雞送到吊環上.

當獅子將蹺蹺板P端按到底時可得到RtAPHQ,

:支點A為蹺蹺板PQ的中點，AB//QH,

：.AB為的中位線，

\'AB=1.2（米），

QH=2AB=2.4m>2m.

（2）支點A移到蹺蹺板P。的三分之一處（E4=」_PQ）,

3

獅子剛好能將公雞送到吊環上，

如圖，'JAB//QH,

:.叢PABsXPQH,

?ABPA1.2=1

??麗"PQ=3.6T

???支點A移到蹺蹺板PQ的三分之一處時，獅子剛好能將公雞送到吊環上.

【點評】本題利用了相似三角形和性質求解.

8.小胖和小瘦去公園玩標準的蹺蹺板游戲，兩同學越玩越開心，小胖對小瘦說：“真可惜！

我只能將你最高翹到1米高，如果我倆各邊的蹺蹺板都再伸長相同的一段長度，那么我

就能翹到1米25,甚至更高！”

（1）你認為小胖的話對嗎？請你作圖分析說明；

（2）你能否找出將小瘦翹到1米25高的方法？試說明.

BOA

她而P

【分析】（1）小胖的話不對，因為小胖說“真可惜！我現在只能將你最高翹到1米高”，可

知B在地面上時，A距離地面1米，利用0P是三角形的中位線可知。尸=0.5米，若將

兩端同時都再伸長相同的長度，OP依然是三角形的中位線，蹺蹺板能翹到的最高高度始

終為支架OP高度的兩倍即為1米，所以不可能翹得更高；

（2）能找出，方法是：保持3。長度不變.將延長一半至E,即只將小瘦一邊伸長一半,

利用相似三角形的性質，可知A離地面的高度：。尸=2.5：1,即小瘦距離地面1.25米.

【解答】解：（1）小胖的話不對.（2分）小胖說“真可惜！我現在只能將你最高翹到1米

高”，情形如圖1所示

。尸是標準蹺蹺板支架的高度，AC是蹺蹺板一端能翹到的最高高度1米，8c是地面.

±BC,ACLBC,ZOBP^ZABC,：./XOBP^AABC,.?.更（4分）

BA-AC

又?.?此蹺蹺板是標準蹺蹺板，8。=。4,.L=L,而AC=1米，得。2=0.5米.（5分）

BA2

若將兩端同時都再伸長相同的長度，假設為。米（?>0）.如圖2所示，

。米，AE=〃米（6分）

9

：BO=OAf

/.BO+a=OA+a,即DO=OE.

同理可得△。。「6△。石/，

DE-2

...里y_,由。尸=0.5米，得匹=1米.（7分）

DE-EF

綜上所述，蹺蹺板兩邊同時都再伸長相同的一段長度，蹺蹺板能翹到的最高高度始終為支架

OP高度的兩倍，所以不可能翹得更高.

（2）①方案一：如圖3所示，

保持3。長度不變.將。4延長一半至E,即只將小瘦一邊伸長一半.（8分）

使AE=J-OA,則竺1上，（9分）

2BE5

由△BOPS/KBEF,得更L，!L,（11分）

BE-EF

.,衣=1.25米,（12分）

②方案二：如圖4所示，只將支架升高0.125米.（8分）

...￡/0―』,叢B'O'P"△"A'C,

B，A，-2

又。尸=0.5+0.125=0.625米，（9分）

.HO'PP',（11分）

B'A'"A7C’

.?.A'C=1.25米.（12分）

（注：其它方案正確，可參照上述方案評分！）

A'

圖3

【點評】本題需仔細分析題意，結合圖形，利用相似三角形對應邊成比例即可解答問題.

9.問題背景在某次活動課中，甲、乙、丙三個學習小組于同一時刻在陽光下對校園中一些

物體進行了測量.下面是他們通過測量得到的一些信息：

乙組：如圖2,測得學校旗桿的影長為900c〃z.

丙組：如圖3,測得校園景燈（燈罩視為球體，燈桿為圓柱體，其粗細忽略不計）的高度為

200cm,影長為156cm.任務要求：

（1）請根據甲、乙兩組得到的信息計算出學校旗桿的高度；

（2）如圖3,設太陽光線與。。相切于點M.請根據甲、丙兩組得到的信息，求景燈

燈罩的半徑.（友情提示：如圖3,景燈的影長等于線段NG的影長；需要時可采用等式

1562+2082=2602）

【分析】此題屬于實際應用問題，解題時首先要理解題意，然后將實際問題轉化為數學問題

進行解答；此題需要轉化為相似三角形的問題解答，利用相似三角形的性質，相似三角

形的對應邊成比例解答.

【解答】解：（1）由題意可知：/BAC=/EDF=9。：NBCA=/EFD.

：.△ABCsLDEF.

AAB_AC；即毀JL,（2分）

DE-DFDE-900

，DE=1200（cm）.

所以，學校旗桿的高度是12〃z.（3分）

（2）解法一：

與①類似得：坐4,即他3L

GN-GHGN-156

.,.GN=208.（4分）

在RtZ\NG8中，根據勾股定理得：W=1562+2082=2602,

:.NH=26Q.（5分）

設O。的半徑為廠51,連接OM,

切。。于M,：.OM±NH.（6分）

則/OMN=NHGN=90°,

又,：/ONM=/HNG,

:.△OMNs△HGN,

喘端（7心

又ON=OK+KN=OK+（GN-GK）=r+8,

?r_r+8

"T56"^260：

解得：r=12.

，景燈燈罩的半徑是12c7%.（8分）

解法二：

與①類似得：期

GNGH

即8。=60,

GN-156

：.GN=2Q8.（4分）

設O。的半徑為星川，連接OM,

；NH切。0于M,

：.OMLNH.（5分）

則/OMN=/"GN=90°,

又,：/0NM=/HNG,

:AOMNs叢HGN.

-QM_MN

"HG^GN，

即「=MN,（6分）

156~208

:.MN=&r,

3

又,：ON=OK+KN=OK+（GN-GK）=葉8.（7分）

在Rt^OMN中，根據勾股定理得：

222

/+（￡r）=（r+8）BPr-9r-36=0,

3

解得：n=12,9=-3（不合題意，舍去）,

景燈燈罩的半徑是12cm.（8分）

【點評】本題只要是把實際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程,

通過解方程求解即可，體現了轉化的思想.此題的文字敘述比較多，解題時要認真分析

題意.

10.王大伯要做一張如圖1的梯子，梯子共有8級互相平行的踏板，每相鄰兩級踏板之間的

距離都相等.已知梯子最上面一級踏板的長度45=0.5相，最下面一級踏板的長度圖瓦

=08%木工師傅在制作這些踏板時，截取的木板要比踏板長，以保證在每級踏板的兩

個外端各做出一個長為4cm的樟頭（如圖2所示），以此來固定踏板.現市場上有長度為

2.1m的木板可以用來制作梯子的踏板（木板的寬厚和厚度正好符合要制作梯子踏板的要

求），請問：制作這些踏板，王大伯最少需要買幾塊這樣的木板？請說明理由.（不考慮

鋸縫的損耗）

【分析】在解此題的過程中，一定要構建相似三角形，因為踏板之間是相互平行，而且間隔

相等，所以可利用這一組平行線來構建相似三角形，從而依次求出自上而下各條踏板的

長度.另外千萬不要忽略樺頭的長度；

解法二：可以把梯子看做一個等腰梯形，由中位線定理即可求解；

解法三：和解法二相同，都是利用梯形中位線，只不過又做了一■條踏板'的,有AIBI和4場

能求出A5B5，然后有A585和4破9求出q感，再有A7B7和4為求出4/8=80,從而算

出A9B9的具體數值，這樣的話，4以至&國的長就都能準確求出，從而算出一共需要

多少材料.

【解答】解：法一：如圖，設自上往下第2,3,4,5,6,7級踏板的長依次為&2&，A3B3,

A7B7,過Ai作3/8的平行線分別交A2B2,A3B3.4/8于點C2，C3,…，C8.

:每兩級踏板之間的距離相等，

—CyBy—???—C2B2—A1B1—50cm,A8c8=80-50=30cm.

?：A2C2//ASB8,

2c2=NAiA8c8，A1C2A2—CsAg,

△A142。200△A148Cg,

A2C2：A8c8=1：7,

?30

??A25^50+^

設要制作A/i，A2B2，…,A7B7,A/8這些踏板需用木板的長度分別為a^cm,

a^cm,

則由=50+8=58,a2=50+羋住58+平，&3=58+半，為=58+半，%二58

&產8+旱，a[=58+寫，恁=58+30,

,+a2