【五年級奧數(shù)舉一反三一全國通用】

測評卷02《等差數(shù)列》

試卷滿分：10（）分考試時間：10（）分鐘

姓名：班級：得分：

一.選擇題（共6小題，滿分12分，每小題2分）

1.（2分）（2011?其他模擬）有20個數(shù)，第一個數(shù)是9,以后每一個數(shù)都比前一個數(shù)大2,第20個數(shù)是（）

A.47B.49C.51D.53

【分析】由于第一個數(shù)是9,從第二個數(shù)起，每一個數(shù)都比前一個數(shù)大2,所以第20個數(shù)比9大19個2.

【解答】解：9+（20-I）X2

=9+19X2

=9+38

=47.

答：第20個數(shù)是47.

故選:A.

2.（2分）下面一列數(shù)5、8、11、14、…、第（）個數(shù)為2015.

A.667B.668C.669D.671

【分析】此題首項是5,末項是2015,公差是3,求第幾個數(shù)為2015,即求項數(shù)，根據(jù)等差數(shù)列的通項

公式進行求解即可.

【解答】解：首項是5,末項是2015,公差是3,

（2015-5）4-3+1

=2010+3+1

=671

答：第671個數(shù)為2015.

故選：D.

3.（2分）（2015?創(chuàng)新杯）從小到大排列99個數(shù)，每兩個相鄰數(shù)的差都相等，第7個與第93個的和為262,

則這列數(shù)的第50個數(shù)為（）

A.50B.51C.120D.131

【分析】因為一共有99個，所以正中間的一個數(shù)是50,這個數(shù)就是這個數(shù)列之和的平均數(shù).第93個數(shù)

是倒數(shù)第7個數(shù)，所以此題常采用畫圖的方法解決.

【解答】解：

2624-2=131

故選：D.

4.（2分）（2014?迎春杯）一個12項的等差數(shù)列，公差是2,且前8項的和等于后4項的和，那么，這個

數(shù)列的第二項是（）

A.7B.9C.IID.13

【分析】找出前8項數(shù)字和與后4項數(shù)字和相等，列出關(guān)系式，求出其中一項即可.

【解答】解：根據(jù)題意后4項和前8項數(shù)字和相等可知，這個數(shù)列是遞增數(shù)列，

X84~2=（的+02）X44~2,

因為〃8=。|+14,。9=。|+16,的2=”|+22,

所以代入得（切+0+14）X8+2=（m+16+0+22）X44-2,

解得“1=5,

所以〃2=4l+2=7.

故選：A.

5.（2分）5個連續(xù)自然數(shù)的和是315,那么緊接在這5個自然數(shù)后面的5個連續(xù)自然數(shù)的和是（）

A.360B.340C.350D.無法求出

【分析】這些自然數(shù)是等差數(shù)列，緊接在這5個自然數(shù)后面的5個連續(xù)自然數(shù)的和比315多5X5,然后

進一步解答即可.

【解答】解：315+5X5

=315+25

=340

故選:B.

6.（2分）（2011?其他模擬）有10只盒子，44只羽毛球.能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各個盒

子里的羽毛球不相等？（）

A.能B.不能C.不確定

【分析】這是一個等差數(shù)列的應(yīng)用題，解題關(guān)鍵是由己知數(shù)列所有項的個數(shù)按最少量算出它們的總和，

然后與題意中給的羽毛球的總數(shù)44相比較，如果相等，就說明能夠?qū)?4只羽毛球放到10個盒子中去，

且使各盒子里的羽毛球數(shù)不相等；否則就不能.

【解答】解：由題意，要使10個盒子中羽毛球的數(shù)量不相等，

最少的放法是:

i),1,2-9.

計算總和：

0+1+2+??,+9

=9X5

=45,

因為45>44,

所以原題不能.

答：不能使各個盒子里的羽毛球數(shù)不相等.

故選:B.

二.填空題（共12小題，滿分31分）

7.（2分）（2017?走美杯）一箱蘋果6（）個，第一天大家一起吃了17個，以后我每天吃1個，過了幾天發(fā)現(xiàn)

只剩下16個,蘋果怎么少這么快？有人告訴我.小張每天都夫偷偷地拿2個.請你算一算：這幾天小張

共拿了18個蘋果.

【分析】可以先用總數(shù)減去大家吃的蘋果數(shù)和剩下的蘋果數(shù)，再除以我每天吃的蘋果數(shù)和小張偷的蘋果

數(shù)之和，就能求得天數(shù)，就能知道小張偷了幾天，不難求得小張偷拿了多少蘋果.

【解答】解—：根據(jù)分析，先求得小張偷拿蘋果的天數(shù)，故有：

（60-17-16）+（2+1）=9（天）,

小張共偷了：9X2=18個.

故答案是：18.

8.（2分）（2016）表中每行，每列分別從左至右、從上至下構(gòu)成等差數(shù)列，那么"=300.

48

915

12n

rn25

【分析】首先，確定第一行公差，填全第一行；

從第二列確定公差，確定

同樣從第四列，確定〃.

【解答】解.：

第一行公差為（8-4）+2=2,第一行數(shù)字為：4、6、8.10；

故答案為576.

12.（2017?春蕾杯）九只小猴子依次去摘桃子，每一只都比前一只多摘2個桃子，摘得最多的一只猴子摘

了25個桃子，那么這些猴子一共摘了153個桃子.

【分析】九只小猴子摘桃子數(shù)，構(gòu)成一個等差數(shù)列，公差是2,末項是25,那么首項是25-2義（9-1）

=9,然后根據(jù)高斯求和公式解答即可.

【解答】解：25-2X（9-1）=9（個）

（9+25）X94-2=153（個）

故答案為：153.

13.（2016?迎春杯）帥帥背了7天單詞，從第2天開始每天都比前一天多背1個單詞，且前4天所背單詞

個數(shù)的和等于后3天所背單詞個數(shù)的和，那么帥帥這7天一共背了單詞84個.

【分析】首先表示出這7天的數(shù)量關(guān)系，然后根據(jù)前4天等于后3天的數(shù)量列出等式，求出每天的數(shù)最

相加即可.

【解答】解：依題意可知：

設(shè)帥帥背單詞的數(shù)量為：a，a-\,a+2,a+3,〃+4,〃+5,〃+6共7天

a+a+1+a+2+a+3=。+4+。+5+。+5

解：4=9.

共背9+10+11+12+13+14+15=84

故答案為：81

14.（2015?走美杯）梯形的上底、高、下底依次構(gòu)成一個等差數(shù)列，其中高是12,那么梯形的面積是一144.

【分析】首先根據(jù)梯形的上底、高、下底依次構(gòu)成一個等差數(shù)列，可得：上底+下底=高乂2,據(jù)此求出

梯形的上底和下底的和是多少；然后根據(jù)：梯形的面積=（上底+下底）X高+2,求出梯形的面積是多

少即可.

【解答】解：（12X2）X124-2

=24X12+2

=288+2

=144

答：梯形的面積是144.

故答案為：144.

15.（2018?迎春杯）四位同學(xué)一起討論一個由無數(shù)個自然數(shù)組成的等差數(shù)列：

小葉說：這個等差數(shù)列的第一項是個兩位數(shù).

小剛說：數(shù)列中不大于215的數(shù)有20多個.

小王說：數(shù)列的公差小于5.

小紅說：數(shù)列前兩項的平均數(shù)是102.

這四位同學(xué)的話中只有一句是錯的，那么這個等差數(shù)列的第10()項是一496.

【分析】如果小葉和小紅說得對，那么前兩項的和是102X2=204,根據(jù)小葉說的，可以確定第一個數(shù)

最大是99,那第二個數(shù)就是105,說明公差至少是105-99=6,與小王說的相矛盾，因此可以判斷出小

葉、小紅和小王三人之中肯定有一個是錯的，那么小剛說的話肯定是對的.根據(jù)小剛說的，那說明公差

一定不大于215?20%10,假設(shè)小王說的是錯的，則說明公差大于或等于6,根據(jù)小葉和小紅說的話可以

確定公差是一個偶數(shù)，因此接下來驗證公差是6、8、10的情況.如果公差是6,則第1項是99,第2

項是105,那么第21項就是99+20X6=219,大于215,所以公差不是6；如果公差是8,那么第1項就

是98,第21項就是98+20X8>215,所以公差也不是8,同樣的道理公差也不是10,由此可以判斷出小

干說的話是對的.那只有小葉和小紅兩人有一個說錯了.根據(jù)公差小干5,說明公差最大是4,那第一個

數(shù)最大是215-28X4=103,最小是215-28X4-3=100,說明小葉說錯了；同樣根據(jù)公差是3、2、1,

也能得出第一個數(shù)是三位數(shù).根據(jù)前兩項的和的平均數(shù)是102,說明這兩個數(shù)可能是100和104,也可能

是101和103,如果是100和104,那么第100項就是100+99X4=496；如果前兩項是101和103,那么

215之前就不止20多個數(shù)，故不對.

【解答】解?：根據(jù)上面的推理可以知道是小葉說錯了.

102X2=100+101=101+103

如果公差是104-100=4,則第100項是100+99X4=496；

如果公差是103?101=2,則第30項是是1+29X2=159V215,與小剛說的話矛盾.

故答案為：496.

16.(2016?創(chuàng)新杯)已知數(shù)列⑶，s，…，如為一等差數(shù)列，平均數(shù)為71,把相鄰的4個數(shù)相加，其和為

新的一列數(shù)，這新一列數(shù)的總和為28400,則〃=103.

【分析】由題意，a\十“2十,??十卬-1十%=71〃①，a?十2〃2十3“3+十4/十"?十-4十-3十3如-2十--［十如=

28400@,②-①可以得到42+2s+3〃4+3的+…+3%-4+3〃”-3+2。〃-2+6-1=28400-71〃③，依次利用①式進

行變換最后得出內(nèi)+。5+…++?！?3=28400-71(3〃-6)⑤，利用等差數(shù)列的求和公式，即可得出結(jié)論.

【解答】解：由題意，+…+〃"-1+?！?71〃①，

=

1|+2〃2+3。3+4〃4+445+~+4?！?4+44”-3+3即-2+-2an-1+an28400(2),

②-①可得。2+2。3+3。4+3。5+~+3。"-4+34〃-3+2。〃-2+?！?1=28400■7

q2+43+…+斯-2+?！?1=71(/?-2)④，

③-④可得。3+2他+2的+?，?+2加4+2+斯-2=28400-71(2”2)⑤，

口3+田+…+斯-3+?！?2=71(〃-4)④，

⑤■④可得。4+45+-+。r4+。”-3=28400?71(3〃?6)⑤,

(/2-3-4+1)X71=28400-71(3/2-6),

解得〃=103,

故答案為：103.

17.(2014?其他模擬)艾麗斯工作5天后，共掙了65元，其中每一天所掙的都比前一天多2元.她第一天

掙了9元.

【分析】每天的錢數(shù)構(gòu)成一個公差為“2”的等差數(shù)列，首項是要求的數(shù)，項數(shù)為5.因此本題根據(jù)高斯

求和公式“S產(chǎn)必+n(i)+2”進行計算即可:

【解答】解：設(shè)她第一天掙了工元，

5x+5X(5-1)X2-r2=65

5x+20=65

5.v=45

x=9

故答案為：9.

18.一個電影院的第一排有15個座位，以后每排都比前排多2個座位，最后一排有53個座位，這個電影

院共有20排座位.

【分析】把座位數(shù)可以看作是一個等差數(shù)列：首項是15,末項是53,公差是2,求這個電影院共有幾排

座位，就相當(dāng)于等差數(shù)列的項數(shù)，列式是(53-15)4-2+1=20,然后解答即可求出一共有的排數(shù).

【解答】解：根據(jù)分析可得，

(53-15)4-2+1,

=38+2+1,

=20(排),

答：這個電影院共有20排座位.

故答案為：20.

三.計算題(共1小題，滿分3分，每小題3分)

19.92+90+88+…+2.

【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式：項數(shù)=(末項-首項)+公差+1，(首數(shù)+尾數(shù))X項數(shù)+2=和解答

即可.

【解答】解：（2+92）X[（92-2）4-2+1]4-2

=94X464-2

=2162

四.解答題（共12小題，滿分54分）

20.（4分）（2012?其他模擬）把一堆蘋果分給8個朋友，要使每個人都能拿到蘋果，而且每個人拿到蘋果

個數(shù)都不同的話，這堆蘋果至少應(yīng)該有幾個？

【分析】由題意可知，要使8個人中的每個人都能拿到蘋果，而且每個人拿到蘋果個數(shù)都不同，則分到

蘋果最少的應(yīng)為1個，而其他人至少分別分到2,3…8個蘋果.那么這堆蘋果應(yīng)有的個數(shù)為：1+2+3+…

+8.計算這個公差為1的等差數(shù)列的和即可.

【解答】解：1+2+3+4+5+6+7+8

=（1+8）X84-2

=9X84-2

=72+2

=36（個）.

答：這堆蘋果至少應(yīng)有36個.

21.（4分）小張看一本故事書，第一天看了25頁，以后每天比前一天多看5頁，最后一天看55頁，剛好

看完，這本故事書一共有多少頁？

【分析】根據(jù)題意，可得小紅每天看故事書的頁數(shù)是一個等差數(shù)列，數(shù)列的首項是25,末項是55,公差

是5,所以求出等差數(shù)列的項數(shù)，即可求出這本故事書共多少頁.

【解答】解：（55-25）4-5+1

=304-5+1

=7

（25+55）X74-2

=80X7+2

=280（頁）

答：這本故事書一共有280頁.

22.（4分）已知一個等差數(shù)列第9項等于131,第10項等于137,這個數(shù)列的第1項是多少？第19項是多

少？

【分析】由題可知，本題是一個公差為137-131=6的等差數(shù)列，因此本題根據(jù)高斯求和的有關(guān)公式解

答即可：末項=苜項+（項數(shù)7）X公差，首項=末項?（項數(shù)?1）X公差.

【解答】解：公差：137-131=6

第1項：131-（9-1）X6

=131-48

=83

第19項：83+（19-1）X6

=83+18X6

=83+108

=191

答:這個數(shù)列的第1項是83,第19項是191.

23.（4分）某電影院有26排座位，后一排比前一排多1個座位，最后一排有45個座位，求這個影院一共

有多少個座位？

【分析】因后一排在比前一排多1個庫位，可看作是看作一個等差數(shù)列，末項是45,所以首項是45-26+1

=20,本題可根據(jù)高斯求和公式解答即可.

【解答】解：45-26+1=20（個）

（20+45）X264-2=845（個）

答：這個影院一共有845個座位.

24.（4分）有一堆粗細均勻的圓木，最上面一層有6根，每向二一層增加一根，如果最下面一層有98根，

那么共堆了多少層？

【分析】每層的根數(shù)構(gòu)成了一個等差數(shù)列，首項是6,公差是1,末項是98,求項數(shù)，根據(jù)“項數(shù)=（末

項-首項）+公差+1”解答即可.

【解答】解：（98-6）4-1+1

=92+1

=93（層）

答：共堆了93層.

25.（4分）求1,5,9,13,…，這個等差數(shù)列的第30項.

【分析】首先求出1,5,9,13,…，這個等差數(shù)列的公差，然后根據(jù)：+（〃-1）d（切、為、d

分別是等差數(shù)列的第1項、第〃項、公差），求出這個等差數(shù)列的第30項即可.

【解答】解：1+（30-1）X（5-1）

=1+29X4

=1+1)6

=117

答：這個等差數(shù)列的第30項是117.

26.(5分)(2012?其他杯賽)把90米長的一條繩子分成三段，要使后一段都比前一段多3米.三段繩子的

長度各是多少？

【分析】設(shè)第一段繩子長工米，那么第二段，第三段繩子的長度分別是：(戈+3)米，(x+3+3)米，根據(jù)

三段繩子的長度是90米列方程，依據(jù)等式的性質(zhì)即可解答.

【解答】解：設(shè)第一段繩子長x米，

.v+(x+3)+(x+3+3)=90,

3x+9=90,

3戈+9-9=90-9,

3x=8l?

3.r-r3=81-?3,

尸27,

27+3=30(米)，

27+3+3,

=30+3,

=33(米)，

答：第一段繩子長27米，第二段繩子長30米，第三段繩子長33米.

27.(5分)(2009?兩岸四地)張師傅做一批零件，第一天做了20個，以后每天都比前一天多做2個，第

30天做了78個，正好做完.這批零件共有幾個？

【分析】第一天20個，根據(jù)“以后每天都比前一天多做2個”，求得第二天是22個，第三天為24個，

第30天為78個，設(shè)s=20+22+24+…+76+78①，則$=78+76+74+…+24+22+20②，①+②得,2s=

(20+22+24+…+76+78)+(78+76+74+…+24+22+20)=(20+78)+(22+76)+???+(76+22)+(78+20)

=98X30,求得問題的答案.

【解答】解：因為第一天20個，第二天是22個，第三天為24個，？則第30天為78個，

設(shè)5=20+22+24+-+76+78①，

則$=78+76+74+…+24+22+20②，

①+②得，

25=(20+22+24+…+76+78)+(78+76+74+…+24+22+20),

=(20+78)+(22+76)+???+(76+22)+(78+20),

=98X30,

=2940,

所以s=1470.

答：這批零件共有1470個.

28.(5分)(2016?)若一個三位數(shù)芯的三個數(shù)字如從。按從小到大排列后，怡好可組成一個

等差數(shù)列(公差可以為0),這我們

將這樣的三位數(shù)叫做“和諧數(shù)”，如375,102,….

(1)100至199之間,有多少個“和諧數(shù)”？

(2)總共有多少個“和諧數(shù)”？

(3)將所有的“和諧數(shù)”排成一列，546排在第幾位？

【分析】將公差分類，求出相應(yīng)的“和諧數(shù)”，即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)公差為0：III：

公差為1：102,120,123,132；

公差為2：135,153；

公差為3：147,174；

公差為4：159,195,

所以100至199之間，有11個“和諧數(shù)”；

(2)公差為0：11b222,…,999；

公差為1,(0,1,2),(1,2,3),…，(7,8,9),共8組，第1組有四種情況，其它組有6種情況，

4+7X6=46個；

公差為2,(0,2,4),(I,3,5),…，(5,7,9),共6組，第1組有四種情況，其它組有6種情況，

4+5X6=34個；

公差為3,(0,3,6),(1,4,7),(2,5,8),(3,6,9),共4組，第1組有四種情況，其它組有6

種情況,4十3X6=22個;

公差為4,(0,4,8),(I,5,9),共2組，第1組有四種情況，其它組有6種情況，4+1X6=10個；

總共有9+46+34+22+10=121人“和諧數(shù)”；

(3)將所有的“和諧數(shù)”排成一列，100?199：H個;

200~299：

公差為0：222；

公差為1：20),210,213,231,234,243；

公差為2：204,240,246,264；

公差為3：258,285,共13個;

300?399：

公差為0：333：

公差為1：312,321,324,342,345,354；

公差為2：315,351,357,375；

公差為3：306,360,369,396,共15個;

400~499：

公差為0：444；

公差為1：423,432,435,453,456,465；

公差為2：402,420,426,462,468