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簡單的軸對稱圖形第3課時

角平分線的性質及畫法第五章生活中的軸對稱講授新課當堂練習課堂小結新課導入目錄新課導入教學目標教學重點新課導入挑戰第一關情境引入問題1：在紙上畫一個角，你能得到這個角的平分

線嗎？

用量角器度量，也可用折紙的方法．問題2：如果把前面的紙片換成木板、鋼板等，還能用對折的方法得到木板、鋼板的角平分線嗎？提煉圖形

問題3：如圖，是一個角平分儀，其中AB=AD,BC=DC.將點A放在角的頂點,AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線，你能說明它的道理嗎?ABC(E)D其依據是SSS，兩全等三角形的對應角相等.知識目標1.通過操作、驗證等方式，探究并掌握角平分線的性質定理.（難點）2.理解并掌握角平分線的性質及畫法．(重點）3.能運用角的平分線性質解決簡單的幾何問題.

（重點）講授新課典例精講歸納總結1.操作測量：取點P的三個不同的位置，分別過點P作PD⊥OA，PE⊥OB,點D、E為垂足，測量PD、PE的長.將三次數據填入下表：2.觀察測量結果，猜想線段PD與PE的大小關系，寫出結：__________

PDPE第一次第二次第三次

COBAPD=PEpDE實驗：OC是∠AOB的平分線，點P是射線OC上的

任意一點猜想：角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.1知識點角平分線的性質驗證猜想已知：如圖，∠AOC=∠BOC,點P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E.試說明：PD=PE.PAOBCDE解：∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO

≌△PEO(AAS).∴PD=PE.角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等

性質定理：角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.應用所具備的條件：（1）角的平分線；（2）點在該平分線上；（3）垂直距離.定理的作用：

證明線段相等.應用格式：∵OP

是∠AOB的平分線，∴PD=PE推理的理由有三個，必須寫完全，不能少了任何一個.知識要點PD⊥OA,PE⊥OB，BADOPEC判一判：（1）∵如下左圖，AD平分∠BAC（已知），∴

=

，()在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等BDCD×BADC(2)∵

如上右圖，DC⊥AC，DB⊥AB

（已知）.

∴

=

,

()在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等BDCD×BADC講授新課2知識點尺規做角平分線問題：如果沒有此儀器，我們用數學作圖工具，能實現該儀器的功能嗎？做一做：請大家找到用尺規作角的平分線的方法，并說明作圖方法與儀器的關系.ABO提示：(1)已知什么？求作什么？(2)把平分角的儀器放在角的兩邊，儀器的頂點與角的頂點重合，且儀器的兩邊相等，怎樣在作圖中體現這個過程呢?(3)在平分角的儀器中，BC=DC，怎樣在作圖中體現這個過程呢？(4)你能說明為什么OC是∠AOB的平分線嗎？ABMNCO已知:∠AOB.求作：∠AOB的平分線.仔細觀察步驟

作角平分線是最基本的尺規作圖,大家一定要掌握噢!作法：（1）以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N.（2）分別以點MN為圓心，大于

MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內部相交于點C.（3）畫射線OC.射線OC即為所求.已知：平角∠AOB.求作：平角∠AOB的角平分線.結論：作平角的平分線的方法就是過直線上一點作這條直線的垂線的方法.ABOC例1:如圖，AM是∠BAC的平分線，點P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別是D、E，PD=4cm，則PE=______cm.BACPMDE4溫馨提示：存在兩條垂線段———直接應用典例精析ABCP變式：如圖，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于點P，若PC＝4,AB=14.（1）則點P到AB的距離為_______.D4溫馨提示：存在一條垂線段———構造應用ABCP變式：如圖，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分∠BAC交BC于點P，若PC＝4，AB=14.（2）求△APB的面積.D（3）求?PDB的周長.·AB·PD=28.由垂直平分線的性質，可知，PD=PC=4，=1.應用角平分線性質：存在角平分線涉及距離問題2.聯系角平分線性質：面積周長條件知識與方法利用角平分線的性質所得到的等量關系進行轉化求解典例精析某地有兩所大學和兩條相交叉的公路，如圖(點M，N表示大學，AO，BO表示公路)．現計劃在∠AOB內修建一座物資倉庫，希望倉庫到兩所大學的距離相等，到兩條公路的距離也相等．(1)你能確定倉庫應該建在什么位置嗎？在所給的圖形中畫出你的設計方案；(2)闡述你的設計理由．到M，N兩點的距離相等的點在線段MN的垂直平分線上，到OA，OB距離相等的點在∠AOB的平分線上．(1)倉庫應該建在MN的垂直平分線和∠AOB的平分線的交點P處．如圖.(2)MN的垂直平分線l上的點到M，N兩點的距離相等，∠AOB的平分線OC上的點到OA，OB的距離相等．P為l和OC的交點，因此P點即為所求．解：導引：當堂練習當堂反饋即學即用當堂練習1.如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是E，F，DE=DF，∠EDB=60°，則∠EBF=

度，BE=

.60BFEBDFACG2.用尺規作圖作一個已知角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明∠AOC=∠BOC的依據是（）A.SSSB.ASAC.AASD.角平分線上的點到角兩邊的距離相等ABMNCOA3.如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則AC的長是()A．6B．5C．4D．3DBCEAD解析：過點D作DF⊥AC于F，

∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，解得AC＝3.F方法總結：利用角平分線的性質作輔助線構造三角形的高，再利用三角形面積公式求出線段的長度是常用的方法．4.如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于點D，BC邊上有一點E，連接DE，則AD與DE的關系為(

)A．AD>DEB．AD＝DEC．AD<DE

D．不確定易錯點：運用角的平分線的性質時，常因忽略“到角兩邊的距離”而導致錯誤D5.先任意畫一個角，然后將它四等分.（來自《教材》）如圖．點撥：

畫出已知角∠AOB.①作∠AOB的平分線OC.②分別作∠BOC和∠AOC的平分線OD，OE.OC，OD，OE即將∠AOB四等分．解：6.如圖，已知AD∥BC，P是∠BAD與∠ABC的平分線的交點，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD與BC之間的距離.解：過點P作MN⊥AD于點M，交BC于點N.∵AD∥BC，∴MN⊥BC，MN的長即為AD與BC之間的距離.∵AP平分∠BAD,PM⊥AD,