數學開放性問題是近年來高考命題的一個新方向,其解法靈活且具有一定的探索性,這類題型按解題目標的操作模式分為:規律探索型,問題探究型,數學建模型,操作設計型,情景研究型.如果未知的是解題假設,那么就稱為條件開放題;如果未知的是解題目標,那么就稱為結論開放題;如果未知的是解題推理,那么就稱為策略開放題.當然,作為數學高考題中的開放題其“開放度”是較弱的如何解答這類問題,還是通過若干范例加以講解.1：角三角形；②銳角三角形；③鈍角三角形；④等腰三角形；⑤等腰直角三角形；⑥等邊三角形。請說出你認為正確的那些序號。 分三種情第一第一種情 2+2∵2222 2+2∵2222 2 C2 2 C2C22B?C∴2222

a+b

b+c222a222a22B?C

+c-

AabcAabcCB圖圖B?CB?C∴∴∴∴AaDbc第二種情AaDbc第二種情∵∵∴∴∴∴BACaDbcBACaDbc∴圖第三種情圖第三種情B圖B圖C∴∴ aa

+BD-AB

+b-(a+b+2c)=-c2D?D

∴∴⑤正確，從而④也正確。故答案是①②③④⑤⑥注此題是一道高考模擬試題，是一道考查學生空間想象能力、探索能力的好試題。（注第三種情形的存在性可以這樣來驗證：先作三角ABD，使∠ADB是鈍角，直線DC與球面的一個交點，則∠ACB是直角3的四面體存在。g+2

假設存在常數C＞0，使得lg(Snc(+2c

2明你的結論（1995年全國高考題解（I）證明略(得出 )（II）假設存在常數c＞0，使得lg(Snc(+2c

12 n n

1

由重要不等式及①②③④(S(S-n+-

2(1因為c＞0，故⑤式右端非負， 2≥0。而由（I）的證明可

評析（）題經過證明之后的結論將在解答第（I）小題時作為條件使用，而第（）?。荆ǎ┬☆}矛盾。講解存在型開放題的求解一般是從假設存在入手,逐步深化解題進程的.設存在常數c，使數列{Snc成等比數列.?

+

+

·

-

q

11111111但a1s0是不存在常數c，使{Snc}成等比數 1-

，代入上式得1-a1

11

c

q-綜上可知,存在c=

q-1

，使

等比數列n求和公式中公比的分類,極易忘記公比q1的情形,可不要忽視啊!條件探索性開放型問題是指命題中結論明確而需要完備使結論成立的充分條件的題題目4：某選擇題已知條件缺漏，原題為：已知、均為銳角，且2 ，則tg（α－β）的值為 7A、 73

D、－737其 （C，分析：根據所附答案知tg（α－β）=－737721由已1

，或tgab=-17272即2cosabsinab=-1 7 722則得2cosa+bcosa-b= 2 12即12此與α、β均為銳角矛盾77277 7即 72這一結果與另一已知條sinα－sinβ=1在形式上了比較接近27故所缺失的條件可能為 72評析此類題可模仿分析法的解題方法將結果加入條件逆推導出需要尋求的條件，題目5：已知f（）=sin2θ+sin2（ ）+sin2（+β，其中、適合＜β≤π的常數，試問α、β（θ）（學試題）分析一：要使f（）的值不隨的變化而變化，即函數f（）為常值函數，則可賦 f?=1+sin2?p++cos2?p+?6 ? ? f?=1+cos2a+cos2 2 =m（m?6

?2

?2m32

再代f（0）=f?p?=f?p?=?6 ?2 解得ap,b=2p 分析二要使f（θ）的值不隨θ變化而變化，可以通過分離主變量的方法，視主變解二

=32

=32=32

22∵f（）恒為定值f（θ）的值與θ無關∵∴ ∴∴∴

）cos（

考慮0≤＜

，∴ ，∴2∴cos（－）=∵—∴cos（－）=∵—≤－∴—3①、②聯立可得：ap,b=2p 題目6某機床廠今年年初98元購進一臺數控機床，并立即投入生產使用計劃第一年維修、保養費用12萬元，從第二年開始，每年所需維修、保養費用比上一年增加4元，該機床使用后，每年的總收入為50元，設使用x后數控機床的盈利額y元.寫出y與x從第幾年開始，該機床開始盈利（盈利額為正值；(3(i年平均盈利額達到最大值時30元價格處理該機床(ii 當盈利額達到最大值時，以12萬元價格處理該機床，問用哪種方案處理較為講解本例兼顧應用性和開放性,是實際工作中經常遇到的問（1）y=50x-12x+x(x-1)′4]-2 （2）解不等

10 51＜x＜10 ∵∴ 3≤x≤∵∴故從3工廠開始盈利2 2∵∵

=-x40x

=40-xx

≤40 =x當且僅當2x 時，即x=7時，等號成立x∴2008，年平均盈利額達到最大值，工廠共獲12×7+30=114∴?y=-2x2+40x-98=-2（x-10）2+102\x=10故到2011，盈利額達到最大值，工廠共獲102+12=114x2-題目 已知函數x2-

設a=1, a1設

n

n 立？若存在，求出m的值；若不存在說明理講 本例是函數與數列綜合的存在性問題,具有一定的典型性和探索性x2-(1)x2-4+4+4+4+

44+n

∵1∵1

1∴1a2∴1a2-n∴{2n

}是公差為4等差數nn∵a>0,nn

∴∴n14n-4n-

,由 ,得

n∵

≤5

4n+

4n+4n+m

12n

,這是因為{2n

}是等差數列,試問:你能夠想到嗎?該題構造等差數列的一個典

n+

n+

++

n+

(?N,且n3求函f(n)的最小值

,

表示數列{bn}的前n項和.試問:是否存在關于n的整式g(n),使

+

++

-寫出g(n)的解析式,并加以證明;若不存在,說明理由.講解從規律中發現,從發現中探-

+1=

n+

++1f(n+1)

n+

n+

++1

,2n+

2n+

2n+

2n+

=0故

的最小值是f(2=7s =1+1++1s

n

2s-

=s+

=s+

++

+n-

-\s+

++

-故存在關于n的整式g(n)n使等式對于一切不2自然數n恒成立.題目 深夜，一輛出租車被牽涉進一起交通事故，該市有兩家出租車公司—1580嫌疑.請問警察的認定對紅色出租車公平嗎？試說明理講解設該城市有出租1000，那么依題意可得如下信息證人所說的顏色（正確真藍紅合實藍色顏紅色色合從表中可以看出，當證人說出租車是紅色時，且它確實是紅色的概率為1200.41它是藍色的概率1700.59.在這種情況下，以證人的證詞作為推斷的依據對紅色出車顯然是不公平本題的情景清新,涉及到新教材中概率的知識,上述解法中的列表技術顯示了一定的獨特性,在數學的應試復課中似乎是很少見的.題目10 1平均每個養雞場出產162只1養雞場個數30610第二年的養雞場的個數及全縣出產雞的總只數各是多少講解（1）設n的養雞場的個數為a，平均每個養雞場出產雞b萬只 由圖（B）可

n從而n

=34-4n,n=由圖（A）可

于

=n+4,n=1,2,3,4,5,6;

=31.2（萬只 2第二年的養雞場的個數26，全縣出產雞的總只數31.2只（2）由ab2(n9)2311,當n2時,(ab

=ab

31.2（萬只544n n544

2第二年的養雞規模最大，共養31.2有時候我們需要畫出圖形,有時候我們卻需要從圖形中采集必要的信息,這正反映了一個事物的兩個方面.看來,讀圖與識圖的能力是需要不斷提升的.P（1，0，MP，且斜率為－3MA，B問：△ABCC坐標；若不能，說明理由當△ABCC解 本例主要考查直線、圓與拋物線的基本概念及位置關系，是解析幾何中的存性問.（2（i）

3(x-1),

?y=-3(x-

消y 3x210x30解出x1

=

=4 于是,A點和B的坐標分別A(13

23)，B（3，-3

3，

163假設存在C（－1，y，使△ABC正三角形，則|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，?(3??í

+(y+

2

=(16)23②②

??(3?

+1)2+

)2= 23由①－②得42(y+

=() 3

339

-2

(3，-23因為y9

3不符合①，所以由①，②組成的方程組無故知直線l上不存在C，使得△ABC正三角形由ìy?x-?

3(x-1),

y=23即當點C的坐標是（－1， ）時，三點A，B，C共線，故ys233|C|2=(-1-1)2+(y-3

3)2=28-

3y+y2，

3)

=28+

3y+y2 C|2C|2

9

y>9

C|2C|29

3y+y2>28+3

9y<-3

C|2C|22323

9

3y+y2+28+3

3y+y23

3y+43

0,(y

)2

0 該不等式無解，所以∠ACBABCCyy<-3

3或y

3(ys9

3)需要提及的是,當△ABC鈍角三角形時,鈍角的位置可能有三個,需要我們進行一一

關系

×（0，（1）)

f(2-n)

(?N)，求數列{un}的前n的講解本題主要考查函數和數列的基本知識，考查從一般到特殊的取特值求解技巧.f×f(0)=f(0×0)=0×f(0)+0×f(0)=0f×f(1)

f1×1×f(1)1×f(1)，

f(x)是奇函數,這需要我們進一步探索.事實上\f(-1)=1從規律中進行探究,進而提出猜 于是我們很易想到用數學歸納法證1n=1f(a11a0×f(a，公式成立=)+=)+=)綜上可知，對任意?N,f(an)nan-1f(a成立.從

f(2-n

=(2

·f(1)2mf(2)=2,f(1)=f(2×1)=2f(1)+1f(2)= \ \ ()= (2)=

=(-1)×(1)n-1(?N), 1故Sn

[1-(

=(12

-(?2

若 s1，

2a (

=1,2,? n+

1+aan1san令 =1，寫出 、 、 、 的值，觀察并歸納出這個數列的通項公 an

p，使ana

p是等比數列，并求出公q講 (1)采用反證法.若 =

，即2a = ,解得

=nnn+ nn

1+a從而a

=an-

=?

=a2

a1

0,1與題設a1

0,a1

1相矛盾an1san

a1

1

=2333

=4454

=8595

=162n-an

2n-1+an+1

p=(2

p)an+

an+1

p=an

p×qan

2a

an+ a所以2

p-2q)an

2q)=0因為上式是關于變量an的恒等式，故可解得

=12

=-1我們證明相等的問題太多了,似乎很少見到證明不相等的問題,是這樣

=25,(x-2)2+4

=14動圓PAB均外切，直線l的方程為x?a￡1÷2?2 求圓Pa=1時，點P到點B距離與到定直線l2離的比為定值PB與點PQ，求PQ的最小值的取值范圍講解（1）設動圓P的半徑為r，則｜PA｜＝ｒ＋5，｜PB|=r 1 ∴|PA|－｜PB|=2∴點P軌跡是A、B焦點，焦距4，實軸長2雙曲線的右準線的右支其方程

3

≥12

,則l方程x=

1為雙曲線的右準線,∴2PB距離與l距離之比為雙曲線的離心率e(2)若直線PQkPQ方程為ykx－2入雙曲線方程,得ì