2024－2025學年度武漢外國語學校九年級學情調研（三）數學試題卷面分值：120分考試時間：120分鐘一．選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1.下列四個圖形中，是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.2.“高興同學拆開一個盲盒就抽到自己非常喜歡的小機器人”，這個事件是（）A不可能事件 B.隨機事件 C.確定性事件 D.必然事件3.年月日至月日哈爾濱亞洲冬季運動會上，中國體育代表團取得了優異的成績，亞冬會的領獎臺可以近似的看成如圖所示的立體圖形，它的左視圖是（）A. B. C. D.4.的出現為全球領域帶來了新的活力和機遇，其日活用戶數量在上線僅僅20天就突破了2000萬大關，日活增長速度超過了當初爆火的，數據2000萬用科學記數法表示為（）A. B. C. D.5.下列運算正確的是（）A. B.C. D.6.下圖是底部放有一個實心鐵球的長方體水槽軸截面示意圖，現向水槽勻速注水，下列圖象中能大致反映水槽中水的深度（y）與注水時間（x）關系的是（）A. B. C. D.7.如圖，在中，小美同學按如下步驟尺規作圖：①分別以點A、C為圓心，以大于為半徑作弧，兩弧交于點E、F；②作直線，交于點O，交于點G；③作射線，在射線上截取（B與D不重合），使得；④作直線．若，則的度數是（）A. B. C. D.8.經過一個“T”字型路口的行人，可能右拐，可能左拐．假設這兩種可能性相同．某一定時間內隨機有三人經過該路口，則至少有兩人左拐的概率為（）A. B. C. D.9.如圖，銳角內接于，其中，M為銳角的內心，連并延長與相交于點D，若，則銳角的內切圓半徑為（）（參考數據：，，結果保留2位小數）A.0.65 B.0.66 C.0.67 D.0.6810.將拋物線繞著點旋轉后得到如圖所示的圖象．若點在該圖像上，則m的值有（）個A.1個 B.2個 C.3個 D.4個二．選擇題（共6小題，每小題3分，共18分）11.中國是最早采用正數、負數表示相反意義的量的國家，戰國時期李惺所著《法經》已經使用負數．若向東走50米記作米，則向西走35米記作______米．12.已知反比例函數的圖像，當時，隨的增大而增大，請寫出一個滿足條件的的值______．13.分式方程的解為______．14.如圖，斜坡坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大樹，當太陽光與水平面的夾角為時，大樹在斜坡上的影子長為15米，則大樹的高為______米．（結果保留根號）15.如圖，在中，，點是邊上一動點，連接，將線段繞點順時針旋轉得到線段，連接，若，，則線段的最小值是______．16.已知拋物線（a，b，c是常數），過兩點，且．下列四個結論：①若，則；②若，則；③若且，拋物線上，且，則；④若，當時，直線與該拋物線有一個公共點，則．其中正確的結論是______（填寫序號）三．解答題（共8小題，共72分）17.求不等式組的正整數解．18.如圖，在中，O是中點，連接，并延長交的延長線相交于點E，連接．（1）求證：；（2）請添加一個條件______，使四邊形為矩形．（不需要說明理由）19.為積極響應并切實落實“雙減”政策，我校精心策劃并組織了豐富多彩的社團活動，旨在充實和活躍學生的課余生活，促進學生全面發展．為精準把握全校學生參與學校五個特色社團的意向，學校采用隨機抽樣的方式，選取了40名學生展開問卷調查．此次調查規定，每位學生僅能從五個社團中挑選一個．目前，問卷調查結果已初步整理，但統計圖表尚不完善，請你進一步補充與完善．社團名稱A（架子鼓）B（乒乓球）C（手工制作）D（播音主持）E（舞蹈）人數/人4m16n4請你根據以上信息結合統計圖解答下列問題：（1）填空：______；______；______；請補全條形統計圖．（2）在抽樣調查中，參加5個社團的人數的眾數為______；扇形統計圖中扇形B的圓心角是______度；（3）若全校有1800名學生，估計全校約有多少名學生愿意參加乒乓球或手工制作社團？20.如圖，是的外接圓，，連接，過點B作交的延長線于點D．（1）求證：直線是的切線．（2）若的半徑為2，，求的長．21.如圖是由小正方形組成的網格，每個小正方形的頂點叫做格點．僅用無刻度的直尺在給定網格中完成四個畫圖任務，每個任務畫線不得超過3條．（1）如圖1，正方形的頂點為格點，是上格點，是與網格線的交點，畫點關于的對稱點．（2）在圖1中，在上畫點，使得．（3）如圖2，的頂點為格點，是上格點，先將繞點順時針旋轉，畫對應線段，再在上畫點，使得．（4）在圖2中，在上畫點，使得．22.在電影《哪吒之魔童鬧海》中，同學們覺得海妖從空間裂縫G點處跳出襲擊陳塘關的畫面非常生動有趣，同學們把海妖起跳后飛行的路線看作拋物線的一部分，取海平面上水平線為x軸，鉛垂線為y軸，建立如圖所示平面直角坐標系，從海妖起跳到著落的過程中，海妖離海平面的鉛垂高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足（，a、h、n都為常數），若，海妖起跳后的最高點距海平面，與點G的水平距離是．陳塘關正面城墻與起跳點G的水平距離，城墻寬，城墻高．（1）求y與x之間的函數關系式；（2）通過計算說明海妖能否成功跳到城墻上？（3）為阻止海妖攻入城墻，一名士兵在中點E處朝海妖放箭，箭的路線可看作直線（k、b為常數），問士兵要想射中空中飛行的海妖，k的值至少為______（直接寫出結果）．23.已知：在菱形中，，E為上一點，F為上一點．【問題背景】（1）如圖1，若，求證：．【問題探究】（2）如圖2，在（1）的條件下，延長交的延長線于點G．求證：．【拓展應用】（3）如圖3，連接并延長交的延長線于點M，連接并延長交于點N，若，請直接寫出的值．（用含n的式子表示）24.如圖，拋物線與x軸負半軸交于點A，與正半軸交于點B，與y軸正半軸交于點C，對稱軸為，且．（1）直接寫出拋物線解析式為______．（2）如圖1，點D為拋物線頂點，點E是第一象限拋物線上一點，使得，，求E點坐標．（3）將拋物線關于y軸翻折得到拋物線，如圖2，它與x軸負半軸交于點P，與正半軸交于點Q，與y軸正半軸交于點C，直線與拋物線交于M，N兩點，且平分，求點P到直線的最大距離．

2024－2025學年度武漢外國語學校九年級學情調研（三）數學試題卷面分值：120分考試時間：120分鐘一．選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1.下列四個圖形中，是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查軸對稱的定義，中心對稱圖形的定義，熟練掌握中心對稱圖形的定義是解題的關鍵；根據軸對稱的定義，中心對稱圖形的定義依次判斷即可求解；【詳解】解：A、是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故不符合題意；B、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，符合題意；C、不是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，不符合題意；D、是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故不符合題意；故選：B2.“高興同學拆開一個盲盒就抽到自己非常喜歡的小機器人”，這個事件是（）A.不可能事件 B.隨機事件 C.確定性事件 D.必然事件【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了隨機事件，必然事件指在一定條件下，一定發生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件，據此解答即可．【詳解】解：“高興同學拆開一個盲盒就抽到自己非常喜歡的小機器人”這個事件是隨機事件，故選：B．3.年月日至月日哈爾濱亞洲冬季運動會上，中國體育代表團取得了優異的成績，亞冬會的領獎臺可以近似的看成如圖所示的立體圖形，它的左視圖是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了簡單組合體的三視圖，根據從左邊看得到的圖形是左視圖，即可得出答案．【詳解】解：從幾何體的左側觀察有兩個上下排列的矩形，從幾何體的右側觀察也有兩個矩形，右側下方的矩形的高比左側下方的矩形矮，在左視圖中下面的長方形中的虛線是右側下方的矩形的邊，幾何體的左視圖如下所示：故選：C

．4.的出現為全球領域帶來了新的活力和機遇，其日活用戶數量在上線僅僅20天就突破了2000萬大關，日活增長速度超過了當初爆火的，數據2000萬用科學記數法表示為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了科學記數法的表示方法．熟練掌握科學記數法的表示形式為的形式，其中，為整數，要正確確定的值以及的值是解決此題的關鍵．科學記數法的表示形式為的形式，其中，為整數，確定的值時，要看把原數變成時，小數點移動了多少位，的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值時，是正數；當原數的絕對值時，是負數，據此解答即可．【詳解】解：2000萬，故選：B．5.下列運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了同底數冪的乘除、冪的乘方、積的乘方、合并同類項，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．根據同底數冪的乘除、冪的乘方、積的乘方、合并同類項的運算法則，對選項逐一分析判斷即可．【詳解】解：A、，故此選項錯誤，不符合題意；B、，故此選項錯誤，不符合題意；C、，故此選項正確，符合題意；D、，故此選項錯誤，不符合題意．故選：C．6.下圖是底部放有一個實心鐵球的長方體水槽軸截面示意圖，現向水槽勻速注水，下列圖象中能大致反映水槽中水的深度（y）與注水時間（x）關系的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據蓄水池的橫斷面示意圖，可知水的深度增長的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不變，進而求解即可．【詳解】解：由蓄水池的橫斷面示意圖可得，水的深度增長的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不變，故選：D．【點睛】主要考查了函數圖象的讀圖能力和函數與實際問題結合的應用．要能根據函數圖象的性質和圖象上的數據分析得出函數的類型和所需要的條件，結合實際意義得到正確的結論．7.如圖，在中，小美同學按如下步驟尺規作圖：①分別以點A、C為圓心，以大于為半徑作弧，兩弧交于點E、F；②作直線，交于點O，交于點G；③作射線，在射線上截取（B與D不重合），使得；④作直線．若，則的度數是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質，尺規作圖，線段垂直平分線的性質定理，根據尺規作圖可知是的垂直平分線，可得，再結合，判定四邊形是平行四邊形，可知，然后根據等腰三角形的性質可得，接下來說明，再根據等腰三角形的性質得，最后根據平行線的性質得出答案．【詳解】解：尺規作圖的過程，得是的垂直平分線，∴．∵，∴四邊形是平行四邊形，∴．∵，，∴，∴．∵，∴．∵，∴．故選：B．8.經過一個“T”字型路口的行人，可能右拐，可能左拐．假設這兩種可能性相同．某一定時間內隨機有三人經過該路口，則至少有兩人左拐的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查用樹狀圖求事件的概率，概率的計算公式，正確理解題意并列舉所有可能的情況是解題的關鍵．用樹狀圖列舉出所有等可能的情況，計算至少有兩人左拐的次數，利用概率計算公式求解．【詳解】解：樹狀圖如下：共有8種等可能的情況，其中至少有兩人左拐的有4種，∴至少有兩人左拐的概率為，故選：A．9.如圖，銳角內接于，其中，M為銳角的內心，連并延長與相交于點D，若，則銳角的內切圓半徑為（）（參考數據：，，結果保留2位小數）A.0.65 B.0.66 C.0.67 D.0.68【答案】B【解析】【分析】本題考查三角形的內切圓與外接圓的綜合，涉及垂徑定理，切線的性質，勾股定理，二次根式的混合運算等知識點，連接，，，，連接交于，過作于，設銳角的內切圓半徑為，由內切圓可得點到三邊距離為，，，是的角平分線，先證明，得到，再在中，由，得到，在和中求出，，最后根據求解即可．【詳解】解：如圖，連接，，，，連接交于，過作于，設銳角的內切圓半徑為，∵M為銳角的內心，∴點到三邊距離為，，，是的角平分線，∴，，∵，，∴，∴，，，∴，∴，∵，∴垂直平分，∴中，，，，∴，∵，∴，∴中，，，中，，，，∴，∴，∵，∴，∴，故選：B．10.將拋物線繞著點旋轉后得到如圖所示的圖象．若點在該圖像上，則m的值有（）個A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了二次函數的旋轉，二次函數與反比例函數的交點問題，利用數形結合的思想是解題的關鍵．先利用配方法得到拋物線的頂點坐標為，再利用中心對稱的性質得到點關于中心對稱的點的坐標為，由拋物線繞著點旋轉后拋物線形狀不變，只是開口方向相反，可得出新的拋物線解析式為：，再把把點看成是函數的上一點，然后畫出圖形利用數形結合的方式求解即可．【詳解】解：的頂點坐標為：，點關于成中心對稱的點的坐標為：，則得到新的拋物線解析式為：．把點看成是函數的上一點，如圖，故有4個交點，故選：D二．選擇題（共6小題，每小題3分，共18分）11.中國是最早采用正數、負數表示相反意義的量的國家，戰國時期李惺所著《法經》已經使用負數．若向東走50米記作米，則向西走35米記作______米．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了正數和負數，理解具有相反意義的量是解題的關鍵．正數和負數是一組具有相反意義的量，據此即可求得答案．【詳解】解：若向東走50米記作米，則向西走35米記作米，故答案為：．12.已知反比例函數的圖像，當時，隨的增大而增大，請寫出一個滿足條件的的值______．【答案】(答案不唯一)【解析】【分析】本題考查了反比例函數的圖像與性質，根據反比例函數的圖像，當時，隨的增大而增大，可知反比例函數的圖像在第二象限，所以可得不等式，只要寫一個小于的數即可．【詳解】解：反比例函數的圖像，當時，隨的增大而增大，反比例函數的圖像在第二象限，，，只要寫一個小于的數即可，的值為(答案不唯一)．故答案為：

．13.分式方程的解為______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了解分式方程，先去分母，去括號，移項合并同類項，系數化為1，最后檢驗得出答案．【詳解】解：去分母，得，去括號，得，移項合并同類項，得，解得．經檢驗，是原方程的解．故答案為：．14.如圖，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大樹，當太陽光與水平面的夾角為時，大樹在斜坡上的影子長為15米，則大樹的高為______米．（結果保留根號）【答案】【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應用，勾股定理，解題的關鍵是正確構造直角三角形．如圖，過點作水平地面的平行線，交的延長線于點，設米，米，勾股定理求出，解直角三角形求出，進而求解即可．【詳解】解：如圖，過點作水平地面的平行線，交的延長線于點，則，在中，，設米，米，，，米，米，，（米），（米），答：大樹的高度為米．故答案為：．15.如圖，在中，，點是邊上一動點，連接，將線段繞點順時針旋轉得到線段，連接，若，，則線段的最小值是______．【答案】【解析】【分析】將線段繞點逆時針旋轉得到線段，連接、，根據旋轉的性質可得為等邊三角形、，推出，易知當時，取最小值，即為．過點分別作于點，于點，交于點，從而證明，即．在等邊中，通過，求出，，，即可求出，從而求出線段的最小值．【詳解】解：如圖，將線段繞點逆時針旋轉得到線段，連接、，根據旋轉的性質可得：為等邊三角形，線段是線段繞點順時針旋轉所得，，，，，，線段長度最小時，的長度也最小，而時，取最小值，即為．過點分別作于點，于點，交于點，，，，，在等邊中，，，，，，，，，，的最小值為，的最小值為，故答案為：．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉的性質、全等三角形的判定和性質、垂線段最短、等邊三角形的性質、相似三角形的判定和性質、三角形中位線定理等知識，解題的關鍵是熟練運用以上知識點，學會用轉化的思想思考問題．16.已知拋物線（a，b，c是常數），過兩點，且．下列四個結論：①若，則；②若，則；③若且，在拋物線上，且，則；④若，當時，直線與該拋物線有一個公共點，則．其中正確的結論是______（填寫序號）【答案】①②③【解析】【分析】本題主要考查了二次函數圖象的性質，求二次函數關系式，將點代入關系式，計算判斷①；將及點代入關系式用含有b的代數式表示a，即可得出交點式，再根據點的坐標的位置得出不等式，求出解集判斷②；根據題意可知拋物線經過點，且開口向下，對稱軸為，再分四種情況討論得出不等式組，求出解集判斷③；先求出二次函數關系式，結合二次函數的頂點坐標，并求出當時，，當時，，再根據直線和拋物線有一個交點得出答案．【詳解】解：當時，點．將點代入關系式，，整理，得，所以①正確；當時，．將點代入關系式，得，即，∴，∴拋物線與x軸的交點坐標為．∵，∴．當時，解得；當時，不符合題意．綜上所述，．所以②正確；當時，點，可知該拋物線經過點，且開口向下，對稱軸為．當點P，Q在對稱軸的左側時，，無解；當點P，Q在對稱軸的右側時，，解得；當點P在對稱軸的左側，點Q在對稱軸的右側時，，無解；當點P在對稱軸的右側，點Q在對稱軸的左側時，，解得；綜上所述：．所以③正確；當時，點．將點代入關系式，得，解得，∴二次函數的關系式為，當時，；此時直線與該拋物線有一個公共點，；當時，；當時，．當時，直線與拋物線有一個公共點，則．綜上所述，或.所以④不正確．正確的結論是①②③．故答案為：①②③．三．解答題（共8小題，共72分）17.求不等式組的正整數解．【答案】1，2，3【解析】【分析】本題主要考查了求不等式組的正整數解，先求出每個不等式的解集，再求出不等式組的解集，然后根據解集得出正整數的解．詳解】解：解不等式①，得；解不等式②，得，則不等式組的解集是，所以正整數解有1，2，3．18.如圖，在中，O是的中點，連接，并延長交的延長線相交于點E，連接．（1）求證：；（2）請添加一個條件______，使四邊形為矩形．（不需要說明理由）【答案】（1）證明見解析（2）當時（答案不唯一）【解析】【分析】本題主要考查了全等三角形的性質和判定，矩形的判定，對于（1），根據平行四邊形的性質得，即可得，再根據可得結論；對于（2），由（1）可知，即可知四邊形是平行四邊形，再添加一個內角等于或對角線相等，答案不唯一．【小問1詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴．∵點O是的中點，∴，∴；【小問2詳解】解：當時，四邊形是矩形．∵，∴．∵，∴四邊形是平行四邊形．當時，∴四邊形是矩形．故答案為：（答案不唯一）．19.為積極響應并切實落實“雙減”政策，我校精心策劃并組織了豐富多彩的社團活動，旨在充實和活躍學生的課余生活，促進學生全面發展．為精準把握全校學生參與學校五個特色社團的意向，學校采用隨機抽樣的方式，選取了40名學生展開問卷調查．此次調查規定，每位學生僅能從五個社團中挑選一個．目前，問卷調查結果已初步整理，但統計圖表尚不完善，請你進一步補充與完善．社團名稱A（架子鼓）B（乒乓球）C（手工制作）D（播音主持）E（舞蹈）人數/人4m16n4請你根據以上信息結合統計圖解答下列問題：（1）填空：______；______；______；請補全條形統計圖．（2）在抽樣調查中，參加5個社團的人數的眾數為______；扇形統計圖中扇形B的圓心角是______度；（3）若全校有1800名學生，估計全校約有多少名學生愿意參加乒乓球或手工制作社團？【答案】（1）12，4，10（2）4，（3）估計全校約有名學生愿意參加乒乓球或手工制作社團【解析】【分析】本題主要考查了條形統計圖，扇形統計圖和用樣本估計總體，學會從統計圖中獲取信息是解題的關鍵，（1）總抽查人數，，，然后補全條形圖即可得解；（2）由眾數的定義即可得解，由扇形統計圖計算即可得解；（3）全校愿意參加乒乓球或手工制作社團的學生有：，計算即可．【小問1詳解】解：由題可知，（人），(人)，，補全的條形統計圖如下：故答案為：12，4，10；【小問2詳解】解：∵眾數是一組數據中出現次數最多的數據，∴在這組數據中，出現的次數最多，∴參加5個社團的人數的眾數是，由扇形統計圖知，的圓心角是：，故答案為：4，；【小問3詳解】解：(人)，答：估計全校約有名學生愿意參加乒乓球或手工制作社團．20.如圖，是的外接圓，，連接，過點B作交的延長線于點D．（1）求證：直線是的切線．（2）若的半徑為2，，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題考查了圓周角定理，圓的切線的判定定理，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理，掌握圓的相關性質是解題關鍵．（1）連接，由圓周角定理可得，則，從而推出，即可證明結論；（2）過點作于點，可得是等腰直角三角形，進而得到，再利用勾股定理求出，，即可求出的長．【小問1詳解】證明：如圖，連接，，，，，，又是半徑，直線是的切線．【小問2詳解】解：如圖，過點作于點，則，，是等腰直角三角形，，，，，半徑為2，，在中，，在中，，．21.如圖是由小正方形組成的網格，每個小正方形的頂點叫做格點．僅用無刻度的直尺在給定網格中完成四個畫圖任務，每個任務畫線不得超過3條．（1）如圖1，正方形的頂點為格點，是上格點，是與網格線的交點，畫點關于的對稱點．（2）在圖1中，在上畫點，使得．（3）如圖2，的頂點為格點，是上格點，先將繞點順時針旋轉，畫對應線段，再在上畫點，使得．（4）在圖2中，在上畫點，使得．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析（4）見解析【解析】【分析】（1）根據網格的特點，找到關于的對稱點，然后找到關于的對稱點．（2）根據軸對稱的性質，連接并延長交于點，連接格點交網格線于點，連接并延長交于點，點即為所求；（3）取與網格線的交點，連接，則，根據網格的特點，得出，即可求解；（4）在（3）的結論下找到兩個個三角形的銳角的正切分別為和，即可求解取格點網格線中點，連接并延長交于點，連接交于點，則即為所求，【小問1詳解】找到關于的對稱點，和點下方第三條網格線的交點即關于的對稱點．【小問2詳解】如圖所示，連接并延長交于點，連接格點交網格線于點，連接并延長交于點，點即為所求；理由如下，連∴四邊形是平行四邊形，∴，∵根據平行線分線段成比例可得：，∴∴四邊形平行四邊形，又∵∴四邊形是矩形，∴∵∴是等腰直角三角形，∴又由①可得，即∴是的垂直平分線，∴∴＝【小問3詳解】解：如圖所示，即為所求，取與網格線的交點，連接，則＝理由如下，如圖，連接根據平行線分線段成比例可得∴，又∵∵∴∴是直角三角形∴∴＝【小問4詳解】如圖所示，取格點網格線中點，連接并延長交于點，連接交于點，則即為所求，理由如下，∵∵，∵∴∴∴同（2）可得，∴又∴又∵點在上，∴【點睛】本題考查了無刻度直尺作圖，平行線分線段成比例，相似三角形的性質與判定，垂直平分線的性質，軸對稱的性質，旋轉的性質，勾股定理及其逆定理的應用，正切的定義，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．22.在電影《哪吒之魔童鬧海》中，同學們覺得海妖從空間裂縫G點處跳出襲擊陳塘關的畫面非常生動有趣，同學們把海妖起跳后飛行的路線看作拋物線的一部分，取海平面上水平線為x軸，鉛垂線為y軸，建立如圖所示平面直角坐標系，從海妖起跳到著落的過程中，海妖離海平面的鉛垂高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足（，a、h、n都為常數），若，海妖起跳后的最高點距海平面，與點G的水平距離是．陳塘關正面城墻與起跳點G的水平距離，城墻寬，城墻高．（1）求y與x之間的函數關系式；（2）通過計算說明海妖能否成功跳到城墻上？（3）為阻止海妖攻入城墻，一名士兵在中點E處朝海妖放箭，箭的路線可看作直線（k、b為常數），問士兵要想射中空中飛行的海妖，k的值至少為______（直接寫出結果）．【答案】（1）（2）海妖能成功跳到城墻上（3）【解析】【分析】本題主要考查了二次函數的應用，求一次函數解析式等知識點，熟練掌握二次函數圖象和性質是解決此題的關鍵．（1）由題意找到頂點坐標，然后找到與軸的交點坐標，利用待定系數即可求解；（2）先求出的坐標，然后求出時，拋物線上點的坐標，與進行比較即可得解；（3）求出直線與拋物線的邊界值，進而即可得解．【小問1詳解】解：∵海妖起跳后的最高點距海平面，與點G的水平距離是．∴，，∴，∵，∴，∴，解得，∴y與x之間的函數關系式為；【小問2詳解】解：∵陳塘關正面城墻與起跳點G的水平距離，城墻寬，城墻高，∴，，令得，，解得，（舍）或，∵，∴海妖能成功跳到城墻上；【小問3詳解】解：∵，，E為的中點，∴，∴，當直線經過點時，，解得，當直線與拋物線相切時，即方程有兩個相等的實數根，∴方程整理得，∴，∴，此時直線與點下方的拋物線相切（舍）或，∴，∴k的值至少為，故答案為：．23.已知：在菱形中，，E為上一點，F為上一點．【問題背景】（1）如圖1，若，求證：．【問題探究】（2）如圖2，在（1）條件下，延長交的延長線于點G．求證：．【拓展應用】（3）如圖3，連接并延長交的延長線于點M，連接并延長交于點N，若，請直接寫出的值．（用含n的式子表示）【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】對于（1），連接，根據菱形的性質可得，再說明，接下來證明，可得答案；對于（2），先根據菱形的面積相等得出，即可得出答案；對于（3），作，連接，由（1）得是等邊三角形，，即可得，再根據菱形的性質得，根據平行線分線段成比例可得，即，然后說明，可得，再說明，接下