26.1反比例函數

26.L2反比例函數的圖象與性質（第1課時）

1,函數y二kx-3與y=K（kWO）在同一坐標系內的圖象可能是

x

X

述函數中符合條件“當X>1時，函數值y隨自變量X增大而增大”

的是（）

A.①③B.③④C.②④D.②③

3.對于反比例函數y=下列說法不正確的是（）

x

A.點（-2,-1）在它的圖象h

B.它的圖象在第一、三象限

C.當*>0時<y隨x的增大而增大

D.當x<0時，y隨x的增大而減小

4.已知反比例函數丁=匕（k是常數，kWl）的圖象有一支在

X

第二象限，那么k的取值范圍是.

5.下列關于反比例函數）的圖象的三個結論：

x

（1）經過點（—1,12）和點（10,-1.2）；

（2）在每一個象限內，y隨x的增大而減小；

（3）雙曲線位于二、四象限.

其中正確的是_________(填序號).

6.已知點A(-2.y.)y2),C(4,y,都在反比例函數y=±的圖

X

象上,則yi>y2與％的大小關系(從大到小)為.

7.已知反比例函數y=mx”:它的兩個分支分別在第一、第三象

限，求m的值.

8.點(a-Ly),(a+1,y?)在反比例函數y=&(k>0)的圖象上,

x

若yi〈y2,求a的取值范圍.

參考答案：

1.B

2.B

3.C

4.k<l

5.(1)(3)

6.y3>yi>y2

7.解：因為反比例函數kmx~5的兩個分支分別在第一、第三象

限，

所以有［>一5二-12，

m>0,

解得m=2.

8.解：由題意知，在圖象的每一支上，y隨x的增大而減小.

①當這兩點在圖象的同一支匕時，

Vyi<y2,

/.a—1>a+l,無解；

②當這兩點分別位于圖象的兩支上時，

Vyi<y2,

???必有yiVOVy，

/.a—KO,a+1>0,

解得：-l<a<l.

故a的取值范圍為：-IVaVL

4.已知A(-4,yj,B(-1,yz)是反比例函數y=-3圖象上

x

的兩個點，則山與yz的大小關系為.

5.在反比例函數y二T圖象的每一支曲線上，y都隨X的增大

X

而減小，則k的取值范圍是.

6.如圖，正比例函數y=kx(x3O)與反比例函數y=%(x>0)的圖

象交于點A(2,3).

(1)求k、m的值；

(2)寫出正比例函數值大于反比例函數值時自變量x的取值范

圍

7.如圖，已知反比例函數)，二七(x>0)的圖象與一次函數

x

的圖象交于A和B(6,n)兩點.

(1)求k和n的值；

(2)若點C(x,y)也在反比例函數)，=人(x>0)的圖象上,

x

求當2Wx<6時，函數值y的取值范圍.

8.如圖，反比例函數y=-四與一次函數y二一x+2的圖象交于A,

x

B兩點.

(1)求A,B兩點的坐標:

(2)求aAOB的面積.

參考答案:

1.6

2.解:(1)由題意得,k=xy=2X3=6,???反比例函數的解析式為

6

y=--

X

(2)設B點坐標為(a,b),如圖，作ADJ_BC于D,則D(2,b)

???反比例函數y=9的圖象經過點B(a,b),

x

.6

??ub=一,

AAD=3--,

a

=-BC^AD=-aO--)=6

S/SABC22a,

解得a=6,

AB(6,1).

設AB的解析式為y=kx+b,將A(2,3),B(6,1)代入函數解

2k+b=3,

析式，得K+八L

2

.2

解得，=4,

直線AB的解析式為y=1x+4.

2

3.D

4.yi<y2

5.k>9

6.解：(1)將A(2,3)分別代入尸1^和丫=竺，

X

可得：3=2k和3=巴

2,

解得：k=—,m=6.

2

(2)由圖象可知，正比例函數值大于反比例函數值時：x>2.

n=——x6+4=1

7.解：(1)當x=6時，2,

???點B的坐標為(6,1).

???反比例函數)，=七過點B(6,1),

A

Ak=6Xl=6.

(2)Vk=6>0,

???當x>0時，y隨x值增大而減小，

?,.當2WxW6時，lWyW3.

\__8

8.解：⑴“x'

J=T+2,

解得卜=4,或1二々

y=-2[y=4.

所以A(—2,4),B(4,-2).

⑵???一次函數與x軸的交點為M(2,0),

A0M=2.

作ACJLx軸于C,BD_Lx軸于D,則AO4,BD=2.

y

/.SAOMB=OM?BD4-2=2X24-2=2,

S^A=OM?AC4-2=2X44-2=4,

??SZ\A0B=SZ\0MB+S.0MA=2+4=6.

26.2實際問題與反比例函數（第1課時）

一、教學目標

【知識與技能】

L靈活運用反比例函數的意義和性質解決實際問題；

2.能夠根據實際問題確定自變量的取值范圍.

【過程與方法】

通過分析實際問題中變量之間的關系，建立反比例函數模型，再

利用反比例函數解決實際問題，在具體問題中探索反比例函數的應

用?.

【情感態度與價值觀】

體會數學與現實生活的緊密聯系，增強應用意識，提高運用代數

方法解決問題的能力.

二、課型

新授課

三、課時

第1課時共2課時

四、教學重難點

【教學重點】

利用反比例函數的知識分析?、解決實際問題.

【教學難點】

分析實際問題中的數量關系，正確寫出函數解析式.

五、課前準備

教師：課件、直尺、三角板等.

學生：直尺、三角板.

六、教學過程

(-)導入新課(出示課件2)

你吃過拉面嗎？你知道在做拉面的過程中滲透著數學知識嗎？

⑴體積為20c/的面團做成拉面，面條的總長度y(單位：cm)與面

條粗細(橫截面積)s(單位：cm?)有怎樣的函數關系？

廣空

生口答：s(S>0)

(2)某家面館的師傅手藝精湛，他拉的面條粗1nlm之，面條總長

是多少？

(-)探索新知

知識點利用反比例函數解決實際問題

考點1利用反比例函數解答幾何圖形問題

出示課件4?6：例市煤氣公司要在地下修建一個容積為IO%'

的圓柱形煤氣儲存室.

（1）儲存室的底面積S（單位：m2）與其深度d（單位：m）有怎

樣的函數關系？

（2）公司決定把儲存室的底面積S定為500nA施工隊施工時應該

向地下掘進多深？

（3）當施工隊按⑵中的計劃掘進到地下15nl時，公司臨時改變計

劃，把儲存室的深度改為15m.相應地，儲存室的底面積應改為多少

（結果保留小數點后兩位）？

學生分組思考后，師生共同解答：

解：⑴根據圓柱體的體積公式,得sdnot

AS關于d的函數解析式為S=

d

（2）把S=500代入S=電中，得500=咀

dd

：.d=20（m）

如果把儲存室的底面積定為500m2,施工時應向地下掘進20m深.

（3）根據題意，把d=15代入S=3-,得5=3-才666.67（m2）.

d15

.??當儲存室的深度為15m時，底面積應改為666.67m2.

教師問：第（1）問的解題思路是什么？第（2）問和第（3）問

與過去所學的解分式方程和求代數式的值的問題有何聯系？（出示課

件7）

師生一起解答：第（1）問首先要弄清此題中各數量間的關系，

然后根據圓柱的體積公式：圓柱的體積=底面積x高，由題意知S是

函數，d是自變量，改寫后所得的函數關系式是反比例函數的形式.

第（2）問實際上是已知函數S的值，求自變量d的取值，第（3）問

則是與第（2）問相反.

出示課件8?10,學生獨立思考后自主解答，教師訂正.

考點2利用反比例函數解答運輸問題

出示課件11?12：例碼頭工人每天往一艘輪船上裝載30噸貨

物，裝載完畢恰好用了8天時間.

（1）輪船到達目的地后開始卸貨，平均卸貨速度v（單位：噸/天）

與卸貨天數t之間有怎樣的函數關系？

（2）由于遇到緊急情況，要求船上的貨物不超過5天卸載完畢，

那么平均每天至少要卸載多少噸？

師生共同分析：根據“平均裝貨速度X裝貨天數二貨物的總量”,

可以求出輪船裝載貨物的總量；再根據“平均卸貨速度二貨物的總量

?卸貨天數"，得到v關于t的函數解析式.

解：（1）設輪船上的貨物總量為k噸，根據題意得k=30X8=240,

所以v關于t的函數解析式為「也；

t

（2）把t=5代入中，「史-得：

t

竿=48（噸/天）.

從結果可以看出，如果全部貨物恰好用5天卸載完，則平均每天

卸載48噸.而觀察求得的反比例函數的解析式可知，t越小，v越大.

這樣若貨物不超過5天卸載完，則平均每天至少要卸載48噸.

教師問：題目中蘊含的等量關系是什么？我們知道“至少”對應

于不等號那么需要用不等式來解決第（2）問嗎？

學生討論后教師總結：此題類似應用題中的“工程問題”，關系

式為工作總量=工作速度義工作時間，題目中貨物總量是不變的，兩

個變量分別是速度v和時間t,因此具有反比關系.第（2）問涉及

了反比例函數的增減性，即當自變量t取最大值時，函數值v取最小

值.

出示課件14?15,學生獨立思考后一生板演，教師訂正.

考點3利用反比例函數解答行程問題

出示課件16：例一司機駕駛汽車從日地去乙地，他以80千米/

時的平均速度用6小時到達乙地.

（1）甲、乙兩地相距多少千米？

（2）當他按原路勻速返回時，汽車的速度v與時間t有怎樣的

函數關系？

師生共同分析后，一生板演：

解:（1）80X6=480（千米）

答：甲、乙兩地相距480千米.

⑵由題意得vt=480,

整理得八翌L（t>0）.

t

出示課件17,學生獨立思考后口答，教師訂正.

（三）課堂練習（出示課件18-27）

引導學生練習課件18-27題目，約用時15分鐘

（四）課堂小結（出示課件28）

本節課你有哪些收獲？你還有什么困惑嗎？（引導學生思考答復）

師生一起提煉本節課的重要知識和必須掌握的技能：

用反比例函數解決實際問題的一般步驟：

一審題:弄清題意分清條件和結論理順數量關系.

二建模:將文字語言轉化為數學語言，利用反比例函數等知識，建

立函數模型.

三解模:求解數學模型，得出數學結論.

四還原:將用數學知識和教學數學方法求得的解得出結論還原為

實際問題的結果.

（五）課前預習

預習下節課（26.2第2課時）的相關內容.

能應用反比例函數解決其他實際問題.

七、課后作業

1.教材第15頁練習第3題.

2.七彩課堂第24?25頁第1,2,8題.

八、板書設計

26.2實際問題與反比例函數（第1課時）

考點1考點2

考點3

九、教學反思

教學時注意到學生的實際生活，從切實發生在學生身邊的實際情

景導入新課，創設了輕松和諧的學習氣氛，引起學生的興趣，讓學生

自己利用已經具備的知識分析實例，通過合作討論將其轉化為數學模

型(反比例函數)，再用函數的觀點處理實際問題，經歷數學知識的

應用過程.堂上鼓勵性語言較少，基礎薄弱的學生課堂反饋仍然很少.

26.2實際問題與反比例函數(第2課時)

1.春季是傳染病多發的季節，積極預防傳染病是學校高度重視的

一項工作，為此，某校對學生宿舍采取噴灑藥物進行消毒.在對某宿

舍進行消毒的過程中，先經過5min的集中藥物噴灑，再封閉宿舍

Wmin,然后打開門窗進行通風，室內每立方米空氣中含藥量y(mg/m3)

與藥物在空氣中的持續時間x(min)之間的函數關系，在打開門窗

通風前分別滿足兩個一次函數，在通風后又成反比例，如圖所示.下

面四個選項中錯誤的是()

/Kj7(mg/m3)

10…

8y：,

O~515Z.1

X(min)

A.經過5min集中噴灑藥物，室內空氣中的含藥量最高達到

1Omg/m3

B.室內空氣中的含藥量不低于8mg/m3的持續時間達到了llmin

C.當室內空氣中的含藥量不低于5mg/n?且持續時間不低于35

分鐘，才能有效殺滅某種傳染病毒.此次消毒完全有效

D.當室內空氣中的含藥量低于2mg/m3時，對人體才是安全的，

所以從室內空氣中的含藥量達到2mg/n?開始，需經過59min后，學生

才能進入室內

2.如果等腰三角形的底邊長為x,底邊上的高為y,則它的面積

為定值S時，y與x的函數關系為()

SS2Sx

y=-y=—y=—y=—

A.'xB.2xc.xD.25

3.某氣球內充滿了一定質量的氣體，當溫度不變時，氣球內氣體

的氣壓p(kPa)是氣體體積V(n?)的反比例函數，其圖象如圖所示，當

氣球內的氣壓大于120kPa時，氣球將爆炸.為了安全起見，氣球的

A.不大于B.小于3c.不小于D.大于3m。

5555

4.某閉合電路中，電源的電壓為定值，電流I(A)與電阻R(Q)

成反比例.下圖表示的是該電路中電流I與電阻R之間的圖象，則用

電阻R表示電流I的函數解析式為()

RR

5.受條件限制，無法得知撬石頭時的阻力，小剛選擇了動力臂為

1.2米的撬棍，用了500牛頓的力剛好撬動；小明身體瘦小，只有300

牛頓的力量，他該選擇動力臂為的撬棍才能撬動這塊大石

頭呢.

6.如圖所示，重為8牛頓的物體G掛在杠桿的B端,0點為支點,

且0B=20cm.

(1)根據“杠桿定律”寫出F與h之間的函數解析式；

(2)當h=80cm時，要使杠桿保持平衡，在A端需要施加多少牛

頓的力？

7,蓄電池的電壓為定值.使用此電源時，電流1(A)是電阻R(C)

的反比例函數，其圖象如圖所示.

(1)求這個反比例函數的表達式；

(2)當R=10Q時，電流能是4A嗎？為什么？

參考答案：

1.C

2.C

3.C

4.C

5.2米

6.解：(1)F-h=8X20=160,

所以F=理；

h

(2)當h=80cm時;F=—=2(牛頓),

80

所以在A端需要施加2牛頓的力.

7.解：⑴設/=3把M(4,9)代入得

R

k=4X9=36.

???這個反比例函數的表達式為/若.

⑵當R=10Q時，1=3.6^4,

???電流不可能是4A.

27.1圖形的相似

1.制作一塊3mx2m長方形廣告牌的成本是120元，在每平方米

制作成本相同的情況下，若將此廣告牌的四邊都擴大為原來的3倍,

那么擴大后長方形廣告牌的成本是（）

A.360元B.720元C.1080元D.2160元

2.要制作兩個形狀相同的三角形框架，其中一個三角形的三邊長

分別為5cni,6cm和9cm,另一個三角形的最短邊長為2.5cm,則它的

最長邊為（）

A.3cmB.4cmC.4.5cmD.5cm

3.下列說法正確的是（）

A.小明上幼兒園時的照片和初中畢業時的照片相似.

B.商店新買來的一副三角板是相似的.

C.所有的課本都是相似的.

D.國旗的五角星都是相似的.

4.若一張地圖的比例尺是1:150000,在地圖上量得甲、乙詼地

的距離是5cm,則甲、乙兩地的實際距離是（）

A.3000mB.3500mC.5000mD.7500m

5.如圖所示的兩個矩形相似嗎？為什么？如果相似，相似比是多

少？

6.觀察下面的圖形(a)?(g),其中哪些是與圖形(1)、(2)或⑶

相似的？

7.判斷下邊的兩個多邊形是否相似?

34

8.如圖，把矩形ABCD對折，折痕為EF,若矩形ABCD與矩形EABF

相似，AB=1.

B

(1)求BC長;

(2)求矩形ABFE與矩形ABCD的相似比.

參考答案:

1.C

2.C

3.D

4.D

5.解：矩形ABCD相似于矩形EFGH.

因為它們的對應角相等，對應邊成比例.

相似比為：絲」.

EF1

6.(1)——a；⑵——d；(3)——g.

7.解：???正方形，菱形的四條邊都相等.

???它們的對應邊成比例,k=3:4.

???正方形的四個內角均為直角，

而菱形的內角有鈍角有銳角.

???它們的對應角不相等.

??.這一組圖形不相似.

8.解：⑴TE是AD的中點，

???AE、AD、BC,

22

又???矩形ABCD與矩形EABF相似,AB=1,

?

??-A-B=_-B-C-,

AEAB

JABJAE?BC,

：A2=-BC?BC,

2

解得BC=VL

⑵矩形ABEF與矩形ABCD的相似比為:AB_1_V2

麗=

27.2相似三角形

27.2.1相似三角形的判定（第1課時）

L如圖,在△ABC中，DE〃BC,DE分別與AB,AC相交于點D,E,

若AD=4,DB=2,則DE：BC的值為()

2.如圖,在Z\ABC中,EF〃BC,AE=2cm,BE=6cm,BC=4cm,EF長

4

A.1cmB.-cmC.3cmD.2cm

3

3.如圖，DE〃BC,-==:FG〃BC,旭=2,則竺=

AC5ABCGAB

E1)

A

4.如圖,在△ABC中，EF〃BC.

(1)如果E、F分別是AB和AC上的點,AE=BE=7,FC=4,那么

AF的長是多少？

(2)如果AB=10,AE=6,AF=5,那么FC的長是多少？

5.如圖所示，如果D,E,F分別在OA,OB,0C±,且DF〃AC,

EF〃BC.

求證：0D:OA=OE:0B.

6.如圖,已知菱形ABCD內接于△AEF,AE=5cm,AF=4cm,求菱形

的邊長.

EC

參考答案：

1.A

2.A

3一，

53

4.解：(1)?.?絲=”，

BEFC

?7AF

74

解得AF=4.

(2)?.?這二”，

ABAC

?65

??---=------,

10AC

解得AC二生.

3

:.FC=AC-AF=—-5=—

33

5.證明：VDF/7AC,

?ODOF

??---=----?

OAOC

?「EF〃BC,

?.?"OFOE,

OCOB

?OD_OE

??市—訪

6?解：???四邊形ABCD為菱形，

.??CD〃AB,

CDDF

設菱形的邊長為xcm,則CD=AD=xcm,DF=(4-x)cm,

x4-x

—=---,

???54

解得"互，

20

，菱形的邊長為Tcm.

27.2相似三角形

27.2.1相似三角形的判定（第2課時）

1.如圖，小正方形的邊長均為1,則下列圖中的三角形（陰影部

分）與AABC相似的是（）

B

2下列各組三角形一定相似的是（)

A.兩個直角三角形B.兩個鈍角三角形

C.兩個等腰三角形D.兩個等邊三角形

3.下列判斷，不正確的是（）

A.兩條直角邊分別是3、4和6、8的兩個直角三角形相似.

B.斜邊長和一條直角邊長分別是26、4和石、2的兩個直角三

角形相似.

C.兩條邊長分別是7、4和14、8的兩個直角三角形相似.

D.斜邊長和一條直角邊長分別是5、3和2.5、1.5的兩個直角

三角形相似.

4.如圖，ZAPD=90°,AP=PB二BOCD,下列結論正確的是（）

A.△PABS/XPCAB.APAB^APDA

C.AABC^ADBAD.AABC^ADCA

5.判斷圖中的兩個三角形是否相似，并說明理由.

6.如圖，某地四個鄉饃A,B,C,D之間建有公路，已知AB=14

千米，AD=28千米，BD=21千米，DO31.5千米，公路AB與CD平行

嗎？說出你的理由.

參考答案:

1.B

2.D

3.C

4.C

5.解：在AABC中，AB>BC〉CA,在ADEF中，DE>EF>FD.

四二生二0.6,空二空二。.6,空二小二。.6,

?.?AB4BC3.5CA3

?DE_EF_FD

**AB--G4,

??.ADEF^AABC.

6.解：公路AB與CD平行.

ABADBD_2

AAABD^ABDC,

???ZABD=ZBDC,

AABDC.

27.2相似三角形

27.2.1相似三角形的判定（第3課時）

L如圖,已知：ZBAC=ZEAD,AB=20.4,AC=48,AE=17,AD=40.

求證：△ABCS/\AED.

2如圖，D是AABC一邊BC上一點，連接AD,使△ABCs2^DBA

A.AC:BC=AD:BDB.AC:BC=AB:AD

C.AB2=CD?BCD.AB2=BD?BC

3.在△ABC和ZxDEF中，NONF=70°，AC=3.5cm,BC=2.5cm,

DF=2.1cm,EF=1.5cm.

求證：△DEFs^ABC.

4.如圖，AABC與aADE都是等腰三角形，AD=AE,AB=AC,ZDAB=

ZCAE.

求證：△ABCs△ADE.

5.如圖，在四邊形ABCD中，已知NBNACD,AB=6,BCM,AC=5,

37；,求AD的長.

A

1)

B

6.如圖，在△ABC中，D中分別是AB,AC上的點的B=7.8,BD=4.8,

AC=6,AE=3.9,試判斷AADE與AABC是否相似，某同學的解答如下:

解：VAB=AD+BD,而AB=7.8,BD=4.8,

AAD=7.8-4.8=3.

ADAE

-----豐------

?/ABAC,

???這兩個三角形不相似.

你同意他的判斷嗎？請說明理由.

參考答案:

1.證明:VAB=20.4,AC=48,AE=17,AD=40.

??AB■=竺=1.2

AEAD40

ABAC

NBAONEAD,

AAABC^AAED.

2.D

3.證明：*/AC=3.5cm,BC=2.5cm,DF=2.1cm,EF=1.5cm,

?.?DF=EF=—3.

ACBC5

又,.,NONF=70°,

AADEF^AABC.

4.證明：TAD=AE,AB=AC,

?AD_AE

AB-AC'

又???NDAB=NCAE,

JZDAB+ZBAE=ZCAE+ZBAE,

即NDAE二NBAC,

AAABC^AADE.

5.解：VAB=6,BC=4,AC=5,CD=7-,

2

.ABBC4

??---=---=一.

CDAC5

又???ZB=ZACD,

AAABC^ADCA,

AC_BC4

AD-7c-5,

AD=—.

：.4

6.解：他的判斷是錯誤的.

VAB=AD+BD,而AB=7.8,BD=4.8,

AAD=7.8-4.8=3.

AD3\AE3.91

?；AC-6-2,AB-Z8-21

AD_AE

.??就一而，

又???NA二NA,

AAADE^AACB.

27.2相似三角形

27.2.1相似三角形的判定（第4課時）

1.如圖，在4ABC中，點D是邊AB上的一點，NADONACB,AD=2,

BD=6,則邊AC的長為（）

2.學校門口的欄桿如圖所示，欄桿從水平位置BD繞0點旋轉到

AC位置,已知ABJ_BD,CD1BD,垂足分別為B,D,A0=4m,AB=1.6m,

CO=lm,則欄桿C端應下降的垂直距離CD為（）

A.0.2mB.0.3mC.0.4mD.0.5m

3.如圖,△ABC中，AE交BC于點D,NONE,AD:DE=3:5,AE=8,

4534

4.如圖,在Z\ABC和△A'B'C'中,若NA=60°，ZB=40°，Z

A'=60。,當NC'=時，△ABCSZ\A，B'C'.

5.如圖，^ABC中，DE〃BC,EF〃AB,求證：△ADEs^EFC.

6.如圖，AABC和中,ZA=40°,ZB=80°，NE=80°，

ZF=60°.求證：/XABCSADEF.

A

BCE

7.如圖，AABC的高AD、BE交于點F.求證:AFEF

8.已知：如圖，/ABD二NC,AD=2,AC=8,求AB.

B

9.如圖，BE是AABC的外接圓()的直徑,CD是AABC的高,求證:

AC?BC=BE?CD.

參考答案：

1.B

2.C

3.A

4.80°

5.證明：:DE〃BC,EF〃AB,

???NAED=NC,NA=NFEC.

AAADE^AEFC.

6.證明：???在aABC中，ZA=40°,ZB=80°,

.\ZC=180o-ZA-ZB=60°.

??,在aDEF中，ZE=80°,ZF=60°.

AZB=ZE,ZC=ZF.

.??△ABCs△DEF.

7.證明：???△ABC的高AD、BE交于點F,

AZFEA=ZFDB=90°,ZAFE=ZBFD（對頂角相等）

.,.△FEA^AFDB,

AF_EF

8.解：VZA=ZA,ZABD=ZC,

/.△ABD^AACB,

JAB:AC=AD:AB,

/.AB2=AD?AC.

VAD=2,AC=8,

???AB=4.

又YBE是aABC的外接圓0的直徑，

AZBCE=90°=ZADC,

VZA=ZE,ZBCE=ZADC,

AAACD^AEBC.

ACCD

J~BE~~BCJ

AAC?BC=BE?CD.

28.1銳角三角函數

第1課時

1.如圖，在RtAABC中，ZC=90°，BC=4,AO3,貝ijsinB=()

2.如圖，在4X4的正方形方格圖形中，小正方形的頂點稱為格

點，^ABC的頂點都在格點上，則NBAC的正弦值是.

3.如圖，已知點P的坐標是(a,b),則sina等于()

baJ4'J.'S

4.在直角三角形ABC中，若三邊長都獷大2倍，則銳角A的正弦

值()

A.擴大2倍B.不變

C.縮小ID.無法確定

2

5.在RtZiABC中，NO90。，sin4=3,BC=6,貝ijAB的長為()

5

A.4B.6C.8D.10

6.在AABC中，ZC=90°，如果sinA」,AB=6,那么BO.

3

7.如圖，在正方形網格中有△ABC,則sin/ABC的值為.

8.如圖，在AABC中，AB=BC=5,sinA=g,求AABC的面積.

9.如圖，NC=90°,CD_LAB.sinB可以由哪兩條線段之比得至U?

若AC=5,CD=3,求sinB的值.

參考答案:

1.A

2.@

5

3.D

4.B

5.D

6.2

叵

7.而

解析：VAB=V20,BC=V18,AC=V2,

AAB2=BC2+AC2.

AZACB=90°.

ArV2_x/10

sinZABC=—

ABV20-10

8.解：作BDLAC于點D,

5

4

?\BD=A8xsinA=5x—=4,

5

AD^^AB1-BD1=^52-42-3.

又???AABC為等腰三角形,BD_LAC,

AC=2AD=6,

ASAABC=ACXBD^2=12.

9.解：ZB=NACD,

sinB=sinZACD.

在RtaACD中，

AD=y^AC2-CD2=752-32=4

?.AD4

??sinZ.ACD=----=—,

AC5

AsinB=-.

5

28.1銳角三角函數

第2課時

L如圖,旗桿高AB=8m,某一時刻，旗桿影子長BC=16m,則

tanC=.

2.如圖，A,B,C是小正方形的頂點，且每個小正方形的邊長為1,

則tanNBAC的值為（）

A

A.-B.1C.且D.V3

23

3.在RtZiABC中，ZC=90°,AC=12,AB=13.

sinA二_____,cosA二_____，tanA=____，

sinB二，cosB=,tanB=

A

4.如圖，AABC中一邊BC與以AC為直徑的。。相切與點C,若

BC=4,AB=5,則tanA-—.

A

Z?

BC

5.已知NA,NB為銳角，

(1)若NA=NB,則cosAcosB；

(2)若tanA=tanB,則ZAZB；

(3)若tanA?tanB=1,則NA與NB的關系為：.

6.如圖，在RtAABC中，NACB=90°,CDLAB,垂足為D.若AD=6,

7.如圖,在△ABC中,AB=AC=4,BC如.求cosB及tanB的值.

A

H

參考答案:

\_

1.2

2.B

5125125

3B.T5.VI.?3.T3.11

99995

4.1

3

5.(1)=⑵=⑶NA+NB=90°

6.解：?.?/ACB=NADC=90°,

AZB+ZA=90c,ZACD+ZA=90°.

JZB=ZACD.

:.tanB=tanZACD=

CD84

7.提示：求銳角的三角函數值問題，當圖形中沒有直角三角形時,

可用恰當的方法構造直角三角形.

解：過點A作AD_LBC于D.

BDC

?「AB=CA,

，BD=CD=3,

AB4

在RtAABD中，AD=NAB2—Blf="2-3?="

tam2旦

BD3

28.1銳角三角函數

第3課時

1.2cos60°=()

A.1B.V3C.x/2D.-

2

2.如圖，A,B,C是小正方形的頂點，且每個小正方形的邊長為1,

則tanNBAC的值為()

D.6

3,下列各式中不正確的是()

A.sin260°+cos2600=1B.sin30°+cos30°=1

C.sin35°=cos55°D.tan45°>sin45°

4.計算2sin30°-2cos60°+tan45°的結果是()

A.2B.V2C.-1D.1

5.求滿足下列條件的銳角a.

(l)2sina—>/3=0；(2)tana—1=0.

sia4=cosB=—

6.在AABC中，NA,NB都是銳角，且2,2,則

△ABC的形狀是()

A.直角三角形B.鈍角三角形

C.銳角三角形D.不能確定

..if口⑻*

sinA—+cosB------=()n

7.在AABC中，若212),

貝UNO.

8.求下列各式的值：

(l)l-2sin30ccos30°；

(2)3tan30°-tan45°+2sin60°；

cos601

---------1------

1+sin60tan300.

⑶9

V2sin45cos60+(-l)2005+(1-72)0.

(4)

9.已知a為銳角,且tana是方程x2+2x—3=0的一個根，求2sin2

a+cos2a—>/3tan(a+15°)的值.

10.如圖,在AABC中，AD1BC,M為AB的中點,ZB=30°，

cosZ.ACD=—,

2.求tanZBCM.

J)

AMIf

參考答案：

1.A

2.解：原式=1+6—1一立

2

*

2

3.B

4.D

smtz=——

5.解：⑴2,Za=60°.

(2)tana=1,/.Zci=45°.

6.B

7.120°

8.答案：(1)1-與；(2)2V3-1；(3)2;(4)1.

9.解:解方程X2+2X-3=0,得X尸1,X2:-3.

Vtana>0,/.tana=1,/.a=45°.

.'2sin'Q+cos%—6tan(a+15°)

=2sin245°+cos245°-x/3tan60°

省】品道

I2JI2J

—_—.3

2,

10.解:過點M作MEJ_BC于點E.

ACD=AD,

又???M是AB的中點，

ABE=DE,AD=2ME.

又?.?/B=30°,tanB=M，

BE

?.?-M-E=-V-3?

BE3

.BE=OME,CE=CD+DE=2ME+WME.

??

?/,1,、..MEME1.r：

??tan/BCM=----=------=-----尸=2—73.

CE(2+V3)ME2+V3

28.1銳角三角函數

第4課時

1.一輛小車沿著如圖所示的斜坡向上行駛了100m,其鉛直高度

上升了15nl.在用科學計算器求坡角a的度數時，具體按鍵順序是

)

A

2.下列式子中，不成立的是()

A.sin35°=cos55°

B.sin25°+sin40°=sin650

C.cos47°=sin43°

D.sin218°+cos218°=1

3.用計算器求sin24°37,18〃的值，以下按鍵順序正確的是（）

壺］②?「'〃囪⑦I.'〃IH國

A?

R2⑷「國園「"IH五I一〃I

.國目

c.畫函畫:②@二3.畫匚二Z1目

國團@I0‘〃I■■「‘〃IEl?

D?|一〃|［2ndF］目

4.利用計算器求值：

（l）sin40°y（精確到0.0001）；

（2）tan63°27'仁（精確到0.0001）；

（3）cosl8°59'27"憶（精確到0.0001）；

⑷若sina=0.5225,貝lja"（精確到0.1°）；

⑸若cosa=0.3145,則a七（精確到0.1°）.

5.如圖，在Rt^ABC中，NC=90°,清驗證sida+cos2a=1的

結論.

6.在RtZ\ABC中，ZC=90°，NBAO42。24’，NA的平分線

AT=14.7cm,用計算器求AC的長（精確到0.001）.

參考答案:

1.A

2.B

3.A

4.(DO.6428(2)2.0013(3)0.9456(4)31.5°(5)71.7°

5.證明:在RtZ\ABC中,a2+b2=c2,

.ab

sina=—,cosa=—,

獷…2am邛=3=1.

。C

6.解：???AT平分NBAC,且NBAC=42°24',

ACAT=-ABAC=2\?\2'.

2

.AC

cosZCAr=-----

在Rt^ACT中，AT,

AAC=AT?cosZCAT=14.7Xcos21°12'^13.705(cm).

28.2解直角三角形及其應用

28.2.1解直角三角形

3

tanA=-

1.如圖，在AABC中，BO12,4,B=30°；求AC和AB的

長.

2.在下列直角三角形中不能求解的是（）

A.已知一直角邊一銳角

B.已知一斜邊一銳角

C.已知兩邊

D.已知兩角

3.在RtAABC中,ZC=90°,ZB=37°,BC=32,貝ijAC二_____（參

考數據：sin37°^0.60,cos37°^0.80,tan37°七0.75）.

4.如圖，已知RtAABC中，斜邊BC上的高AD=3,cosB=1,貝ij

AC的長為.

5.在RtZ^ABC中，ZC=90°,ZB=72°,c=14,根據條件解直

角三角形.

6.如圖,已知AC=4,求AB和BC的長.

7.如圖，在RtZ\ABC中，ZC=90°,AC=6,NBAC的平分線

AD=4x/3,解這個直角三角形.

參考答案:

在RtZXBCH中，VBC=12,ZB=30°

CH=；BC=6,BH=yjBC2-CH2=63

tanA=-=-----

在RtZiACH中，4AH

AAH-8,

■AC=4AH?+CH?=10,

??

AB=AH+BH=S+6y/3.

2.D

3.24

4.3.75

5.解:VsinB=—,

c

*,?/?=csinZ?=14xsin72?13.3.

*/cosB=—,

c

/?a=ccosB=14xcos72?4.33.

NA=90-72=18.

6.分析：作CD_LAB于點D,根據三角函數的定義，在Rt^ACD,

入△CDB中，即可求出CD,AD,BD的長，從而求解.

解：如圖，作CD_LAB于點D,

C

：.ZACD=90°-ZA=60°.

/.cr>=—AC=2,

2

AD=ACcosA=4x—=2^/3.

2

在R&DB中，VZDCB=ZACB-ZACD=45°,

ABD=CD=2.cosADCB5

：.AB=AD+BD=2+273.

AC

7.解:VcosZCAD=6_V3

而一法一5

AZCAD=30°.

丁AD平分NBAC,

AZCAB=60°,ZB=30°,

AAB=\2,BC=65/3.

28.2解直角三角形及其應用

28.2.2應用舉例（第1課時）

1.圖1是一輛吊車的實物圖，圖2是其工作示意圖，AC是可以

伸縮的起重臂，其轉動點A離地面BD的高度AH為3.4m.當起重臂

AC長度為9m,張角/HAC為118。時，求操作平臺C離地面的高度（結

果保留小數點后一位：參考數據：sin28°^0.47,cos28°^0.88,

tan28°\0.53）.

c

2.數學課外興趣小組的同學們要測量被池塘相隔的兩棵樹A、B

的距離，他們設計了如圖所示的測量方案：

從樹A沿著垂直于AB的方向走到E,再從E沿著垂直于AE的方

向走到F,C為AE上一點，其中3位同學分別測得三組數據：①AC,

ZACB；②EF,DE,AD；③CD,ZACB,ZADB.其中能根據所測數據

求得A、B兩棵樹距離的有（）

A.0組B.1組C.2組D.3組

3.如圖,要測量B點到河岸AD的距離,在A點測得NBAD=30°,

在C點測得NBCD=60°,又測得AC=100米，則B點到河岸AD的距離

為（）

A.1。。米B.5M米C.亨米D.50米

4.一次臺風將一棵大樹刮斷，經測量，大樹刮斷一端的著地點A

到樹根部C的距離為4米，倒下部分AB與地平面AC的夾角為45°,

則這棵大樹高是米.

5."欲窮千里目，更上一層樓”是唐代詩人李白的不朽詩句.如

果我們想在地球上看到距觀測點1000里處景色，“更上一層樓”中

的樓至少有多高呢？存在這樣的樓房嗎（設AC代表地面，。為地球球

心，C是地面上一點，AC=500km,地球的半徑為6370km,cos4.5°

=0.997)?

6.如圖，在電線桿上的C處引拉線CE,CF固定電線桿.拉線CE

和地面成60°角，在離電線桿6米的A處測得AC與水平面的夾角為

30°,已知A與地面的距離為1.5米，求拉線CE的長.(結果保留根

參考答案：

1.解：作CE_LBD于E,AF_LCE于F,易得四邊形AHEF為矩形,

AEF=AH=3.4m,ZHAF=90°.

AZCAF=ZCAH-ZHAF=118°-90°=28°.

CF

sinZCAF=—

在Rt^ACF中，:A。，

ACF=9sin28°=9X0.47=4.23,

ACE=CF+EF=4.23+3.4^7.6(m).

答：操作平臺C離地面的高度為7.6m.

2.D

3.B

4.(4+45/2)

5.解：設登到B處，視線BC在C點與地球相切，也就是看C點,

AB就是“樓”的高度,

在Rt^OCB中，ZO-—?—^4.5,

OC71

OB=°C=6370之6389（km）,

cosNOcos4.5

JAB=OB—OA=6389—6370=19（km）.

即這層樓至少要高19km,即19000m.這是不存在的.

6.解：作AG_LCD于點G,則AG=BD=6米,DG=AB=L5米.

/.CG=AGtan30=6x—=2^（米）.

3

???CD=CG+DG=（2百+L5）（米）,

CE=CD=（