第31講圖形的軸對(duì)稱、平移.旋轉(zhuǎn)

目錄

題型07由平移前后點(diǎn)的坐標(biāo)判斷平移方式

一、考情分析

題型U8已知圖形的平移求點(diǎn)的坐標(biāo)

二、知識(shí)建構(gòu)題型()9與平移有關(guān)的規(guī)律問題

考點(diǎn)一軸對(duì)稱題型10平移的綜合問題

題型01軸對(duì)稱圖形的識(shí)別考點(diǎn)三圖形的旋轉(zhuǎn)

題型02根據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行判斷題型01找旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、對(duì)應(yīng)點(diǎn)

題型03根據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行求解題型02根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解

題型04軸對(duì)稱中的光線反射問題題型03根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)說明線段或角相等

題型05折疊問題題型04畫旋轉(zhuǎn)圖形

類型一三角形折疊問題題型05求旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的旋轉(zhuǎn)隹度

類型二四邊形折疊問題題型06旋轉(zhuǎn)中的規(guī)律問題

類型三圓的折疊問題題型07求繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90。點(diǎn)的坐標(biāo)

類型四拋物線與幾何圖形綜合題型08求繞某點(diǎn)(非原點(diǎn))旋轉(zhuǎn)90。點(diǎn)的坐標(biāo)

題型06求對(duì)稱軸條數(shù)題型09求繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度點(diǎn)的坐標(biāo)

題型07畫軸對(duì)稱圖形題型10旋轉(zhuǎn)綜合題

題型08設(shè)計(jì)軸對(duì)稱圖案類型一線段問題

題型09求某點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)類型二面積問題

題型10與軸對(duì)稱有關(guān)的規(guī)律探究問題類型三角度問題

題型11軸對(duì)稱的綜合問題題型II判斷中心對(duì)稱圖形

考點(diǎn)二圖形的平移題型12畫已知圖形關(guān)于某點(diǎn)的對(duì)稱圖形

題型01生活中的平移現(xiàn)象題型13根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)求面積、長(zhǎng)度、

題型02利用平移的性質(zhì)求解角度

題型03利用平移解決實(shí)際生活問題題型14利用平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、中心對(duì)稱

題型()4作平移圖形設(shè)計(jì)圖案

題型05求點(diǎn)沿x軸、y軸平移后的坐標(biāo)

.題型06由平移方式確定點(diǎn)的坐標(biāo)

0000)

考點(diǎn)

新課標(biāo)要求命題預(yù)測(cè)

要求

＞通過具體實(shí)例理解軸對(duì)稱的概念，探索它的基本性質(zhì):成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形該板塊知識(shí)以考直平面幾

中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分.何的三大變換的基本運(yùn)用為

＞能畫出簡(jiǎn)單平面圖形（點(diǎn)、線段、直線、三角形等）關(guān)于給定對(duì)稱軸的對(duì)稱圖主笄年都有考查,分值在8-12

軸對(duì)

形.分左右.預(yù)計(jì)2024年各地中考

稱

＞理解軸對(duì)稱圖形的概念;探索等腰三角形、矩形、菱形、正多邊形、圓的軸還將繼續(xù)考查這些知識(shí)點(diǎn)，考

對(duì)稱性質(zhì).查形式主要有選填題、作圖題、

＞認(rèn)識(shí)并欣賞自然界和現(xiàn)實(shí)生活中的軸對(duì)稱圖形.也可能綜合題結(jié)合出現(xiàn).在三

＞通過具體實(shí)例認(rèn)識(shí)平移，探索它的基本性質(zhì):一個(gè)圖形和它經(jīng)過平移所得的種變換中，平移相對(duì)較為簡(jiǎn)單，

圖形中,兩組7寸應(yīng)點(diǎn)的連線平行（或在同一條直線上）且相等.多以選擇題形式考察，偶爾也

平移

＞認(rèn)識(shí)并欣賞平移在自然界和現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用.會(huì)考察作圖題:對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)則

＞運(yùn)用圖形的軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、平移進(jìn)行圖案設(shè)計(jì).難度較大，通常作為選擇、填

＞通過具體實(shí)例認(rèn)識(shí)平面圖形關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn).探索它的基本性質(zhì):一個(gè)圖空題的壓粕題出現(xiàn)，在解答題

形和旋轉(zhuǎn)得到的圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心距離相等，兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別與旋中，也會(huì)考察對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)的作

轉(zhuǎn)中心連線所成的角相等.圖，以及與特殊幾何圖形結(jié)合

旋轉(zhuǎn)＞了解中心對(duì)稱、中心對(duì)稱圖形的概念，探索它們的基本性質(zhì):成中心對(duì)稱的的綜合壓粕題，此時(shí)常需要結(jié)

兩個(gè)圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線經(jīng)過對(duì)稱中心，且被對(duì)稱中心平分.合幾何圖形或問題類型去分類

＞探索線段、平行四邊形、正多邊形、圓的中心對(duì)稱性質(zhì).討論.

＞認(rèn)識(shí)并欣賞自然界和現(xiàn)實(shí)生活中的中心對(duì)稱圖形.

題型01軸對(duì)稱圖形的識(shí)別

題型02根據(jù)成軸為稱圖形的特征進(jìn)行判斷

圖形題型03根據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行求解

題型04軸對(duì)稱中的光線反射問題

定義

軸對(duì)稱與軸題型05折否問題

對(duì)稱更形區(qū)別、聯(lián)系類型?三角形折登問題

類型二四邊形折疊問題

軸性質(zhì)類型三圓的折疊問題

類型四拋物線。幾何圖形綜合

對(duì)

判定題型06求對(duì)稱軸條數(shù)

稱做軸對(duì)稱圖形的一般步驟題型07畫軸對(duì)稱圖形

題型08設(shè)計(jì)軸對(duì)稱圖案

折疊FJ性質(zhì)題型09求某點(diǎn)大于坐標(biāo)軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)

題型】0。軸時(shí)稱有關(guān)的規(guī)律探窕問題

題型11軸對(duì)稱的綜合問題

圖

形

題型01生活中的平移現(xiàn)象

的題型02利用平移的性質(zhì)求解

概念題型03利用平移解決實(shí)際生活問題

軸

題型04作平移圖形

三大要素題型03求點(diǎn)沿x軸、y軸平移后的坐標(biāo)

對(duì)

性質(zhì)題型06由平移方式確定點(diǎn)坐標(biāo)

稱題型07由平移前后點(diǎn)的坐標(biāo)判斷平移方式

作圖步驟題型08己知圖形的平移求點(diǎn)的坐標(biāo)

、題型09與平移仃關(guān)的規(guī)律問題

平題型10平移的綜合問題

移

定義題型01找旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、對(duì)應(yīng)點(diǎn)

、題型02根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求薪

旋三大要素題型根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)說明線段或加州笠

旋轉(zhuǎn)03

轉(zhuǎn)性質(zhì)趣型（H畫旋轉(zhuǎn)圖形

題型05求旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的旋轉(zhuǎn)角度

作圖步驟題型06旋轉(zhuǎn)中的規(guī)律問題

題型07求繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°點(diǎn)的坐標(biāo)

圖形

中心對(duì)稱與中題型08求繞某點(diǎn)（非原點(diǎn)）旋轉(zhuǎn)90°點(diǎn)的坐標(biāo)

心對(duì)稱圖形定義題型09求繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)?定角度點(diǎn)的坐標(biāo)

旋題型】0旋轉(zhuǎn)綜合題

區(qū)別、聯(lián)系類型一線段問5s

轉(zhuǎn)類型二面積問題

中心對(duì)稱的性質(zhì)類型，角度問題

作。己知圖形成中心對(duì)稱題型11判斷中心對(duì)稱圖形

的圖形的?般步驟期型12面己知圖形關(guān)丁某點(diǎn)的對(duì)稱圖形

題型13根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)求而積、氏度、角度

找對(duì)稱中心的方法和步驟題型14利用平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、中心對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案

考點(diǎn)一軸對(duì)稱

基礎(chǔ)知識(shí)梳理

軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形

軸對(duì)稱軸對(duì)稱圖形

圖形A.n

△

UIC

BC\EF

?

把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊,如果它能如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的

定義

夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱

關(guān)于這條直線對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸.圖形.這條直線就是它的對(duì)稱軸.

1）軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形折疊重合.1）軸對(duì)稱圖形是指本身折疊重合.

區(qū)別

2）軸對(duì)稱對(duì)稱點(diǎn)在兩個(gè)圖形上.2）軸對(duì)稱圖形對(duì)稱點(diǎn)在一個(gè)圖形上.

3）軸對(duì)稱只有一條對(duì)稱軸.3）軸對(duì)稱圖形至少有一條對(duì)稱軸.

1）定義中都有一條直線,都要沿著這條直線折疊重合.

膝

2）如果把軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體,那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形；反過來，如果把軸對(duì)稱

圖形沿對(duì)稱軸分成兩部分（即看成兩個(gè)圖形）.那么這兩個(gè)圖形就關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱.

性質(zhì)1）關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形.

2）兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱那么對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線.

判定1）兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱.

2）兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱,那么對(duì)稱軸是對(duì)折重合的折痕線.

常見的軸對(duì)稱圖形有：圓、正方形、長(zhǎng)方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等邊三角形等.

做軸對(duì)稱圖形的一般步驟：

1）作某點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)的一般步驟：

①過已知點(diǎn)作已知直線（對(duì)稱軸）的垂線，標(biāo)出垂足，并延長(zhǎng)；

②在延長(zhǎng)線上從垂足出發(fā)截取與已知點(diǎn)到垂足的距離相等的線段，那么截點(diǎn)就是這點(diǎn)關(guān)于該直線的對(duì)稱

點(diǎn).

2）作已知圖形關(guān)于某直線的對(duì)稱圖形的一般步驟：

①找.在原圖形上找特殊點(diǎn)（如線段的端點(diǎn)、線與線的交點(diǎn)）

②作.作各個(gè)特殊點(diǎn)關(guān)于已知直線的對(duì)稱點(diǎn)

③連.按原圖對(duì)應(yīng)連接各對(duì)稱點(diǎn)

折疊的性質(zhì)：折疊的實(shí)質(zhì)是軸對(duì)稱，折疊前后的兩圖形全等，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等.

【解題思路】凡是在幾何圖形中出現(xiàn)“折疊”這個(gè)字眼時(shí)，第一反應(yīng)即存在一組全等圖形，其次找出與要求幾

何量相關(guān)的條件量.解決折疊問題時(shí)，首先清楚折疊和軸對(duì)稱能夠提供我們隱含的且可利用的條件，分析

角之間、線段之間的關(guān)系，借助勾股定理建立關(guān)系式求出答案,所求問題具有不確定性時(shí)，常常采用分類

討論的數(shù)學(xué)思想方法.

1.對(duì)稱軸是一條直線，不是一條射線，也不是一條線段.

2.軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸有的只有一條，有的存在多條對(duì)稱軸（例：正方形有四條對(duì)稱軸，圓有無數(shù)條

對(duì)稱軸等）.

3.成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形中的任何一個(gè)都可以看作由另一個(gè)圖形經(jīng)過軸對(duì)稱變換得到的，一個(gè)軸對(duì)稱圖

形也可以看作以它的一部分為基礎(chǔ),經(jīng)軸對(duì)稱變換得到的.

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題型01軸對(duì)稱圖形的識(shí)別

［例1］（2022.江蘇鹽城?校聯(lián)考一模）北京2022年冬奧會(huì)會(huì)徽如圖所示，組成會(huì)徽的四個(gè)圖案中是軸對(duì)稱

圖形的是（）

B即NGc血XD.

【答案】D

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義判斷即可

【詳解】48c都不是軸對(duì)稱圖形,故不符合題意；

D是軸對(duì)稱圖形，

故選D.

【點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱圖形的定義，準(zhǔn)確理解定義是解題的關(guān)鍵.

【變式1?1】（2022.廣東深圳.南山實(shí)驗(yàn)教育麒麟中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）下列圖形中，是軸對(duì)稱圖形的是（）

【答案】B

【分析】直接利用軸對(duì)稱圖形的定義得出答案.如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相

重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸.

【詳解】解：A.不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；

B.是軸對(duì)稱圖形，符合題意；

C.不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；

。.不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意.

故詵：B.

【點(diǎn)撥】本題考查了中心對(duì)稱圖形的概念，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合.此

題主要考查了軸對(duì)稱圖形，關(guān)鍵是掌握如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這

個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸.

【變式1-2】（2022.廣東.統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在一些美術(shù)字中，有的漢字是軸對(duì)稱圖形.下面4個(gè)漢字中，可以

看作是軸對(duì)稱圖形的是（）

.山，可C歲.月

【答案】A

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念對(duì)各項(xiàng)分析判斷即可得解.

【詳解】A.是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；

B.不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

C.不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

D.不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意.

故選A.

【點(diǎn)撥】本題考查判斷軸對(duì)稱圖形，理解軸對(duì)稱圖形的概念是解答的關(guān)鍵.

題型02根據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行判斷

[fill2]（2023?天津?校聯(lián)考一模）如圖，△ABC與A，關(guān)于直線MN對(duì)稱,P為MN上任一點(diǎn)（P不與

■4共線），下列結(jié)論不IE踴的是（）

\.AP=41PB.△48。與44816的面積相等

C.MN垂直平分線段4公D.直線AB,4B]的交點(diǎn)不一定在MN上

【答案】D

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的版依次進(jìn)行判斷，即可得.

【詳解】解：?「△4BC與,關(guān)于直線MN對(duì)稱，尸為MN上任一點(diǎn)（尸不與力從共線）,

.MP=A1P,△ABC與△的面積相等，MN垂直平分線段，

即選項(xiàng)A.B.C正確，

二,直線關(guān)于直線MN對(duì)稱,

.??直線48,481的交點(diǎn)一定在MN上,

即選項(xiàng)D不正確，

古越：D.

【點(diǎn)撥】本題考杳了軸對(duì)稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱的性質(zhì).

【變式2?1】（2023.廣東深圳統(tǒng)考二模）如圖,這條活靈活現(xiàn)的“小魚”是由若干條線段組成的,它是一個(gè)軸

對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸為直線，，則下列結(jié)論下一定正確的是（）

A.點(diǎn)C和點(diǎn)D到直線1的距離相等B.BC=BD

C./-CAB=乙DABD.四邊形AD8C是菱形

【答案】D

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱軸圖形的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行分析即可，

【詳解】解：圖形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸為直線/，點(diǎn)C和點(diǎn)D是對(duì)稱點(diǎn)，

所以△ABC=△ABD，點(diǎn)C和點(diǎn)D到直線/的距離相等,

所以BC=BD,Z-CAB=乙DAB,AC=AD,

無法判斷力C與8C是否相等，故四邊形4。8c是菱形不一定正確.

故選D.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了軸對(duì)稱軸圖形的性質(zhì)，軸對(duì)稱圖形具有以下的性質(zhì)：

（1）軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形；軸對(duì)稱圖形的兩個(gè)部分也是全等圖形.（2）如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱,

那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.（3）兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么如果它們的

對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)一定在在對(duì)稱軸上.

【變式2-2]（2019.湖北武漢統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）每個(gè)網(wǎng)格中均有兩個(gè)圖形，其中一個(gè)圖形關(guān)于另一個(gè)圖形軸對(duì)

稱的是（）

【答案】B

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱定義：如果一個(gè)圖形沿某條直線對(duì)折能與另一個(gè)圖形重合，那么這兩個(gè)匿形關(guān)于這條

直線成軸對(duì)稱進(jìn)行分析即可.

【詳解】A.其中一個(gè)圖形不與另一個(gè)圖形成軸對(duì)稱，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.其中一個(gè)圖形與另一個(gè)圖形成粕對(duì)稱，故此選項(xiàng)正確；

C.其中一個(gè)圖形不與另一個(gè)圖形成軸對(duì)稱，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.其中一個(gè)圖形不與另一個(gè)圖形成軸對(duì)稱,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

古嫩：B.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了軸對(duì)稱，關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱定義.

題型03根據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行求解

[例3]（2021?山東臨沂?統(tǒng)考一模）如圖,在銳角三角形ABC中，BC=4,ZABC=60°,BD平分N48C,交

AC于點(diǎn)D,M、N分別是BD,8C上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值是（）

【答案】C

【分析】在上截取BE=BN,構(gòu)造全等三角形MMa"MN,利用三角形的三邊的關(guān)系確定線段和的最

小值.

【詳解】解：如圖，在B4上截取BE=BN,

因?yàn)?ABC的平分線交AC于點(diǎn)D,

所以NEBM=4NBM,

在ABME與ABMN中,

所以ABM盤MMN(SAS),

所以ME=MN.

所以CM+MN=CM+MME.

因?yàn)镃M+MN有最小值.

當(dāng)CE是點(diǎn)C到直線AB的距離時(shí)，即C到直線AB的垂線段時(shí)，CE取最小值

止匕時(shí)，???NABO60。，CEA.AB,

/.ZfiCE=30o,

：.BE=\BC=2,

：.CE=>JBC2-BE2=2y/3,

故選C.

【點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱的應(yīng)用，最短路徑問題，垂線段最短等知識(shí).易錯(cuò)易混點(diǎn)：解此題是受角平分

線啟發(fā)，能夠通過構(gòu)造全等三角形，把CM+MN進(jìn)行轉(zhuǎn)化，但是轉(zhuǎn)化后沒有辦法把兩個(gè)線段的和的最小值

轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離而導(dǎo)致錯(cuò)誤.規(guī)律與趨勢(shì)：構(gòu)造法是初中解題中常用的一種方法，對(duì)于最值的求解

是初中考查的重點(diǎn)也是難點(diǎn).

【變式3-1](2023?山東棗莊統(tǒng)考三模)如圖，矩形中=4,8。=2,G是力。的中點(diǎn)，線段EF,在

邊力8上左右滑動(dòng)；若EF=1,則GE+d的最小值為.

【答案】3V2

【分析】如圖，作G關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)G,在C。上截取CH=\,然后連接HG交AB于E,在EB上截取

EF=\,此時(shí)GE+Cr的值最小，可得四邊形EFC”是平行四邊形，從而得到G'H=EG'+EH=EG^-CF,再由勾

股定理求出“G的長(zhǎng)，即可求解.

【詳解】解：如圖，作G關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)G,在C。上截取CH=I,然后連接HG交于E,在加上截

??四邊形/WC。是矩形，

..ABWCD,AD=BC=2

：.CH\\EF,

：CH=EF=\,

，四邊形EFC"是平行四邊形，

：.EH=CF,

：.GH=EG'+EH=EG+CF,

?.AB=4,BC=AD=2,G為邊AD的中點(diǎn)，

：.AG=AG'=\

..DG,=AD+AG=2+\=3,DH=4-1=3,

：.HG'=y/DH2+DG,2=V32+32=3企,

即+CF的最小值為3a.

故答案為：一

【點(diǎn)撥】此題主要考查了利用軸對(duì)稱求最短路徑問題，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，確定GE+CF最小時(shí)

￡,尸位置是解題關(guān)鍵.

【變式3-2]（2022.山東聊城?統(tǒng)考一模）如圖,在菱形ABCD中，BC=2/C=120°,Q^JAB的中點(diǎn)，P

為對(duì)角線BD上的任意一點(diǎn)，則力P+PQ的最小值為.

D

2

-------------'C

【答案】V3

【分析】連接4C,C。，則。。的長(zhǎng)即為4P+P。的最小值，再根據(jù)菱形ABCD中，/BC6120。得出NABC

的度數(shù),進(jìn)而判斷出A4BC是等邊三角形，故^BCQ是直角三角形,根據(jù)勾股定理即可得出C。的長(zhǎng).

【詳解】解：連接AC,CQ,

「?AC關(guān)于直線8。對(duì)稱，

..CQ的長(zhǎng)即為AP+PQ的最小值，

,.ZfiCD=120°,

.?.NAGC=60°,

「.△A5c是等邊三角形，

???。是A/3的中點(diǎn)，

S.CQA.AB,BQ=^BC=^2=\,

..CQ=y/BC2-BQ2=V22-l2=V3.

故答案為：V3.

【點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題，熟知菱形的性質(zhì)及兩點(diǎn)之間線段最短是解答此題的關(guān)鍵.

【變式3-3]（2020?新疆烏魯木齊校考一模）如圖，在矩形ABCD中，BC=10,乙48D=30°,若點(diǎn)M、N

分別是線段DB.AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),貝!MM+MN的最小值為.

【答案】15

【分析】如圖過A作4G1BD于G延長(zhǎng)AG使AG=EG過E作EN1AB于N，交8D于M廁4M+MN=EN

最短，再利用矩形的性質(zhì)與銳角二角函數(shù)求解EN即可得到答案.

【詳解】解如圖過A作4G18D于G，延長(zhǎng)力G使4G=EG，過E作EN14B于N，交BD于M，則4M+MN=

E/V最短，

四邊形4BCD為矩形，BC=10=30°,

AD=10,BD=20,AB=BD-cos30°=10-\/3,

vAG?BD=AD?AB,

20AG=10x1073,

AG=5y/3,AE=2AG=10百，

???AE1BD,EN1AB,4EMG=乙BMN,

???ZF=乙ABD=30。，

EN=AE-cos30°=1073Xy=15,

AM4-MN=15,

即AM+MN的最小值為15.

故答案為：15.

【點(diǎn)撥】本題考查的是矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，同時(shí)考有利用軸對(duì)稱與垂線段最短求線段和的

最小值問題，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí).

題型04軸對(duì)稱中的光線反射問題

［例412023.河北廊坊.校考一模通過光的反射定律知道入射光線與反射光線關(guān)于法線成軸對(duì)稱:圖I）在

圖2中，光線自點(diǎn)P射入，經(jīng)鏡面EF反射后經(jīng)過的點(diǎn)是（）

QP、B

D

反時(shí)而

A.點(diǎn)4B.點(diǎn)BC.點(diǎn)CD.點(diǎn)。

【答案】B

【分析】根據(jù)直線的性質(zhì)畫出被遮住的部分，再根據(jù)入射角等于反射角作出判斷即可.

【詳解】根據(jù)直線的性質(zhì)補(bǔ)全圖2并作出法線0K,如下圖所示:

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題主要考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，垂線的畫法，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得相等的角是補(bǔ)全光線的關(guān)鍵.

【變式4”】（2022.陜西咸陽.統(tǒng)考三模）如圖，在水平地面AI3上放一個(gè)平面鏡BC,一束垂直于地面的光線

經(jīng)平面鏡反射，若反射光線與地面平行，則平面鏡BC與地面所成的銳角a為（）

C.60°D.75°

【答案】B

【分析】利用平行線的性質(zhì)和光的反射原理計(jì)算.

【詳解】解：?入射光線垂直于水平光線,

它們的夾角為90。，虛線為法線7I為入射角，

1

zl=-x90°=45°

乙

:.Z3=9O°-Z1=45°

???詼水平線平行

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查平行線的性質(zhì)、光的反射原理、入射角等于反射角等知識(shí)，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)

是解題關(guān)鍵.

【變式4?2】（2022.浙江臺(tái)州.統(tǒng)考一模）根據(jù)光學(xué)中平面鏡光線反射原理，入射光線、反射光線與平面鏡所

夾的角相等.如圖，a/是兩面互相平行的平面鏡，一束光線機(jī)通過鏡面a反射后的光線為〃，再通過鏡面

P反射后的光線為k.光線/〃與鏡面a的夾角的度數(shù)為%。，光線?與光線k的夾角的度數(shù)為y。.則x與y之

間的數(shù)量關(guān)系是______.

【答案】2x+y=180

【分析】根據(jù)平面鏡光線反射原理和平行線性質(zhì)即可求得.

【詳解】解：?.入射光線、反射光線與平面鏡所夾的角相等,

..反射后的光線〃與鏡面a夾角度數(shù)為%。，

??a0是兩面互相平行的平面鏡,

「?反射后的光線〃與鏡面打夾角度數(shù)也為%°,

又由入射光線、反射光線與平面鏡所夾的角相等,

???反射后的光線k與鏡面0的夾角度數(shù)也為X。，

X3+x°+y°=180°,

:.2x+y=180.

故答案為：2x+y=180.

【點(diǎn)撥】本題考查了平面鏡光線反射原理和平行線性質(zhì)，掌握反射光線與平面鏡所夾的角相等以及兩直線

平行內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵.

題型05折疊問題

類型一三角形折疊問題

［例5］（2023.新疆統(tǒng)考一模）“做數(shù)學(xué)”可以幫助我們積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).如圖，已知三角形紙片力8C,第

1次折疊使點(diǎn)B落在邊上的點(diǎn)夕處，折痕80交8C于點(diǎn)。；第2次折疊使點(diǎn)/!落在點(diǎn)。處，折痕MN交/夕于

點(diǎn)P.若BC=12,則MP+MN=.

第1次折疊第2次折疊

【答案】6

【分析】根據(jù)第一次折疊的性質(zhì)求得BD=DB'=\BB^AD1BC，由第二次折疊得到4M=DM,MN1AD,

進(jìn)而得到MN||BC,易得MN是△4DC的中位線，最后由三角形的中位線求解.

【詳解】解：,.已知三角形紙片ABC,第1次折疊使點(diǎn)8落在8c邊上的點(diǎn)9處，折痕AD交BC于點(diǎn)。，

：.BD=DB'=^BB',ADIBC.

,.第2次折疊使點(diǎn)A落在點(diǎn)。處，折痕MN交AB，于點(diǎn)P,

：.AM=DM,AN=ND,

：.MN1AD,

：.MN||BC.

■.AM=DM,

「?MN是Zk/lDC的中位線，

：.MP=-DB',MN=-DC.

22

\BC=12,BD+DC=CB'+2BD=BC,

：.MP+MN=-DB,+-DC=Z(DB'+DB'+B'C)=-BC=6.

222、72

故答案為：6.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了折疊的性質(zhì)和三角形中位線的性質(zhì)，理解折疊的性質(zhì)，三角形的中位線性質(zhì)是解

答關(guān)鍵.

【變式5-1](2022.浙江衢州.統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))如圖,三角形紙片A8C中，點(diǎn)，E,一分別在邊AB.AC.

8c上,BF=4,CF=6,將這張紙片沿直線OE翻折，點(diǎn)A與點(diǎn)產(chǎn)重合.若。EllBC,AF="，則四邊形

AOFE的面積為.

【答案】5V3

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到DE為公力BC的中位線,利用中位線定理求出及后的長(zhǎng)度，再解四△力”求出

A尸的長(zhǎng)度，即可求解.

【詳解】解：?「將這張紙片沿直線。石翻折，點(diǎn)4與點(diǎn)廠重合，

二。七垂直平分A/,AD=DF,AE=EF,Z.ADE=Z.EDF,

.DEWBC.

...乙ADE=乙B,乙EDF=乙BFD,乙AFC=90°,

」.乙B=乙BFD,

：.BD=DF,

■-BD=AD,即。為/W的中點(diǎn),

一.OK為A/IBC的中位線，

.".DE=-BC=5,

■:AF=EF,

???△4EF是等邊三角形，

在At△/ICE中,Z.CAF=60°,CF=6,

「?”=癮=2回

,'.AG-V3,

四邊形ADFE的面積為：DEAGx2=5y/3,

故答案為：5V3.

【點(diǎn)撥】本題考查解直角三角形、中位線定理、折疊的性質(zhì)等內(nèi)容，掌握上述基本性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

【變式5-2］（2022.廣東珠海?珠海市文園中學(xué)校考三模）如圖所示,將三角形紙片ABC沿DE折疊，使點(diǎn)B

落在點(diǎn)夕處，若E夕恰好與BC平行，且NB=80。，則/COE=°.

【分析】先求出/8=/夕=80。,ABDE=AB'DE,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/夕。080。，進(jìn)而得到方=100。,

ZBDE=5O°,即可求出NCQE=1300.

【詳解】ft?:由折疊的定義得NB=NB，=80。,NBDE=NB'DE,

：EB'\\BC,

...NB'=NB'Z)C=80。，

"BD8'=180。-/￡。。=100。，

"BDE=NB'DE=50°,

"CDE=18O°-ZBDE=13O°.

故答案為：130

【點(diǎn)撥】本題考查了折疊的定義,平行線的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的定義等知識(shí)，熟知相關(guān)知識(shí)并根捱圖形靈活應(yīng)

用是解題關(guān)鍵.

【變式5?3】（2020.浙江麗水.統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖,在MBC中，48=4&，NB=45°,NC=60°.

（1）求BC邊上的高線長(zhǎng).

（2）點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在邊AC上，連結(jié)EF,沿即將“所折疊得到“所.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)P落在BC上時(shí),求乙4EP的度數(shù).

②如圖3,連結(jié)"，當(dāng)PF_LACE寸，求AP的長(zhǎng).

B

【答案】（1）4;（2）①90°；②2瓜

【分析】（I）如圖1中，過點(diǎn)A作AOJL8c于。.解直角三角形求出AD即可.

（2）①證明BE=EP,可得NFPB=NB=45。解決問題.

②如圖3中，由（1）可知：AC=^=學(xué)，證明"EQMCB，推出喘=與，由此求出AF即可解決問題.

3ABAC

【詳解】解：（1）如圖I,過點(diǎn)A作AO_LBC于點(diǎn)

在RtAABD,AD=AB-sin45°=4V2x—=4.

A

圖1

(2)①如圖2,"AEF2PEF,

.'.AE=EP.

^：AE=BE,

：.BE=EP,

"EPB=/B=45：

.,.ZAEP=90°.

②如圖3,由(1)可知：在&A4。。中，4。=三帝=等.

sinouJ

：PF±AC,

.?.ZPM=9O°.

"AE0PEF,

"AFE=NPFE=45。，則/4在=/及

又:2EAF=iCAB,

.'.^EAF^^CAB,

,AF_AEHnAF_272

.?茄二就，即k亙，

3

：.AF=2V3,

在Rt/kAQ中,AF=PF,貝IJAP=&A/=2連.

【點(diǎn)撥】本題屬于三角形綜合題，考查了解直角三角形的應(yīng)用，翻折變換，全等三角形的性質(zhì)，相似三角

形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考常考題型.

【變式5-4](2023?新疆和田統(tǒng)考一模)如圖，在A48C巾，乙4BC=30。，/B=AC,點(diǎn)。為BC的中點(diǎn),

點(diǎn)。是線段OC上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)O,C重合)，將△沿AD折疊得到AAED，連接.

備用圖

(1)當(dāng)力￡1BC時(shí)，乙AEB=°；

(2)探究乙4E8與“71。之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；

(3)設(shè)/K=4,△/1C0的面積為x,以為邊長(zhǎng)的正方形的面積為》，,求卜關(guān)于x的函數(shù)解析式.

【答案】⑴60

⑵一

(3)y=(2V3-x)2+4

【分析】(1)首先由折疊的性質(zhì)可得力。=AE=AB,再由等腰三角形的性質(zhì)可求解；

(2)首先由折疊的性質(zhì)可得AE=AC,^CAD=^EAD，再由等腰三角形的性質(zhì)可得AC=AE=AB/ABE=

乙4E8,最后根據(jù)角度關(guān)系即可求解；

(3)首先由等腰直角三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求40的長(zhǎng)，由勾股定理可求。D的長(zhǎng)，最后根據(jù)

面積和差關(guān)系可求解.

【詳解】(1)；(ABC=30°,AB=AC,AE1BC,

Z.BAE=60°,

沿力。折疊得至必4ED,

:.AC=AE,

:.AB=AE,

?.△ABE是等邊三角形，

???Z.AEB=60°,

故答案為：60；

(2)/-AEB=30°+/-CAD，理由如下：

?；將沿折疊彳導(dǎo)至必NED,

???AE=AC,Z.CAD=LEAD,

v/.ABC=30°,AB=AC,

Z.BAC=120°,

???/BAE=120°-2皿。，

vAB=AE=AC,

...〃EB=g(*。一2"=30。+心。.

(3)如圖，連接。A,

'-AB=月C,點(diǎn)。是NC?的中點(diǎn)，

???OAIBC,

???/.ABC=Z-ACB=30。，AC=4,

???AO=2,OC=2V3,

???OD2=AD2-AO2,

???OD—Jy-4,

S“DC=OCxAO-ODxOA,

**-x=—x2x2V3——x2x.Jy-4,

???y=(2V3—x)2+4.

A

E

【點(diǎn)撥】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練

掌握相關(guān)性質(zhì)并能夠靈活運(yùn)用.

類型二四邊形折疊問題

［例6］（2019.山東荷澤?統(tǒng)考三模）如圖，將創(chuàng)8CQ沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)￡處，交8。于點(diǎn)心

若NABQ=48。，NC尸。=40。，則/七為（）

A.102°B.112°C.122°D.92°

【答案】B

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，得出匕。8c,由三角形的外角性質(zhì)求出N8D/三

ZDBC=|ZDFC=2O°,再由三角形內(nèi)角和定理求出乙4,即可得到結(jié)果.

【詳解】：AD\\BC.

."ADB:NDBC,

由打疊可得,

：ZDBC=，BDF,

又/QR>40。，

：ZDBC=4BDF=〃\DB=2O"

又"ABD=480,

「.△AB。中,zA=180o-20o-48o=112o,

...N-12。，

雌B.

【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的綜合應(yīng)

用，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，求出心力。屈勺度數(shù)是解決問題的關(guān)鍵.

【變式6-1]（2022.山東棗莊.統(tǒng)考一模）如圖，在四邊形紙片4比。中，AD//BC,AB=10,=60°.將

紙片折疊，使點(diǎn)8落在AD邊上的點(diǎn)G處，折痕為E尸.若乙BFE=45。，則89的長(zhǎng)為（）

A.5B.3\[5C.5V3D.

【答案】C

【分析】過點(diǎn)A作A”上BC于H,由折疊知識(shí)得：乙BFG=90。，再由銳角三角函數(shù)可得A”=56，然后

根據(jù)/W〃8C,可證得四邊形AWP是矩形，即可求解.

【詳解】解：過點(diǎn)A作4，_LBC于”，

由折疊知：BF=GF,WBFE;NGFE,

???/BFE=45°,

zFFG-90°,

在Rt△ABH中，AB=10,=60°,

AH=sinfixAB=sin60°x10=yx10=5>/3,

vAD//BC,

???Z.GAH=Z.AHB=90°,

Z.GAH=AAHB=Z.BFG=90°,

???四邊形是矩形，

FG=AH=5V3,

BF=GF=5V3.

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了折疊變換，解直角三角形,矩形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)

鍵.

【變式6?212022.浙江臺(tái)州.模擬預(yù)測(cè)如圖把一張矩形紙片ABC。按所示方法進(jìn)行兩次折疊得到尸若

BC=\,則尸的周長(zhǎng)為()

DCDECDECE

U--0

ABAMBM

①②③④

A.V2B.”C.等D一

【答案】A

【分析】第一次翻折可得DM=V2,EM=\，/AOM=NEDM=45。，第二次折疊，可得CD=V2=V2-1,

由NOC245。，可得EF=V2-1,則CF=2-V2,再求AEC廠的周長(zhǎng)即可.

【詳解】如圖,

DCDECDECE

口-二-您-不

ABAMBM

①②③④

第一次折疊，如圖②，

vBC=1,

AD=AM=DE=1.

DM=V2,

由打疊的性質(zhì)"DM=Z,EDM=45°,

???EM=1,

第二次折疊，如圖③,CN=BC=1,^DNC=90°,

:.DN=1,

CD=42,

EC=V2-1,

vZ.DCN=45°,

：.EF=41-1,

：.CF=2-42,

???AEC/的周長(zhǎng)=V2-l+V2-l+2-V2=V2,

雌：A,

【點(diǎn)撥】本題考查翻折的性質(zhì)，熟練掌握翻折的性質(zhì),對(duì)應(yīng)兩次翻折求出NEQM=45。是解題的關(guān)鍵.

【變式6-3]（2021?廣東深圳?校聯(lián)考一模）如圖所示，把一個(gè)長(zhǎng)方形紙片沿EF折疊后，點(diǎn)D,C分別落在D1

C'的位置.若乙AED'=50°,則ZEFC等于（）

A.65°B.110°C.115°D.130°

【答案】C

【分析】由折疊的性質(zhì)可得乙=乙DEF=\LDED',因?yàn)椤‥。'=50°,結(jié)合平角可求得二乙。'"=

乙DEF=^DED'=65。，再結(jié)合平行可求得乙“C=180°-LDEF=115°.

【詳解】解：?.?〃￡〃=50。，

Z.DED'=180°-4AED'=1800-50°=130°,

???長(zhǎng)方形紙片沿“折疊后，點(diǎn)DC分別落在認(rèn)C'的位置，

???WEF=乙DEF=三乙DED，=1x130°=65°,

\ADWBC,

：.AEFC=180°-乙DEF=115°.

SWi：c.

【點(diǎn)撥】本題主要考查平行線的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)，掌握同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵.

【變