試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年中考數學總復習備考正多邊形和圓的綜合變式練1．如圖，正六邊形內接于．若的面積為，求的面積．（結果保留π）2．如圖1，有一個亭子，它的地基的平面示意圖如圖2所示，該地基的平面示意圖可以近似的看作是半徑為的圓內接正六邊形，求這個正六邊形地基的周長．3．如圖，已知正方形，以邊為直徑作，點E是邊上一點（不與B，C重合），將正方形沿折疊，使得點C恰好落在上．(1)判斷直線與的位置關系，并說明理由；(2)若正方形的邊長為2，求線段的長．4．如圖，正六邊形內接于．(1)如圖1，若半徑為2，請直接寫出圖中陰影部分面積；(2)如圖2，若點為上一點，連接，，，探究，，之間數量關系，并說明理由．5．如圖，在圓內接正六邊形中，半徑，求這個正六邊形的周長．

6．如圖，正六邊形內接于，與相切于點，求的度數．7．如圖，六邊形是的內接正六邊形，連接．(1)填空：的度數為__________；(2)若正六邊形的邊心距為，求圖中陰影部分的周長．8．如圖，的周長等于，正六邊形內接于．(1)求圓心到的距離．(2)求正六邊形的面積．9．正方形的四個頂點都在上，E是上一動點．(1)若點E不與點A、D重合，請直接寫出的度數；(2)如圖2，若點E在上運動（點E不與點B、C重合），連接，，，試探究線段，，的數量關系并說明理由；(3)如圖3，若點E在上運動，分別取、的中點M、N，連接，，交于點F，四邊形與四邊形關于直線對稱，連接，，當正方形的邊長為2時，求面積的最小值．10．如圖，四邊形內接于，為直徑，過點作于點，連接．

(1)求證：；(2)連接，若，，，求陰影部分的面積．11．如圖正方形內接于，為任意一點，連接、．(1)求的度數．(2)如圖2，過點作交于點，連接，，，，求的長度．12．大圓O和小圓O為同心圓，正六邊形為大圓O的內接正六邊形，連接．連接與交于點K，同時小圓O與相切于點K．(1)求證：是小圓O的切線．(2)若，求陰影部分的面積．（結果用表示）13．已知正六邊形，請僅用無刻度的直尺完成下列作圖（保留作圖痕跡，不寫作法，用虛線表示作圖過程，實線表示作圖結果）．(1)在圖中作出以為對角線的一個菱形；(2)已知六邊形的邊長為2，求菱形的面積．14．如圖，正方形內接于，M為弧中點，連接．(1)求證：；(2)連接，求的度數．15．如圖，正五邊形內接于，是直徑，以點F為圓心，長為半徑作圓弧，與相交于點M，N，連結．(1)若，求弧的長；(2)從點A開始，以長為半徑，在上依次截取點，再依次連結這些分點，得到正n邊形，求n的值．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年中考數學總復習備考正多邊形和圓的綜合變式練》參考答案1．【分析】本題考查了正多邊形的性質，圓的基本性質，圓周角定理，直角三角形的特征，勾股定理等；連接，由正六邊形的性質得及圓周角定理得，由勾股定理得，由等邊三角形的判定及性質得是等邊三角形，可求出圓的半徑，即可求解；掌握正多邊形的性質，圓的基本性質，圓周角定理，能熟練利用勾股定理求解是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，連接，∵六邊形是正六邊形，∴，∴，是的直徑，，∴，在中，，∴，∴，，即的半徑為2，∴的面積為．2．【分析】本題考查了圓內接六邊形的性質，等邊三角形的判定和性質，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．根據題意得到．，得到是等邊三角形，得出，即可得到答案．【詳解】解：六邊形是正六邊形，．，，是等邊三角形，，正六邊形的周長．3．(1)為的切線．理由見解析；(2)線段的長為【分析】（1）先根據正方形的性質得到，再根據折疊的性質得到，所以，于是可判斷，所以，然后根據切線的判定方法可判斷為的切線；（2）先由得到點O、、E共線，設，則，所以,然后利用勾股定理得到，從而可解方程即可．【詳解】（1）解：與相切．理由如下：四邊形為正方形，，正方形沿折疊，使得點恰好落在上，，，在和中，，，，為的半徑，為的切線：（2）由（1）得，，點O、、E共線，設，則，，為的直徑，，，在中，，解得即線段的長為．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系：過半徑的外端且與半徑垂直的直線為圓的切線．也考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質和折疊的性質，熟練掌握運用這些知識點是解題關鍵．4．(1)(2)，理由見解析【分析】（1）連接，過點O作于點H，易證是等邊三角形，得到，易求出，再利用勾股定理求出，再用即可得出結果；（2）在上截取，連接，求得，根據圓周角定理得到，求得，同理，求得，得到，根據全等三角形的性質得到，于是得到．【詳解】（1）解：連接，過點O作于點H，∵正六邊形內接于，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，，∴，∴陰影部分面積為：；（2）解：，理由如下：如圖，在上截取，連接，多邊形是正六邊形，∴，∴∴同理∵，∴是等邊三角形∴，∴∴∵∴∴∴在與中，∴，∴∴．【點睛】本題是圓的綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質，圓周角定理，不規則圖形的面積，正多邊形與圓，全等三角形的判定和性質，正確地作出輔助線是解題的關鍵．5．這個正六邊形的周長為．【分析】本題考查了正多邊形與圓，等邊三角形的判定與性質．連接，如圖，根據正六邊形的性質得到，則為等邊三角形，所以，進而可求出正六邊形的周長．【詳解】解：如圖，連接，．∵六邊形是正六邊形，，是等邊三角形，，∴這個正六邊形的周長為．

6．【分析】本題考查了正多邊形的性質，等邊三角形的判定和性質，切線的性質，由正六邊形的性質可得是等邊三角形，即得，由切線的性質可得，再根據角的和差關系即可求解，正確作出輔助線是解題的關鍵．【詳解】解：連接，∵是正六邊形，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵與相切于點，∴，∴，∴．7．(1)(2)【分析】（1）根據正邊形中心角為，即可求解；（2）過點O作于點P，求得是等邊三角形，利用直角三角形的性質結合勾股定理求得半徑為4，利用弧長公式求解即可．【詳解】（1）解：，故答案為：；（2）解：如圖，過點O作于點P，∵，，∴是等邊三角形，∴，∴．∵，由勾股定理得，即，解得（舍去負值），∴，∴．∵的長為，∴陰影部分的周長為．【點睛】本題考查了正多邊形和圓，直角三角形的性質和勾股定理，以及弧長公式．此題難度不大．8．(1)(2)【分析】（）連接，過點作于點，由圓的周長可得，由正六邊形的性質可得，即得，得到，再利用勾股定理解答即可求解；（）由（）可得是等邊三角形，得到，可得，再根據解答即可求解．【詳解】（1）解：如圖，連接，過點作于點，則，∵的周長等于，∴半徑，∵六邊形是正六邊形，∴，∴，∴，∴，即圓心到的距離為；（2）解：∵，，∴是等邊三角形，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了正多邊形和圓，勾股定理，等邊三角形的判定和性質，直角三角形的性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．9．(1)或；(2)，理由見解析(3)1．【分析】（1）連接，求得，利用圓周角定理結合圓內接四邊形即可求解；（2）在上截取，連接，，推出，，再證明是等腰直角三角形，據此得到；（3）根據對稱的性質求得，，當邊上的高最小時，面積取得最小值，則當點與點A重合，此時點E與點D重合，所以邊上的高就是的長，據此求解即可．【詳解】（1）解：連接，∵正方形，∴，當點E在優弧AD上時，，當點E在劣弧AD上時，，綜上，的度數為或；（2），理由如下，在上截取，連接，∵，，∴，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴；（3）解：∵正方形的邊長為2，點M、N是、的中點，∴，∵四邊形與四邊形關于直線對稱，∴，，∴當邊上的高最小時，面積取得最小值，∴當點與點A重合，此時點E與點D重合，∴邊上的高就是的長，∴面積的最小值為．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，圓周角定理，圓內接四邊形的性質，軸對稱的性質，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理，正確作出輔助線解決問題是解題的關鍵．10．(1)見解析(2)【分析】（1）根據圓內接四邊形的性質，可得，結合，可推出，再根據直徑所對的圓周角為，可推出，得到，最后根據，得到，即可證明；（2）過點作于點，由，可得，推出是等邊三角形，得到，進而得到，，推出，最后根據，即可求解．【詳解】（1）證明：四邊形是的內接四邊形，，又，，為的直徑，，，，，，；（2）如圖，過點作于點，，，，是等邊三角形，，，，，，．

【點睛】本題考查了圓內接四邊形的性質，平行線的性質，圓周角定理，等邊三角形的判定與性質，含的直角三角形的性質，扇形的面積公式，掌握相關知識是解題的關鍵．11．(1)(2)【分析】（1）如圖1中，連接、．根據即可解決問題；（2）如圖2中，連接，，，，作于．首先證明，求出，設，在中，利用勾股定理即可解決問題．【詳解】（1）解：如圖1中，連接、．四邊形是正方形，，；（2）解：如圖2中，連接，，，，作于．∵，，，，，，，，，，，，，，，，設，在中，，，解得或（舍棄），．【點睛】本題考查正多邊形與圓、全等三角形的判定和性質、勾股定理，等腰直角三角形的性質和判定等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．12．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，設交于H，可證明垂直平分，則，再由切線的性質得到，進而可證明，得到，據此可證明結論；（2）證明是等邊三角形，則可求出的長，進而求出的長，求出，則可求出，最后根據即可求出答案．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，設交于H，∵正六邊形為大圓O的內接正六邊形，∴，∴，又∵，∴垂直平分，∴，∵小圓O與相切于點K，∴，又∵，∴，∴，∴點H在小圓O上，又∵，∴是小圓O的切線；（2）解：∵正六邊形為大圓O的內接正六邊形，∴，∴是等邊三角形，∵小圓O與相切于點K，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了正多邊形與圓綜合，等邊三角形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，線段垂直平分線的性質與判定，熟知切線的性質與判定定理是解題的關鍵．13．(1)見解析（答案不唯一），(2)見解析（答案不唯一）【分析】本題考查了作圖-復雜作圖，復雜作圖是結合了幾何圖形的性質和基本作圖的方法，涉及到的知識點有菱形的性質和判定，解題的關鍵在于熟悉菱形的幾何性質和正六邊形的幾何性質，將復雜作圖拆解成基本作圖．（1）利用正六邊形的對稱性找到的垂直平分線，然后根據菱形的性質對角線互相垂直平分，即可作出圖形．（2）根據正六邊形的內角等于度，利用等邊三角形或30度直角三角形、勾股定理求出另一條對角線長，由面積菱形面積公式求解即可．【詳解】（1）解：如圖，菱形即為所求（點，可以對調位置）：（2）解：∵六邊形是正六邊形，∴，，又∵正六邊形是關于所在直線的對稱，∴，∴是等邊三角形，∴①如圖1-1，連接交于點,∵六邊形是正六邊形，∴，，，，∴是等邊三角形，，∴，，∴，∴，∴菱形的面積為，②如圖1-2，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，即，∴，，∴，∴菱形的面積，③如圖1-3，由①可知：，是等邊三角形，同理可求，∴，∴，∴菱形的面積為．14．(1)見解析(2)【分析】本題考查了正多邊形的性質、圓心角、弧、弦的關系定理，掌握正方形的性質、圓心角、弧、弦的關系定理是解題的關鍵．（1）根據正方形的性質得到，根據圓心角、弧、弦的關系得到，得到，即可得到結論；（2）連接，根據正方形的性質求出和，計算即可．【詳解】（1）∵四邊形是正方形，∴，∴．∵M為的中點，∴，∴，∴；（2