漢陽區(qū)2024-2025學(xué)年八上期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共10個小題，每小題3分，共30分）下列各題中有且只有一個正確答案，請在答題卡上將正確答案的標(biāo)號涂黑。1．漢字形美如畫，下面四個漢字中成軸對稱的是（）A． B． C． D．2．如圖，師傅安裝空調(diào)在墻上時，一般都會增加一邊固定，這種應(yīng)用方法的幾何原理是（）A．兩點(diǎn)確定一條直線 B．垂線段最短 C．兩點(diǎn)之間線段最短 D．三角形具有穩(wěn)定性3．如圖，已知△ABC的六個元素，則下面標(biāo)有序號①，②，③的三個三角形中，與△ABC全等的圖形序號是（）A．①和② B．②和③ C．①和③ D．只有②4．若代數(shù)式x?1x在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)xA．x≠1 B．x≠0 C．x＞0 D．x＞15．如果一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，則這個多邊形的邊數(shù)是（）A．8 B．9 C．10 D．116．計算（﹣2xy2）3=→第①步(?2A．冪的乘方法則 B．乘法分配律 C．積的乘方法則 D．同底數(shù)冪的乘法法則7．下列整式乘法中，能用平方差公式簡便計算的是（）A．（2a+b）（a﹣2b） B．（a+2b）（2b﹣a） C．（﹣a+b）（b﹣a） D．（﹣a﹣b）（a+b）8．已知分式x+n2x?m(m，n為常數(shù)）滿足表格中的信息，則x的取值﹣44a6分式的值無意義013bA．﹣m﹣3n B．6 C．4 D．29．在平面直角坐標(biāo)系中，將△ABC按以下規(guī)律進(jìn)行循環(huán)往復(fù)的軸對稱變換：第1次關(guān)于x軸對稱，第2次關(guān)于y軸對稱，第3次關(guān)于x軸對稱，??，依次類推．若點(diǎn)A(3，2)，則將△A．(3，2) B．(3，?10．如圖，邊長為2a（a＞0）的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，AE與BF交于點(diǎn)G，記四邊形CFGE的面積為S，則S的值是（用含a的代數(shù)式表示）（）A．a(chǎn)2 B．15a2 C．4二、填空題（每小題3分，共18分）下列各題不需要寫出解答過程，請直接填寫在答題卡指定的位置。11．分解因式：ax+ay＝．12．化簡：1x?1?113．華為麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工藝制程，將數(shù)0.000000007用科學(xué)記數(shù)法表示為．14．我國古代數(shù)學(xué)的許多創(chuàng)新與發(fā)展都曾居世界前列．其中“楊輝三角”（圖1）就是一例，其規(guī)律是：從第三行起，每行兩端的數(shù)都是“1”，其余各數(shù)都等于該數(shù)“兩肩”上的數(shù)之和．如圖2中虛線標(biāo)記的一列數(shù)：1，3，6，10，15，?，我們把第一個數(shù)記為a1，第二個數(shù)記為a2，第三個數(shù)記為a3，?，第n個數(shù)記為an，則a8﹣2a6﹣10的值是．15．關(guān)于x的二次三項(xiàng)式x2+mx+n（m，n是常實(shí)數(shù)），現(xiàn)有以下結(jié)論：（1）若m+n＝﹣1，則二次三項(xiàng)式x2+mx+n一定含有因式（x﹣1）；（2）若n＝9，且x2+mx+n＝（x+p）2，則m＝6；（3）若x2+mx+n＝（x﹣2）（x+q），則2m+n＝﹣4；（4）若m2﹣4n＜0則無論x取何實(shí)數(shù)，x2+mx+n總是正數(shù)．其中正確結(jié)論的序號有．16．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D，E分別是BC，AC上的動點(diǎn)，且AE＝CD，當(dāng)AD+BE最小時，∠AEB的大小是度．三、解答題（共72分）下列各題需要在答題卡指定的位置寫出文字說明、證明過程、演算步驟或畫出圖形。17．（8分）（1）計算：（2x）3（﹣5xy2）；（2）計算：(y?118．（8分）（1）因式分解：3ax2+6axy+3ay2；（2）先化簡，再求值：x2?1x19．（8分）已知關(guān)于x的分式方程2x+bx?3（1）若這個分式方程的解是x＝2，求b的值；（2）若分式方程的解是非負(fù)數(shù)，直接寫出b的取值范圍．20．（8分）如圖，△ABC中，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠BAC的角平分線交BC于點(diǎn)D，E為AB邊上一點(diǎn)，AE＝AC．（1）求證：DE＝DC；（2）直接寫出△BDE的周長是．21．（8分）如圖是由小正方形組成的6×4網(wǎng)格，每個小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．△ABC的頂點(diǎn)A，B，C均為格點(diǎn)，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖．（1）如圖1，先畫△ABC的中線AD，再畫點(diǎn)E，連BE，使BE⊥AC，垂足為F；（2）如圖2，先畫△GHM，使△GHM與△ABC全等，且點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)M在BC邊上．點(diǎn)P為AC上一動點(diǎn)，再畫點(diǎn)Q，使AQ＝AP．22．（10分）某商場首次購進(jìn)件數(shù)相同的甲、乙兩種商品，甲種商品共用了2000元，乙種商品共用了2400元．已知乙種商品每件進(jìn)價比甲種商品每件進(jìn)價多8元．（1）求該商場購進(jìn)的甲、乙兩種商品進(jìn)價每件各是多少元？（2）該商場將購進(jìn)的甲、乙兩種商品銷售完畢后，準(zhǔn)備再次購入一定數(shù)量的甲、乙兩種商品，由于市場行情波動，再次購入時，甲種商品單價上調(diào)了3m（m＞0）元/件，同時乙種商品單價下調(diào)了2m（m＞0）元/件，①若再次購入與首次購進(jìn)數(shù)量相同的甲、乙兩種商品，且兩種商品共花費(fèi)4500元，求m的值；②若再次購入甲、乙兩種商品共100件（甲，乙件數(shù)不能為0），最后發(fā)現(xiàn)兩種商品的總費(fèi)用與實(shí)際購買甲種商品的件數(shù)無關(guān)，都是定值，請直接寫出總費(fèi)用的值．23．（10分）問題呈現(xiàn)：借助幾何直觀探究數(shù)量關(guān)系，是數(shù)形結(jié)合的常見方法，圖1，圖2是用邊長為a，b的兩個正方形和邊長為a，b的兩個長方形拼成的一個大正方形，圖3是用邊長為a，b的四個長方形拼成的一個大正方形．利用圖形可以推導(dǎo)出a，b的關(guān)系式為：圖1：；圖2：；圖3：．解決問題：（1）直接寫出結(jié)果：①若mn＝4，m2+n2＝5，則（m+n）2＝；②若x+y＝6，x2+y2＝28，則xy＝；（2）若3a+2b＝8，ab＝2，則求a，b．拓展延伸：如圖4，以Rt△ABC的直角邊AB，BC為邊作正方形ABFG和正方形BCDE．若△ABC的面積為6，CF＝1，求正方形ABFG的邊長．24．（12分）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，原點(diǎn)為O，一條直線交x軸負(fù)半軸和y軸正半軸于點(diǎn)A，B，點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)D在線段OB上，線段CD的垂直平分線交OA于點(diǎn)E，∠BAO＝∠CDE＝α（0°＜α＜90°）．（1）若α＝30°，則解決以下問題：①當(dāng)點(diǎn)D與原點(diǎn)O重合，如圖2，求證：AC＝BC；②如圖3，若DC∥OA，連BE，求證：AE＝BE；（2）如圖4，過點(diǎn)D作x軸的平行線，交AB于點(diǎn)F，求證：BF＝2AC．

參考答案與試題解析題號12345678910答案BDBBACBDBC一、選擇題（共10個小題，每小題3分，共30分）下列各題中有且只有一個正確答案，請在答題卡上將正確答案的標(biāo)號涂黑。1．【解答】解：由題知，漢字“最”，“漢”，“陽”無法沿著某條直線翻折，使其完全重合，故ACD選項(xiàng)不符合題意．漢字“美”沿著中心豎直方向的直線翻折，直線兩邊的部分可以完全重合，故B選項(xiàng)符合題意．故選：B．2．【解答】解：安裝空調(diào)在墻上時，一般都會增加一邊固定，這種應(yīng)用方法的幾何原理是三角形具有穩(wěn)定性．故選：D．3．【解答】解：根據(jù)SAS可證第②個三角形和△ABC全等，根據(jù)AAS可證第③個三角形和△ABC全等，故選：B．4．【解答】解：由分式有意義的條件可知：x≠0，故選：B．5．【解答】解：多邊形的外角和是360°，根據(jù)題意得：180°?（n﹣2）＝3×360°解得n＝8．故選：A．6．【解答】解：（﹣2xy2）3＝（﹣2）3x3（y2）3，其運(yùn)算依據(jù)是積的乘方法則，故選：C．7．【解答】解：A．（2a+b）（a﹣2b），只能利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的計算方法進(jìn)行計算，不能利用平方差公式，因此選項(xiàng)A不符合題意；B．（a+2b）（2b﹣a）＝（2b+a）（2b﹣a）＝4b2﹣a2，能利用平方差公式，故選項(xiàng)B符合題意；C．（﹣a+b）（b﹣a）＝（b﹣a）（b﹣a）＝b2﹣2ab+a2，能利用完全平方公式，不能利用平方差公式，因此選項(xiàng)C不符合題意；D．（﹣a﹣b）（a+b）＝﹣（a+b）（a+b）＝﹣a2﹣2ab﹣b2，能利用完全平方公式，不能利用平方差公式，因此選項(xiàng)D不符合題意；故選：B．8．【解答】解：觀察表格可知：當(dāng)x＝﹣4時，分式x+n2x?m∴2×（﹣4）﹣m＝0，﹣8﹣m＝0，解得：m＝﹣8，當(dāng)x＝4時，x+n2x?m∴4+n＝0，∴n＝﹣4，∴分式為x?42x+8∴當(dāng)x＝a時，a?42a+82a+8＝3a﹣12，3a﹣2a＝8+12，a＝20，檢驗(yàn)：當(dāng)a＝20時，2a+8≠0，∴a＝20是原分式方程的解，當(dāng)x＝6時，b=6?4∴ab=20×1故選：D．9．【解答】解：由題知，因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，所以第1次軸對稱變換后所得點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)是（3，?第2次軸對稱變換后所得點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)是（?3第3次軸對稱變換后所得點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)是（?3第4次軸對稱變換后所得點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)是（3，第5次軸對稱變換后所得點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)是（3，?…，由此可見，從第1次軸對稱變換開始，每經(jīng)過四次軸對稱變換，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)循環(huán)出現(xiàn)，又因?yàn)?025÷4＝506余1，所以第2025次軸對稱變換后所得點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)是（3，?故選：B．10．【解答】解：連接EF，如圖所示：∵四邊形ABCD是正方形，邊長為2a，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2a，∠ABC＝∠C＝90°，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，∴BE＝CE＝CF＝a，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE=A在△ABE和△BCF中，AB=BC∠ABC=∠C=90°∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF=5a，∠BAE＝∠∵∠CBF+∠ABG＝∠ABC＝90°，∴∠BAE+∠ABG＝90°，∴∠AGB＝90°，即AE⊥BF，∵S△ABE=12AE?BG=12∴BG=BE?AB∴GF＝BF﹣BG=5在Rt△BGE中，由勾股定理得：EG=B∴S△CEF=12CE?CF=a22，S△GEF=∴S＝S△CEF+S△GEF=a故選：C．二、填空題（每小題3分，共18分）下列各題不需要寫出解答過程，請直接填寫在答題卡指定的位置。11．【解答】解：ax+ay＝a（x+y）．故答案為：a（x+y）．12．【解答】解：1=x+1=x+1?x+1=2=2故答案為：2x13．【解答】解：0.000000007＝7×10﹣9．故答案為：7×10﹣9．14．【解答】解：由題知，a1＝1，a2＝3＝1+2，a3＝6＝1+2+3，a4＝10＝1+2+3+4，…，所以an當(dāng)n＝6時，a6當(dāng)n＝8時，a8所以a8﹣2a6﹣10＝36﹣2×21﹣10＝﹣16．故答案為：﹣16．15．【解答】解：（1）∵m+n＝﹣1，∴n＝﹣m﹣1，∴x2+mx+n＝x2+mx﹣m﹣1＝x2﹣1+mx﹣m＝（x+1）（x﹣1）+m（x﹣1）＝（x﹣1）（x+1+m），∴二次三項(xiàng)式x2+mx+n一定含有因式（x﹣1），∴結(jié)論（1）正確；（2）若n＝9，且x2+mx+n＝（x+p）2，∴x2+mx+n＝x2+6x+9＝（x+3）2，或x2+mx+n＝x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，∴m＝6或m＝﹣6，∴結(jié)論（2）不正確；（3）∵x2+mx+n＝（x﹣2）（x+q）＝x2+（q﹣2）x﹣2q，∴m＝q﹣2，n＝﹣2q，∴2m+n＝2（q﹣2）﹣2q＝2q﹣4﹣2q＝﹣4，即2m+n＝﹣4，∴結(jié)論（3）正確；∵x2+mx+n＝x2+mx+m2＝（x+m2）2+n∵（x+m2）∴當(dāng)n?m即m2﹣4n＜0時，無論x取何實(shí)數(shù)，x2+mx+n總是正數(shù)，∴結(jié)論（4）正確，故答案為：（1）（3）（4）．16．【解答】解：過點(diǎn)C作CF⊥BC，且CF＝AB，連接DF，AF，設(shè)AF交BC于點(diǎn)H，如圖所示：∴∠FCD＝∠BAC＝90°，在△CFD和△ABE中，CF=AB∠FCD=∠BAC=90°∴△CFD≌△ABE（SAS），∴DF＝BE，∠CDF＝∠AEB，∴AD+BE＝AD+DF，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得：AD+DF≤AF，∴當(dāng)點(diǎn)A，D，F(xiàn)在同一條直線上時，AD+DF為最小，即AD+BE為最小，當(dāng)點(diǎn)A，D，F(xiàn)在同一條直線上時，∠CDF＝∠CHF＝∠AEB，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，AB＝AC，∵CF⊥BC，∴∠ACF＝135°，∴CF＝AB＝AC，∴∠CAF＝∠CFA=12（180°﹣∠∴∠CHF＝∠ACB+∠CAF＝45°+22.5°＝67.5°，∴當(dāng)AD+BE為最小時，∠AEB＝∠CHF67.5°．故答案為：67.5．三、解答題（共72分）下列各題需要在答題卡指定的位置寫出文字說明、證明過程、演算步驟或畫出圖形。17．【解答】解：（1）原式＝8x3?（﹣5xy2）＝﹣40x4y2；（2）原式＝y(tǒng)2﹣y+118．【解答】解：（1）3ax2+6axy+3ay2＝3a（x2+2xy+y2）＝3a（x+y）2；（2）x2=(x+1)(x?1)=1?x當(dāng)x=1原式=1?19．【解答】解：（1）將x＝2代入原方程得，2×2+b2?3解得：b＝﹣3．（2）解方程得，x=3?b∵分式方程的解是非負(fù)數(shù)，∴3?b3≥0，且解得：b≤3且b≠﹣6．20．【解答】（1）證明：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD，在△EAD和△CAD中，AE=AC∠EAD=∠CAD∴△EAD≌△CAD（SAS），∴DE＝DC；（2）解：∵AB＝6，AC＝4，BC＝5，∴BE＝AB﹣AC＝2，BD+DC＝BC＝5，∵DE＝DC，∴BD+DC＝BD+DE＝5，∴△BDE的周長為：BE+BD+DE＝2﹣5＝7．故答案為：7．21．【解答】解：（1）取BC中點(diǎn)D，連接AD，取C上方格點(diǎn)E，連接BE交AC于F，如圖1：則線段AD，點(diǎn)E即為所求；理由：由作圖知AD是△ABC的中線，△BCE≌△ATC（SAS），∴∠EBC＝∠CAT，∵∠CAT+∠ACT＝90°，∴∠EBC+∠ACT＝90°，∴∠BFC＝90°，∴BE⊥AC；（2）如圖2，取格點(diǎn)M，G，H得△GHM；AC與GM交于P，取格點(diǎn)N，連接AN，AN的中點(diǎn)是點(diǎn)Q，此時AQ＝AP；則△GHM，點(diǎn)Q即為所求；理由：由畫圖可知：AC＝AN，點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)，Q是AN的中點(diǎn)，∴AP=12AC，AQ=∴AQ＝AP．22．【解答】解：（1）設(shè)甲種商品每件的進(jìn)價是x元，乙種商品每件的進(jìn)價是（x+8）元，根據(jù)題意得：2000x解得：x＝40，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝40是所列方程的解，且符合題意，∴x+8＝40+8＝48（元）．答：甲種商品每件的進(jìn)價是40元，乙種商品每件的進(jìn)價是48元；（2）①根據(jù)題意得：（40+3m）×200040+（48﹣2m解得：m＝2．答：m的值為2；②設(shè)購入n件甲種商品，總費(fèi)用為w元，根據(jù)題意得：w＝（40+3m）n+（48﹣2m）（100﹣n）＝（5m﹣8）n+4800﹣200m，∵w的值與n無關(guān)，∴5m﹣8＝0，解得：m=8∴w＝（5m﹣8）n+4800﹣200m＝（5×85?8）n故答案為：4480．23．【解答】解：問題呈現(xiàn)：圖1中大正方形的邊長為a+b，因此面積為（a+b）2，兩個陰影正方形的面積分別為a2，b2，兩個空白長方形的面積為2ab，所以有（a+b）2＝a2+2ab+b2，故答案為：（a+b）2＝a2+2ab+b2；圖2中大正方形的面積為a2，兩個陰影正方形的面積分別為（a﹣b）2，b2，兩個空白長方形的面積為2b（a﹣b）所以有a2＝（a﹣b）2+b2+2b（a﹣b），即（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故答案為：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，圖3中大正方形的邊長為a+b，因此面積為（a+b）2，中間正方形的邊長為a﹣b，因此面積為（a﹣b）2，4個空白長方形的面積為4ab，所以有（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，故答案為：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；（1）①∵mn＝4，m2+n2＝5，∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝5+8＝13，故答案為：13；②∵x+y＝6，x2+y2＝28，∴（x+y）2＝x2+2xy+y2，即36＝28+2xy，∴xy＝4，故答案為：4；（2）∵3a+2b＝8，即b=8?3a2，又∴a（8﹣3a）＝4，解得a＝2或a=2當(dāng)a＝2時，b＝1，當(dāng)a=23時，即a＝2，b＝1或a=23，拓展延伸：設(shè)正方形ABFG的邊長為a，正方形BCDE的邊長為b，由題意得S△ABC=12ab＝6，即ab＝12，a﹣b＝解得a＝4或a＝﹣3（舍去），即正方形ABFG的邊長為4．24．【解答】證明：（1）①當(dāng)點(diǎn)D與原點(diǎn)O重合時，∠BAO＝∠COE＝α＝30°，∴AC＝OC，∵∠AOB＝90°，∴∠CBO＝90°﹣30°＝60°，∠BOC＝90°﹣30°＝60°，∴∠CBO＝∠BOC