第2講相似三角形6大證明技巧

模塊一相似三角形證明方法

相似三角形的判定方法總結:

1.平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似.

2.三邊成比例的兩個三角形相似.（SSS）

3.兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似.（SAS）

4.兩角分別相等的兩個三角形相似.（AA）

5.斜邊和一條直角邊成比例的兩個直角三角形相似（HL）

相似三角形的模型方法總結：

“反A”型與“反X”型.

示意圖結論

A反A型：

如圖，已知△48C,ZADE=ZC,則

AACB(AA),：.AE-AC=AD-AB.

若連進而能證明△4CDSA48E(SAS)

反X型：

如圖，已知角則

（AA）,：.OAOC=ODOB.若連BC,進而能

證明△NODS/XBOC

“類射影”與射影模型

示意圖結論

A

類射影：

如圖，已知△48C,/ABD=NC,則△48￡1s

△NC8(AA),；.AB2=ADAC.

r

(射影定理

/如圖，已知//C5=90。，CHLAB于H,貝U

AC2=AH-AB,BC2=BH-BA,HC2=HA-HB

AH0

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“旋轉相似”與“一線三等角”

示意圖結論

A旋轉相似：

Ar)

如圖，已知則一=一，

ACAE

/BAC=/DAE,:?/BAD=/CAE,

c:?△BADsACAE(SAS)

E

一線三等角：

如圖，已知N4=NC=/D3￡,則

\

(AA)

ABc

鞏固練習

反A型與反X型

已知AABC中，ZAEF=ZACB,求證：(1)AE-AB=AF-AC(2)ZBEO=ZCFO,Z

EBO=ZFCO(3)ZOEF=ZOBC,ZOFE=ZOCB

類射影

BDAB

如圖，已知求證:

~BC~^C

射影定理

已知△NBC,ZACB=90°,CHLAB于H,求證：AC2=AH-AB,BC2=BH-BA,

HC~=HAHB

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模塊二比例式的證明方法

通過前面的學習，我們知道，比例線段的證明，離不開“平行線模型"（A型，X型，線束型）,

也離不開上述的6種“相似模型”.但是，王老師認為，“模型”只是工具，怎樣選擇工具,

怎樣使用工具，怎樣用好工具，取決于我們如何思考問題.合理的思維方法，能讓模型成為

解題的利刃，讓復雜的問題變簡單。

在本模塊中，我們將學比例式的證明中，會經常用到的思維技巧.

技巧一：三點定型法

技巧二：等線段代換

技巧三：等比代換

技巧四：等積代換

技巧五：證等量先證等比

技巧六：幾何計算

技巧一：三點定型

[例1]如圖，平行四邊形中，E是延長線上的一點，DE交BC于F,求證:

DCCF?

~AE~^4D

【例2】如圖，△ABC中，ZBAC=9Q°,M為8c的中點，DMLBC交CA的延長線于。,

交48于E.求證：AM?=MD-ME

【例3】如圖，在RtZ\4BC中，是斜邊8c上的高，N/3C的平分線BE交NC于￡,

T4TBFAB

交AD于F.求證：—.

BE

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技巧二：等線段代換

悄悄地替換比例式中的某條線段…

【例4】如圖，在△ABC,AD平分NBAC,AD的垂直平分線交AD于E,交BC的延長線于

F,求證：FD2=FBFC

【例5】如圖，四邊形/BCD是平行四邊形，點E在邊8/的延長線上，CE交AD于F,

NECA=ND?求證：ACBE=CE-AD-

【例6】如圖，ZXACB為等腰直角三角形，AB=AC,ZBAC=90°,NDAE=45°,求證:

AB2=BECD

【例7】如圖，△4BC中，AB=AC,4D是中線，尸是工。上一點，過C作C尸〃48,

延長3尸交NC于E,交CF于F.求證：BP2=PE-PF-

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技巧三：等比代換

【例8】如圖，平行四邊形43。中，過2作直線/C、4D于O,E、交CD的延長線

于尸，求證：OB2=OEOF.

【例9】如圖，在△/BC中，已知乙4=90。時，4D，BC于D,E為直角邊/C的中點,

過。、E作直線交N8的延長線于尸.求證：ABAF=AC-DF.

【例10］如圖，在△NBC中(4B>4C)的邊N3上取一點D,在邊NC上取一點E,使

AD=AE,直線DE和8c的延長線交于點P.求證：BPCE=CPBD

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［技巧四：等積代換_________________

【例11］如圖，△/BC中，BD、CE是高，EHLBC于H、交.BD于G、交C4的延長

線于求證：HE2=HG-MH.

【例12］如圖，在中，，O_L8C于。，DE于E,_L/C于尸，連EF,

求證：ZAEF=ZC

【例13］如圖，在△48C中，ZBAC=90°,。為/C中點，AE±BD,￡為垂足，求證:

ZCBD=NECD.

【例14】在RtA48C中，ADLBC,P為/￡>中點，MNLBC,求證MN?=AN-NC

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技巧五：證等量先證等比

【例15］已知，平行四邊形ABCD中，E、尸分別在直線ND、CD上，EF//AC,BE、BF

分別交NC于M、N.,求證：AM=CN.

【例16］已知如圖BDUAC,ABIICE,過/點的直線分別交AD、CE于D、E.求

證：AM=NC,MN//DE.

【例17］如圖，ZX/BC為等腰直角三角形，點P為上任意一點，PFLBC,PELAC,

AF交PE于N,BE交.PF于M.,求證：PM=PN,MN//AB.

A

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【例18]如圖，正方形8FDE內接于△45C,CE與DF交于點、N,AF交ED于點、M,CE

與//交于點P.求證：（1）MN//AC；（2）EM=DN.

【例19]（;※）設￡、廠分別為NC、AB的中點，。為8C上一點，尸在59上，DP//CF,

。在C￡上，DQ//BE,PQ交BE于R,交C尸于S,求證:RS〈PQ

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【例20】（X）如圖，梯形/BCD的底邊N3上任取一點跖