第23講重難點拓展：二次函數綜合之三種面積最值問題

到自唾j超

題型01三角形面積最值問題題型02四邊形面積最值問題

題型03面積和差最值問題

回AKKH里

二次函數中的面積最值問題通常有以下3種解題方法：

1）當所求圖形的面積沒有辦法直接求出時，通常采用分割或補全圖形的方法表示所求圖形的面積，如下:

一般步驟為：①設出要求的點的坐標；

②通過割補將要求的圖形轉化成通過條件可以表示的圖形面積和或差；

③列出關系式求解；

④檢驗是否每個坐標都符合題意.

2）用鉛垂定理巧求斜三角形面積的計算公式：三角形面積等于水平寬和鉛錘高乘積的一半.

3）利用平行線間的距離處處相等，根據同底等高，將所求圖形的面積轉移到另一個圖形中，如圖所示:

第1頁共41頁

CD

圖1

直線“〃直線n

=

S/\ABCSAABD=$△ABE

一般步驟為：①設出直線解析式，兩條平行直線k值相等;

②通過已知點的坐標，求出直線解析式；

③求出題意中要求點的坐標；

④檢驗是否每個坐標都符合題意.

，題型歸納

題型01三角形面積最值問題

【例1】（23-24九年級下?遼寧沈陽?階段練習）“3C中，ZBAC^90°,AB=2,/C=4,點尸從點C

出發，沿射線◎方向運動，速度為每秒1個單位長度，同時點0以相同的速度從點B出發，沿射線以方

向運動.設運動時間為x（xw2且xw4）秒，△4P。的面積為S.

⑴當0＜尤＜2時，如圖①，求S與x的函數關系式;

⑵當2<x<4時,如圖②，求S的最大值;

（3）若在運動過程中，存在兩個時刻4，4，對應的點尸和點。分別記為6，5和2，2，對應的4/片。

和的面積分別記為岳和邑，且當cq=V2時，工=邑，請求出項的值.

【答案］（1）S=5n2—3x+4

第2頁共41頁

⑵5

⑶:

【分析】本題考查了二次函數及一元二次方程在幾何動點中的應用，弄清動點的運動過程是解題的關鍵.

(1)由已知條件得/P=4-x,AQ=X-2,由三角形面積公式得S=即可求解；

(2)由已知條件得AP=4-尤，AQ=2-X,由三角形面積公式得S=(/尸即可求解；

(3)由已知條件得=80]=x,CP2=x2,可求岸由C<=4￡可求%=2再，由三角形面積

公式得S2=^AQ2-AP2,由H=邑得一元二次方程，解方程，即可求解.

【詳解】(1)解：由題意得

AP=AC-PC

=4-x,

AQ=BQ-AB

=x—2j

:.S=^AP-AQ

=|(4-x)(x-2)

12c*

——x—3x+4,

2

故$與》的函數關系式為5=1無2一3尤+4；

2

(2)解：由題意得

AP=AC-PC

=4-x,

AQ=AB-BQ

=2-x,

:.S=^AP-AQ

=；(4r)(2-x)

———x2+3x-4

2

第3頁共41頁

?.當x=3時，S最大=—；

(3)解：如圖，

/.P[P?=x2-x1,

4Qi=2-再，

AQ2=X2—2,

4P2=4—X?,

APX=4—xl,

AP2=4—x2,

CPX=P1P2,

/.x2=2項,

/.48—4—2再，

AQ2-2再-2,

:.SX=^AQX-APX

=g（2-xj（4-xj

S2=^AQ2-AP2

=；（2X「2）（4-2XJ，

???Si，

.1；（2-xJ（4-xJ=；（2X[-2）（4-2xJ,

整理得：-18^+16=0,

第4頁共41頁

o

解得：西=丁%=2（舍去），

故毛的值為

【變式1-1]（2024?寧夏銀川?一模）如圖，二次函數y=-x2+6x的圖象與x軸的正半軸交于點/,經過點

/的直線與該函數圖象交于點8（1,5）,與y軸交于點C.

備用圖

（1）求直線48的函數表達式及點C的坐標；

（2）點尸是二次函數圖象上的一個動點，且在直線月3上方，過點尸作直線尸軸于點E,與直線48交于

點D,設點P的橫坐標為我.

①當尸D=；OC時，求機的值；

②設AP/5的面積為S,求S關于％的函數表達式，并求出S的最大值.

【答案】⑴直線解析式為了=-尤+6,C（0,6）

（2）①加=上巫或加=&!；?5=--L--Y+—,最大值為百

222^2）88

【分析】本題主要考查了二次函數綜合，一次函數與幾何綜合：

（1）先求出點/的坐標，進而利用待定系數法求出直線的解析式，最后求出點C的坐標即可；

（2）①根據題意可得P（加,-/+6加），D（m,-m+6）,貝!|2。=一/+7〃2一6,根據尸。=：。。，得到

_病+7m_6=3,解方程即可得到答案；②根據S=$染仍+S^DA列出S關于m的關系式，再利用二次

函數的性質求出其最大值即可.

【詳解】（1）解：在夕=一工2+6%中，當y=-/+6%=0時，解得工=6或x=0,

???4（6,0）,

設直線AB解析式為y=kx+b,

.J6k+6=0

9[k+b=5，

??.L，

[6=6

/.直線AB解析式為y=-x+6,

第5頁共41頁

在》=-％+6中，當％=0時，y=6f

???C（0,6）；

（2）解:①由題意得，尸（加，-加之+6加）,

???PE_Lx軸，

:.D（m,-m+6）,

PD=-m2+6m-[-m+6）=-m2+7m-6,

VC（0,6）,

：.OC=6,

?：PD=-OC,

2

-m2+7加-6=3,

解得加=an或%=211；

22

②?S^PAB=SWDB+SWDA，

?,S=QPD?（xp—xB）+3PD.3一工尸）

5（2r，

=-\-m+7冽-6

2、

57

m——

22

2

125

最大值為多

O

【變式1-2]（2024?浙江寧波?模擬預測）如圖，一次函數y=令x+道的圖象與坐標軸交于點A、B,拋

第6頁共41頁

物線y=-Ylx2+6x+c的圖象經過A、8兩點.

3

(1)求二次函數的表達式；

(2)若點P為拋物線上一動點，在直線上方是否存在點尸使的面積最大？若存在，請求出AP/B面

積的最大值及點P的坐標，請說明理由.

【答案】(l)j^=-^-x2-—V3x+^3;

33

(2)當加=-：時，APNB面積的最大值為28,點尸的坐標是攣.

2824

【分析】本題主要考查了待定系數法求二次函數解析式以及二次函數的性質，根據數形結合的思想解題時

關鍵.

(1)根據一次函數解析式求出點A、8的坐標，然后運用待定系數求二次函數解析式即可；

-|V3m+V3,貝,列出S關于相的二次函數,

(2)設的面積為S,Pm,--nr

3JI，?

利用二次函數的性質即可得解。

【詳解】⑴解：在y=[x+百中，令x=0得y=G，令y=0得x=-3

^(-3,0),8(0,百),

???二次函數yu-gd+bx+c的圖象過A、B兩點,

'-30-3b+c=0

b=——A/3

解得3

二二次函數的表達式為了=-1/一+G

(2)解：過點尸作尸。，x軸交N3于點。,

第7頁共41頁

<21(Ji

設△尸的面積為S,Pm,--—m2-yV3m+V3,則。m,—m+VJ

(62、、^-m2-s[3m，

APQ=----m一冽+JJ-4■冽+JJ=一

3333

V77

：/(-3,0),8(0,6)，

、

V3m+|

——m2-VJmx|0+3|

32

7i+學

當加=-1■時，△尸48面積的最大值為2叵

一，--V3m+V3=—

28334

???點尸的坐標是岑

I24J

【變式1-3](2024?甘肅隴南?一模)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線>=-》-3與X軸交于點4

與y軸交于點C,過4C兩點的拋物線/二^^+服+^:與工軸交于另一點夕。,。)，拋物線對稱軸為直線/.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點M為直線/C下方拋物線上一點，當AM4c的面積最大時，求點”的坐標；

(3)點尸是拋物線上一點，過點尸作/的垂線，垂足為D,E是/上一點.要使得以尸，D,￡為頂點的三角

形與MOC全等，請直接寫出點尸的坐標.

【答案]⑴…2+縱_3

⑵?

(3)尸點坐標為(-4,5)或(2,5)或(-2,-3)或(0,-3)

第8頁共41頁

【分析】

(1)先求出4c的坐標，進而利用待定系數法求出二次函數解析式即可；

(2)過點M作板垂直于x軸交NC于點尸，設M(x,，+2x-3),尸(無,-x-3),貝！］

MF=(-x—3)—(尤2+lx—3)=—3x,由S4AMe=—MFx|xc—xj即可求解；

(3)拋物線對稱軸為直線x=-l.ZPDE=N8OC,08=1,OC=3.設P(陽/+2x-3),貝。(一1,f+2x-3),

分兩種情況當尸。=OC,時，APDEqACOB,此時|-1-R=3,當PD=0B,DE=OC時，

△EDP義△COB,此時卜=求解即可.

【詳解】(1)解：把尤=0代入>=一工一3得y=-3；

把'=0代入V=-》-3得x=-3.

力(-3,0),C(0,-3).

拋物線y-ax2+bx+c經過A,C,B三點,

9a-3b+c=0

「.<a+b+c=0,

c=-3

a—\

解得卜=2.

c=-3

拋物線的解析式為y=/+2x-3；

(2)過點M作物垂直于x軸交/C于點尸，設W(x,/+2x-3),則尸(龍,-x-3),

貝1JMF=(-x-3)-M+2x-3)=-x2-3x,

x2

S.AMC=—A/Fx|xc-xA\=~(~-3x)x3=++-^~,

315

.,.當x=—；時，S4.c最大，止匕時y=/+2x—3=.

24

.?.當W坐標為一時，取得最大值.

第9頁共41頁

(3)Vy=x2+2x-3=(x+l)2-4,

???拋物線對稱軸為直線尤=-1.

?.?過點P作/的垂線，垂足為。，

NPDE=NBOC=90。,

VC(0,-3),/(-3,0),5(1,0),

.?.08=1,OC=3.

設尸(無,/+2x-3),貝1］。(-1,/+2工一3)

當PD=OC,DE=08時，XPDEW/\COB,

此時卜lr|=3,

解得x=-4或x=2.

???P點坐標為(Y⑸或(2,5),

當PD=OB,DE=OC時，XEDPW/\COB,

此時卜1-x卜1,

解得尤=-2或x=0.

尸點坐標為(-2,-3)或(0,-3),

綜上：(-4,5)或(2,5)或(-2,-3)或(0,-3).

【點睛】本題考查了二次函數求解析式，二次函數的性質，三角形全等的性質，最值問題等，熟練掌握各

知識點，能準確作出輔助線，并結合圖形列出相應關系式是解題的關鍵.

題型02四邊形面積最值問題

【例2】(2024?安徽阜陽?一模)如圖,拋物線1=Q2+法+3與x軸交于/(-1，0),3(3,0)兩點,與V軸交

于點C.

第10頁共41頁

(1)求拋物線的解析式；

(2)在拋物線的對稱軸上找一點尸，使△R4C的周長最小，求的周長的最小值及此時點尸的坐標;

(3)若M為拋物線在第一象限內的一動點，求出四邊形OCW的面積的最大值及此時點M的坐標.

【答案】(1)卜=-，+2工+3；

(2)的周長的最小值為廂+3亞，點P的坐標為。，2)；

63315

(3)S四邊形oc的最大值為—,此時〃

O2'T

【分析】

題目主要考查二次函數的綜合問題，包括待定系數法確定函數解析式，最短周長及最大面積問題，理解題

意，熟練掌握二次函數的應用是解題關鍵.

(1)利用待定系數法求解即可；

(2)連接3c交對稱軸于點P,此時的周長最小，利用勾股定理以及待定系數法求得直線BC的解

析式，據此求解即可；

(3)連接OM,設利+3),根據S四邊形OCMB+列得二次函數的解析式，利用

二次函數的性質求解即可.

a-b+3=0

【詳解】(1)解：由題意得

9。+36+3=0'

a=-l

解得

b=2

二拋物線的解析式為y=-x2+2x+3；

(2)解：VJ=-(X-1)2+4,

...拋物線的對稱軸為直線x=l,

第11頁共41頁

連接8c交對稱軸于點P,此時，PN+PC取得最小值，最小值為尸3的長,

令x=0,貝！Jy=3,

C(0,3),

一1,0),5(3,0),

?>-AC=^+32=V10-5C=A/32+32=372-

二△R4C的周長的最小值為/C+P/+PC=/C+BC=JiU+3j^,

設直線BC的解析式為y=kx+3,

貝!|0=3左+3,

解得左=-1,

?,?直線BC的解析式為y=f+3,

當x=l時，y=—1+3=2,

???點尸的坐標為(1,2)；

(3)解：連接,設M(加,一/+2加+3),

3/2c3

=--m+2m+3+—m

2、72

=--(m2-3m-3

2V

第12頁共41頁

當a=|■時，S四邊形0cMi有最大值，最大值為孚，此時/

28

【變式2-1］(2024?山東臨沂?一模)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線龍+c與x軸交于點

4

4-2,0)和點B,與夕軸交于點C(0,4),點尸是直線8C上方的拋物線上一點(點P不與點3,C重合)，過

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)求線段PD長的最大值；

(3)連接CP,BP,請直接寫出四邊形A8PC的面積最大值為.

1Q

［答案］⑴yu-a'+'X+d

(2)4

(3)36

【分析】此題分別考查了拋物線與x軸的交點、待定系數法求解析式及拋物線上點的坐標特點，二次函數中

套用二次函數，綜合性比較強.

(1)利用待定系數法確定函數的解析式；

(2)設點尸的坐標為則點O的坐標為口，-;x+j,然后利用坐標表示線段PO長即

可求解.

(3)根據當PO取最大值時，四邊形/BPC的面積最大即可求解；

【詳解】(1)解：依題意將點4-2,0)和點C(0,4)代入＞=-！/+樂+，，

4

,0=——x4-26+c

得4,

4=c

2,

c=4

第13頁共41頁

134

..y——x2H—x+4；

42

13

(2)當y=0時，v=——X2+-X+4=0,

-42

..——2,%2=8,

???點5坐標(8,0),

設直線的解析式為歹=履+6,

.jSk+b=0

F=4'

k=--

.,J2,

6=4

故直線BC的解析式為y=-+4,

設點P的坐標為+—x+4^j,

D——x+4^,

/.PD=--x2+—x+4-|x+4|=-—x2+2x=-—(x-4)2+4,

42I2J44

Q--<0,

4

「?當x=4時，線段尸。有最大值，最大值為4.

四邊形ABPC的面積=5丫ABC+SvCPD+S\BPD

=-ABCO+-PDOB

22

=—x10x4+—xPDx8

22

=20+4PD,

故當尸。取最大值時，四邊形48PC的面積最大，

故四邊形/初。的面積的最大值=20+400=20+4x4=36.

第14頁共41頁

【變式2-2］（2024?山東濟南?一模）如圖，直線y=-；x+3交》軸于點A,交x軸于點C,拋物線

（1）求拋物線的解析式；

（2）在直線ZC上方的拋物線上有一點“，求四邊形面積的最大值及此時點W的坐標；

（3）將線段0/繞無軸上的動點尸（外。）順時針旋轉90°得到線段O'A',若線段ON與拋物線只有一個公共點,

請結合函數圖象，求加的取值范圍.

【答案】⑴y=-32+x+3

⑶當-3-2&《機V-2、門或-3+2痛V%V26時，線段。'?與拋物線只有一個公共點

【分析】（1）令x=0,由了=一；工+3=3,得A點坐標，令y=0,由y=-；x+3,得C點坐標，將A、C

的坐標代入拋物線的解析式便可求得拋物線的解析式，進而由二次函數解析式；

（2）連接。M,設+；0+21,求出8（-2,0）,得到S四邊物BCM=+S”。“+'”、時，再根據二

次函數的性質求得最大值，便可得M點的坐標；

（3）根據旋轉性質，求得。'點和H點的坐標，令。'點和H點在拋物線上時，求出機的最大和最小值便可.

【詳解】（1）解：令x=0,得^=-卜+3=3,

令、=0,得y=-gx+3=0,解得，x=6,

：.C（6,0）,

把A、C兩點代入y=-'/+及：+。得，

第15頁共41頁

c=3,(b=i

1，解得《，

—x36+66+3=0c=3

、4i

,?拋物線的解析式為y=+x+3；

4

(2)連接OM,如圖，

設Af卜,—+%+3j,

令V=°,y=-—x2+x+3=0,

4

解得：x=—2f或x=6,

???5(-2,0)；

則S四邊形48cH=S"BO+S"0M+S.OCM

1,11/12八

=—x3x2+—x3x+一義6——x+x+3

222I4)

39-

=—XH—x+122,

42

...當x=-?=3時，四邊形/3CM面積最大，其最大值為:，

此時"的坐標為(3,?)；

(3)?.?將線段04繞x軸上的動點尸(外。)順時針旋轉90。得到線段。'H,如圖,

,/'（加+3,加）,

當H（m+3,加）在拋物線上時，有一:（冽+3『+（加+3）+3=冽，

第16頁共41頁

解得，m--3+2>/6，

當點。(九加)在拋物線上時，有-；優2+%+3=加，

解得，m=+2y/31

.??當-3-2&V加V-273或-3+276V加W26時，線段ON與拋物線只有一個公共點.

【點睛】本題是一個二次函數的綜合題，主要考查了二次函數的圖象與性質，旋轉的性質，待定系數法，

求函數圖象與坐標軸的交點，求函數的最大值，三角形的面積公式，第(3)關鍵是確定。'，H點的坐標與

位置.

【變式2-3](2024?安徽宿州?二模)如圖1,拋物線＞=32+笈-3(0方是常數且。＞0)與》軸交于點/(-1,0)

和點2(點3在點/的右側)，點。是拋物線的頂點，是拋物線的對稱軸且交x軸于點C(LO).

2木了杪

圖1圖2圖3

(1)求0,6的值；

(2)點P是拋物線上一點且位于點A和點D之間.

(i)如圖2,連接4P,DP,BD,求四邊形4BDP面積的最大值；

(zz)如圖3,連接/P并延長交延長線于點。，連接8尸交CD于點E,求CE+CQ的值.

【答案Ml"一

(2)(z)9；(zz)8

【分析】此題考查了二次函數綜合題，還考查了一次函數的圖象和性質、待定系數法求函數解析式，數形

結合是解題的關鍵.

a-b-3=0

(1)根據題意得到b,,解方程組即可得到答案；

------=1

、2a

(2)(i)求出點3的坐標是(3,0),則/8=3-(-1)=4,過點尸作尸軸，交線段于點°,求出點

的。的坐標是(1,-4),得到CD=4,可得5捻⑷=8,求出直線/。的解析式為＞=-2工-2,設點尸的坐

標為則點。的坐標為-2”2),則尸。=一?+1,得到LOLJ+I,得到四邊形尸面

第17頁共41頁

積=—"+9，由-即可得答案；

5）設點尸的坐標為（加，加二2%-3）（-1＜冽＜1）,求出直線2P的解析式為＞=（冽-3）工+加-3,求出

2（l,2m-6）,則C0=|2機一6卜6-2加，求出直線3尸的解析式為歹=（加+1人一3加一3,則點E的坐標是

（1,—2m—2）,求出CE=卜2加—21=2+2切，即可求出定值.

【詳解】（1）解：把點4（-1,0）代入歹=〃/+及一3得到0=。一6-3,①

?:CD是拋物線的對稱軸且交x軸于點C（1,O）.

a-b-3=0

聯立①②得，b,

------=1

、2a

\a=\

解得

(2)(/)由(1)可得，y=x2-2x-3,

當x=0時，y=--2x-3=-3,

當y=0時，X2-2x-3=0，解得再=3,X?=-1,

...點2的坐標是(3,0),

^5=3-(-1)=4,

過點尸作尸0〃＞軸，交線段于點0,

：y=x2_2x_3=(尤_])2—4

.??點的。的坐標是(1,-4),

CD=4

第18頁共41頁

?

??dV△ABD^-AB-CD^-x4x4=8,

22

設直線AD的解析式為y=mx+n,

-m+〃=0

則

加+〃=-4'

m=-2

解得

n=-2

??直線AD的解析式為y=-2x-2,

設點P的坐標為（而-2/3）,則點Q的坐標為&-2-2）,

?.PQ=-2t-2-[t2-2t-3]=-t2+\,

22

■.S^DP=^PQ\xD-xA)=^(-t+l)x2=-t+1,

2

,?四邊形45DP面積=SAADP+SAABD=—t+1+8=-L+9,

??點P是拋物線上一點且位于點/和點。之間.

?.當t=0時,-/+9有最大值，最大值為9；

（z7）設點P的坐標為（九加2一2加一3）（-1＜加＜1）,

設設直線/P的解析式為V=小+s,

rm+s=m2-2m-3

則

-r+5=0

r=m-3

解得

s=加一3'

直線/P的解析式為了=（加-3）x+加-3,

0(1,2m-6)

CQ=\2m-6\—6—2m,

設2P的解析式為y="x+v,

3〃+v=0

則

mu+v=m2—2m—3?

u=m+l

解得

v=-3m-3'

二直線8P的解析式為y=（加+1）X-3m-3,

當x=]時，^=(7n+l)-3/n-3=-2m-2,

.?.點￡的坐標是（1,一2機-2）,

第19頁共41頁

CE=|-2m—2|=2+2m,

CE+CQ=2+2m+6-2m=8

題型03面積差最值問題

【例3】（2024?安徽合肥?一模）如圖1,在平面直角坐標系xQy中，拋物線了=/+樂+。的對稱軸為直線x=2,

且與V軸相交于點C（0,5）.

（1）求拋物線y=/+6x+c的表達式;

（2）如圖2,點48在x軸上（B在A的右側），且CM=*0<f<3）,/3=l,過點A,8分別作x軸的垂線交

拋物線于點連接CD,CE,DE,并延長交CE于點尸.

①求。尸的長（用含，的代數式表示）；

②若ACD尸的面積記作產的面積記作風，記邑-岳=5,則S是否有最大值，若有請求出，若沒有,

請說明理由.

【答案】（1）尸必一以+5

（2）①。尸=/；②S有最大值，最大值為:

O

【分析】本題主要考查了二次函數的圖象和性質，求二次函數的解析式：

（1）利用待定系數法解答，即可求解；

（2）①先求出點。（苧2-泣+5）,點E（f+l,?-2f+2）,再直線CE的解析式，可得點尸（/,〃-3/+5）,即可

求解;②分別過點E,C^ME1.DF,CN±DF，垂足分別為則CN=t,ME=1,可得S=邑一h='一；』，

再根據二次函數的性質，即可求解.

【詳解】（1）解：???拋物線>=/+阮+。的對稱軸為直線x=2,且與了軸相交于點C（0,5）.

,b

-----Z

：.<2,

c=5

第20頁共41頁

b=-4

c=5

??.拋物線的解析式為y=f一+5；

(2)解：?VOA=t(0<t<3),AB=lf

OB=/+1,

.?.點/(t,0),3(f+l,0),

當工=，時，?=/一期+5,

**?點D(t,尸_今+5),

當x=/+l時，y=?+l)2—4?+1)+5=/一2，+2,

*,?點石?+1,*—2,+2),

設直線CE的解析式為y=幻+乙，

.尢(%+1)+6]=%?—2t+2

4:5

k、=t—3

解得:

=5

...直線CE的解析式為y=?-3)X+5,

當x=(時，y=(f—3)1+5=「—3t+5,

?二點尸—3/+5),

DF—_3/+5)—(J_4,+5)=/；

②S有最大值，最大值為:，

O

如圖，分別過點E,C作腔,。尸,CN，。尸，垂足分別為“，N,則CN=f,〃E=l,

??.S=-DFxME=-tS=-DFxCN=-t2,

2222129}2

第21頁共41頁

.??當/=:時，S取得最大值，最大值為:.

【變式3-1](2024?安徽合肥?一模)已知拋物線>(awO)與x軸交于48兩點(點/在

點3的左側)，與y軸交于點C,直線>=ax+b經過點/.

(1)求/、2兩點的坐標；

(2)若直線y=ax+b與拋物線y=aV-2a2x-3/的對稱軸交于點E.

①若點￡為拋物線的頂點，求。的值；

②若點￡在第四象限并且在拋物線的上方，記的面積為H，記ANBE的面積為S2,S=S2-St,求S

與x的函數表達式，并求出S的最大值.

【答案】⑴/(TO),8(3,0)

；?S=-3225

(2)?-1a+的最大值為

~1+n;s1r

【分析】本題考查了二次函數的綜合題，數形結合，靈活運用分類討論的思想是正確解答此類題的關鍵.

⑴令片0,解方程a?1一2a解一3a2=0,即可求解;

(2)①先求得直線解析式為：y=ax+a,頂點坐標為根據直線了=辦+。過點,列式計

算即可求解；

②根據題意畫出示意圖，禾U用三角形面積公式列式得到E=。+3/,S2=-4a,再求得s=-31a+，]+^|,

據此求解即可.

【詳解】(1)解：令”0,則有：

_2Q2%—3a2—0,

即X2-2X-3=0,

再=3,=-],

力(-1,0),8(3,0)；

(2)解：?直線V=+b經過/(一1,0),

—Q+6=0,

1.a=b,

?二直線解析式為：y=ax+a,

拋物線y=a2x2-2ax2一3/配方得y=a2(x-1)2-4a2,

其頂點坐標為(1,-41)；

第22頁共41頁

①當E為頂點時：即7="+。過(1,-4/),

2。——442,

%=-5,2=o(舍去),

設直線歹=辦+〃交歹軸于R交拋物線對稱軸于E點，且點￡在第四象限并且在拋物線的上方，

則尸（0,〃），￡（1,2。），~^<a<0,

又???。（0,—34），

CF=yF-yc=ci+3Q2,

二.S]=5x2x（4+342）=〃+3Q2,

*S*2——x4x（—2〃）-—4。.

S=S?—S[-—44-（a+3/）

——3/_5Q

J5丫25

I6J12

-3<0,

.??當。=—g5,S的最大值為?三5.

612

【變式3-2]（2024?安徽淮北?模擬預測）已知拋物線了=a（x+2）（x-4）（。為常數，且"0）與x軸交于4,B

兩點（點A在點3的右側），與y軸交于點C,經過點B的直線y=+b與拋物線的另一交點為點。，與V

軸的交點為點￡.

第23頁共41頁

(1)如圖1,若點。的橫坐標為3,試求拋物線的函數表達式；

(2)如圖2,若DE=BE,試確定。的值；

(3)如圖3,在(1)的情形下，連接/C,BC,點尸為拋物線在第一象限內的點，連接5P交/C于點。，當

S&APQ-S叢BCQ取最大值時，試求點尸的坐標.

【答案】⑴^=-512+'+4

(3)p點的坐標為m

【分析】⑴令y=0,則a(x+2)(x-4)=o,求出“(4,0),8(—2,0),將8(-2,0)代入一次函數求出6=1,

從而得出點。的坐標，再將。的坐標代入二次函數即可得解；

(2)由(1)得：5(-2,0),j=1x+l,設點。的坐標為("/),由。E=2E得出點。的橫坐標為2,代

入一次函數解析式得出點。的坐標，再將。的坐標代入二次函數即可得解；

(3)由(1)知：y=-^x2+x+4,/(4,0),5(-2,0),得出48=6,求出點C的坐標得出OC=4,根據

S“p0-S—CQ—PQ+ABQABCQ^ABQ)=^ABP~S^BC,得出關系式，根據二次函數的性質即可得出答

案.

【詳解】⑴解：在y=a(x+2)(x-4)中，令"0,則。(x+2)(x-4)=0,

解得：X]=-2,x2=4,

.?./(4,0),5(-2,0),

將8(—2,0)代入y=+b得：1x(-2)+&=0,

解得：6=1,

11

??y—x+1,

2

???點。的橫坐標為3,

第24頁共41頁

???當x=3時，y=—x3+l=—

22

將。［3,￡|代入拋物線解析式得：q（3+2）x（3-4）=|,

解得：〃=-！，

2

y——,（x+2）（x-4）=-+x+4；

（2）解：由（1）得：5（-2,0）,y=1.x+l,

設點。的坐標為（加,力），

:BE=DE,

E為的中點，

在y軸上,

2

..in—2,

——x+1中，當x=2——x2+l—2,

將。（2,2）代入拋物線解析式得：a（2+2）x（2-4）=2,

解得：a=-；;

4

（3）解：由（1）知：?=一；％2+%+4,力（4,0）,5（-2,0）,

AB=4-（-2）=6f

在歹=一；％2+工+4中，當％=0時，y=49

/.C（0,4）,

(9C=4,

"&P(P,-^p2+P+^](O<p<4),

?c_c

…U"PQQ4BCQ

二(S"P0+)—6Ase0+S“BQ

第25頁共41頁

=S4ABp-S&ABC

=-AB-y--ABOC

2尸p2

1乙(12八1乙/

=—x6xl--/?+J7+4I--x6x4

3o2

=--P+3p+n-n

=一|~/+3p

=-|(7?2-2p)

???當P=I時，S公APQ-S4BCQ的值最大，此時尸

【點睛】本題考查了一次函數與二次函數的交點問題、二次函數綜合一面積問題，熟練掌握以上知識點并

靈活運用是解此題的關鍵.

【變式3-3](2024?廣東廣州?一模)綜合應用

如圖，拋物線＞=-/+瓜+。與x軸交于點45(1,0),與V軸交于點C(0,3).

備用圖

(1)求拋物線的解析式；

(2)直線＞=-x與拋物線在第二象限交于點w,若動點N在OM上運動，線段CN繞點N順時針旋轉，點C

首次落在x軸上時記為點。，在點N運動過程中，判斷/。⑦的大小是否發生變化？并說明理由.

(3)在(2)的條件下，連接C。，記△CND的外接圓的最小面積為E，記△CND的外接圓的最大面積為邑，

試求邑的值(結果保留萬).

【答案】⑴y=-x?-2x+3；

(2)NCW大小不變，理由見解析；

9

⑶「

第26頁共41頁

【分析】（1）利用待定系數法即可求解；

（2）NOW大小不變.過點N作軸于F，過點C作CELNF交月V的延長線于點E,設N（〃,-〃），

可得CE=NF,即可證明RtACEN絲RtANFD（HL）,得到NCNE=NNDF,得至！JNCNE+/F/VD=90。，進而

得到NCNE>=90。，即可求證；

（3）連接C。，結合由（2）可得為等腰直角三角形，故得△CND的外接圓是以CD為直徑的圓，

設圓的半徑為廠，則CD=2r,得CN=也1-，根據圓的面積公式可知，CN最小時，圓的面積為S—CN最

大時，圓的面積為邑，由CNLOM時，CN最小，此時，。與。重合，及當點N與點。重合時，CN最大,

分別求出半徑廠，得出

可邑的值即可求解.

【詳解】⑴解：把鞏1,0）、C（0,3）代入得,

J-l+b+c=0

[c=3'

（b=-2

解得2，

[c=3

二拋物線的解析式為y=-x2-2x+3；

（2）解：NCA?大小不變，理由如下：

過點N作NF，x軸于尸，過點、C作CEINF交FN的延長線于點E,

?點N在直線V=f上，

.,.設,

CE=—n,NF=-n,

：.CE=NF,

又由旋轉可得，CN=ND,

在'Rt/XCEN和RIANFD中,

[CE=NF

[CN=ND，

RtACW^RtATVFD(HL),

第27頁共41頁

ACNE=ZNDF,

ZNDF+ZFND=9Q°,

：.ZCNE+ZFND=90°,

：.ZC2VD=180o-90o=90°,

NGVD大小不變，為90。；

(3)解：連接CD,

CN=ND,

ACND為等腰直角三角形，

△CND的外接圓是以CD為直徑的圓,

設圓的半徑為廠，則。=2廠，

?*-CN=5，

,圓的面積S=nr1，

CN最小時，圓的面積為耳，CN最大時，圓的面積為邑,

當CNLOM時，CN最小,此時，。與O重合，

當點N與點。重合時，CN最大,最大CN=CO=3,

._CD_CN_3_3后

2收收2

??S、-S,=-7171=-71.

21244

【點睛】本題考查了二次函數的幾何應用，待定系數法求二次函數的解析式，旋轉的性質，全等三角形的

判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質，解直角三角形，三角形的外接圓，最值問題，正確作出輔助

線是解題的關鍵.

第28頁共41頁

，過關檢測

1.(2024?四川廣元?二模)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線必=-/+6x+c與x軸交于點B,4(-3,0),

與y軸交于點C(0,3).

(1)求直線ZC和拋物線的解析式.

(2)若點M是拋物線對稱軸上的一點，是否存在點M,使得以M,A,C三點為頂點的三角形是以/C為

底的等腰三角形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

(3)若點P是第二象限內拋物線上的一個動點，求△HC面積的最大值.

2

【答案】⑴直線NC的解析式為V=x+3；拋物線的解析式為y=-x-2x+3；

(2)存在，

【分析】本題考查待定系數法求二次函數與一次函數解析式，二次函數動點圍城等腰三角形及最大面積問

題：

(1)將點代入解析式求解即可得到答案；

(2)設存在，設出點的坐標根據等腰列式求解即可得到答案；

(3)設點尸坐標，表示出面積，結合新函數性質求解即可得到答案；

【詳解】(1)解：設直線/C的解析式為：y=kx+t,將點/(一3,0),<7(0,3)代入〉=履+/,弘=-/+6尤+。

得，

J-3左+t=019-36+c=0

1=3，jc=3

直線/C的解析式為片X+3；拋物線的解析式為y=T=2x+3；

(2)解：存在M(-1,1),理由如下，

拋物線y=-x2-2x+3的對稱軸為：&=-=T,

2x(-1)

第29頁共41頁

設點M(T,加)，

?:M,A,。三點為頂點的三角形是以ZC為底的等腰三角形,

：.MA=MC,

???/(—3,0),C(0,3),

J(—1+3>+(加一0)2=J(—1—08+(加—3)2,

解得：m=\,

AM(-1,1)；

(3)解：設尸(凡―川―2〃+3),且—3<〃<0,連接。尸，

,,S4PAe=S△為0+S4Poe-S“oc

111

=—x3x(-7?29-2w+3)+—X3x(-7?)-￡^3x3

3

:—<0,—3<〃<0,

2

327

?,?當〃=-不時，SjAC最大為—.

2o

2.(2024?安徽安慶?一模)如圖，拋物線>=西+區+3與x軸交于點”(1,0)、3(3,0)兩點，與y軸交于點

C.

第30頁共41頁

(1)求此拋物線對應的函數表達式；

(2)點E為直線8C上的任意一點，過點￡作x軸的垂線與此拋物線交于點F.

①若點￡在第一象限，連接CF、BF,求ACFB面積的最大值；

②此拋物線對稱軸與直線3C交于點。，連接。尸，若ADE尸為直角三角形，請直接寫出￡點坐標.

【答案】⑴y=d-4x+3

(2)①g；②E(l,2)或(4,-1)或E(2-61+旬或￡(2+倉1-旬

【分析】本題考查二次函數的綜合應用，正確的求出函數解析式，利用數形結合和分類討論的思想進行求

解是解題的關鍵.

(1)待定系數法求出函數解析式即可；

(2)①先求出8C的解析式，設-機+3),將三角形的面積轉化為二次函數求最值，即可；

②分點。為直角頂點，點E為直角頂點，兩種情況進行討論求解即可.

【詳解】⑴解：把點”(1,0)、8(3,0)代入解析式，得：

fa+6+3=0[a=\

《Q2入2八，解得：\；

[9Q+36+3=0[b=-4

y=d-4x+3；

(2)①:y=d-4x+3,

???當x=0時，y=3,

???C(0,3),

設3C的解析式為＞="+3,把8(3,0)代入，得