軸對稱中的最值模型問題（將軍飲馬等）

重難點題型專訓(xùn)（8大題型+29道拓展培優(yōu)）

?題型目錄

題型一將軍飲馬之線段和最值

題型二將軍飲馬之線段差最值

題型三將軍飲馬之兩定一動最值

題型四三點共線最大值

題型五雙對稱關(guān)系求周長最小值

題型六兩定兩動型最值

題型七兩動一定最值

題型八費馬點最值問題

&知識梳理

將軍飲馬中最短路徑問題四大模型

一兩定點在直線的異側(cè)

問題1作法圖形原理

'A

A

連接與直線的交點兩點之間，線段最短，此

.LAB,1------------E------------/

B

P即為所求。時PA+PB的和最小。

在直線1上找一點P,使得B

PA+PB的和最小。

二兩定點在直線的同側(cè)

問題2：將軍飲馬作法圖形原理

4

.B作B關(guān)于直線1的對稱點A化折為直；

B

----------------------------1

C,連AC,與直線1的交------/兩點之間，線段最短，此

在直線1上找一點P,使得

點P即為所求。C時PA+PB的和AC最小。

PA+PB的和最小。

三兩動點一定點問題

問題3：兩個動點作法圖形原理

1

//A

作P關(guān)于0A的對稱Pi%/

點P1,作P關(guān)于0B兩點之間，線段最短，此

/N\B

的對稱點P2,連接時PC+PD+CD的和最小。

點P在銳角ZAOB的內(nèi)部，在0A

P1P2o

邊上找一點C,在0B0D"

*P

邊上找一點D,，使得2

PC+PD+CD的和最小。

四造橋選址問題

問題4：造橋選址作法圖形原理

A

Mm

將點A鄉(xiāng)向下平移MN的

、Mm兩點之間，線段最短，此

長度得A1，連&B,交n

N時AM+MN+BN的最小值為

B于點N,過N作NM_Lm

N\nA]B+MN。

直線m〃n,在m,n上分別于M。B

求點M、N,使MN_Lm,MN±

n,且AM+MN+BN的和最小。

注意：本專題部分題目涉及勾股定理，各位同學(xué)可以學(xué)習(xí)完第3章后再完成該專題訓(xùn)練.

勾股定理公式：a2+b2=c2

篋經(jīng)典例題

_。【經(jīng)典例題一將軍飲馬之線段和最值】

【例1】如圖，在中，AB=AC,分別以點48為圓心，以適當(dāng)長為半徑畫弧，兩弧分別交于

E、F,畫直線￡尸，。為2C的中點，刊為直線跖上任意一點，若8c=5,A4BC的面積為15,貝U2M+A?

的最小長度為（）

尸不

A.5B.6C.7D.8

區(qū)變式訓(xùn)練

1.如圖，在RtZi/BC中，ZACB=90°,AC=6BC=8,AB=10,AD平分NB4C,若P、0分別是40

和4C上的動點，則尸C+P0的最小值是（）

C

A^---------------------

A.1.2B.2.4C.4.8D.9.6

2.如圖，在中，AB=AC=10,BC=124D=8,仞是2A4C的角平分線，若尸分別是皿

和上的動點，則EC+所的最小值是.

----------X

3.唐朝著名詩人李頑的代表作品《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，其中隱

含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題.如圖1，詩中將士在觀望烽火之后從山腳下的/點出發(fā)，走到河邊飲馬后再到2

點宿營.請問在何處飲馬才能使總路程最短？我們可以用軸對稱的方法解決這個問題.

BBB

A

Cf\\I

B'

圖1圖2圖3

(1)如圖2,作點2關(guān)于直線/的對稱點？，連接/長與直線/交于點C,點C就是所求的位置.

理由：如圖3,在直線/上另取不同于點C的任一點C',連接4C',BC,B'C,

因為點2、3'關(guān)于直線/對稱，點C、。在直線/上,

所以CB=_,CB=_,

所以NC+C8=/C+C8'=_,

在△/CW中，依據(jù)

可得4B'</C'+C時,

所以4C+C3<4C'+CB',

即/C+C3最小.

(2)遷移應(yīng)用：如圖4,ZX/BC是等邊三角形，N是N3的中點，40是2C邊上的中線，40=6,又是4D

上的一個動點，連接攻、MN,則3M+九W的最小值是

圖4

_。【經(jīng)典例題二將軍飲馬之線段差最值】

【例2】如圖，在△4BC中，AB=CB,4=100。.延長線段2c至點。，使CD=BC,過點D作射線

。產(chǎn)〃點￡為射線。尸上的動點，分別過點A,。作直線EC的垂線4%,DN.當(dāng)?shù)闹底畲?/p>

時，//CE的度數(shù)為.

PiA

x變式訓(xùn)練

1.如圖，AB//DP,E為。尸上一動點，23=C5=CZ),過A作/N1EC交直線EC于N,過。作DMJ.EC

交直線EC于點若/3=114。，當(dāng)?shù)闹底畲髸r，則44CE=.

2.如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，每個小正方形的頂點叫格點.已知A/BC

的頂點均在格點上.

(1)畫出格點三角形ABC關(guān)于直線DE對稱的AA'BC；

(2)AH"C的面積是

(3)在直線上找出點P,使0/-尸口最大，并求出最大值為一(保留作圖痕跡)

3.如圖，已知△4BC的三個頂點在格點上.

(1)畫出△4月G，使它與△NBC關(guān)于直線"N對稱;

⑵在直線MN上畫出點。，使ZBDM=ZCDN.

(3)在直線上畫出點尸，使|P4-PC|最大.

_。【經(jīng)典例題三將軍飲馬之兩定一動最值】

【例3】小王準(zhǔn)備在紅旗街道旁建一個送奶站，向居民區(qū)/,3提供牛奶，要使4,2兩小區(qū)到送奶站的距

離之和最小，則送奶站C的位置應(yīng)該在(

居民區(qū)4/

居民區(qū)8

B.

街道

居民區(qū)W

\居民區(qū)3

D.

街道d

區(qū)變式訓(xùn)練

【變式4-1](2023春?黑龍江齊齊哈爾?八年級校考階段練習(xí))如圖，一個牧童在小河的南4km的/處牧馬,

而他正位于他的小屋2的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家.他要完成這件事

情所走的最短路程是多少？

小河

;匕

牧童A

I

I----^東

I

I

n

?8小屋

【變式4-2］（2023春?全國?八年級專題練習(xí)）如圖，正A42C的邊長為2,過點8的直線/14B,且A42C

與人4方。關(guān)于直線/對稱，D為線段8。上一動點，則AD+CD的最小值是.

【變式4-3］（2023?江蘇?八年級假期作業(yè)）如圖，在△4BC中，AB=2C,NR4c=120。/3邊的垂直平分線DE

交力B于點。，若4E=3,

⑴求8c的長；

（2）若點P是直線DE上的動點，直接寫出P4+PC的最小值為

一。【經(jīng)典例題四三點共線最大值】

【例5】如圖，在△ABC中，AB=AC,4c的垂直平分線交力C于點N,交4B于點M,AB=12cm,△BMC

的周長是20cm,若點P在直線MN上，貝加2—PB的最大值為.

A

x變式訓(xùn)練

1.如圖，AC,AD在48的同側(cè)，AC=2,BD=8,=10,〃為48的中點，若NCMD=120°,則CD

2.如圖，ZUBC為等腰直角三角形，44。2=90。也在△N8C的內(nèi)部，ZACM=4NBCM,尸為射線C"

上一點，當(dāng)|尸/-？0最大時，/C3尸的度數(shù)是.

A

3.如圖，方格圖中每個小正方形的邊長為1,點/、B、C、M.N都在格點上.

(1)畫出ZUBC關(guān)于直線跖V對稱的△4瓦。.

⑵若以N點為原點建立平面直角坐標(biāo)系，點B的坐標(biāo)為(0,5),則△4BC關(guān)于x軸對稱△4^G，寫出點4c

的坐標(biāo).

(3)在直線上找點尸使-融|最大，在圖形上畫出點尸的位置，并直接寫出|尸3-尸4|的最大值.

_。【經(jīng)典例題五雙對稱關(guān)系求周長最小值】

【例5】如圖，在五邊形Z5CQE中，ZBAE=120°,ZB=ZE=90°,AB=BC,AE=DE,在BC、DE上

分別找到一點M、N,使得△MW的周長最小，貝！J/4W+/4W的度數(shù)為()

C.120°D.130°

區(qū)變式訓(xùn)練

1.如圖，在四邊形4BCD中，ZJ=NC=9O。，48=32。，在邊AB,BC上分別找一點E,尸使△。斯的周

長最小，此時乙以年=()

A.110°B.112°C.114°D.116°

2.如圖，在△ABC中，4B=/C=10cm,BC=9cm,48的垂直平分線交N3于點交/C于點N,在

直線上存在一點P,使尸、B、C三點構(gòu)成的△尸3c的周長最小，則△P8C的周長最小值為.

3.在草原上有兩條交叉且筆直的公路04、OB,在兩條公路之間的點P處有一個草場，如圖，

ZA0B=30。，O尸=6.5.現(xiàn)在在兩條公路上各有一戶牧民在移動放牧,分別記為M、N,若存在M、N使得APMN

的周長最小，貝心尸周長的最小值是

【經(jīng)典例題六兩定兩動型最值】

【例6】幾何模型：條件：如圖1,4、8是直線/同旁的兩個定點.

問題：在直線/上確定一點P,使P4+PB的值最小.

解法：作點4關(guān)于直線/的對稱點4,連接4B,則4B與直線/的交點即為P,且P4+PB的最小值為線段

4B的長.

(1)根據(jù)上面的描述，在備用圖中畫出解決問題的圖形；

(2)應(yīng)用：①如圖2,已知乙4OB=30。，其內(nèi)部有一點p,0P=12,在乙40B的兩邊分別有C、。兩點(不

同于點。)，使△PCD的周長最小，請畫出草圖，并求出△「(?￡＞周長的最小值；

②如圖3,N4OB=20。，點M、N分別在邊。2、0B上,且。M=0N=2,點P,。分別在。B、0A±,則

MP+PQ+QN的最小值是.

X變式訓(xùn)練

1、如圖，在四邊形/BCD中，乙BAD=￡B=￡D=90°,AD=AB=4,E是ND中點，M是邊8C上的一個動

點，N是邊CD上的一個動點，貝U/M+MV+EN的最小值是

AED

N

BMC

2、如圖，在等邊△ABC中，AC=12,AD是8C邊上的中線，點P是4。上一點，且4P=5.如果點M、N

分別是4B和4。上的動點，那么PM+MN+NB的最小值為

「51經(jīng)典例題七兩動一定最值】

【例7】如圖，在銳角三角形ABC中，AB=6,△力BC的面積為18,BD平分/ABC,若E、尸分別是BD、

BC上的動點，則CE+EF的最小值為.

區(qū)變式訓(xùn)練

1、如圖所示，在等邊△ABC中，點。、E、尸分別在邊BC、AB,4C上，則線段0E+DF的最小值是（)

A

A.BC邊上高的長B.線段EF的長度

C.8c邊的長度D.以上都不對

2、如圖，在△ABC中，乙48c=90。，BC=8,4C=10,點尸、。分別是邊8C、4C上的動點，貝MP+PQ

的最小值等于（）

A.4B.yC.5D.y

3、如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=8,乙4cB=75。，于。，點M、N分別是線段AB、4D上的

動點，則MN+BN的最小值是.

_。1經(jīng)典例題八費馬點最值問題】

【例8】【問題提出】

D

ND

Si圖2

（1）如圖1,四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含3點）上任意一點，將

BM繞點2逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到BN,連接EN、AM,CM.若連接MN,則△BMN的形狀是

(2)如圖2,在RtZXABC中，Z.BAC=90°,AB+AC=10,求BC的最小值.

【問題解決】

（3）如圖3,某高新技術(shù)開發(fā)區(qū)有一個平行四邊形的公園4BCD,4B+BC=6千米，乙4BC=60°,公園內(nèi)

有一個兒童游樂場E,分別從/、B、C向游樂場E修三條4E,BE,CE,求三條路的長度和（即

AE+BE+CE）最小時，平行四邊形公園4BCD的面積.

X變式訓(xùn)練

1.已知點P是aABC內(nèi)一點，且它到三角形的三個頂點距離之和最小，則P點叫aABC的費馬點（Fermat

point）.已經(jīng)證明：在三個內(nèi)角均小于120。的aABC中，當(dāng)NAPB=NAPC=NBPC=120。時，P就是4ABC

的費馬點.若點P是腰長為6的等腰直角三角形DEF的費馬點，貝|PD+PE+PF=()

A.6B.3(V2+V6)C.6gD.9

2.定義：若尸為△42C內(nèi)一點，且滿足N4PB=NAPC=NCP/=120。，則點尸叫做△4BC的費馬點.

圖1圖2圖3

⑴如圖1,若點。是等邊△4BC的費馬點，且。4+O8+OC=18,則這個等邊三角形的高的長度為；

⑵如圖2,已知△45C,分別以25、ZC為邊向外作等邊△4BD與等邊△/(7￡,線段CD、BE交于點、P,

連接45,求證：點尸是△48C的費馬點；

(3)應(yīng)用探究：已知有/、B、C三個村莊的位置如圖3所示，能否在合適的位置建一個污水處理站。，使得

該處理站分別連接這三個村莊的水管長度之和最小？如果能，請你說明該如何確定污水處理站0的位置，

并證明該位置滿足設(shè)計要求.

3.定義：若尸為△ABC內(nèi)一點，且滿足NAP3=NAPC=/C尸/=120。，則點P叫做△ABC的費馬點.

(1)如圖1,若點。是高為3的等邊△4BC的費馬點，則。4+0B+0C-；

(2)如圖2,已知尸是等邊△N5D外一點，且乙4尸3=120。，請?zhí)骄烤€段尸工，PB,尸。之間的數(shù)量關(guān)系，并

加以證明；

(3)如圖3,已知△4BC,分別以48、/C為邊向外作等邊△48。與等邊線段。、BE交于點、P,

連接北，求證：

①點尸是△NBC的費馬點；

②PA+PB+PC=CD.

4.若一個三角形的最大內(nèi)角小于120。，則在其內(nèi)部有一點所對三角形三邊的張角均為120。，此時該點叫做

這個三角形的費馬點.如圖1,當(dāng)AIBC三個內(nèi)角均小于120。時，費馬點尸在八45。內(nèi)部，此時

NAPB=NBPC=NCPA=120°,PA+PB+PC的值最小.

(1)如圖2,等邊三角形4BC內(nèi)有一點P,若點尸到頂點/,B,C的距離分別為3,4,5,求14P8的度

數(shù).為了解決本題，小林利用“轉(zhuǎn)化”思想，將"8P繞頂點4旋轉(zhuǎn)到△ZCP處，連接PP,此時“ACP，="BP,

這樣就可以通過旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段尸/,PB,PC轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出乙(外=.

(2)如圖3,在圖1的基礎(chǔ)上延長AP,在射線8P上取點D,E,連接4B,AD.使4D=4P,

ZDAE=ZPAC,求證：BE^PA+PB+PC.

(3)如圖4,在直角三角形48c中，乙43c=90。，ZACB=30°,AB=\,點P為直角三角形N8C的費馬

點，連接/尸，BP,CP,請直接寫出尸/+P8+尸C的值.

題提優(yōu)訓(xùn)練

1.（2024八年級上?浙江?專題練習(xí)）如圖，ZUBC中，點。在BC邊上，過。作。8c交居于點E,P

為。C上的一個動點，連接尸4PE,若尸2+尸￡最小，則點尸應(yīng)該滿足（）

2.（24-25八年級上?全國?課后作業(yè)）如圖，在四邊形48a）中，BC//AD,CD1AD,P是CD邊上的一動

點，要使融+尸5的值最小，則點尸應(yīng)滿足的條件是（）

A.PA=PBB.PC=PD

C.ZAPS=90°D.ZBPC=Z.APD

3.（23-24八年級下?四川巴中?期末）如圖，在△ABC中，AB=AC,分別以點48為圓心，以適當(dāng)長為半

徑畫弧，兩弧分別交于E、F,畫直線E尸，。為的中點，M為直線EF上任意一點，若3C=5,A4BC的

面積為15,則8M+MO的最小長度為（）

4.（23-24八年級下?河南鄭州?階段練習(xí)）如圖，四邊形48。中，NBAD=120°,ZB=ZD=90°,在BC,

CD上分別找一點M,N,使兒W周長最小，則乙4ACV+Z^W的度數(shù)為（）

AD

A.60°B.120°C.90°D.45°

5.（23-24八年級上?湖南湘西?期末）在某草原上，有兩條交叉且筆直的公路CM、OB,如圖，ZAOB=30°,

在兩條公路之間的點P處有一個草場，OP=4.現(xiàn)在在兩條公路上各有一戶牧民在移動放牧，分別記為

M、N,存在刊、N使得APAW的周長最小.貝州PAW周長的最小值是（）.

6.（22-23八年級下?福建漳州?期中）如圖，在ZUBC中，AB=AC,BC=6,5^c=18,。是2C中點,

跖垂直平分48,交AB于點、E,交4C于點F,在跖上確定一點尸，使尸3+尸。最小，則這個最小值為

（）

7.（23-24八年級上?福建福州?期中）在平面直角坐標(biāo)系xS中，/（0,4）,動點8在x軸上，連接濟，將

線段4繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)60。至/C,連接OC,則線段長度最小為（）

A.0B.1C.2D.3

8.（22-23七年級下?山東濟南?階段練習(xí)）如圖，在五邊形Z5C"中，NB4E=120。，/B=/E=90。，

AB=BC,AE=DE,在5C、上分別找到一點M、N,使得的周長最小，則44〃乂+44%忖的

C.120°D.130°

,：ZBAE=nO0,

：.//+N/=AHAA=60°,

*.*AA=AMAA,//=ANAE,

且ZA+ZMAA=ZAMN,ZA'+ZNAE=ZANM,

9.（21?22八年級上?四川廣元?期末）如圖所示，在四邊形/BCD中，4D=2,ZA=ZD=90°f^B=60°,

BC=2CD,在4。上找一點尸，使PC+必的值最小；則PC+必的最小值為（

B.3C.5D.6

10.（21-22八年級上?廣東廣州?期中）在用A4BC中，zC=90°,乙4=30。，點尸是邊力。上一定點，此時分

Ap

別在邊N8,8C上存在點M,N使得周長最小且為等腰三角形，則此時正的值為（）

13

A.-B.1C.—D.2

22

11.（2024七年級下?全國?專題練習(xí)）如圖，△4BC中，AB=AC,3c=5,&.=15,ADJ.BC于點、D,

即垂直平分交工。于點尸，在EF上確定一點P,使出+尸￡＞最小，則這個最小值為.

12.（23-24七年級下?陜西西安?階段練習(xí)）如圖，在四邊形48CD中，NB=ND=90。，在BC,CD上分別找

一點、M,N,使A/MM周長最小，此時/M4N=80。，則N34D的度數(shù)為.

13.（23-24七年級下?山東濟南?期末）在草原上有兩條交叉且筆直的公路CM、OB,在兩條公路之間的點尸

處有一個草場，如圖，ZAOB=3Q。,OP=6.5.現(xiàn)在在兩條公路上各有一戶牧民在移動放牧，分別記為M、

N,若存在M、N使得APAW的周長最小，貝黑回沖周長的最小值是

14.（22-23七年級下?廣東河源?期末）如圖，在四邊形中，ZA=ZC=90°,ZB=36°,在邊23、BC

上分別找一點￡、F,使SEF周長最小，此時乙如尸=.

A

瓦

15.（22-23八年級上?廣東東莞?期中）如圖，點5（2,3）,點尸是在工軸上，且使P4+必最小,

寫出點尸的坐標(biāo).

苕03日國

…上嚀土。目

嶼@@0^0I=@e>@J

mma』曰曰lfe曰<=>西

16.（22-23八年級上?湖南岳陽?期中）如圖，直線/垂直平分A48c的48邊，在直線/上任取一動點。，連

結(jié)。/、OB、OC.若。/=5,則08=.若/C=9,3c=6,則A3OC的最小周長是.

17.（22-23八年級上?四川綿陽?期中）在平面直角坐標(biāo)系xS中，點/的坐標(biāo)是（0,2）,點3在x軸的負(fù)半

軸上且乙48。=30。，點尸與點。關(guān)于直線4B對稱，在y軸上找到一點/,使尸A/+AW的值最小，則這

個最小值為.

18.（22-23八年級上?海南海口?期中）如圖，在四邊形4BCD中，ZL4=ZC=90°,NB=36。,在邊48,BC

上分別找一點E,F使力EF的周長最小.此時ZEDF的大小是.

19.（22-23八年級上?湖北黃石?期末）如圖，已知403=30。，OC平分工4。3,在。/上有一點

OA/=10V3cm,現(xiàn)要在上分別找點。，N,使。河+QV最小，則其最小值為cm.

20.（21-22八年級上?福建廈門?期末）小河的兩條河岸線a||6,在河岸線。的同側(cè)有/、8兩個村莊，考慮

到施工安全，供水部門計劃在岸線6上尋找一處點0建設(shè)一座水泵站，并鋪設(shè)水管尸。并經(jīng)由尸/、依跨

河向兩村供水，其中。尸1“于點尸.為了節(jié)約經(jīng)費，聰明的建設(shè)者們已將水泵站。點定好了如圖位置（僅為

示意圖），能使三條水管長P0+P2+尸3的和最小.已知尸/=L6km,尸8=3.2km,Pg=0.1km,在N村看

點尸位置是南偏西30°,那么在/村看8村的位置是.

b

Q

21.(22-23八年級上?云南昆明?期末)如圖，△NBC的三個頂點坐標(biāo)分別為/(2,3),5(1,1),C(5,3).

(1)作出△4BC關(guān)于y軸對稱的圖形△4AG.

(2)求耳G的面積；

(3)在x軸上找一點尸，使得PC+P8最小，請直接寫出點P的坐標(biāo).

22.(24-25八年級上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí))如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，已知/(-3,4),5(-1,2),

C（l,3）.

(1)在平面直角坐標(biāo)系中畫出△48C,將△/8C平移得到已知則C'坐標(biāo)是

(2)求出ZUBC的面積；

(3)在x軸上有一點產(chǎn)，使得以+尸3的值最小，保留作圖痕跡.

23.（23-24八年級下?廣東深圳?期末）【綜合實踐活動】

【問題背景】如圖1,A,3表示兩個村莊，要在A,3一側(cè)的河岸邊建造一個抽水站P,使得它到兩個村

莊的距離和最短，抽水站尸應(yīng)該修建在什么位置？

【數(shù)學(xué)建模】小坤發(fā)現(xiàn)這個問題可以用軸對稱知識解決，他先將實際問題抽象成如下數(shù)學(xué)問題:

如圖2,A,8是直線/同側(cè)的兩個點，點尸在直線/上.尸在何處時，取+尸3的值最小.

畫圖：如圖3,作8關(guān)于直線/的對稱點?，連結(jié)N9與直線/交于點P,點P的位置即為所求.

證明：：3和？關(guān)于直線/對稱

直線/垂直平分33'

PB=,

PA+PB=PA+PB'

根據(jù)“，，（填寫序號:①兩點之間，線段最短；②垂線段最短；③兩點確定一列條直線.）可得尸工+尸弘

最小值為（填線段名稱），此時P點是線段43'和直線/的交點.

【問題拓展】如圖4,村莊8的某物流公司在河的對岸有一個倉庫C（河流兩側(cè)河岸平行，即GO〃斯），

為了方便渡河，需要在河上修建一座橋"N（橋的長度固定不變，等于河流的寬度且與河岸方向垂直），請

問橋修建在何處才能使得8到C的路線最短？請你畫出此時橋上W的位置（保留畫圖痕跡，否則不給

圖4

【遷移應(yīng)用】光明區(qū)某濕地公園如圖5所示，四邊形ZEAC為花海景區(qū)，ZCDE=NE=90°,/￡=80米,

。￡=50米，長方形CFG”為人工湖景區(qū)，為了方便市民觀景，公園決定修建一條步行觀光路線（折線

AM-MN-BN）,A為起點，終點3在上，2。=30米，為湖邊觀景臺，長度固定不變（，四=40

米），且需要修建在湖邊所在直線CF上，步行觀光路線的長度會隨著觀景臺位置的變化而變化，請直接寫

出步行觀光路線的最短長度.

24.（2023九年級?四川成都?專題練習(xí)）在"BC中，/C=8C,點E在是48邊上一動點（不與/、3重

合），連接CE,點尸是直線CE上一個動點.

圖3

⑴如圖1,AACB=120°,/8=16,E是初中點,EM=2,N是射線C3上一個動點，若使得NP+MP的

值最小，應(yīng)如何確定M點和點N的位置？請你在圖2中畫出點M和點N的位置，并簡述畫法；直接寫出

2VP+MP的最小值；

⑵如圖3,ZACB=9Q°,連接5P,/BPC=75。且BC=BP.求證：PC=PA.

25.（23-24七年級下?廣東深圳?期末）【背景材料】對稱美是我國古人和諧平衡思想的體現(xiàn)，常被用于建筑、

器物、繪畫、標(biāo)識等作品的設(shè)計上，比