試題PAGE1試題2023-2024學年廣東省深圳市龍崗區平安里學校九年級（下）第一次聯考數學模擬試卷一、選擇題（每小題3分，共30分）1．（3分）3的倒數是（）A．﹣3 B． C．﹣ D．32．（3分）在如圖所示的幾何體中，俯視圖和左視圖相同的是（）A． B． C． D．3．（3分）2022年2月8日，在北京冬奧會自由式女子大跳臺金牌決賽中，中國選手谷愛凌以188.25分奪得金牌．北京冬奧會大數據報告顯示，5650萬這個數字用科學記數法表示為（）A．5.6×107 B．5.65×107 C．5.65×108 D．56.5×1064．（3分）一副三角板如圖所示放置，斜邊平行，則∠1的度數為（）A．5° B．10° C．15° D．20°5．（3分）把二次函數y＝﹣x2﹣2x+3配方化為y＝a（x﹣h）2+k形式是（）A．y＝﹣（x﹣1）2﹣4 B．y＝﹣（x+1）2+4 C．y＝﹣（x﹣1）2+3 D．y＝﹣（x+1）2﹣36．（3分）在中國共產主義青年團成立100周年之際，某校團委招募志愿者到六個社區開展“書香成都”全民閱讀服務活動，報名人數分別為：56，63，60，72，則這組數據的眾數是（）A．56 B．60 C．63 D．727．（3分）若方程（x﹣5）2＝19的兩根為a和b，且a＞b，則下列結論中正確的是（）A．a是19的算術平方根 B．b是19的平方根 C．a﹣5是19的算術平方根 D．b+5是19的平方根8．（3分）下面命題正確的是（）A．矩形對角線互相垂直 B．方程x2＝14x的解為x＝14 C．六邊形內角和為540° D．一條斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等9．（3分）拋物線y＝ax2+bx+c的大致圖象如圖所示，則下列說法中錯誤的是（）A．abc＜0 B．3a+c＜0 C．當x＝t時，y＞0，若x＝t﹣4，則y＜0 D．a（x2﹣1）+b（x﹣1）＞010．（3分）勾股定理是人類最偉大的科學發現之一，在我國古算書《周髀算經》中早有記載．如圖1，以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形，則一定能求出（）A．直角三角形的面積 B．最大正方形的面積 C．較小兩個正方形重疊部分的面積 D．最大正方形與直角三角形的面積和二、填空題（每小題3分，共15分）11．（3分）因式分解：3y2﹣12＝．12．（3分）2022年冬奧會的主題口號是“一起向未來”．從5張上面分別寫著“一”“起”“向”“未”“來”這5個字的卡片（大小形狀完全相同）中隨機抽取一張，則這張卡片上面恰好寫著“來”字的概率是．13．（3分）關于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0的一個根是3，則另一個根是．14．（3分）如圖，點A在x軸的負半軸上，點C在反比例函數，AC交y軸于點B，若點B是AC的中點，則k的值為．15．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝2，點M是線段BC上的動點，連接AM和BN，當點M在運動的過程中．三、解答題（第16題5分，第17題6分，第18-20題每題8分，第21-22題每題10分，共55分）16．（7分）（1）計算：；（2）解方程：x2﹣x﹣6＝0；（3）解方程：2x（x﹣1）＝1﹣x．17．（6分）深圳市某學校數學探究小組利用無人機在操場上開展測量教學樓高度的活動，如圖，此時無人機在離地面30米的點D處，無人機測得點A的俯角為30°，測得教學樓樓頂點C處的俯角為45°，求教學樓BC的高度．（≈1.7）18．（8分）某工廠進行廠長選拔，從中抽出一部分人進行篩選，其中有“優秀”，“合格”，“不合格”．（1）本次抽查總人數為，“合格”人數的百分比為；（2）補全條形統計圖；（3）扇形統計圖中“不合格人數”的度數為；（4）在“優秀”中有甲乙丙三人，現從中抽出兩人，則剛好抽中甲乙兩人的概率為．19．（7分）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點F，G在AB上，OG∥EF．（1）求證：四邊形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的長．20．（8分）我市某中學計劃舉行以“奮斗百年路，啟航新征程”為主題的知識競賽，并對獲獎的同學給予獎勵．現要購買甲、乙兩種獎品，2件甲種獎品和3件乙種獎品共需70元．（1）求甲、乙兩種獎品的單價；（2）根據頒獎計劃，該中學需甲、乙兩種獎品共60件，且甲種獎品的數量不少于乙種獎品數量的21．（9分）已知，在△ABC中，∠BAC＝90°（1）【模型識別】：如圖1，已知點D在BC邊上，∠DAE＝90°，連接CE．求證：BD＝CE；（2）【類比遷移】：如圖2，已知點D在BC下方，∠DAE＝90°，連接CE．若BD⊥AD，，CE＝2，求AF的長；（3）【方法應用】：如圖3，已知點D在AC上方，連接DB和CD，若∠BDC＝90°，BF＝2CD，求△BFC的面積．22．（10分）如圖，已知拋物線：y＝﹣x2+bx+c交x軸于點A和點B，交y軸于點C，且A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，點P是拋物線上第二象限的動點，過點P作BC的平行線交x軸于點D，連接AP和PC，若四邊形APCD的面積為4；（3）如圖2，已知直線EF：交x軸于點F，M是拋物線對稱軸上的一個動點，連接MF，把線段FM沿著點F順時針旋轉α，M的對應點M′恰好落在拋物線上2023-2024學年廣東省深圳市龍崗區平安里學校九年級（下）第一次聯考數學模擬試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每小題3分，共30分）1．（3分）3的倒數是（）A．﹣3 B． C．﹣ D．3【解答】解：∵3×＝1，∴3的倒數是．故選：B．2．（3分）在如圖所示的幾何體中，俯視圖和左視圖相同的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．俯視圖是帶圓心的圓，故本選項不合題意；B．俯視圖是圓，故本選項不合題意；C．俯視圖與左視圖都是正方形；D．俯視圖是三角形，故本選項不合題意．故選：C．3．（3分）2022年2月8日，在北京冬奧會自由式女子大跳臺金牌決賽中，中國選手谷愛凌以188.25分奪得金牌．北京冬奧會大數據報告顯示，5650萬這個數字用科學記數法表示為（）A．5.6×107 B．5.65×107 C．5.65×108 D．56.5×106【解答】解：5650萬＝56500000＝5.85×107．故選：B．4．（3分）一副三角板如圖所示放置，斜邊平行，則∠1的度數為（）A．5° B．10° C．15° D．20°【解答】解：如圖，∠ACB＝45°，∵BC∥EF，∴∠DCB＝∠F＝30°，∴∠1＝45°﹣30°＝15°，故選：C．5．（3分）把二次函數y＝﹣x2﹣2x+3配方化為y＝a（x﹣h）2+k形式是（）A．y＝﹣（x﹣1）2﹣4 B．y＝﹣（x+1）2+4 C．y＝﹣（x﹣1）2+3 D．y＝﹣（x+1）2﹣3【解答】解：y＝﹣x2﹣2x+5＝﹣（x2+2x+5）+3+1＝﹣（x+8）2+4，即y＝﹣（x+4）2+4．故選：B．6．（3分）在中國共產主義青年團成立100周年之際，某校團委招募志愿者到六個社區開展“書香成都”全民閱讀服務活動，報名人數分別為：56，63，60，72，則這組數據的眾數是（）A．56 B．60 C．63 D．72【解答】解：由題意知，這組數據中60出現3次，∴這組數據的眾數是60，故選：B．7．（3分）若方程（x﹣5）2＝19的兩根為a和b，且a＞b，則下列結論中正確的是（）A．a是19的算術平方根 B．b是19的平方根 C．a﹣5是19的算術平方根 D．b+5是19的平方根【解答】解：∵方程（x﹣5）2＝19的兩根為a和b，∴a﹣3和b﹣5是19的兩個平方根，且互為相反數，∵a＞b，∴a﹣5是19的算術平方根，故選：C．8．（3分）下面命題正確的是（）A．矩形對角線互相垂直 B．方程x2＝14x的解為x＝14 C．六邊形內角和為540° D．一條斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等【解答】解：A．矩形對角線互相垂直；B．方程x2＝14x的解為x＝14，不正確；C．六邊形內角和為540°；D．一條斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等；故選：D．9．（3分）拋物線y＝ax2+bx+c的大致圖象如圖所示，則下列說法中錯誤的是（）A．abc＜0 B．3a+c＜0 C．當x＝t時，y＞0，若x＝t﹣4，則y＜0 D．a（x2﹣1）+b（x﹣1）＞0【解答】解：∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝4，∴b＝﹣2a＞0，∵拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸，∴c＞2，∴abc＜0，故選項A不合題意；∵x＝3時，y＜4，∴x＝﹣1時，y＜0，∴a﹣b+c＜3，∴a+2a+c＜0，∴8a+c＜0，故選項B不合題意；∵當x＝t時，y＞0，∴|t﹣4|＜2，∴﹣1＜t＜4，∴﹣5＜t﹣4＜﹣3，∴當x＝t﹣4時，y＜0；∵當x＝7時，y有最大值為a+b+c，∴ax2+bx+c﹣（a+b+c）≤0，∴a（x6﹣1）+b（x﹣1）≤3，故選項符合題意；故選：D．10．（3分）勾股定理是人類最偉大的科學發現之一，在我國古算書《周髀算經》中早有記載．如圖1，以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形，則一定能求出（）A．直角三角形的面積 B．最大正方形的面積 C．較小兩個正方形重疊部分的面積 D．最大正方形與直角三角形的面積和【解答】解：設直角三角形的斜邊長為c，較長直角邊為b，由勾股定理得，c2＝a2+b4，陰影部分的面積＝c2﹣b2﹣a（c﹣b）＝a8﹣ac+ab＝a（a+b﹣c），較小兩個正方形重疊部分的寬＝a﹣（c﹣b），長＝a，則較小兩個正方形重疊部分底面積＝a（a+b﹣c），∴知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出較小兩個正方形重疊部分的面積，故選：C．二、填空題（每小題3分，共15分）11．（3分）因式分解：3y2﹣12＝3（y+2）（y﹣2）．【解答】解：3y2﹣12，＝7（y2﹣4），＝5（y+2）（y﹣2）．12．（3分）2022年冬奧會的主題口號是“一起向未來”．從5張上面分別寫著“一”“起”“向”“未”“來”這5個字的卡片（大小形狀完全相同）中隨機抽取一張，則這張卡片上面恰好寫著“來”字的概率是．【解答】解：∵五個字中有一個“來”字，∴從5張上面分別寫著“一”“起”“向”“未”“來”這5個字的卡片（大小形狀完全相同）中隨機抽取一張，則這張卡片上面恰好寫著“來”字的概率是，故答案為：．13．（3分）關于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0的一個根是3，則另一個根是﹣6．【解答】解：設方程的另一個根是x1，依題意得：x1+5＝﹣3，解得：x1＝﹣2．故答案為：﹣6．14．（3分）如圖，點A在x軸的負半軸上，點C在反比例函數，AC交y軸于點B，若點B是AC的中點，則k的值為6．【解答】解：過點C作CD⊥x軸于點D，如圖，∵CD⊥x軸，BO⊥x軸，∴CD∥BO，∵點B是AC的中點，∴BO為△ACD的中位線，∴AO＝OD，BO＝，∵，∴，∵點C在反比例函數的圖象上，∴，∴k＝6．故答案為：7．15．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝2，點M是線段BC上的動點，連接AM和BN，當點M在運動的過程中2．【解答】解：過點C作CD⊥AC并截取CD＝AB，連接DN，設BD交AC于點E，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝2，∴AC＝2BC＝4，∠ACB＝60°．在△ABM和△DCN中，，∴△ABM≌△DCN（SAS），∴AB＝DC＝2，AM＝DN．∴AM+BN＝DN+BN．∵DN+BN≥BD，∴AM+BN的最小值為BD．過點B作BF∥AC，交DC的延長線于點F，∵DC⊥AC，∴BF⊥DF．∵∠BCF＝180°﹣∠ACB﹣∠ACD＝30°，∴BF＝BC＝5，∴DF＝DC+CF＝3．∴BD＝＝，∴AM+BN的最小值為2．故答案為：4．三、解答題（第16題5分，第17題6分，第18-20題每題8分，第21-22題每題10分，共55分）16．（7分）（1）計算：；（2）解方程：x2﹣x﹣6＝0；（3）解方程：2x（x﹣1）＝1﹣x．【解答】解：（1）＝4﹣3×+﹣1﹣2＝4﹣﹣1﹣1＝3；（2）x2﹣x﹣6＝2，（x﹣3）（x+2）＝3，x﹣3＝0或x+3＝0，解得x1＝3，x2＝﹣2；（3）2x（x﹣1）＝1﹣x，4x（x﹣1）+（x﹣1）＝4，（x﹣1）（2x+5）＝0，x﹣1＝4或2x+1＝7，解得x1＝1，．17．（6分）深圳市某學校數學探究小組利用無人機在操場上開展測量教學樓高度的活動，如圖，此時無人機在離地面30米的點D處，無人機測得點A的俯角為30°，測得教學樓樓頂點C處的俯角為45°，求教學樓BC的高度．（≈1.7）【解答】解：過點D作DE⊥AB于E，過點C作CF⊥DE于F，由題意得AB＝57米，DE＝30米，∠DCF＝45°，在Rt△ADE中，tan∠DAE＝，∴AE＝＝≈51（米），∵AB＝57米，∴BE＝AB﹣AE＝5（米），∵CB⊥BE，FE⊥BE，∴四邊形BCFE為矩形，∴CF＝BE＝6（米），在Rt△DFC中，∠CDF＝45°，∴DF＝CF＝6（米），∴BC＝EF＝DE﹣DF＝24（米）．答：教學樓BC的高度約為24米．18．（8分）某工廠進行廠長選拔，從中抽出一部分人進行篩選，其中有“優秀”，“合格”，“不合格”．（1）本次抽查總人數為50人，“合格”人數的百分比為40%；（2）補全條形統計圖；（3）扇形統計圖中“不合格人數”的度數為115.2°；（4）在“優秀”中有甲乙丙三人，現從中抽出兩人，則剛好抽中甲乙兩人的概率為．【解答】解：（1）本次抽查的總人數為8÷16%＝50（人），“合格”人數的百分比為1﹣（32%+16%+12%）＝40%，故答案為：50人，40%；（2）補全圖形如下：（3）扇形統計圖中“不合格”人數的度數為360°×32%＝115.6°，故答案為：115.2°；（4）列表如下：甲乙丙甲（乙，甲）（丙，甲）乙（甲，乙）（丙，乙）丙（甲，丙）（乙，丙）由表知，共有6種等可能結果，所以剛好抽中甲乙兩人的概率為＝．故答案為：．19．（7分）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點F，G在AB上，OG∥EF．（1）求證：四邊形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的長．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴OB＝OD，∵E是AD的中點，∴OE是△ABD的中位線，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四邊形OEFG是平行四邊形，∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，∴平行四邊形OEFG是矩形；（2）∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，∴∠AOD＝90°，∵E是AD的中點，∴OE＝AE＝AD＝7；由（1）知，四邊形OEFG是矩形，∴FG＝OE＝5，∵AE＝5，EF＝4，∴AF＝＝7，∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝5．20．（8分）我市某中學計劃舉行以“奮斗百年路，啟航新征程”為主題的知識競賽，并對獲獎的同學給予獎勵．現要購買甲、乙兩種獎品，2件甲種獎品和3件乙種獎品共需70元．（1）求甲、乙兩種獎品的單價；（2）根據頒獎計劃，該中學需甲、乙兩種獎品共60件，且甲種獎品的數量不少于乙種獎品數量的【解答】解：（1）設甲種獎品的單價為x元/件，乙種獎品的單價為y元/件，依題意，得：，解得，答：甲種獎品的單價為20元/件，乙種獎品的單價為10元/件．（2）設購買甲種獎品m件，則購買乙種獎品（60﹣m）件，∵甲種獎品的數量不少于乙種獎品數量的，∴m（60﹣m），∴m≥20．依題意，得：w＝20m+10（60﹣m）＝10m+600，∵10＞0，∴w隨m值的增大而增大，∴當學校購買20件甲種獎品、40件乙種獎品時，最少費用是800元．21．（9分）已知，在△ABC中，∠BAC＝90°（1）【模型識別】：如圖1，已知點D在BC邊上，∠DAE＝90°，連接CE．求證：BD＝CE；（2）【類比遷移】：如圖2，已知點D在BC下方，∠DAE＝90°，連接CE．若BD⊥AD，，CE＝2，求AF的長；（3）【方法應用】：如圖3，已知點D在AC上方，連接DB和CD，若∠BDC＝90°，BF＝2CD，求△BFC的面積．【解答】（1）證明：∵∠EAC+∠CAD＝∠EAD＝90°，∠BAD+∠DAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；（2）解：延長BD和EC交于點H，同（1）可知△BAD≌△CAE，∴∠BAD＝∠CAE，CE＝BD＝2，∴∠ABD+∠BAD＝∠ABD+∠CAE＝90°，∴∠ABD+∠BAE+∠E＝90°+90°+90°＝270°，∴∠H＝360°﹣270°＝90°，又∵∠ADH＝90°，∠DAE＝90°，故四邊形ADHE為矩形，而AD＝AE，故四邊形ADHE為正方形，在Rt△ACE中，AE＝＝＝∴DH＝EH＝AD＝6，則BH＝BD+DH＝2+2＝8，CH＝HE﹣CE＝6﹣2＝4，在Rt△BCH中，tan∠CBH＝，在Rt△BDF中，DF＝BDtan∠CBH＝8×，故AF＝AD﹣DF＝8﹣1＝5；（3）解：延長BA，CD交于E，∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，∴∠CAE＝∠BDC＝90°，∵∠AFB＝∠CFD，∴∠ABF＝∠DCF，又∵AB＝AC，∴△ABF≌△ACE（ASA），∴BF＝CE，又∵BF＝8CD，∴CD＝CE，∵BD⊥CE，∴BC＝BE，∴∠CBD＝∠EBD，過點F作FM⊥BC于點M，∵BA⊥AF，∴AF＝FM，設AF＝FM＝x，則CF＝6﹣x，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝45°，∴FM＝CM，∴x＝4﹣x，∴x＝6﹣2，∴FM＝6﹣8，∵AB＝6，∴BC＝AB＝7，∴S△BCF＝BC?FM＝．22．（10分）如圖，已知拋物線：y＝﹣x2+bx+c交x軸于點A和點B，交y軸于點C，且A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，點P是拋物線上第二象限的動點，過點P作BC的平行線交x軸于點D，連接AP和PC，若四邊形APCD的面積為4；（3）如圖2，已知直線EF：交x軸于點F，M是拋物線對稱軸上的一個動點，連接