重難點01利用基本不等式求最值【八大題型】

【新高考專用】

基本不等式是每年高考的必考內(nèi)容，是常考常新的內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，高考題型通常為選

擇題或填空題，但它的應(yīng)用范圍很廣，涉及到函數(shù)、三角函數(shù)、平面向量、立體幾何、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等

內(nèi)容，它在高考中常用于大小判斷、求最值、求最值范圍等.在高考中經(jīng)常考查運用基本不等式求函數(shù)或代

數(shù)式的最值，具有靈活多變、應(yīng)用廣泛、技巧性強等特點.在復(fù)習(xí)中切忌生搬硬套，在應(yīng)用時一定要緊扣

“一正二定三相等”這三個條件靈活運用.

?知識梳理

【知識點1利用基本不等式求最值的解題策略】

1.基本不等式與最值

已知X,y都是正數(shù)，

⑴如果積孫等于定值尸，那么當(dāng)x=y時，和x+y有最小值2/瓦

1

(2)如果和x+y等于定值S,那么當(dāng)x=y時，積9有最大值T2.

溫馨提示：從上面可以看出，利用基本不等式求最值時，必須有：(l)x、y>o,(2)和(積)為定值，(3)存

在取等號的條件.

2.常見的求最值模型

(1)模型一：mx+—>>0,H>0),當(dāng)且僅當(dāng)x=時等號成立；

xVm

(2)模型二：mx-\——--=m(x-a)H——-——Fma>2y/mn+ma(m>0,n>0),當(dāng)且僅當(dāng)工一a=J'■時等號成

x-ax-aNm

立；

(3)模型三：——=―1——(a>0,c>0),當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；

ax+bx+c辦+6+g21cle+bVa

x

/八士音并linn，、mx(n-mx)1mx+n-mx.〃止口e止〃

(4)模型四：x(n-mx)=--------<—?(z----------------)2=—(m>0,H>0,0<x<—),當(dāng)且僅當(dāng)工=—

mm24mm2m

時

等號成立.

3.利用基本不等式求最值的幾種方法

(1)直接法：條件和問題間存在基本不等式的關(guān)系，可直接利用基本不等式來求最值.

(2)配湊法：利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式.

(3)常數(shù)代換法：主要解決形如“已知x+y=t(t為常數(shù))，求7+1的最值”的問題，先將V+夕轉(zhuǎn)化為

xyxy

+

(x1)■-再用基本不等式求最值―

(4)消元法：當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時，通常考慮利用已知條件消去部分變量后，湊出“和

為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值.

(5)構(gòu)造不等式法：構(gòu)建目標(biāo)式的不等式求最值，在既含有和式又含有積式的等式中，對和式或積式利

用基本不等式，構(gòu)造目標(biāo)式的不等式求解.

【知識點2基本不等式的實際應(yīng)用】

1.基本不等式的實際應(yīng)用的解題策略

(1)根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值.

(2)解應(yīng)用題時，一定要注意變量的實際意義及其取值范圍.

(3)在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)的最值時，若等號取不到，則可利用函數(shù)的單調(diào)性求解.

?舉一反三

【題型1直接法求最值】

【例1】(2024?北京東城一模)已知》>0,貝詠-4+：的最小值為()

A.12B.0C.1D.2V2

【解題思路】由基本不等式求得最小值.

【解答過程】???x>0,422，亞—4=0,當(dāng)且僅當(dāng)x=g即x=2時等號成立.

故選:B.

【變式1-1］（2024?甘肅定西?一模）尤2+5+77的最小值為（）

A.2V7B.3V7C.4V7D.5V7

【解題思路】利用基本不等式即可得解.

【解答過程】由題意知XK0,所以％2>0,5>0,

所以/+^+V7>2J%2,Z+V7=3V7.

當(dāng)且僅當(dāng)％2=5，即“2=77時，等號成立.

故選：B.

【變式1-2］（2024?全國?模擬預(yù)測）已知ab為正數(shù)，則胃+一（）

A.有最小值，為2B.有最小值，為2四

C.有最小值，為4D.不一定有最小值

【解題思路】利用基本不等式計算可得.

【解答過程】因為ab為正數(shù)，所以藍(lán)>0,?>0,

所以胃+々225=2魚，當(dāng)且僅當(dāng)胃=匕即6=7^1時取等號，

ba7baba

所以年+3有最小值2近.

故選：B.

【變式1-3］（2024?全國?模擬預(yù)測）（3++）（1+4/）的最小值為（）

A.9V3B.7+4V2C.88D.7+4遍

【解題思路】依題意可得（3+專）（1+4/）=7+3+12x2,再利用基本不等式計算可得.

【解答過程】（3+2）（1+4/）=7+9+12%2>7+2啟12*2=7+4后

當(dāng)且僅當(dāng)專=12/,即久4=W時，等號成立，

故G+5）（1+4*2）的最小值為7+4V3.

故選：D.

【題型2配湊法求最值】

-1

【例2】（2024?全國?模擬預(yù)測）函數(shù)y=/+W（久2>5）的最小值為（）

A.2B.5C.6D.7

【解題思路】由基本不等式即可求解.

【解答過程】由/>5可得/—5〉0,所以曠=/+2=%2-5+士+522］02—5）.（春）+5=7,

當(dāng)且僅當(dāng)5=力，即％=述時等號成立，

故選:D.

4

【變式2-1］（2024?全國?模擬預(yù)測）已知a>0,6>0,則a+2b+直藥的最小值為（）

A.6B.5C.4D.3

【解題思路】根據(jù)基本不等式即可求解.

【解答過程】由于a>0力>0,所以a+2b+l>0,

由0+26+$=（。+2》+1）+占-122］（。+26+1）*工-1=3,

（當(dāng)且僅當(dāng)a+26=1時取等號），可得a+2b+房亮的最小值為3,

故選：D.

【變式2-2］（23-24高三上?海南省直轄縣級單位?階段練習(xí)）設(shè)x>2,則函數(shù)y=4x-1+2，的最小值為

（）

A.7B.8C.14D.15

【解題思路】利用基本不等式求解.

【解答過程】因為％>2,所以x—2>0,

所以y=4x-l+白=4（%-2）+3+722j4（x-2）~+7=15,

當(dāng)且僅當(dāng)4。一2）=展，即x=3時等號成立，

所以函數(shù)y=4%-1+白的最小值為15,

故選:D.

P

【變式2-3］（2024?山西忻州?模擬預(yù)測）已知a>2,貝。2a+三的最小值是（）

A.6B.8C.10D.12

【解題思路】利用基本不等式性質(zhì)求解即可.

【解答過程】因為@>2,所以a-2>0

pp

所以2a+碎=2(a-2)+言+422后+4=12,

當(dāng)且僅當(dāng)2(a—2)=白，即a=4時，等號成立.

所以2a+上的最小值為12.

故選：D.

【題型3常數(shù)代換法求最值】

【例3】(2024?河北?模擬預(yù)測)已知非負(fù)實數(shù)滿足x+y=l,則a+禽的最小值為()

4

A3+2V^口3+2V2C.2D.

■-2-B,3

【解題思路】根據(jù)X+y=1,化簡求得|(x+1+y)=1,得到?+A=G+自)X■+1+y)*

(1+爰+捻)結(jié)合基本不等式，即可求解.

1

【解答過程】因為x+y=1,可得x+y+l=2,BP-(x+1+y)=1,

又因為非負(fù)實數(shù)居y,所以x>0,y+1>0,

則？+*)x*%+i+y)=((1+?+白)

曰?(!+?)=干，

當(dāng)且僅當(dāng)空=木時，即x=2或—2,y=3—2魚時，等號成立，

所以W+卡的最小值為手?

故選：B.

。1

【變式3-1](2024?云南大理?模擬預(yù)測)已知心0,C0且2a+b=l,則總+義的最小值為(

A.4B.6C.8D.10

【解題思路】根據(jù)已知等式，應(yīng)用常值代換法應(yīng)用基本不等式求和的最小值即可.

【解答過程】言+左=(言+&)[(a+l)+(a+b)]

9(a+b)(Q+1)1

9+a+]+T7T+ljx-

2（10+2回匚包1）x8（當(dāng)且僅當(dāng)a=J,6=0時取等號）.

故選:c.

【變式3-2］（2024?江蘇揚州?模擬預(yù)測）已知久>0,y>0,且2%+y=l,則譽的最小值為（）

A.4B.4V2C.6D.2魚+3

【解題思路】利用乘“1”法及基本不等式計算可得.

【解答過程】因為久>0,y>0,且2x+y=l,

所以詈="（=（；+33+m=年+9+322杼|+3=2正+3,

當(dāng)且僅當(dāng)§即％=空，丫=四一1時取等號.

yAz

故選：D.

【變式3-3］（2024?四川成都?模擬預(yù)測）若a力是正實數(shù)，且熹+小=1,貝Ua+b的最小值為（）

JUTOZUT41O

42

A.-B.-C.1D.2

【解題思路】觀察等式分母可知（3a+匕）+（2a+4b）=5（a+b）,利用基本不等式中“1”的妙用可得結(jié)果.

【解答過程】因為a+6=1（5a+5b）=|［（3a+b）+（2a+4切=|［（3a+b）+（2a+4切（熹+五占）

.2a+4b.3a+b\、i2a+4b3a+b\4

=7（2H----------1--------）>72+2n----------------=7，

5\3a+b2a+4by5\yj3a+b2a+4bJ5

當(dāng)且僅當(dāng)a=|,b=（時取等號，

所以a+b的最小值為？

故選：A.

【題型4消元法求最值】

2

【例4】（2024?全國?模擬預(yù)測）已知（0,+8）,且滿足%-2y+3z=0.則￡的最小值為（）

A.12B.6C.9D.3

【解題思路】消元后用基本不等式求得最小值.

【解答過程】因為%,y,zE（0,+8）,且滿足久一2y+3z=0.即y=g（%+3z）,

所以￥=陪=亙翳空=資+3+6）4（2萬3+6）=3,當(dāng)且僅當(dāng)3=3即x=3z時等號成立,

故選：D.

【變式4-1］（2024?北京?模擬預(yù)測）設(shè)正實數(shù)萬、y、z滿足47—3孫+f一z=o,則十的最大值為（）

A.0B.2C.1D.3

1

【解題思路】計算得出?=*尹，利用基本不等式可求得券的最大值.

【解答過程】因為正實數(shù)x、y、z滿足4%2-3xy+y2_z=0,則z=4尤2-3xy+y2,

則?=4x2-3xy+yz=y+^-3工2J至2-3=當(dāng)且僅當(dāng)V-2x>。時取等號.

故段的最大值為1.

故選：C.

【變式4-2](2024?浙江紹興?三模)若x,y,z>0,且d+%y+2xz+2yz=4,則2x+y+2z的最小值是

_4_.

【解題思路】由題意可借助久、y表示出z,從而消去z,再計算化簡后結(jié)合基本不等式計算即可得.

【解答過程】由/+xy+2xz+2yz=4,貝！J2z=上；：；町,

日口c?04-x2-*46xy(2x+y)(x+y)+4-x2-xy

即2x+y+2z=2x+y+不一=---------------

2x2+3xy+y2+4—x2—xyx2+2xy+y2+4(x+y)2+4

x+y%+yx+y

=x+y+^22j(x+y>^=4,

4

當(dāng)且僅當(dāng)％+丫=而，即％+y=2時，等號成立.

故答案為：4.

【變式4-3](2024?四川德陽?模擬預(yù)測)已知正實數(shù)％,y,z滿足%2+%y+yz+xz+x+z=6,則3%+2y+z

的最小值是—4-/3—2.

【解題思路】因式分解得到x+z=G，變形后得到3x+2y+z=2(x+y)+M，利用基本不等式求

出最小值.

【解答過程】因為％y,z為正實數(shù)，

故+xy+yz+%z+%+z=6今(％2+xz)+(xy+yz)+(%+z)=6,

BRx(x4-z)+y(x+z)+(%+z)=6=>(x+y+l)(x+z)=6=>x+z=x-+1^

6

3%+2y+z=2(%+y)+(%+z)=2(%+y)+%+.十】

=2(x+y+1)+7^-2>2^2(%+y+1)-^1^-2=4vA2,

當(dāng)且僅當(dāng)2Q+y+1)=二合，即/+丫=g一1,此時％+z=J^=2遮，

所以3x+2y+z的最小值為4V^—2.

故答案為：4V3-2.

【題型5齊次化求最值】

【例5】（2024?江西新余二模）已知x,y為正實數(shù)，且x+y=2,則的最小值為（）

A.12B.3+2V2C.D6?-3

【解題思路】借助“1”的活用將分式其次化后結(jié)合基本不等式計算即可得.

【解答過程】由X+y=2,則號=汽=（―（瑟y+3（x+y）

_4/+9y2+i3砂_2x9y13\2x9y,13_25

2%y-y十豆十T一（亍?五十5'一5''

當(dāng)且僅當(dāng),=/即乂=3y=^時，等號成立.

故選：C.

【變式5-1］（23-24高一下?重慶沙坪壩?階段練習(xí)）已知正數(shù)居y滿足x+2y=L則蒙的最小值為（）

A.壺B.2V2C.eD,2V2+1

【解題思路】將目標(biāo)式整理為齊次式，再結(jié)合均值不等式即可求得結(jié)果.

【解答過程】黑=立甯羽=立泮=》2+1,因為無>0,y>0,故;>0,§>0,

入_/"Jyxyx

貝（+§+122Jx§+1=2魚+1,當(dāng)且僅當(dāng)；§,%+2y=l,也即汽=魚一1）=1一日取得等號，

故^的最小值為2金+1.

41y

故選：D.

【變式5-2］（23-24高一上?江蘇常州?階段練習(xí)）已知孫=1,且0<y<J,則高短最大值為_辛_.

【解題思路】由xy=l且0<y<J可得y=：（x>2）,可得x-4y>0,再將成念化為（.4：+上后利用基

-rLJ

乙X九-'z'''x—4y

本不等式求解即可.

【解答過程】解：由町=1且ovyvg可得y=§(%>2),代入%-4y=%-：>0,

11

V4y________%_4y_1&_1_返

乂N+16y2-(x-4y)2+8xy—(x-4y)+^-^—2^(x-4y)-^^一百'

Q

當(dāng)且僅當(dāng)x-4y=三不，即x-4y=2VL

又町7=1,可得x=&+&,y=\返時，不等式取等，

即生的最大值為浮

故答案為：年.

O

【變式5-3】（2024?遼寧葫蘆島?二模）已知實數(shù)x>0,y>0,則空瑞筌堡的最大值為上

【解題思路】利用分離常數(shù)法，把分子降為一次式，再可以利用基本不等式結(jié)合條件即得.

O+l)2+(3y+l)2%2+2汽+l+9y2+6y+l_.2(>+3y)

【解答過程】因為-x2+9y2+2--N+9y2+2=1+N+9y2+2'

x+3y

又因為所以可由平方均值不等式得:

x>0,y>0,2

取等號條件是X=3y,即/+9步>任磐，

2Cx+3v）2（x+3y）2_2

所以上式可變?yōu)椋?+商訪7港W1+三江G=1+雪耳吾W1+21耍三==2,

取等號條件是：裳^=即x+3y=2,結(jié)合x=3y,

可得取到最大值的條件是：％=l,y=

故答案為：2.

【題型6多次使用基本不等式求最值】

【例6】（2024?山西運城?二模）若a,b,c均為正實數(shù)，則。黑;工z的最大值為（）

A

-1B.；C.yD.§

【解題思路】對原式變形，兩次利用基本不等式，求解即可.

【解答過程】因為a,6均為正實數(shù)，

ab+bca+c。+。a+c

則a2+2b2+c2=哼^+2b-2^^x2b=2瘋石兩

_工la2+2ac+c2_工卜+ac-<工11ac_工

2J2（a2+c2）2y12a2+c2-2J22Va2xc22，

當(dāng)且僅當(dāng)"=2b,且。=的即a=b=c時取等號，

則淳:黑，的最大值為今

故選：A.

z41

【變式6-1］（2024?河北衡水?模擬預(yù)測）已知實數(shù)％y,z>0,滿足%y+1=2,則當(dāng)］+W取得最小值時，y+z

的值為（）

3

A.1B.-C.2D.|

【解題思路】兩次應(yīng)用基本不等式，根據(jù)兩次不等式等號成立的條件列方程求解即可.

【解答過程】因為實數(shù)x,y,z>0,滿足xy+（=2,

所以xy+(=2>2=2yfyz^yz<1,當(dāng)且僅當(dāng)2=、%2時，yz=l,

所以+陵=2區(qū)221=4,當(dāng)且僅當(dāng)且yz=l時，等號成立;

yz7yz7yzyiyz

所以當(dāng)yz=l且4時1，亍4+$1取得最小值4,

（V=2

此時解得［z=工n5y+z=5，

故選：D.

【變式6-2］（23-24高三下?浙江?開學(xué)考試）已知a、b、c、d均為正實數(shù)，且工+號c2+d2=2,則a+芻

abca

的最小值為（）

A.3B.2V2

C3+魚D3+2?

【解題思路】由題意，根據(jù)基本不等式先求解221,從而將a+2的最小值轉(zhuǎn)化為a+6的最小值，再利用

乘“1”法求解不等式最小值.

【解答過程】因為5+（=°2+唐=2,所以cdW亨=1,即《21,當(dāng)且僅當(dāng)c=d=l時取等號，所以

a+2的最小值為a+b的最小值，所以Ra+b）Q+1）=|（3+^+y）>1（3+2夠^）=三箸，當(dāng)且僅當(dāng)

（1+1=2

%b2a時取等號，所以a+9的最小值為社|返.

——---CCLZ

ab

故選：D.

【變式6-3］（2024?全國?模擬預(yù)測）已知a為非零實數(shù)，b,c均為正實數(shù)，則盍黑的最大值為（）

A.三B.yC乎D.f

【解題思路】對原式變形，兩次利用基本不等式，求解即可.

【解答過程】因為a為非零實數(shù)，。2>0,b,c均為正實數(shù)，

mia2b+a2c"c―,b+c

222

34a4+/+C2=4a+^-^~—2J4a2乂=4y/b+c

b2+2bc+c2

當(dāng)且僅當(dāng)4a2=皆且b=c，即五a2=b=c時取等號,

則宗羽的最大值為率

故選：B.

【題型7實際應(yīng)用中的最值問題】

【例7】（23-24高一上?陜西西安?期中）一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金，一顧客到店購買黃

金100g,售貨員先將50g祛碼放在天平左盤中，取出黃金放在右盤中使天平平衡；再將50g祛碼放在天平右

盤中，再取出黃金放在左盤中使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客.你認(rèn)為顧客購得的黃金（）

A.小于100gB.等于100g

C.大于100gD,與左右臂的長度有關(guān)

【解題思路】利用杠桿原理求得顧客購得的黃金質(zhì)量的表達(dá)式，依據(jù)均值定理即可得到顧客購得的黃金質(zhì)

量的取值范圍，進(jìn)而得到選項.

【解答過程】設(shè)天平左、右兩邊的臂長分別為尤，y,

設(shè)售貨員第一次稱得黃金的質(zhì)量為。克，第二次稱得黃金的質(zhì)量為b克，

則顧客購得的黃金為。+6=半+也22/四x也=100（克），

yx7yx

（當(dāng)且僅當(dāng)x=）/時等號成立），

由題意知，X^y,貝!|a+6>100克.

故選：C.

【變式7-1］（24-25高三上?江蘇無錫?期中）一家貨物公司計劃租地建造倉庫儲存貨物，經(jīng)過市場調(diào)查了解

到下列信息：每月土地占地費打（單位：元）與倉庫到車站的距離x（單位：km）成反比，每月庫存貨物費

及（單位：元）與久成正比；若在距離車站6km處建倉庫，則=4%.要使這家公司的兩項費用之和最小，

則應(yīng)該把倉庫建在距離車站（）

A.2kmB.3kmC.4kmD.5km

【解題思路】設(shè)yi=§丫2=fc2x,（fci>o,fc2>0）,結(jié)合題意求出任=9k2,從而求出兩項費用之和的表達(dá)式，

利用基本不等式，即可求得答案.

【解答過程】由題意設(shè)以=媒及=七品（的>0，?>0），倉庫到車站的距離久>0,

由于在距離車站6km處建倉庫,則y2=4yi，即6七=*,二七=9七，

兩項費用之和為、=月+丫2=^+k2x>2J等.七%=6卜2,

當(dāng)且僅當(dāng)亭=七居即乂=3時等號成立，

即要使這家公司的兩項費用之和最小，則應(yīng)該把倉庫建在距離車站3km.

故選：B.

【變式7-2］（24-25高一上?四川瀘州?期中）如圖，某花圃基地計劃用柵欄圍成兩間背面靠墻的相同的矩形

花室.

（1）若柵欄的總長為120米，求每間花室面積的最大值；

（2）若要求每間花室的面積為150平方米，求所需柵欄總長的最小值.

【解題思路】（1）由題意得面積表達(dá)式結(jié)合表達(dá)式性質(zhì)以及二次函數(shù)性質(zhì)即可得解；

（2）由基本不等式即可得解.

【解答過程】（1）設(shè)每間花室與墻體垂直的圍墻的邊長為a米，與墻體平行的圍墻的邊長為6米.

因為柵欄的總長為120米，所以3a+2bW120,

其中0<a<40,0<b<60,則aW臂2b

每間花室的面積S=abS空展竺.

因為（i20；b）b=_|（z?2_60Zj）=一|（匕-30）2+600<600,

當(dāng)且僅當(dāng)a=20,6=30時，等號成立，

所以每間花室面積的最大值為600平方米.

⑵因為每間花室的面積為150平方米，所以必=15。，則》=詈

柵欄的總長/=3a+26=3a+雪22Isa■—=60,

當(dāng)且僅當(dāng)a=10,b=15時，等號成立,

故柵欄總長的最小值為60米.

【變式7-3］（24-25高一上?陜西咸陽?期中）某校計劃利用其一側(cè)原有墻體，建造高為1米，底面積為100

平方米，且背面靠墻的長方體形狀的露天勞動基地，靠墻那面無需建造費用，因此甲工程隊給出的報價如

下：長方體前面新建墻體的報價為每平方米320元，左、右兩面新建墻體的報價為每平方米160元，地面以

及其他報價共計6400元.設(shè)勞動基地的左、右兩面墻的長度均為“（6WXW12）米，原有墻體足夠長.

（1）當(dāng)左面墻的長度為多少米時，甲工程隊的報價最低？

（2）現(xiàn)有乙工程隊也參與該勞動基地的建造競標(biāo)，其給出的整體報價為32°,1+切（。＞0）元,若無論左面墻的

長度為多少米，乙工程隊都能競標(biāo)成功（約定整體報價更低的工程隊競標(biāo)成功），求a的取值范圍.

【解題思路】（1）設(shè)甲工程隊的總報價為y元，根據(jù)題意可得出y關(guān)于久的函數(shù)關(guān)系式，利用基本不等式可

求出y的最小值，利用等號成立的條件求出工的值，即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)題意可得出320G+弓）+6400＞隨爐，可知，a＜個用對任意的x6［6,12］恒成立，利用基

本不等式求出空詈0e［6,12］）的最小值，即可得出實數(shù)a的取值范圍.

【解答過程】（1）解：設(shè)甲工程隊的總報價為y元，依題意，左、右兩面墻的長度均為%（6WxW12）米，

則長方體前面新建墻體的長度為當(dāng)米，

所以y=160x2xx1+320x哼x1+6400,

即y=320（%+手）+6400＞320x2+6400=12800,

當(dāng)且僅當(dāng)％=產(chǎn)時，即工=10時，等號成立.

故當(dāng)左面墻的長度為10米時，甲工程隊的報價最低，且最低報價為12800元.

（2）解：由題意可知，320（x+產(chǎn)）+6400＞幽產(chǎn)，

即（久+手）+20＞吆箸對任意的xe［6,12開亙成立，

所以把竺”＞出之，可得&＜絲用，即&＜［魚±叫.

xx久+1L%4-1」min

劍拌=尤+1+?+1822/（x+1）.—+18=36,

元+1X+19）X+1

當(dāng)且僅當(dāng)x+l=法時，即尤=8時，嚀乎取最小值36,

則0＜a＜36,即a的取值范圍是（0,36）.

【題型8與其他知識交匯的最值問題】

—?—?

【例8】（23-24高三上?山西運城?階段練習(xí)）在△4BC中，己知?AC=9,6=c?cosA,△ABC的面積

Tr'A「R-J-|

為6,若P為線段4B上的點（點P不與點4點B重合），且CP=K?嵩+y?盲，貝哈+赤的最小值為（）

391

A.9B.-C.—D.-

442

【解題思路】先根據(jù)題意得bccos/=9,bcsinA=12,進(jìn)而得tan/二三sinA=cosA=be=15,

b=|c,進(jìn)而得c=5/=3,a=4,故CP=9,C4+*?CB,再根據(jù)P為線段48上的點得方+?=1,最后結(jié)

53454

合基本不等式求解即可得答案.

—>—>

【解答過程】解：因為所以bccos4=9,

因為△ABC的面積為6,所以besinZ=12,

所以tan/=*

4Q

所以sin4=m，cosv4=be=15,

由于b=c?cosi4,

所以b=鏟，

所以c=5,b=3,

o

所以由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=25+9—2x5x3x-=16,即a=4.

—>CA41Ty-

所以CP=X喻+y,南=

因為P為線段SB上的點（點P不與點4點B重合），

所以■f+*=l,根據(jù)題意得x>0,y>0

所羽+曙4

3y+2,

京+

A+3y+2._A_>2座2一~+

12+12x+3(3y+2)三氣工荻詞+12一3十12一4,

當(dāng)且僅當(dāng)嗤=五扁，即3y+2=2%時等號成立,

39

4--

7-

6-14

故選：C.

【變式8-1］（2020?全國?高考真題）設(shè)。為坐標(biāo)原點，直線x=a與雙曲線喏一翁=1（￡1>08>0）的兩條漸

近線分別交于2E兩點，若△ODE的面積為8,貝UC的焦距的最小值為（）

A.4B.8C.16D.32

【解題思路】因為C^T=l（a〉0力>0），可得雙曲線的漸近線方程是y=±±與直線久=。聯(lián)立方程求

得D,E兩點坐標(biāo)，即可求得|ED|,根據(jù)△ODE的面積為8,可得時值，根據(jù)2c=27^不京，結(jié)合均值不等

式，即可求得答案.

【解答過程】?：C:^-^=l（a>0,b>0）

a，b乙、'

???雙曲線的漸近線方程是y=±宗

直線x=a與雙曲線唁—'=l（a>0,b>0）的兩條漸近線分別交于。，E兩點

不妨設(shè)。為在第一象限，E在第四象限

聯(lián)立｛y=2x，解得｛:1胃

Ja,

故D（a,b）

聯(lián)立｛y=_2久，解得｛J二S

故E（a「b）

??.\ED\=2b

???△OOE面積為：=萬。x2b=ab=8

???雙曲線唔一￡=1（。>0力>0）

其焦距為2c-2Va2+b2>272ab=2V16=8

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2立取等號

C的焦距的最小值：8

故選：B.

【變式8-2］（23-24高三?全國?階段練習(xí)）在44BC中，a,b,c分別為內(nèi)角4B,C的對邊，且

（acosC+ccos7l）tan71=yj3b.

（1）求角a的大小；

（2）若a=V^,求be的最大值.

【解題思路】（1）利用正弦定理邊化角，再由兩角和的正弦公式即可求出tanA,結(jié)合角4的取值范圍即可

求解；

(2)由(1)知，結(jié)合余弦定理得到關(guān)于b,c的方程，利用基本不等式即可求解.

【解答過程】(1)因為(acosC+ccos/)tan/=%瓦

利用正弦定理可得，(siru4cosc+sinCcos?l)tani4=V3sinB,

即sin(/+C)tan4=相sinB,因為A+C=n一B,

所以sin(7T—B)tan4=V^sinB,即sinBtanA=V3sinB,

因為OVBVTT,所以sinBHO,tanZ=g,

因為OV4<TT,所以/=*

(2)由(1)及余弦定理可得，

a2=b2+c2-2bccosA,即3=b2+c2-2hccosp

所以3=/+c2—bc>2bc-bc=be,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時等號成立，

所以尻的最大值為3.

【變式8-3](23-24高二下?遼寧?階段練習(xí))平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理論研究

和證明中占有重要的位置,基本不等式等>強(a>0,b>0)就是最簡單的平均值不等式.一般地,假設(shè)的,。2

，…,與為〃個非負(fù)實數(shù)，它們的算術(shù)平均值記為4;*(注：2：*=的+國+…+

1

1/n\nn

M)12??…??…a),

，幾何平均值記為金=(。。ctn)n=In七亦(注：nat=ararn算術(shù)平均值與幾何平

\i=l/1=1

均值之間有如下的關(guān)系：州+即7+即2,.??…薪,即力nNG”當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?&2="=廝時等號成立，上

述不等式稱為平均值不等式，或簡稱為均值不等式.

(1)已知久>y>0,求X+五M的最小值；

(2)已知正項數(shù)列｛斯｝，前n項和為sn.

nn

(i)當(dāng)S'=1時，求證：n(l-a?)>(n2-l)nna?；

i=li=l

nin.

(ii)求證：n(1+ttj)>/色

i=1=i=0"

【解題思路】(1)湊配成三個數(shù)的均值不等式；

(2)(i)對1+見=即+做—+%=由+做+…+。九—%應(yīng)用均值不等式后相乘可證；(ii)

首先應(yīng)用均值不等式，然后由二項式定理展開，再結(jié)合不等式m=(nT)!(>-i+l)……可證.

【解答過程】(1)(第一y)+y+y(jy)N3曬=6,

O

當(dāng)且僅當(dāng)=y=y(_y)，即X=4,y=2時等號成立，

o

則x+W齊的最小值為6.

(2)(i)證明：因為的+敢—+冊=1,

1

所以由均值不等式可得1+a=的+做+…+Q九+四之(n+1)(。逆2?…，anat)^,

1—七=+。2+…+^n~ai(幾—....患)"：取i=1,2,…，九,再將之分別累積后得「J(1—af)>

(n2-1)"]-["a?.

(ii)證明：因為GnW4n，

；

所以(1+的)(1+。2)??…(l+an)W空++...+a)=(i+?‘

=1+%x?+C哈丫+???+或少+…+C噲廣

因為n！=(n—i)l(n—i+1).......n<(n—i)W,

所以或到=備?汨w率

從而證明成立.

?課后提升練(19題

一、單選題

11

1.(2024?河北?模擬預(yù)測)已知1>1,y>0,且二五+1=1,則4%+y的最小值為()

A.13B.%二C.14D.9+V65

【解題思路】由4%+y=4(%—1)+y+4=[4(%—1)+y]Q*++4,利用基本不等式即可求.

【解答過程】.e.x-1>0,又y>0,且三+[=L

/11\y4(%—1)

??.4%+y=4(%—1)+y+4=[4(x-1)+y](有+/+4=9++---

>9+2區(qū)區(qū)互=13,

7X-1y

(-+-=1f_5

當(dāng)且僅當(dāng)解得“二守時等號成立，故4%+y的最小值為13.

(x^l-_y_iy-

故選：A.

2.（2024?四川綿陽?一模）已知x>0,y>0,且滿足久+y=xy-3,貝Uxy的最小值為（）

A.3B.273C.6D.9

【解題思路】利用基本不等式化簡已知條件，再解不等式求得xy的范圍，從而求得xy的最小值.

【解答過程】x+y-xy-3>2y/xy,

（V%y）2-2V%y-3=（V%y-3）（Vxy+1）>0,

Vxy-3>0,xy>9,

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=3時等號成立，

所以xy的最小值為9.

故選：D.

3.（2024?江蘇宿遷?一模）若a>0,6>0,a+2b=3,則|+葡最小值為（）

A.9B.18C.24D.27

【解題思路】利用基本不等式中“1”的妙用即可求得最小值.

【解答過程】根據(jù)題意可得：+9=笳+2匕）（2+。=43+半+絲+12）2呢15+2隹叫=9；

當(dāng)且僅當(dāng)詈=耳，即a=l/=1時，等號成立；

此時|+犧最小值為9.

故選：A.

4.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）下列說法錯誤的是（）

A.若正實數(shù)a力滿足a+6=1,貝葉+：有最小值4

B.若正實數(shù)a力滿足a+2b=1,則2。+4622近

C.y=，%2+3+的最小值為經(jīng)

D.若a>b〉l,則ab+l<a+b

【解題思路】對于A,利用：+：=（￡1+》）?+9即可證明3+24,再給出取等的情況即可得到A正確；

對于B,利用2a+22b2272a?22b即可證明2a+#22vL得到B正確；對于C,利用換元法與對勾函數(shù)

單調(diào)性判斷；對于D,驗證當(dāng)a=3,b=2時不等式不成立，得到D錯誤.

【解答過程】對于A,若正實數(shù)a,b滿足a+b=l,則｝+5=（a+b）G+/=2+?+￡22+2后

=2+2=4,而當(dāng)a=b='|時，有a+b=l,：+g=4,從而5+（的最小值是4,故A正確；

對于B,若正實數(shù)a力滿足a+2b=1,貝眨°+4b=2。+22"N2后蘋=2后0=2魚，故B正確；

對于C,設(shè)遮,+8）,則丫4+如2㈣，由對勾函數(shù)單調(diào)性得最小值是遍+專=竽，故

C正確；

對于D,當(dāng)a=3,b=2時，有但ab+1=3?2+1=7>5=3+2=a+b,故D錯誤.

故選：D.

5.（2024?四川成都?三模）設(shè)a>6>0,若a?+勸2<史岑，則實數(shù)％的最大值為（）

a—b

A.2+2V2B.4C.2+V2D.2V2

【解題思路】由不等式可得；IW空三=嗯1=三年，求出右邊的最小值，進(jìn)而可得4的最大值.

〃ab-b2S-1

【解答過程】因為a>6〉0,若。2+助23號，可得aw空三=巖|=:年，

a—b1,2ab—bz—1

ub

設(shè)t=?>l,只需要4小于等于右邊的最小值即可，

則1+（斤=小

人J?-1t-1

b

令s=t—l>0,可得t=s+l,

所以I+（S+I）2=S+2+222「1+2=2近+2,當(dāng)且僅當(dāng)s=?,即s=?時取等號，

ssqss

所以4W2+2VL

即加勺最大值為2+2V2.

故選：A.

6.（2024?貴州遵義?模擬預(yù)測）如圖所示的“大方圖”稱為趙爽弦圖，它是由中國數(shù)學(xué)家趙爽于公元3世紀(jì)

在給《周髀算經(jīng)》“勾股網(wǎng)方圖”作注時給出的一種幾何平面圖，記載于趙爽“負(fù)薪余日，聊觀《周》”一書之

中.他用數(shù)學(xué)符號語言將其表示為“若直角三角形兩直角邊為a,