2025年高考數學第一次模擬考試(新高考II卷)02

全解全析

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分(選擇題共58分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.己知集合/={小2-2工一3<0},八卜IkGI},則&8)c/=()

A.[-1,1]B.[-1,1)C.[-3,1]D.[-3,1)

【答案】B

【詳解】X2-2X-3<0,解得-1VXV3,故/=

X-1>0<X>1,故3=[l,+co),

故&8)n/=(f

故選：B

2.“。>3”是“函數/(x)="x+3在區間(-1,2)內存在零點”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】由函數〃x)="+3在區間(-1,2)內存在零點得〃-1)-/(2)=(3-4(2.+3)<0,解得a>3或

3

a<——

2

所以>3”是“函數/(x)="+3在區間(-1,2)內存在零點”的充分不必要條件，

故選：A

71

3.已知0sino=sina~~則cos2a+cos?戊=()

1

ABcD.

-1-1-42

【答案】B

【詳解】由3sini=sin[i—,則

V2sincr(sina-cosa),化簡得cosa=-sintz，所以

cos2a=—,由cos2a+cos2a=2cos2a-1+cos2a=—.

22

故選：B

4.甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必須站在中間兩個位置之一，且乙、丙2人相鄰,

則不同的排隊方法共有（）

A.24種B.48種C.72種D.96種

【答案】C

【詳解】先安排甲，可從中間兩個位置中任選一個安排有c；種方法，而甲站好后一邊有2個位置，另一邊

有3個位置，再安排乙丙2人，因乙、丙2人相鄰，可分為兩類：安排在甲有2個位置的一側有A；種方法;

安排在甲有3個位置的一側有2A；種方法，最后安排其余3人有A；種方法，綜上，不同的排隊方法有:

C；.（A；+2A》A；=72種.

故選：C.

5.已知數列｛%｝滿足%+1=1--，%=2,則。2024=（）

an

A.2B.yC.-1D.2024

【答案】B

,1c,1,11

[詳解]由%+1=1-----嗎=2,可得出=1=1一行=彳，

anax22

同理可得4=T，%=2,…，所以數列｛%｝是周期為3的數列，

則02024="3x674+2==]?

故選：B.

DEDADEDB

6.在平行四邊形NBC。中，DA=DB,E是平行四邊形N8CO內（包括邊界）一點，i—i=i—i

若近而+y麗，則x+.y的取值范圍為（）

3

A.[1,2]B.C.D.[0,1]

,252

【答案】B

DEDADEDB

【詳解】因為

得cosNEDA=|Z)E|COSNEDB,即cos/EDA=cosZEDB

所以點E在/502的角平分線上，設48的中點為M

因為所以點E在線段。州上,

不妨設反=4血,2e[0』,

所以醞=麗+/1麗7

易知麗7=方2+而=而_工而

2

所以屋=麗+/1（。_3回=（1_：11+彳聞

因為屋=xd5+＞麗

所以X+昨l_g+2=l+g

22

因為設[0,1]

2「3一

所以x+ynl+'e1,-

故選：B

7.已知圓圓M：（x-a）2+（y-a+4）2=l.若圓M上存在點P,過點P作圓O的兩條切線,

切點為A,B,使得N4P8=60。，則。的取值范圍（）

【答案】D

【詳解】

如圖，圓。的半徑為1,圓弦上存在點P,

過點尸作圓。的兩條切線，切點為45,使得乙4尸8=60。,

貝U//PO=30。，在中，PO=2,

又圓M的半徑等于1,圓心坐標M(a,a-4),

；』POL=M0|T，I尸。L=M°I+1，

二由&2+(”4)2-lW2wJa2+(a-4『+i,

2一&a&2+縣,則。的取值范圍為

解得:

22

故選：D.

8.已知函數/(x)=(x+l)sinx+co&r,若存在再兩€0,^使得，(西)-/仇)|=-e1成立,

則實數”的取值范圍是()

A./JB.Q.1)C.(0,1)D.(1,2)

【答案】C

【詳解】/'(%)=sinx+(x+1)cosx-sinx=(x+1)cosx,

冗

xe0,-時，f(x)>0,所以/'(x)是增函數，

jr

不妨設0?再<%24,，則/(M)</(工2),又9<一,

X2x,

所以由|/(西)-/5)|=°卜*-e],<f(x2)-/(%1)=ac-ae,即/(xj-ae*=/每)-。/",

設g(x)=(x+1)sinx+cosx-aex,貝1Jg'(x)=(x+1)cosx-aex,

jr

當aWO時，g\x)>0,g(x)是增函數，不存在X1,x2e0,-x2),使得g(xj=g%),

當。>0時，要滿足題意，則g'(x)=0在]。，3上有解，使得g(x)在上不單調.

x(x+l)cosx

(x+1)cosx=ae,a=----------,

ex

設h(x)=(%+[cos%,xe0，T,sinx>0,cosx>0,

所以/(x)-[cosx-(x+l)sinx]e“-(x+l)cosxe_-xcosx-(x+1)sinx<0

e2xex

由Mx)在0,j上單調遞減，得〃(X)max="(0)=l，h(X)mia=h^=0,

所以"(0』).

故選：c.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.關于的展開式，下列結論正確的是()

A.所有項的二項式系數和為64B.所有項的系數和為0

C.常數項為-20D.系數最大的項為第3項

【答案】ABC

【詳解】可得二項式的系數和為26=64,故A正確；

令x=l得所有項的系數和為0,故B正確；

常數項C>3,jj=_20,故C正確；

由&1=晨/-，,口，系數為最大為Ci或C：,為第3項或第5項，故D錯誤.

故選：ABC.

22

IO.已知橢圓。：三+看=1的左右兩個焦點分別為3、F],左右兩個頂點分別為4、4,尸點是橢圓上任

意一點(與4,4不重合)，M(1,1),則下列命題中，正確的命題是()

A.kPAi-kPA2=-|B.△尸耳耳的最大面積為2石

C.存在點P,使得西?理=0D.%的周長最大值是6+碗+血

【答案】ABD

【詳解】對A,由題知,a=3,b=45,c=2,則洋(-3,0),4(3,0),4(-2,0),￡(2,0),

22?

設P(%o.yo),￡+3=1=9)，

則%,k:%%年--9)一5,A正確；

PA

'%/+3x0-3x；-9焉一99

對B,易知當點尸為短軸端點時，△尸耳月的面積最大，最大值為;x2仍=2石，B正確；

對C,PF、=(-2-x0,-y0),PF2=(2-x0,-y0),

則可.同H+yH一■![；一9)='+121,C錯誤；

對D,由橢圓定義可知，|尸耳|=6-|尸閶,所以1PM+|尸耳|=6+|尸閭-|尸用W6+|3

2222

又由M=^(1+2)+(1-0)=410,\MF2\=^(1-2)+(1-0)=V2,

所以BM+I尸片1+1耳M<6+|曄|+閨M=6+M+8，

當〃,乙,尸三點共線，且巴在線段M5上時，等號成立，D正確.

11.如圖，棱長為4的正方體NBC。-44GA中，E為棱。，的中點，尸為正方形CDAG內一個動點(包

括邊界)，且4尸//平面42E，則下列說法正確的有()

A.動點尸軌跡的長度為2后

B.平面截正方體所得的截面圖形的面積為9

C.存在尸點，使得8尸，/田

D.若尸為CD的中點，以點尸為球心，指為半徑的球面與四邊形4CG4的交線長為5兀

【答案】ACD

【詳解】對于A：如圖，分別取CG，G。的中點〃，N,連接MV,ME,B]M,B、N,

則跖V〃C〃，CDt//AtB,可得MN〃4B,

且平面48E,42u平面48E,所以MN//平面48E,

又因為小〃4耳，ME=A、B\,則四邊形4片"石是平行四邊形，

可得用初////，且印平面&RE,&Eu平面45E,所以月初//平面

又B、MCMN=M,B[M,MNu平面4"N,

所以平面B、MN//平面A、BE,

當FeACV時，則5尸u平面4MV,所以耳尸//平面

即線段"N為點尸的軌跡，可知九W=gc2=后，故A選項正確；

對于B：如圖，取CD中點K,連接EK,BK,CD},

則由A\B//RC//EK,可得平面A{BE截正方體所得的截面為梯形&BKE,

又A、E=BK=2逐,EK=2y[2,4B=46,

則等腰梯形的高為,（2石）-（血『=3五

所以等腰梯形4族片的面積為白（2亞+4后卜3亞=18,故B選項錯誤;

對于C：連接G。，AB,

因為4BBH為正方形，則A.B1AB{,

又因為43，平面48月4，43u平面43男4，則2。，,

且40口/月=/,AD,/月u平面4DGA，所以48,平面40GA,

設TWO平面4。6耳=尸（即G。與初可的交點為尸），此時4尸u平面D4月G，

所以48,用尸，故C選項正確；

對于D：如圖，設/Cc2O=G,取CG中點〃，連接則mV/3。，

因為4BCD為正方形，則/C2BD,

又因為幺4J_平面/BCD,6。u平面/BCD,貝！]44_L3D,

且/CCX41=4,平面NCG4，所以8。2平面ZCG4，

可知點尸到平面NCG4的距離為P"=；GD=也,

又因為球的半徑為逐，

可得以點P為球心，V6為半徑的球面被平面ZCG4截得的小圓的半徑為=2,

又矩形NCC/中，AC=4?，cq=4,

所求交線長為：矩形/CG4中，以a為圓心，2為半徑的圓弧，如圖所示，

可知該圓弧對應的圓心角為二,

4

兀

所以該圓弧長為3今X2=；3兀，故D選項正確.

42

故選：ACD.

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.i是虛數單位，復數z滿足（l+2i）.z=2-4i,則忖=

【答案】2

/、2-4i（2-4i）（l-2i）-6-8i68.

------1,

【詳解】因為（1+方”=2-期，所以"0=；］+工苗21；==55

13664。

所以H=-----1-----=2,

2525

故答案為：2.

13.設拋物線。：/=2川（。＞0）的焦點為尸,。為坐標原點，準線與x軸交于點A,若C上一點P滿足

4|PO|2=|PF|2+|P^|2,且點尸到準線的距離為君—I,則〃=.

【答案】2

【詳解】如圖：

設點P(x,y),由題知尸0(0,0),，一3°)，

則陷=卜"+/忸。卜F7,E$+"+/.

因為4|PO|2=|PF|2+|P/「，即4,2+/)=/一川+，+/+/+px+?+/,

化簡得/+/=1]：,所以點尸在圓X?+/=[]]上，

y2=2px

聯立22IPY，得/+2px-匹=0,解得x=1匚p(負值舍去),

42

卜+TJ

所以點P到準線的距離為3匚P+K=避二10=有-1,解得0=2.

222

故答案為：2

(|lnx|,0<%<3,

14.已知函數/⑶={/(6-x),3<x<6,若函數g(x)=/(x)-加有八個不同的零點，從小到大依次為多,

1/(%—6),6<%<12,

x2>x3>尤4，X5>x6>X[,演，貝+刀2)2+(xy-6)2+(%g—6)2的取值氾圍為

【答案】［52,54)

【詳解】由函數y=〃x)的解析式可知:

xe(3,6)時，/(6-x)=/(%)，所以/(x)的圖象與〃x)在xe(0,3)上的圖象關于直線x=3對稱；

xe(6,l2)時,f(x-6)=f(x)，所以只需把〃x)在xe(0,6)上的圖象向右平移6個單位即可得〃x)在

xe(6,12)上的圖象.

由g(x)=/(x)-加=0得=,函數＞=/(》)與了=心的圖象如圖所示：

由/（再）=/（%2），即有|ln玉|=|111司，由圖可知。＜石＜1,%2＞1，

2

11"1+2；

故一1口玉二111%2，即1口（國工2）=0，則再%2=1，（七+%2『X|H------

“

由》=/（%）的圖象性質，有%+6=%7，%+6=%8,

X]+%4=2x3=6,X]+%3=2x3=6,

貝0%7-6=%3+6-6=%3=6_%2=6---,xs—6=x4=6—

x\

1

所以（再+尤2）2+（%7_6）2+（尤8-6）2=*；+-?+2+（6_，）2+（6_再）2=2（芭+，_3）2+52,

因為丫（1,3）,3=1,所以附。1）,而對勾函數y=x+：在（；/）上單調遞減,

所以西+—e（2,^）,x+--3（一1,：）,（玉+--3）2e[O,l）,1

iG2（國+——3）27+52￡[52,54）,

再3石3再再

故答案為：［52,54）.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.（13分）

如圖（1）,在△4BC中，CDLAB,=2CD=24D=4,點E為NC的中點.將A/CD沿CD折起至（J△尸CD

的位置，使OEL2C,如圖（2）.

圖（1）圖（2）

（1）求證：PBLPC.

（2）在線段BC上是否存在點尸，使得尸？若存在，求二面角尸-。尸-E的正弦值；若不存在，說明

理由.

【詳解】（1）依題意可知點E為尸C的中點，PD=CD=2,所以。E1PC,

又DEIBC,BCcPC=C,8C,尸Cu平面PC8,所以。E_L平面尸C8.（2分）

又BBu平面PC3,所以。

依題意可知CZ>_LPZ>,CDLBD,BDRPD=D,3。,尸。u平面尸￡>8,

所以CD_L平面尸Q8,又PBu平面PDB,所以CD_LP瓦（4分）

因為CDCIDE^。，CD,￡>Eu平面PCD,所以依J_平面PCD.（5分）

又尸Cu平面尸CD,所以尸8_LPC.（6分）

（2）由題意，得PC=AC=后與=2亞,BC=A/22+42=275>由。）PB±PC,

所以尸3=小（2肩一（2應了=2A/3,（7分）

以點。為坐標原點，DP,DC所在直線分別為x軸、z軸，

過點。且平行于m的直線為N軸，建立空間直角坐標系，如圖，

則。（0,0,0）,P（2,0,0）,C（0,0,2）,E（l,0,l）,5（2,273,0）.

所以而=（2,0,-2）,而=（2,0,0）,亞=（1,0,1）.

設麗=Z5C（O</<1）,即而=/前=卜27,-2/,2",

貝I]尸（2-2f,一2/,2。，DF=（2-2?,2A/3-2",2,,

若存在點尸，使得CP_L。尸，則。.而=4-&=0，

解得好；,則加'=（1,6,1）,（8分）

設平面PC77的法向量為訪=

m?DF=0xx+百必+Z1=0

則一，令必=1，得石=0,Z]=—A/3，

rh6DP=G2再=0

所以加=（0,1,-君），（9分）

設平面OE廠的法向量為元=（x2,y2,z2）,

n-DE=Ox2+z2=0

則令凡=1,得％=0/2=-1,

元而=0x2+y/^y2+z2=0

所以為=(1,0,-1),(11分)

所以COS加,〃=IT=二7==-T,(12分)

網網2xj24

由圖可知二面角尸-。尸-E為銳角,

所以二面角尸-。尸-￡的正弦值為，=坐.(13分)

16.(15分)

已知函數/(工)=12+(.

(1)若曲線y=/W在點(L/。))處的切線為工+歹+6=0,求實數6的值；

2

⑵已知函數g(x)=〃x)+,，且對于任意xe(0,+oo),g(x)>0,求實數。的取值范圍.

【詳解】(1)由/(x)=lnx+@,可得/'(x)=L-g,/，(1)=1-^=1-?>(1分)

XXX11

又曲線y=/(%)在點(1)(1))處的切線為x+y+6=0,所以((1)=1一。=一1,

2?

解得a=2,所以/(x)=lnx+『所以/⑴=lnl+1=2,所以切點為(1,2),

又切點(1,2)在直線x+y+6=0上，所以i+2+b=0,解得6=-3；(4分)

2

(2)g(x)=lnx+—+-^7,由對于任意%€(0,+8),g[x}>0,所以ghlmin〉。，

XX

令E=工〉0,貝ij力⑺=-In/+at+a2t2,

4口曰1八22a2t2+at-l(2袱一1)("+1)2八、

求導可得〃⑺=-？+4+202t=-----------=------:----L,(6分)

當。=0時，g(x)=lnx,顯然不滿足題意，(8分)

當〃>0時，—>0>,

2aa

若x￡(0,，)，/(。<0,函數力?)在(0,5)上單調遞減，

若X￡([,+8),〃'(，)〉0,函數力⑺在(二,+8)上單調遞增,

2a2a

所以“以=〃—In2aH--1—所1以In2aH--1—>0,

2a24f24

31_￡

所以ln2。〉—二，解得。〉人屋"(11分)

42

當avO時，—<0<,

2aa

若x￡(O,-：),〃'(。<。，函數"(。在(0,----)上單調遞減，

若工￡(-：,+8),/⑺>0,函數/)在(4,+8)上單調遞增，

所以MOmin=〃1_：］=ln(_q)T+l=ln(_a),所以ln(-a)>0,

所以-解得IVT,(14分)

1_￡

綜上所述：實數。的取值范圍為(-“-I)。\.(15分)

17.(15分)

近年來，隨著智能手機的普及，網上買菜迅速進入了我們的生活.現將一周網上買菜次數超過3次的市民認

定為“喜歡網上買菜“，不超過3次甚至從不在網上買菜的市民認定為“不喜歡網上買菜”.某市M社區為了解

該社區市民網上買菜情況，隨機抽取了該社區100名市民，得到的統計數據如下表所示:

合計

喜歡網上買菜不喜歡網上買菜

年齡不超過45歲的市民401050

年齡超過45歲的市民203050

合計6040100

(1)試根據夕=0.05的/獨立性檢驗，分析M社區的市民是否喜歡網上買菜與年齡有關?

(2)M社區的市民小張周一、二均在網上買菜，且周一等可能地從兩個買菜平臺隨機選擇一個下單買菜如果

4

周一選擇A平臺買菜，那么周二選擇A平臺買菜的概率為不，如果周一選每5平臺買菜，那么周二選擇A

平合買菜的概率為g,求小張周二選擇3平臺買菜的概率；

(3)用頻率估計概率，現從M社區隨機抽取20名市民，記其中喜歡網上買菜的市民人數為隨機變量X,并

記隨機變量y=2x+3,求x、y的期望和方差.

參考公式：*￡嗎其中n=a+b+c+d

(a+b){c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010.0050.001

%a2.7063.8416.6357.87910.828

參考公式及數據：/=g+6）（c+d）/+c）伍+d），其中〃i+Hc+小

【詳解】（1）假設乜）：M社區的市民是否喜歡網上買菜與年齡無關.

由給定的2x2列聯表，得：/=100x（40x30-20x10）-=100>3g4J0分）

50x50x60x406

根據小概率值a=0.05的獨立性檢驗，我們推斷不成立，

即認為是否喜歡網上買菜與年齡有關聯，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.（4分）

（2）設4表示周，在/平臺買菜，4表示周，?在8平臺買菜，

I17

由題可得尸（4）=p（耳）=2,P@I4）=5,P（生囹）=3,（7分）

由全概率公式，小張周二選擇8平臺買菜的概率為：

111213

「（當）=?（4）尸（與|4）+P（4）尸（與回）=5*三+不*弓=正（10分）

（3）依題意，喜歡網上買菜的概率為：器=|.

從“社區隨機抽取20名市民，其中喜歡網上買菜的市民人數X服從二項分布：所以

Q3/3\24

￡（X）=20x|=12,O（X）=20x/x1一1=《.（13分）

又y=2X+3,所以E（y）=2E（X）+3=27,=4Z）（X）=?.（15分）

18.（17分）

“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術活動，在我國源遠流長，某些折紙活動蘊含豐富的數

學內容，例如：用一張紙片，按如下步驟折紙：

步驟1：在紙上畫一個圓/,并在圓外取一定點8；

步驟2：把紙片折疊，使得點2折疊后與圓/上某一點重合；

步驟.3：把紙片展開，并得到一條折痕；

步驟4：不斷重復步驟2和3,得到越來越多的折痕.

你會發現，當折痕足夠密時，這些折痕會呈現出一個雙曲線的輪廓.若取一張足夠大的紙，畫一個半徑為2

的圓/,并在圓外取一定點3,48=4,按照上述方法折紙，點2折疊后與圓/上的點少重合，折痕與直

線亞4交于點E,E的軌跡為曲線7.

（1）以所在直線為x軸建立適當的坐標系，求曲線T的方程；

（2）設曲線7的左、右頂點分別為￡,”,點尸在曲線T上，過點尸作曲線T的切線/與圓/+/=1交于跖

N兩點（點M在點N的左側），記加，的斜率分別為％,k2,證明：左?《為定值；

（3）尸是T的右焦點，若直線〃過點尸，與曲線T交于C,。兩點，是否存在x軸上的點。（/,0）,使得直線〃

繞點尸無論怎么轉動，都有反?9=0成立?若存在，求出T的坐標；若不存在，請說明理由.

【詳解】（1）以48所在直線為x軸，以方為x軸的正方向，以的中點為原點建立平面直角坐標系，則

A（-2,0）,5（2,0）,

由折紙方法知，|班|=忸叼,則忸5|_國聞=忸則卜必卜|%=2<|期=4,

根據雙曲線的定義，曲線7是以48為焦點，實軸長為2的雙曲線，（2分）

22__________

22

設其方程為，—4=1（〃〉0,6>0）,貝!Ja=l,c=yja+/?=2,

ab

2

所以/=1,/=3.故曲線T的方程為Y一匕=1.（3分）

3

（2）易知直線/的斜率存在，設直線/的方程為y=b+加（左。0）,且N（%2/2）,

y=kx+m

聯立方程組I2/，整理得（3-左2卜2一2?x-（/+3）=0,（4分）

I3

由△=4后”2+4（3-/乂加2+3）=o,可得12（/+3-七）=0,可得蘇=公一3,（5分）

聯立方程組22「整理得（1+r）/+2而x+/_i=o,

[x+y=1\7

A=4左2加2_4（左2+1）（加2-1）=4（左2_加2+1）>0,

2i

2kmm—1_八、

則x+x=—玉”前，（z7分）

i2\+k2

因為-Ur,所以與兒=告？含=

x2-1

又因為M％=（何+加）（包+加）=左2/%2+碗（芭+12）+加2,

代入可得月％=色￡,由于川=〃一3,貝勤辦=昌，

由于點M在點N的左側，故占-%<0，

月f以X]-%2=一|再一X2-4%|%2，

4

代入可得…2一百，

F-4%%1+如

又因為再％=，則上「心==3

l+k2王/一（再一%）—1k2-44

2

1+廿i+k

所以尢?七為定值，定值為3.（10分）

（3）假設存在點。?,0）,使丁?詼=0恒成立,

由已知得尸（2,0）,

當直線〃的斜率存在時，設直線〃的方程為了=左（＞2）,C（W，%）,。（無4,%），

y2_