(名師選題)2023年人教版高中數學第四章指數函數與對數函數重點歸納筆記

單選題1、下列各組函數中，表示同一個函數的是（

）A．與B．與C．與D．與答案：D分析：分別計算每個選項中兩個函數的定義域和對應關系，定義域和對應關系都相同的是同一個函數，即可得正確選項.對于A：定義域為，定義域為，定義域不同不是同一個函數，故選項A不正確；對于B：定義域為，的定義域為，定義域不同不是同一個函數，故選項B不正確；對于C：的定義域為，定義域為，定義域不同不是同一個函數，故選項C不正確；對于D：由可得，解得：，所以的定義域為，由可得，所以函數的定義域為且，所以兩個函數定義域相同對應關系也相同是同一個函數，故選項D正確，故選：D.2、在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網上銷售業務，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預計第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者（

）A．10名B．18名C．24名D．32名答案：B分析：算出第二天訂單數，除以志愿者每天能完成的訂單配貨數即可.由題意，第二天新增訂單數為，，故至少需要志愿者名.故選：B【點晴】本題主要考查函數模型的簡單應用，屬于基礎題.3、若，，則（

）A．B．C．D．答案：B分析：先換底，然后由對數運算性質可得..故選：B4、已知函數，滿足對任意x1≠x2，都有0成立，則a的取值范圍是（

）A．a∈(0,1)B．a∈[,1)C．a∈(0,]D．a∈[,2)答案：C分析：根據條件知在R上單調遞減，從而得出，求a的范圍即可．∵滿足對任意x1≠x2，都有0成立，∴在R上是減函數，∴，解得，∴a的取值范圍是．故選：C．5、已知函數，則對任意實數x，有（

）A．B．C．D．答案：C分析：直接代入計算，注意通分不要計算錯誤．，故A錯誤，C正確；，不是常數，故BD錯誤；故選：C．6、設，，則（

）A．B．C．D．答案：D分析：根據對數函數的性質可得，

，由此可判斷得選項.解：因為，，所以，所以，故排除A、B選項；又，且，所以，故選：D.7、已知冪函數與的部分圖象如圖所示，直線，與，的圖象分別交于A?B?C?D四點，且，則（

）A．B．1C．D．2答案：B分析：把用函數值表示后變形可得．由得，即，所以，故選：B．8、設，則（

）A．B．C．D．答案：C分析：根據對數的運算性質計算即可.解：.故選：C.9、我國在2020年9月22日在聯合國大會提出，二氧化碳排放力爭于2030年前實現碳達峰，爭取在2060年前實現碳中和．為了響應黨和國家的號召，某企業在國家科研部門的支持下，進行技術攻關：把二氧化碳轉化為一種可利用的化工產品，經測算，該技術處理總成本y（單位：萬元）與處理量x（單位：噸）之間的函數關系可近似表示為，當處理量x等于多少噸時，每噸的平均處理成本最少（

）A．120B．200C．240D．400答案：D分析：先根據題意求出每噸的平均處理成本與處理量之間的函數關系，然后分和分析討論求出其最小值即可由題意得二氧化碳每噸的平均處理成本為，當時，，當時，取得最小值240，當

時，，當且僅當，即時取等號，此時取得最小值200，綜上，當每月得理量為400噸時，每噸的平均處理成本最低為200元，故選：D10、已知，則（

）A．B．C．D．答案：A分析：由對數函數得單調性即可得出結果.∵在定義域上單調遞增，∴，即.故選：A.11、函數的圖像是（

）A．B．C．D．答案：A分析：由函數的圖象與軸的交點是結合函數的平移變換得函數的圖象與軸的公共點是，即可求解.由于函數的圖象可由函數的圖象左移一個單位而得到，函數的圖象與軸的交點是，故函數的圖象與軸的交點是，即函數的圖象與軸的公共點是，顯然四個選項只有A選項滿足.故選：A.12、聲強級（單位：）與聲強的函數關系式為：.若普通列車的聲強級是，高速列車的聲強級為，則普通列車的聲強是高速列車聲強的（

）A．倍B．倍C．倍D．倍答案：B分析：設普通列車的聲強為，高速列車的聲強為，由聲強級得，，求出相除可得答案.設普通列車的聲強為，高速列車的聲強為，因為普通列車的聲強級是，高速列車的聲強級為，所以，，，解得，所以，，解得，所以，兩式相除得，則普通列車的聲強是高速列車聲強的倍.故選：B.雙空題13、截止2020年底，我國總人口數約為14億，同2010年底數據相比，人口年平均增長率約為，若按此增長率，30年后我國人口總數約為__________億；若希望30年后我國人口超過20億，那么人口年平均增長率應不低于__________%．（精確到0.1，參考數據：，，）答案：

16.4

1.2分析：建立指數函數模型，結合指數對數運算求解即可.解:因為2020年底，我國總人口數約為14億，且年平均增長率約為0.53%，所以30年后我國人口總數約為．設人口年平均增長率為，由題意，得，即，兩邊取對數，得，即，所以，解得，所以人口年平均增長率應不低于1.2%．所以答案是：16.4；1.2.14、已知函數，分別是定義在上的偶函數和奇函數，且滿足，則的值為___________；若關于的方程有唯一的實數解，則實數的值為___________.答案：

1

或分析：構造函數方程并根據奇偶性可求得函數的解析式；轉化為有唯一解，構造偶函數，根據偶函數的對稱性列式可求得結果.，分別是定義在上的偶函數和奇函數，，，，又①，②①+②：，，令又換元設又關于的方程有唯一的實數解，設，為偶函數，當且僅當時為唯一零點，，解得或.所以答案是：0；或小提示：關鍵點睛：構造函數方程并根據奇偶性求函數解析式、利用偶函數的對稱性求解是解題關鍵.15、高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數學家，用其名字命名的“高斯函數”為：設，用[x]表示不超過x的最大整數，則稱為高斯函數，例如：，，已知函數，則函數奇偶性是______函數，的值域是__________答案：

奇函數

解析：直接根據奇偶性的定義即可判斷出奇偶性，由題意分離常數可得，再由指數函數的性質可得的值域，即可得解.∵，，∴為奇函數，化，∵，∴，則.∴當時，，；當時，，；當時，.∴函數的值域是.所以答案是：奇函數，.小提示：本題考查了數學文化及分離常數法求函數值域的應用，考查了奇偶性的判斷，指數函數性質的應用、運算求解能力及轉化化歸思想，屬于中檔題.16、設函數，則___________，若方程有兩個不相等的實數根，則實數的取值范圍為___________.答案：

1

分析：(1)先求出的值，再求即得解；(2)

作出函數的圖像，再作出直線，數形結合分析即得解.（1）由題得，所以.

所以1.（2）作出函數的圖像，再作出直線，方程有兩個不相等的實數根，則實數的取值范圍為.所以答案是：1；.17、已知函數則______；若，則______.答案：

16

分析：根據函數的解析式，先求出，再將該值代入對應的函數式，求得；因為當時，，則由函數值為可知，

，故，則，再解方程得出的值.由該分段函數的解析式可得：則；由函數解析式可知，當時，，則由知，且，所以，則，解得.所以答案是：；.解答題18、已知是定義在R上的偶函數，當時，是二次函數，其圖象與x軸交于，兩點，與y軸交于．(1)求的解析式；(2)若方程有兩個不同的實數根，求a的取值范圍．答案：(1)(2)分析：（1）當時，利用待定系數法得到，再使用奇偶性，得出即可；（2）利用數形結合解決.（1）依題意可設，當時，．由，得3k＝6，∴k＝2，∴．當時，，則．又是偶函數，∴，∴．∴（2）依題意知有兩個不同的實數根，即與y＝2a－2在同一坐標系中的圖象有兩個不同的交點．作出函數的圖象，如圖所示．由圖，可知只需滿足條件2a－2＝－2或，∴a＝0或，即實數a的取值范圍是．19、（1）求值：（2）化簡答案：（1）32；（2）分析：（1）根據指數冪的運算性質即可得解.（2）根據指數冪的運算性質即可得解.（1）原式（2）原式20、已知函數.(1)求在上的最大值；(2)設函數的定義域為I，若存在區間，滿足:對任意，都存在(其中表示A在I上的補集)使得，則稱區間A為的“Γ區間”.已知，若為函數的“Γ區間”，求a的最大值.答案：（1）答案見解析；（2）1.解析：（1）作出函數的圖象，分，

，利用數形結合法求解.

(2)根據對任意，都存在使得，分，，分別求得在和上的值域，利用集合法求解.（1）函數的圖象如圖所示：當時，的最大值為，當時，的最