高中數學精選資源1/16《基本立體圖形》第1課時同步學案問題情境導入在中國，有蜿蜒的長城、燒毀的阿房宮以及現在保存完美的故宮，在外國，有古老的埃及金字塔、巴黎的凱旋門、倫敦的鐘塔、白金漢宮等，在你被建筑物的精心設計和外觀的美感所震撼的時候，你是否意識到幾何學在古代就已經被深入地研究及完美地應用？我們在初中接觸過平面幾何，如今我們將進一步深入到三維空間，初步接觸立體幾何知識那么構成空間幾何體的基本元素是什么？多面體的概念是什么？.新課自主學習自學導引1.構成空間幾何體的基本幾何元素.空間幾何體的基本幾何元素是_____、_____、_____.2.簡單多面體的概念.類別定義圖示多面體由_____圍成的幾何體稱為多面體圍成多面體的各個_____稱為多面體的面；兩個相鄰面的_____稱為多面體的棱；_____的公共點稱為多面體的頂點3.棱柱.（1）相關概念：棱柱：一個多面體有兩個面是_____的多邊形，且它們所在平面_____；其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都相互平行像這樣的幾何體稱為棱柱.底面：棱柱中，兩個互相平行的面稱為棱柱的底面，簡稱底；側面：除了底面，其余各面稱為棱柱的側面；側棱：相鄰側面的公共邊稱為棱柱的側棱；頂點：側面與底面的公共頂點稱為棱柱的頂點；對角線：既不在同一底面上也不在_____的兩個頂點的連線稱為棱柱的對角線.高：過上底面上一點作下底面的垂線，這點和垂足O間的距離稱為點到下底面的距離，也是兩底面間的距離，即棱柱的高.（如圖）表示方法：棱柱可以用它的兩個底面各頂點的字母來表示，也可以用它的某一條對角線的兩個端點的字母來表示，如圖中的棱柱既可表示為_____,也可表示為______.（2）性質：①側棱都_____；②兩個底面與平行于底面的截面都是_____的多邊形；③過不相鄰兩條側棱的截面都是_____.（3）分類:①側面平行四邊形都是矩形的棱柱稱為_____，其他的棱柱稱為斜棱柱，底面是正多邊形的直棱柱稱為_____.②棱柱的底面可以是三角形、四邊形、五邊形……這樣的棱柱分別稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱……③特殊的四棱柱：底面是平行四邊形的棱柱稱為平行六面體；側棱和底面垂直的平行六面體稱為_____;底面是矩形的直平行六面體是長方體；棱長都相等的長方體是正方體.4.棱錐.（1）相關概棱錐：由_____圍成，其中一個面是多邊形，其余各面都是有一個_____的三角形，由這些面所圍成的幾何體稱為棱錐.底面：如下圖，多邊形ABCDEF稱為棱錐的底面，簡側面：側面：其余各面稱為棱錐的側面；頂點：各個側面的公共點稱為棱錐的頂點；側棱：相鄰兩個側面的_____稱為棱錐的側棱；的距離稱為棱錐的高.表示方法：棱錐可以用表示它的頂點和底面各頂點的字母來表示，如_____（如圖），也可用頂點和底面一條對角線端點的字母來表示，如_____（如圖）.（2）分類：①棱錐的底面可以是三角形、四邊形、五邊形……這樣的棱錐分別稱為三棱錐、四棱錐、五棱錐……三棱錐也叫作_____.②如果棱錐的底面是_____，且它的頂點在過底面中心且與底面垂直的直線上，那么這個棱錐稱為正棱錐.正棱錐各側面都是全等的_____，這些_____底邊上的高都相等，稱為正棱錐的斜高，如上圖中的SM（3）性質：如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么截面和底面_____（如圖）.5.棱臺.（1）相關概念：棱臺：用一個_____于底面的平面去截棱錐，截面與底面之間的部分稱為棱臺；底面、側面：原棱錐的底面和截面分別稱為棱臺的下底面和上底面，其余各面稱為棱臺的側面；側棱：相鄰兩個側面的公共邊稱為棱臺的側棱；高：上底面、下底面之間的_____稱為棱臺的高；表示方法：棱臺用上底面、下底面多邊形各頂點的字母來表示，如上圖中的棱臺表示為棱臺，或者用它的對角線端點字母來表示，如棱臺.（2）分類：①由三棱錐、四棱錐、五棱錐……所截得的棱臺，分別稱為三棱臺、四棱臺、五棱臺……②由_____截得的棱臺稱為正棱臺正棱臺各側面都是全等的等腰梯形，這些等腰梯形的高稱為正棱臺的斜高.答案1.點線（直線和曲線）面（平面和曲面）2.平面多邊形多邊形公共邊棱與棱3.（1）邊數相同平行同一個側面上柱：棱柱（2）①相等②全等③平行四邊形（3）①直棱柱正棱柱③直平行六面體4.（1）平面圖形公共頂點公共邊頂點到底面棱錐棱錐（2）①四面體②正多邊形等腰三角形等腰三角形（3）相似5.（1）平行距離（2）②正棱錐預習測評1.判斷對錯.（正確的打“√”，錯誤的打“×”）（1）棱柱的側面都是平行四邊形（）（2）用一個平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫棱臺.（）（3）將棱臺的各側棱延長可交于一點.（）2.下面多面體中，是棱柱的有（）A.1個B.2個C.3個D.4個3.下面四個幾何體中，是棱臺的是（）A.B.C.D.4.在三棱錐中，可以當作棱錐底面的三角形的個數為（）A.1B.2C.3D.45.下列說法正確的有_____.（填序號）①棱錐的側面為三角形，且所有側面都有一個公共點；②棱臺的側面有的是平行四邊形，有的是梯形；③棱臺的側棱所在直線均相交于同一點.答案1.（1）√（2）×（3）√2.答案：D解析：根據棱柱的定義進行判定可知，這4個都滿足.3.答案：C解析：A項中的幾何體是棱柱；B項中的幾何體是棱錐；D項中的幾何體的棱沒有交于點，則D項中的幾何體不是棱臺；很明顯C項中的幾何體是棱臺.4.答案：D解析：每個面都可作為底面，有4個.5.答案：①③解析：根據棱錐的定義可知其側面均是三角形，且所有側面都有一個公共點，故①對；棱臺是棱錐被平行于底面的平面所截后，截面與底面之間的部分，因而其側面均是梯形，且所有的側棱延長后均相交于一點（即原棱錐的頂點），故②錯，③對.因而正確的有①③.新知合作探究探究點1構成空間幾何體的基本元素命知識詳解1.構成空間幾何體的基本元素是點、線（直線和曲線）、面（平面和曲面）等.2.平面是無限延展的、無厚薄、無大小的圖形，但平面圖形，如三角形、平行四邊形、圓等是有大小的.3.可以用三角形、平行四邊形、圓等平面圖形表示平面，但不能說它們是平面.4.平面通常用希臘字母，，等來表示；也可以用表示平行四邊形頂點的字母表示，還可以用表示平行四邊形頂點的兩個相對頂點的字母表示.5.畫兩個平面相交時，一般把被遮擋部分畫成虛線或不畫.典例探究例1下列說法正確的是_____.①平面是無限延展的；②一個平面長3cm，寬4cm；③兩個平面重疊在一起，比一個平面厚；④通過改變直線的位置，可以把直線放在某個平面內.解析①正確，平面是無限延展的；②不正確，平面沒有大小；③不正確，平面沒有厚薄；④正確，平面可以看成是直線平行移動形成的，所以直線通過改變其位置，可以放在某個平面內.答案①④變式訓練1已知下列四個結論：①鋪得很平的一張白紙是一個平面；②平面的形狀是平行四邊形；③一個平面的面積可以等于.其中正確結論的個數是（）A.0B.1C.2D.3答案A點撥在立體幾何中，平面是無限延展的，所以①③錯誤；通常我們畫一個平行四邊形來表示一個平面，但并不是說平面就是平行四邊形，故②錯.探究點2棱柱的定義及結構特征知識詳解1.棱柱的定義.（1）相關概念：棱柱：一個多面體有兩個面是邊數相同的多邊形，且它們所在平面平行；其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都相互平行像這樣的幾何體稱為棱柱.底面：棱柱中，兩個互相平行的面稱為棱柱的底面，簡稱底；側面：除了底面，其余各面稱為棱柱的側面；側棱：相鄰側面的公共邊稱為棱柱的側棱；頂點：側面與底面的公共頂點稱為棱柱的頂點；對角線：既不在同一底面上也不在同一個側面上的兩個頂點的連線稱為棱柱的對角線.高：過上底面上一點作下底面的垂線，這點和垂足O間的距離稱為點到下底面的距離，也是兩底面間的距離，即棱柱的高.（如圖）表示方法：棱柱可以用它的兩個底面各頂點的字母來表示，也可以用它的某一條對角線的兩個端點的字母來表示，如圖中的棱柱既可表示為棱柱，也可表示為棱柱.（2）性質：①側棱都相等；②兩個底面與平行于底面的截面都是全等的多邊形;③過不相鄰兩條側棱的截面都是平行四邊形.（3）分類：①側面平行四邊形都是矩形的棱柱稱為直棱柱，其他的棱柱稱為斜棱柱，底面是正多邊形的直棱柱稱為正棱柱.②棱柱的底面可以是三角形、四邊形、五邊形……這樣的棱柱分別稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱……③特殊的四棱柱:底面是平行四邊形的棱柱稱為平行六面體；側棱和底面垂直的平行六面體稱為直平行六面體；底面是矩形的直平行六面體是長方體；棱長都相等的長方體是正方體.2.棱柱的結構特征.（1）有兩個面（底面）互相平行；（2）其余各面都是四邊形；（3）相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行.典例探究例2下列關于棱柱的說法：①所有的面都是平行四邊形；②每一個面都不會是三角形；③兩底面平行，并且各側棱也平行；④被平面截成的兩部分可以都是棱柱其中正確說法的序號是_____.解析①錯誤，棱柱的底面不一定是平行四邊形；②錯誤，棱柱的底面可以是三角形；③正確，由棱柱的定義易知;④正確，棱柱可以被平行于底面的平面截成兩個棱柱.答案③④方法歸納棱柱結構特征的辨析技巧：（1）扣定義：判定一個幾何體是否是棱柱的關鍵是棱柱的定義.①看“面”，即觀察這個多面體是否有兩個互相平行的面，其余各面都是四邊形；②看“線”，即觀察每相鄰兩個四邊形的公共邊是否平行.（2）舉反例：通過舉反例，如與常見幾何體或實物模型、圖片等不吻合，給予排除.變式訓練2下列關于棱柱的說法中，錯誤的是（）A.三棱柱的底面為三角形B.一個棱柱至少有五個面C.若棱柱的底面邊長相等，則它的各個側面全等D.五棱柱有5條側棱、5個側面，側面為平行四邊形答案C點撥顯然A正確；底面邊數最少的棱柱是三棱柱它有五個面，故B正確；底面是正方形的四棱柱，有一對側面與底面垂直，另一對側面不垂直于底面時，側面并不全等，所以C錯誤；D正確，所以選C.探究點3棱錐、棱臺的定義及結構特征知識詳解1.棱錐的定義.（1）相關概念：棱錐：由平面圖形圍成，其中一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體稱為棱錐.底面：如下圖，多邊形ABCDEF稱為棱錐的底面，簡稱底；側面：其余各面稱為棱錐的側面；頂點：各個側面的公共點稱為棱錐的頂點；側棱：相鄰兩個側面的公共邊稱為棱錐的側棱;高：頂點到底面的距離稱為棱錐的高.表示方法：棱錐可以用表示它的頂點和底面各頂點的字母來表示，如棱錐（如圖），也可用頂點和底面一條對角線端點的字母來表示，如棱錐（如圖）.（2）分類：①棱錐的底面可以是三角形、四邊形、五邊形……這樣的棱錐分別稱為三棱錐、四棱錐、五棱錐……三棱錐也叫作四面體.②如果棱錐的底面是正多邊形，且它的頂點在過底面中心且與底面垂直的直線上，那么這個棱錐稱為正棱錐.正棱錐各側面都是全等的等腰三角形，這些等腰三角形底邊上的高都相等，稱為正棱錐的斜高，如上圖中的SM.（3）性質：如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似（如圖）.2.棱錐的結構特征.（1）有一個面（底面）是多邊形；（2）其余各面（側面）都是有一個公共頂點的三角形.3.棱臺的定義.（1）相關概念:棱臺：用一個平行于底面的平面去截棱錐，截面與底面之間的部分稱為棱臺；底面、側面：原棱錐的底面和截面分別稱為棱臺的下底面和上底面，其余各面稱為棱臺的側面；側棱：相鄰兩個側面的公共邊稱為棱臺的側棱；高：上底面、下底面之間的距離稱為棱臺的高；表示方法：棱臺用上底面、下底面多邊形各頂點的字母來表示，如上圖中的棱臺表示為棱臺，或者用它的對角線端點字母來表示，如棱臺.（2）分類：①由三棱錐、四棱錐、五棱錐……所截得的棱臺，分別稱為三棱臺、四棱臺、五棱臺…②由正棱錐截得的棱臺稱為正棱臺正棱臺各側面都是全等的等腰梯形，這些等腰梯形的高稱為正棱臺的斜高.4.棱臺的結構特征.（1）上、下底面互相平行，且是相似圖形；（2）各側棱延長線相交于一點.典例探究例3下列關于棱錐、棱臺的說法:①用一個平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺；②棱臺的側面一定不會是平行四邊形；③棱錐的側面只能是三角形；④由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐;⑤棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐.其中正確說法的序號是_____.解析①錯誤，若平面不與棱錐底面平行，用這個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分不是棱臺.②正確，棱臺的側面一定是梯形，而不是平行四邊形.③正確，由棱錐的定義知棱錐的側面只能是三角形.④正確，由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐.⑤錯誤，如圖所示，四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐.所以正確說法的序號為②③④.答案②③④方法歸納判斷棱錐、棱臺形狀的兩種方法：（1）舉反例法.結合棱錐、棱臺的定義，舉反例直接判斷關于梭錐、棱臺結構特征的某些說法不正確.（2）直接法.棱錐棱臺定底面只有一個面是多邊形，此面即為底面兩個互相平行的面，即為底面看側棱相交于一點廷長后相交于一點變式訓練3棱臺不具有的性質是（）A.兩底面相似B.側面都是梯形C.側棱長都相等D.側棱延長后相交于一點答案C點撥由棱臺的概念（棱臺的產生過程）可知A，B，D都是棱臺具有的性質，而側棱長不一定相等.變式訓練4下列說法中，正確的是（）①棱錐的各個側面都是三角形；②有一個面是多邊形，其余各面都是三角形，由這些面圍成的幾何體是棱錐；③四面體的任何一個面都可以作為三棱錐的底面；④棱錐的各側棱長相等.A.①②B①③C.②③D.②④答案B點撥由棱錐的定義，知棱錐的各側面都是三角形，故①正確；有一個面是多邊形，其余各面都是三角形，如果這些三角形沒有一個公共頂點，那么這個幾何體就不是棱錐，故②錯；四面體就是由四個三角形所圍成的封閉幾何體，因此以四面體的任何一個面作底面的幾何體都是三棱錐，故③正確；棱錐的側棱長可以相等，也可以不相等，故④錯.易錯易混解讀例水平放置的正方體的六個面分別用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如圖是一個正方體的平面展開圖（圖中數字寫在正方體的外表面上），若圖中的“2”在正方體的上面，則這個正方體的下面是（）A.1B.9C.快D.樂錯解D錯因分析空間想象能力不夠，在翻折過程中認為“2”與“樂”相對.正解由題意，將正方體的展開圖還原成正方體，“1”與“樂”相對，“2”與“9”相對，“0”與“快”相對，所以面走“9”.故選B.糾錯心得