龍巖市一級校聯盟2024—2025學年第二學期半期考聯考高一數學試題（考試時間：120分鐘總分：150分）一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若，則（）A. B. C. D.2.在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，若，則（）A.1 B. C.2 D.3.如圖，在矩形ABCD中，E為CD的中點，則向量（）A. B. C. D.4.已知m，n是兩條不重合的直線，，是兩個不重合的平面，則下列結論正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，，，則D.若m，n是異面直線，，，，，則5.已知向量，滿足，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.6.已知在正方形ABCD中，AC與BD相交于點O，E為BC的中點，DE與CO相交于點F，M為DF的中點，若，則的值為（）A. B. C. D.7.如圖，在棱長為2的正方體中，M，P分別是棱，的中點，平面與平面將該正方體截成三個多面體，其中N，Q分別在棱BC，上，則多面體的表面積為（）A.14 B.15 C.16 D.8.在四邊形ABCD中，，，，若P為三條邊上的一個動點，且，則以下說法正確的是（）①滿足的點P有且只有1個②滿足的點P恰有2個③能使取最大值的點P恰有2個④能使取最大值的點P有無數個A.①② B.①③ C.②③ D.②④二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復數z滿足，其中i為虛數單位，則（）A.復數z的虛部為 B.C.復數z是方程的解 D.10.在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，則（）A. B.外接圓的面積為C.面積的最大值為 D.周長的最大值為11.如圖，在長方體中，，，，E是棱CD上的一個動點，下列命題正確的是（）A.長方體外接球的表面積為B.過A，E，三點的平面截長方體所得截面的周長的最小值為C.在棱上存在相應的點G，使得平面D.若，點F在四邊形（包括邊界）上運動，且平面，則DF的最小值為三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，滿足，，向量，的夾角為60°，則______.13.如圖，為測量高度CD，選取與C在同一水平面內的兩個測量點A，B.現測得，，千米，在點B處測得D的仰角為60°，則CD的高為______千米.14.在銳角三角形ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，若存在最大值，則實數的取值范圍是______.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（本題滿分13分）已知復數，，且是純虛數，其中a為實數，i是虛數單位.（1）求a的值；（2）在復平面內，O為坐標原點，向量，對應的復數分別是，，若，求實數c的值.16.（本題滿分15分）已知平面向量，.（1）當實數m為何值時，與垂直？（2）若與所成的角為銳角，求實數k的取值范圍.17.（本題滿分15分）在中，D是BC邊上的點且，.（1）求的值；（2）若，，求的面積.18.（本題滿分17分）如圖1，設半圓的半徑為2，點B，C三等分半圓，P，M，N分別是OA，OB，OC的中點，將此半圓以OA為母線卷成一個圓錐（如圖2）.在圖2中完成下列各題.圖1圖2（1）求證：平面平面ABC.（2）求四面體ACMN的體積.（3）若D是AN的中點，在線段OB上是否存在一點E，使得平面ABC？若存在，求的值，并證明你的結論；若不存在，說明理由19.（本題滿分17分）古希臘數學家托勒密給出了托勒密定理，即圓的內接凸四邊形的兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積.已知凸四邊形ABCD的四個頂點在同一個圓的圓周上，AC，BD是其兩條對角線.（1）若BD為凸四邊形ABCD的外接圓直徑，，，，求BD與AC的長度；（2）若，且為正三角形，求面積的最大值；（3）已知x，y，z，，且，，求的最大值龍巖市一級校聯盟2024—2025學年第二學期半期考聯考高一數學參考答案一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.題號12345678選項AACD`BDCD二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.題號91011選項ACDBCABD三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.13.14..8.解：如圖，得.當P在邊BC上時，設，，，又，，，，.當P在邊AB上時，，，.當P在邊AC上時，設，，，，，，，.①當時，，此時點P就是點C，或，此時點P在AB上，故①錯誤；②當時，有，或點P在AC上，這樣的點P有2個，故②正確；③的最大值為，此時，，這樣的點P有且只有1個，故③錯誤；④的最大值為3，當P在邊BC上時，恒有，這樣的點P有無數個，故④正確.故答案為D.14.解：由余弦定理可得，則，由正弦定理可得.因為為銳角三角形，則，，所以，又因為函數在內單調遞增，所以，可得，則.由于為銳角三角形，因此即解得，所以，則.因為存在最大值，所以，解得.故.四、解答題：本大題共5小題，共77分.15.解：（1）復數，，，則.因為是純虛數，所以解得.（2）由（1）得，.由題意得，點O，A，B的坐標分別為，，，所以，，因為，所以，解得或.16.解：（1）因為，，所以，.因為與垂直，所以，解得，故當實數m的值為4時，滿足題意.（2），，因為與所成的角為銳角，所以，且與不共線，即.解得.當與共線時，，解得，故.綜上可知.實數k的取值范圍為.17.解：（1）如圖，由題意知AD為的角平分線，根據三角形角平分線的性質可知，因為，所以，即.（2）設，在中，因為，，所以，所以.在中，，，所以，所以.又，所以，解得.在中，，，所以，所以.18.（1）證明：因為M，N分別是OB，OC的中點，所以，又平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，同理得平面ABC，又平面PMN，平面PMN，，所以平面平面ABC.（2）解：在圖2中，設圓錐的底面圓半徑為r，則，解得.所以在圖2中，B，C為圓錐的底面圓周的三等分點，所以為等邊三角形，所以，所以.，圓錐的高，所以，所以，即四面體ACMN的體積為.圖2（3）解：在線段OB上存在點E，且，使得平面ABC，理由如下：如圖3，取AC的中點F，且D是AN的中點，連接DF，所以，.取CB的四等分點G，使，連接GE，FG.因為，所以，，所以，，所以四邊形DFGE是平行四邊形，所以，又平面ABC，平面ABC，所以平面ABC.圖319.解：（1）如圖1，因為BD為外接圓的直徑，所以，已知，所以，.因為，所以（同弧所對的圓周角相等）.在中，，，所以，.在中，，，由正弦定理，