二元一次不等式(組)與簡潔的線性規劃問題1．二元一次不等式(組)表示的平面區域不等式表示區域Ax＋By＋C>0直線Ax＋By＋C＝0某一側的全部點組成的平面區域不包括邊界直線Ax＋By＋C≥0包括邊界直線不等式組各個不等式所表示平面區域的公共部分2.線性規劃中的基本概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的不等式(組)線性約束條件由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式組目標函數關于x，y的函數解析式，如z＝2x＋3y等線性目標函數關于x，y的一次解析式可行解滿意線性約束條件的解(x，y)可行域全部可行解組成的集合最優解使目標函數取得最大值或最小值的可行解線性規劃問題在線性約束條件下求線性目標函數的最大值或最小值問題概念方法微思索1．不等式x≥0表示的平面區域是什么？提示不等式x≥0表示的區域是y軸的右側(包括y軸)．2．可行解肯定是最優解嗎？二者有何關系？提示不肯定．最優解是可行解中的一個或多個．最優解必定是可行解，但可行解不肯定是最優解，最優解不肯定唯一．1．（2024?浙江）若實數，滿意約束條件，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．【答案】B【解析】畫出實數，滿意約束條件所示的平面區域，如圖：將目標函數變形為，則表示直線在軸上截距，截距越大，越大，當目標函數過點時，截距最小為，隨著目標函數向上移動截距越來越大，故目標函數的取值范圍是，．故選B．2．（2024?天津）設變量，滿意約束條件則目標函數的最大值為A．2 B．3 C．5 D．6【答案】C【解析】由約束條件作出可行域如圖：聯立，解得，化目標函數為，由圖可知，當直線過時，有最大值為5．故選C．3．（2024?浙江）若實數，滿意約束條件則的最大值是A． B．1 C．10 D．12【答案】C【解析】由實數，滿意約束條件作出可行域如圖，聯立，解得，化目標函數為，由圖可知，當直線過時，直線在軸上的截距最大，有最大值：10．故選C．4．（2024?北京）若，滿意，且，則的最大值為A． B．1 C．5 D．7【答案】C【解析】由作出可行域如圖，聯立，解得，令，化為，由圖可知，當直線過點時，有最大值為．故選C．5．（2024?天津）設變量，滿意約束條件，則目標函數的最大值為A．6 B．19 C．21 D．45【答案】C【解析】由變量，滿意約束條件，得如圖所示的可行域，由解得．當目標函數經過時，直線的截距最大，取得最大值．將其代入得的值為21，故選C．6．（2024?北京）設集合，，，則A．對隨意實數， B．對隨意實數， C．當且僅當時， D．當且僅當時，【答案】D【解析】當時，集合，，，，，明顯不滿意，，，所以不正確；當，集合，，，，，明顯在可行域內，滿意不等式，所以不正確；當，集合，，，，，明顯，所以當且僅當錯誤，所以不正確；故選D．7．（2024?上海）已知、滿意，則的最大值為_________．【答案】【解析】由約束條件作出可行域如圖陰影部分，化目標函數為，由圖可知，當直線過時，直線在軸上的截距最大，聯立，解得，即．有最大值為．故答案為：．8．（2024?新課標Ⅱ）若，滿意約束條件則的最大值是_________．【答案】8【解析】作出不等式組對應的平面區域如圖：由得，平移直線由圖象可知當直線經過點時，直線的截距最大，此時最大，由，解得，此時，故答案為：8．9．（2024?新課標Ⅲ）若，滿意約束條件則的最大值為_________．【答案】7【解析】先依據約束條件畫出可行域，由解得，如圖，當直線過點時，目標函數在軸上的截距取得最大值時，此時取得最大值，即當，時，．故答案為：7．10．（2024?新課標Ⅰ）若，滿意約束條件則的最大值為_________．【答案】1【解析】，滿意約束條件，不等式組表示的平面區域如圖所示，由，可得時，目標函數，可得，當直線過點時，在軸上截距最大，此時取得最大值：．故答案為：1．11．（2024?上海）不等式的解集為_________．【答案】【解析】由得，則，即，解得，所以不等式的解集是，故答案為：．12．（2024?上海）已知，滿意，則的最小值為_________．【答案】【解析】作出不等式組表示的平面區域，由即，表示直線在軸上的截距的相反數的倍，平移直線，當經過點時，取得最小值，故答案為：．13．（2024?天津）設，使不等式成立的的取值范圍為_________．【答案】【解析】，將分解因式即有：；；由一元二次不等式的解法“小于取中間，大于取兩邊”可得：；即：；或；故答案為：．14．（2024?新課標Ⅱ）若變量，滿意約束條件則的最大值是_________．【答案】9【解析】由約束條件作出可行域如圖：化目標函數為，由圖可知，當直線過時，直線在軸上的截距最小，有最大值為9．故答案為：9．15．（2024?北京）若，滿意則的最小值為_________，最大值為_________．【答案】，1【解析】由約束條件作出可行域如圖，，，令，作出直線，由圖可知，平移直線，當直線過時，有最小值為，過時，有最大值1．故答案為：，1．16．（2024?浙江）若，滿意約束條件，則的最小值是_________，最大值是_________．【答案】；8【解析】作出，滿意約束條件表示的平面區域，如圖：其中，．設，將直線進行平移，視察直線在軸上的截距改變，可得當經過點時，目標函數達到最小值．．可得當經過點時，目標函數達到最最大值：．故答案為：；8．17．（2024?新課標Ⅲ）若變量，滿意約束條件，則的最大值是_________．【答案】3【解析】畫出變量，滿意約束條件表示的平面區域如圖：由解得．變形為，作出目標函數對應的直線，當直線過時，直線的縱截距最小，最大，最大值為，故答案為：3．18．（2024?北京）若，滿意，則的最小值是_________．【答案】3【解析】作出不等式組對應的平面區域如圖：設，則，平移，由圖象知當直線經過點時，直線的截距最小，此時最小，由得，即，此時，故答案為：3．強化訓練強化訓練1．（2024?杭州模擬）設為不等式所表示的平面區域，則位于內的點是A． B． C． D．【答案】C【解析】把代入不等式，得，成立，點不在不等式組表示的平面區域內；把代入不等式，得，成立但不成立，點不在不等式組表示的平面區域內；把代入不等式，得，成立且，點在不等式組表示的平面區域內；把代入不等式，得，不成立，點不在不等式組表示的平面區域內．故選C．2．（2024?德陽模擬）不等式組表示的平面區域為，則A．， B．， C． D．【答案】D【解析】不等式組對應的平面區域如圖：；；令，平移，則當其過點時，取最大值：，當其過點時，取最小值：；即：；故都錯；設表示平面區域內的點與定點連線的斜率；由圖可得：或；錯對；故選D．3．（2024?駐馬店模擬）設不等式組表示的平面區域為，若從圓的內部隨機選取一點，則取自的概率為A． B． C． D．【答案】B【解析】作出中在圓內部的區域，如圖所示，因為直線，的傾斜角分別為，，所以由圖可得取自的概率為．故選B．4．（2024?龍鳳區校級一模）已知點和在直線的兩側，則的取值范圍是A． B． C．或 D．或【答案】A【解析】依據題意，若點和在直線的兩側，則有，即，解可得；故選A．5．（2024?香坊區校級一模）若實數，滿意不等式組，則的最小值為A． B． C．4 D．【答案】D【解析】畫出滿意條件的平面區域，如圖示：，由，解得：，由得，結合圖象直線過，時，最大，即最小，故的最小值是：，故選D．6．（2024?江西模擬）已知實數，滿意約束條件，目標函數且的最大值為2，則的最小值為A． B． C． D．【答案】A【解析】由得，，，直線的斜率，作出不等式對應的平面區域如圖：平移直線得，由圖象可知當直線經過點時，直線的截距最大，此時最大．由，解得，此時目標函數的最大值為2，即，，，當且僅當，并且時取等號．故最小值為，故選A．7．（2024?湖北模擬）當前疫情階段，口罩成為熱門商品，為了賺錢，小明確定在家制作兩種口罩：口罩和口罩．已知制作一只口罩須要2張熔噴布和2張針刺棉，制作一只口罩須要3張熔噴布和1張針刺棉，現小明手上有35張熔噴布和19張針刺棉，且一只口罩有4元利潤，一只口罩有3元利潤．為了獲得最大利潤，那么小明應當制作A．5只口罩，8只口罩 B．6只口罩，6只口罩 C．7只口罩，6只口罩 D．6只口罩，7只口罩【答案】D【解析】設小明應當制作只口罩，只口罩，則，再設小明所獲利潤為，則．由不等式組作出可行域如圖所示，聯立，解得，即，又，，過作直線，把直線向左下平移至點時，有最大值為．小明要獲得最大利潤，應當制作6只口罩，7只口罩．故選D．8．（2024?雨花區校級模擬）若實數，滿意，且恒成立，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【答案】D【解析】作出不等式組，對應的可行域，它為，其中，，，則對于可行域內任一點，都有，，，即為恒成立，轉化為求的最大值，又即為點和點連線的斜率，由圖可知：，即，，，．故選D．9．（2024?河南模擬）已知實數，滿意約束條件則的最小值為A． B． C． D．2【答案】B【解析】由實數，滿意約束條件作出可行域如圖，由解得，化目標函數為，由圖可知，當直線過時直線在軸上的截距最大，有最小值，等于．故選B．10．（2024?唐山二模）已知，滿意約束條件則的最大值為A． B．0 C．2 D．4【答案】B【解析】，滿意約束條件的對應的平面區域如圖：（陰影部分）．由得，平移直線，由平移可知當直線，經過點時，直線的截距最小，此時取得最大值，由，解得代入得，即的最大值是0，故選B．11．（2024?杜集區校級模擬）已知實數、滿意則的最大值為A． B． C．4 D．3【答案】C【解析】由題意作出其平面區域，經過可行域的點時，直線在軸上的截距取得最大值，此時取得最大值，由題意可知，即，時，有最大值，故選C．12．（2024?青羊區校級模擬）若實數，滿意約束條件，則的最大值為A．1 B．2 C． D．3【答案】A【解析】作出實數，滿意約束條件所對應的可行域（如圖陰影），的幾何意義是可行域內的點與定點連線的斜率，由圖象知可知的斜率最大，此時與直線重合，即的最大值為1，故選A．13．（2024?河南模擬）已知實數，滿意約束條件則的最小值為A． B． C． D．2【答案】B【解析】由，令，得，作出不等式對應的可行域（陰影部分），平移直線，由平移可知當直線，經過點時，直線的截距最大，此時取得最小值，的也取得最小值，由，解得將的坐標代入，得，即目標函數的最小值為．故選B．14．（2024?東湖區校級模擬）已知點在表示的平面區域內，則的最小值為A． B． C． D．【答案】D【解析】表示的平面區域如圖陰影部分，點在表示的平面區域內，可得，所以，，所以，則的最小值為可行域內的點與原點距離的平方的一半．由可行域可知，可行域內的點與坐標原點的距離的最小值為到原點的距離，即原點到直線的距離，所以距離的最小值為：，所以的最小值為．故選D．15．（2024?三模擬）已知非負實數，滿意，，，，則的最小值等于A． B． C．0 D．【答案】B【解析】設，作出四個不等式，，，組合后表示的可行域（四邊形），解得可行域的四個頂點：，，，，，一一代入計算，比較得，故選B．16．（2024?梅河口市校級模擬）已知實數，滿意，若的最大值為2024，則實數的值為A． B．673 C．504 D．【答案】B【解析】畫出實數，滿意，可行域如圖：由于目標函數的最大值是2024，可得直線與直線的交點，使目標函數取得最大值，將，，可得得：故選B．17．（2024?桃城區校級模擬）設變量，滿意線性約束條件，若取得最大值時的最優解不唯一，則實數的值為A．或1 B．1或 C．或 D．或2【答案】B【解析】作出不等式組所表示的可行域如圖陰影部分所示，因為目標函數取得最大值時的最優解不唯一，所以當時，直線與直線重合，此時；當時，直線與直線重合，此時，所以或．故選B．18．（2024?東湖區校級模擬）已知，滿意區域，則的取值范圍是A．， B． C． D．【答案】C【解析】作出不等式表示的平面區域如圖所示，聯立，解得，聯立，解得．令，則，，，，．由對勾函數的單調性可知，當時，取得最小值為；而當時，，當時，，即的最大值為1．的取值范圍是，．故選C．19．（2024?襄城區校級四模）若，滿意約束條件，則的整數解的個數為A．1 B．2 C．3 D．4【答案