平向與角的心題I題源探·黃金母題是

精解【試題來源2018南陽中高三學第次考

【母題評析本主考向的）2B.【答案】C【解析】因為三點共線，所以，因為

是

重心，

幾運及用本等求值考考的析題決題的力屬難．【思路方法利基不式最值，定正理和握一正二，相”內：正是首要斷數否正二定，次看或是為值（定最，定最；相是最一要證號否成（要意點一相時參否定域，是次所以，或

時號否時立，所以，簡得，得題目所給圖像可知．由基本不等得，即．且僅當，時，等號成立，故最小值為．

II．場精彩真題回放【例高浙江向滿的最小值是_，大值是．【答案】，

a1,2,

則aa

【命題意圖本主考．題能好考考分問解問的力基計能等【考試方向這試在查型【解析】解法一：設向量a,b的夾角為，由余弦定理有：

上通以擇或空的式254cos

，

出，度等22

5

，則：

【難點中心】本通過,b

的角結合模公式，解4cos

，令

a5

y則216cos據此可得：2016，maxa的最小值是，最大值是．

，

，利三角界性出大最值解法二：如圖所示，+b和a是,為邊的平行四邊形的兩條對角線，則ab

10

，A是

為圓心的單位圓上的一動點，構造個全等的平行四邊形

AOBD

，平行四邊形

ECOA

．所以+．易知當A，B，C點共線時，

最小，此時ABAC

；當AOBC時AB

最大，此時ABACAB5．a

D

ab

A

-b

EB

III理論礎·解原理三角形的心，指的是三角形的心、重心、內心、外心．（1三角形的垂心是指三條高線的交點．垂心常用字母來示．

SS（2三角形的垂心是指三條中線的交點．重心常用字母G來示．重心到頂點的距離是它到對邊中點距離的二倍．（3三角形的內心是指三條內角平分線的交點．內心常用字母I來表示．內心到三邊的距離相等．（4三角形的外心是指三邊的中垂線的交點外心常用字母O來示．外心到三角形三個頂點的距離相等．公式1：圖在

中，點

為角形內任意一點，則

PC

(其A

)（）BDC證明：設

APBD,DC

，則OP

OAODOC,OD1

，

OB(1))(1)

．令

1,1)(1)(1)

，代入上式，取O為，得1)進而可證明：

SPBC,,，記SSSaPACcABCABC

．代入公式（）得：公式：

SPASPCabc

（下面用公式三角形的四心統一公式進行推導：⑴當點為心

時，

S:Sab

1Rsin2sin2B:R22sin2Asin2B:sin2C

（其中

R

為三角形外接圓半徑）代入（）式得：sin2sin2BOBsin20

；⑵當點為心

I

時，

S::Sabc

11ar::a:bcsin:sinB:22

（其中

r

為三角形內切圓

2AB2AB半徑入）式得：sin2Asin2B:sin2C

（其中

R

為三角形外接圓半徑）代入（）式得：sinAIAsinBIB0bIBcIC

；⑶當點為心

時，

S:a

，代入（2式得：

GC

．⑷當點P為心

H

時，如圖，

SCEBHaSAEBHtan

tantan，同理tanAtanCStanB

，S:Stan:B:tanabc

，代入（2式得：

tanC

．IV題型攻略·度挖掘【考試方向】這類試題在考查題型上，通常以選擇題或填空題的形式出現，難度中等；若作為壓軸題，則難大．【技能方法】三角形“四心”的向量表示①在

中，若

OA

或OA

，則點

是

的外心；②在中若GC，點G是ABC的重心；③在

中，若OPAB

12

BC,

0,

，則直線AP

過

的重心；④在中若

，則點H是ABC的心⑤在ABC中，若OPOA

ABAC

(

，則直線AP通的心．【易錯指導】很多同學不知道三角形中重心，外心，內心，外心的定義及性質，比如三角形重心將中線分為比一兩段，三角形的外心到三角形的三個頂點距離相等，內心到三邊的距離相等；由這幾個向量式不知道如何簡，特別是得到PB)V．一反三觸類旁通考三形心向量

，由此想到垂心．【例018內蒙古呼和浩特市高三11月質量普查知AC

是平面上不共線的三點是ABC的心，

OAOBOC2OAOBOC2動點

滿足

1

，則

一定為

的（）A重心

BAB

邊中線的三等分點（非重心）．AB邊中線的中點

D．

邊的中點【答案】B【例2】已知點是()

的重心，內角

所對的邊長分別為，且，則A

B

．

D．【答案】A【解析】∵點O是的重心∴，∵=，∴可設，，

c=x（x＞0，b=x，c=

（x＞0cosC===，∴

，同理可得：

，，選：．【名師點睛】設為

所在平面上一點，角

所對邊長分別為，（1為（2為

的外心的重心

．．（3為

的垂心

．（4為

的內心

．【例廣桂林市賀州市三上學期期末聯考知

G

點為

的重心設

ABC

的內角,BC

的

對邊為ab

且滿足向量BGCG，

C則實數）A2B3．【答案】D

2D3

AD

CD

AC

1922

BC

，

2

2

a

2

,

由atan

bC

，將正切化為正弦與余弦的商，利用正弦定理可得2

2

a

2a212

，故選D．【跟蹤練習】2018四宜賓高三上半期考】已知中AC4,AB2

，若G為重心，則AG

=A

8

B．

6

．4

D．【答案】C【解析】

AG

1BC133故選．【名師點睛】本題考查平面向量基本定理的應用以及數量積的應用．平面向量數量積的類型及法(1)求平面向量數量積有三種方法一是夾角公式＝θ；是標公式a·bxx＋yy；三是利用數量1212積的幾何意義求復雜的平面向量數量積的運算時利平面向量數量積的運算律或相關公式進行化簡．．已知G為ABC的心，且AGBG，212A1B．．D．34【答案】C

1tantanB

，則實數的為

AB2AB2

AsinBACsinC2AB21ABcosC2BCC22AB2

2018齊魯名校教科研協作體山東、湖北分重點中學高考沖刺】已知是面上的一定點A、B、C是面上不共線的三點，若動點滿

ABsinACsin

則點P的軌跡一定通ABC的（）A內心

B外心

C．心

D．心【答案】C【解析】在

ABC

中，由正弦定理得

sin

sin

，設

ABACC

邊上的中點為D

，由已知可得

APADkkk

，故

點的軌跡在三角形的中線上，則P

點軌跡一定通過三角形的重心，故選C2018齊名校教科研協作體山東、湖北部分重點中學高考沖刺】已知G為的重心，點MN分在邊AB上AG,

其中

xyAM

34

的面積之比為_．【答案】

209

．圖所示，已知點

G是△ABC的心，過G作直線與、AC兩分別交于

M、N兩，且AMANyAC

，則

xyx

的值為．1【答案】3【解析】這題應該用到這個結論：是線AB外點，

OCnOB，C

三點共線的充要條件是m

題中就是設

AGmAM

m

于

是

的重心

AG

13

(AB)

，又

AG

，根據平面向量基本定理得

mx

11，即x，3m3n

，代入得

3

．．已知的心O，過任一直線分別交邊ABAC于P,Q點，設AQnAC

，則4

的最小值是_______．【答案】

22AB22AB22AB22AB考三形心向量【例四川成都外國語學校高三月月考設P

是

Δ

所在平面內的一點，若ABCA2且BC．則點P是ΔABC的A外心

B內心

C．心

D．心【答案】A【解析】由

ABAB

，即

，所以

ABPB

，設為AB的點，則

ABPD

，故

；因為

ABBC

，所以

，所以

ABAP

，設BC的點為E同可知

BC

所P為AB與BC的直平分線的交點所以是

Δ

的外心選A【名師點睛】三角形四”的向量表示①在中若

或OAOB，點是的心；②在

中，若

GA

，則點

是

的重心；③在中若OAAB

,0,

，則直線AP過的心；④在ABC中，若HAHC，點是的心；⑤在

ABC

中，若OAABAC

(

，則直線AP

通過

ABC

的內心．【例河衡水中學高上學期九?！恳袿是面上一點，,BC

是平面上不共線的三點，動點滿

ACAC足

OC，2ABcosBC

0,，則點P

的軌跡經過

的（）A外心

B內心

C．心

D．心【答案】A∵DPBC

ABcosBAC

coscoscosACcosC

BCBC

，∴⊥，∴點P在BC的直分線上，即P經ABC的外心，故選A．【例2018重一中高三下學期第一次月考】點

O

是銳角三角形

ABC

的外心，6,AC2

，則AO【答案】20【解析】如圖所示，過點

O

分別作

OEAB

于E

于F

，則EF

分別是,

的中點，可得在Rt中OAE

AO

2AO

，所以

2

，同理可得

2

2

，所以

20

．

【名師點睛】本題考查了平面向量化簡與平面向量的數量積的運算問題，其中解答中將

ABC

放在它的外接圓O中，點分作OEAB，，到,

分別是,AC

的中點，利用數量積的運算，分別求得AO,AO

的值是解答的關鍵，著重考查了平面向量的數量積的運算性質和三角形外接圓的性質，有一定的綜合性，屬于中檔試題．【跟蹤練習】江南昌一模】設O是ABC的心(角形外接圓的圓心)．若

AO

11AB+，∠的33數等于()A

B45

．60

D．【答案】C【名師點睛】這個題目考查了向量在三角形的四心中以及向量三角形法則，求模運算以及數量積的運用，屬于中檔題．對于向量的小題常用的方法有：數形結合法，建系方法，見模平方的意識，基底化的意識．浙省普通高等學校全國招生統一考試數模擬知O為角外心，AB，3若AO

，且xy．l，l，lOA12

，則（）A

l213

B

l321

C．

l32

D．

l23【答案】D

12121212∴

AO

，AO22

．∵AO，∴AO3cosBACAOACxcos②③∵xy

92

①∴由①②③得cos

3378

，根據余弦定理可得BC9

321

，∴

ACAB

．在中由大邊對大角得：

BOCAOC

．∵

OAOBOC

，且余弦函數在0,

上為減函數，∴

OA

，∴

l23

，故選D．【名師點睛向量的運算將向量與代數有機結合起來，這就為向量和函數的結合提供了前提，運用向量的關知識可以解決某些函數問題．(2)以向量為載體求相關變量的取范圍，是向量與函數、不等式、三角函數等相結合的一類綜合問題．(3)向量的兩個作用：①載體作用關鍵是利用向量的意義、作用脫向外”，轉化為我們熟悉的數問題；②工具作用：利用向量可解決一些垂直、平行、夾角與距離問題．．已知O銳角的外，

coscos，若ACsinC

則＝）A

B

35．3D．23

【答案】A新烏魯木齊地區高三第一次診斷測試ABC中，CACB，O是的外心，若COxCA10【答案】9

，則

．【解析因為COyCB

所COxCACA

，COxCA

，即

11CAxCACAyCBCACB因4y2

，解得x

5410639

．四川省雙流中學高三月月考知

為

的外心外接圓半徑為1

60，的最大值為__________．2【答案】3【解析】以O為原點建立平面直角坐標系，如圖，∵

．

22222AB22222AB13設1,0,(,2

），

則BC

13,y2

,

∵BO，{

1

，解得

{

xy

1232∵B在上，代入

1

，即

，12，得或（舍去）故最大值為，填．4333考

三形心向【例2018西省運城市康杰中學期中考試已O是面上的一定點AB是平面上不共線的三個點，動點滿OA

ABAC

0,，則動點P的跡一定通過

ABC

的（）A重心

B垂心

C．心

D．心【答案】D【名師點睛】平面向量的線性運技巧：將向量轉化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線、平行四邊形等質，把未知向量用已知向量表示出來求解．【例四德陽高三二診ABC中

所的邊分是a且aB5sinC

，

OB1221144OB12211441C

，若

為

ABC

的內心，則

ABO

的面積為．【答案】

【名師點睛】本小題主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查了三角形的面積公式，包括倫公式及有關內切圓的面積公式．首先根據

C，4sin5sinC，到5sinC

，利用兩角和與差的正弦公式和二倍角公式，化簡這個式子可求得cosC的．利用海倫公式可求得面積．【跟蹤練習】2017年月浙江省重點中學期末熱身聯考】已知三角形ABC，，BC，，為角形

的內心，記

I1

，

IOB?2

，

I3

，則（）A

II31

B

II1

3

C．

III3

2

D．

II2【答案】A【解析】∵三角形ABC，AB2，BC，AC，O為角形ABC的心∴

OAOC∴3OAABOAAC，OAOB，

4AC9即ABAC39OCCB，即

OC

ACBCACAC3999∴IOA

20242162ABACABABAB8181

2323420243IOBABACACABACAB8181818147216220216020IOCACABAB999981818181根據余弦定理可得：

BAC

BA

2

2BC216∴

ABAC

112∴

I

16112713044311135160201110，I，I818128181812162818123∴

III31【名師點睛面量的綜合題與角度與長度結合在一起考查解時運用向量的運算量的幾何意義，同時，需注意挖掘題目中尤其是幾何圖形中的隱含條件，常利用數形結合思想將問題等價轉化利用幾何圖形中的不等關系將問題簡化，一般會與函數，不等式等幾個知識點交匯，或利用平面向量的數量積決其他數學問題是今后考試命題的趨勢；點

是平面

ABC

上任意一點，點

是

ABC

內心的充要條件是：bO

．2017山西太原高三二?！恳阎c

是

ABC

的內心，

，

，則

BOC

面積的最大值為_______【答案】

312【名師點睛】內心性質

BOC1800

0A902

，本題關鍵要找到

與

BOC

的關系，再結合余弦定理，結合面積公式可求．考三形心向量

【例2018江南昌市八一中學、洪都中學、麻丘中學、十七中、桑海中月聯考】

ABC

的外接圓的圓心為O，若

OAOBOC

，則H

是

ABC

的（）A外心

B內心

C．心

D．心【答案】D【名師點睛】解答本題的關鍵是如何借助三角形的外接圓的圓心這一有效信息，然后再運用向的數量積公式進行合理地變形最逐一驗證獲

H

，

，

由此可推斷

是三角形的垂心，從而使得問題簡捷、巧妙獲解．【例10廣東東莞市高一下學期期末教學質量檢查】已知在中，是垂心，點P滿：3OP

1OAOB，ABP的積與的積之比是（）2A

23B．．D342【答案】A【解析】如圖，設AB的中點為M，設

11OAON，則N是的中點，點與M22

重合，故由3OP

1OAOB2

可得

OP

，即

OCOM

，也即

PM

，由向量的共線定理可得,P,M共且

MP

23

MC

所結合圖形可得ABP

的面積與

的面積之比是

2222222223

，應選答案A．【跟蹤練習】．已知O為ΔABC所平面內一點，滿足BCOCAB

，則是Δ的（）A外心

B內心

C．心

D．心【答案】C云省名校月考（一

，

，則下列結論錯誤的是（）A若是的重心，則C．PABC的心，則

B若P是ABC的心，則D若P是的心，則

24【答案】B【解析】如圖，設AD，線AP與線交D點，因為

，所以

D

r

r

r

r

，即

，過D

作DE

分別平行于,，則

AE

，而

，

AC

，由平行線分線段成比例得

CDFD

，同