8.3簡單幾何體的表面積與體積

前面我們分別認識了基本立體圖形的結構特征和平面表示，本節進一步認識簡單幾何體的表面積和體積.表面積是幾何體表面的面積，它表示幾何體表面的大小，體積是幾何體所占空間的大小.8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積一、棱柱、棱錐、棱臺的表面積

多面體的表面積就是圍成多面體各個面的面積的和.棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是圍成它們的各個面的面積的和，即

側面積+底面積例1

已知一個正四棱錐P-ABCD的側棱長為5，底面的邊長為6，求它的表面積．解：PABCD如右圖，在△PAB中作PE⊥AB，垂足為E.則EPE=所以S△PAB=6×4÷2=12于是正四棱錐P-ABCD的表面積SP-ABCD=4×12+6×6=84還記得以前學過的特殊棱柱——正方體、長方體的表面積嗎？S正方體=6a2(a為正方體的棱長)S長方體=2(ab+bc+ca)(a、b、c為長方體的長、寬、高)多面體的表面積又是怎樣的呢？二、棱柱、棱錐、棱臺的體積還記得以前學過的特殊棱柱——正方體、長方體的體積公式嗎？V正方體=6a3(a為正方體的棱長)V長方體=abc(a、b、c為長方體的長、寬、高)多面體的體積又是怎樣的呢？1.棱柱的體積：

棱柱的高是指兩底面之間的距離，即從一底面上任意一點向另一個底面作垂線，這點與垂足之間的距離.

棱錐的高是指從頂點向底面作垂線，頂點與垂足之間的距離.

一般地，如果棱柱的底面積是S，高是h,那么這個棱柱的體積

2.棱錐的體積：

如果一個棱柱和一個棱錐的底面積相等，高也相等，那么，棱柱的體積是棱錐的體積的3倍.因此，一般地，如果棱錐的底面面積為S，高為h，那么該棱錐的體積V棱柱=ShV棱錐=Sh二、棱柱、棱錐、棱臺的體積3.棱臺的體積：

棱臺的高是指兩底面之間的距離，即從上底面上任意一點向下底面作垂線，這點與垂足之間的距離.

由于棱臺是由棱錐截成的，因此可以利用兩個棱錐的體積差，得到棱臺的體積公式其中S'、S分別為棱臺的上、下底面面積，h為棱臺的高.V棱臺=

觀察棱柱、棱錐、棱臺的體積公式：V棱柱=Sh、、,它們之間有什么關系?你能用棱柱、棱錐、棱臺的結構特征來解釋這種關系嗎?V棱錐=ShV棱臺=S'=SS'=0例2

如右圖，一個漏斗的上面部分是一個長方體,下面部分是一個四棱錐,兩部分的高都是0.5m，公共面ABCD是邊長為1m的正方形，那么這個漏斗的容積是多少立方米?解：二、棱柱、棱錐、棱臺的體積A'B'C'D'ABCDP如右下圖，由題意知V長方體ADCD-A'B'C'D'=1×1×0.5=0.5(m3)，V棱錐P-ABCD=×1×1×0.5=(m3)所以這個漏斗的容積V=0.5+=(m3)例3

棱長相等的三棱錐叫正四面體,求棱長為a的正四面體的體積.

二、棱柱、棱錐、棱臺的體積解：如右圖，設PO為正四面體的高，連接AO并延長，交BC于D.由正四面體概念可得：D為BC的中點，O為△ABC的中心.PABCDOaa由AB=a可得AD=于是AO=在Rt△AOP中有：正四面體的高PO=所以該正四面體的體積V=S△ABC×PO=三、課堂小結1.棱柱、棱錐、棱臺的表面積：就是圍成它們的各個面的面積的和，即

側面積+底面積2.棱柱、棱錐、棱臺的體積：V棱錐=ShV棱臺=V