專題11.2立方根【七大題型】【華東師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1立方根的性質與數軸的綜合】 1【題型2依據立方根的性質求字母的值】 3【題型3依據立方根的定義解方程】 5【題型4與立方根有關的計算】 7【題型5算術平方根、平方根、立方根的綜合應用】 9【題型6利用立方根的定義解決實際問題】 11【題型7利用立方根探究規律】 13【學問點立方根的概念及性質】（1）一般地，假如一個數的立方等于a，那么這個數叫做a的立方根或三次方根。即假如x3=a，那么x叫做a的立方根，記作。即。（2）正數的立方根是正數；負數的立方根是負數；0的立方根是0.【題型1立方根的性質與數軸的綜合】【例1】（2025春·江蘇泰州·八班級靖江市靖城中學校考期中）如圖，a，b，c是數軸上三個點A、B、C所對應的實數．試化簡：b2+a?b?3a+b3?b?c．【答案】-2b-c．【分析】依據數軸上點的位置推斷出確定值里和根號下式子的符號，利用確定值的代數意義化簡，去括號合并即可得到結果．【詳解】解：依據題意得：b＜0，a-b＞0，a+b＜0，b-c＜0，則原式=-b+a-b-a-b+b-c=-2b-c．【點睛】此題考查了開平方，開立方確定值化簡運算，推斷出確定值里邊式子的正負是解本題的關鍵．【變式1-1】（2025春·上海·八班級專題練習）已知點A是614的算術平方根，點B的立方是?827，在數軸上描出點A和點B，并求出A【答案】畫圖見解析；兩點距離196【分析】依據算術平方根和立方根的定義計算求值即可；【詳解】解：∵點A是254∴點A所對應的數為52∵點B的立方是?8∴點B所對應的數為?2在數軸上描出點A和點B為：因此AB之間的距離為：52-（?23答：A與B兩點的距離為196【點睛】本題考查了算術平方根：假如一個正數的平方等于a，那么這個正數叫做a的算術平方根；立方根：假如一個數的立方等于a，那么這個數叫做a的立方根（或三次方根），正數只有一個正的立方根，負數只有一個負的立方根，零的立方根為零；數軸上兩點距離=右邊的數-左邊的數．【變式1-2】（2025春·四川成都·八班級成都嘉祥外國語學校校考期中）如圖，數軸上的點A所表示的數為x，則x2【答案】?2【分析】依據數軸上點的特點和相關線段的長，即知表示0的點和A之間的線段的長，進而可推出點A所表示的數，代入x2【詳解】解：由圖可知，x=?2x2-8立方根是3?8【點睛】本題主要考查的就是數軸上點所表示的數，立方根，屬于基礎題型．【變式1-3】（2025春·八班級單元測試）把下列各數在數軸上表示，并用“＜”號把它們連接起來．?3，0，?4，3?125【答案】見解析【分析】先利用確定值的性質、有理數的乘方、平方根與立方根，將各數進行整理，并標在數軸上，再從左到右用“＜”號把它們連接即可．【詳解】解：?3=3，?4=?2，3將各數表示在數軸上為：用“＜”號把它們連接起來為：3?125【點睛】本題考查數軸上的點表示數、平方根與立方根、確定值的性質、利用數軸比較大小等學問，先將各數進行整理是解決本題的關鍵．【題型2依據立方根的性質求字母的值】【例2】（2025春·全國·八班級期中）已知a2=?32，【答案】6或30【分析】依據立方根的性質可得3a-2b=-(a+b)，從而得到b=4a．然后再代入，即可求解．【詳解】解：∵a2∴a=±3．∵33∴33∴3a-2b=-(a+b)，解得b=4a．當a=3時，b=12，此時2a當a=-3時，b=-12，此時2a綜上所述，代數式2a【變式2-1】（2025春·浙江寧波·八班級浙江省鄞州區宋詔橋中學校考期中）若實數a，b滿足(1)若a，b都是整數．請寫出一對符合條件的(2)若a，b都是分數．請寫出一對符合條件的【答案】(1)a=1,b=?27（答案不唯一）(2)a=1【分析】（1）依據a，b為整數，利用平方根及立方根定義找出符合題意（2）依據a，b都是分數利用平方根及立方根定義找出符合題意【詳解】（1）解：∵a+1+∴a=1,b=?27符合題意，（2）∵a+14∴a=1【點睛】本題考查了算術平方根、立方根的運算，把握算術平方根、立方根的意義是解題的關鍵．【變式2-2】（2025春·山東濟寧·八班級統考期中）若a2=9，b3=?8，且ab>0，則A．?1 B．1 C．5 D．?1或5【答案】A【分析】先依據平方根和立方根的定義得到a=±3，b=?2，再由ab>0得到a=?3，由此即可得到答案．【詳解】解：∵a2=9，∴a=±3，b=?2，∵ab>0，∴a=?3，∴a?b=?3??2故選A．【點睛】本題主要考查了平方根和立方根，正確依據平方根和立方根的定義求出a、b的值是解題的關鍵．【變式2-3】（2025春·全國·八班級專題練習）解答下列各題：（1）已知31?a2（2）若31?2b與33b?5互為相反數，求【答案】（1）a=0或±1或±2；（2）【分析】（1）直接利用立方根的性質分析得出答案；（2）利用相反數、立方根的性質求出b的值，代入計算即可求解．【詳解】解：（1）立方根等于它本身的數有0，1，?1.當1?a2=0時，a當1?a2=1時，a當1?a2=?1時a所以a的值為0或±1或±2（2）由于31?2b與3所以1?2b+3b?5=0，所以b=4.所以1?b【點睛】本題考查相反數，立方根和算術平方根的性質，要把握一些特殊數字的特殊性質，如1，-1和0．【題型3依據立方根的定義解方程】【例3】（2025春·吉林·八班級校聯考期中）求x的值：(x+4)3【答案】x=0【分析】依據立方根的定義求解．【詳解】(x+4)(x+4)3x+4=4x=0【點睛】本題考查了立方根，把握立方根的定義是解題的關鍵，假如一個數的立方等于a，那么這個數叫做a的立方根或三次方根．【變式3-1】（2025·八班級單元測試）(1)若(x－3)2＝169，則x的值為________；(2)若(2x－1)3＝－8，則x的值為________.【答案】16或－10?【分析】由平方根及立方根的定義即可求解.【詳解】∵(x－3)2＝169，∴x-3=13或x-3=-13，即x=16或－10；∵(2x－1)3＝－8，∴2x－1=-2，x=-12【點睛】此題考查了平方根和立方根的定義，嫻熟把握這兩個定義是解答問題的關鍵.【變式3-2】（2025春·吉林白城·八班級校聯考階段練習）已知一個正數的兩個不同的平方根分別是a+7與3a?11．(1)求a的值；(2)求關于x的方程ax【答案】(1)a=1(2)x=5【分析】（1）依據一個正數有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數列式求解即可；（2）依據立方根的定義求解即可．【詳解】（1）解：∵一個正數的兩個不同的平方根分別是a+7與3a?11，∴a+7+3a?11=0，解得：a=1．（2）解：當a=1時，x3?125=0，即解得：x=5．【點睛】本題主要考查了平方根的性質、立方根的定義等學問點，把握一個正數有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數是解題的關鍵．【變式3-3】（2025春·八班級課時練習）求下列各式中x的值．(1)x?13(2)x3(3)14【答案】(1)x(2)x=?(3)x=【分析】（1）直接利用立方根的定義求解即可；（2）方程先變形為x3（3）方程先變形為2x+33【詳解】（1）解：x?13∴x?1=?2，∴x=（2）解：x3∴x3∴x=?5（3）解：14∴2x+33∴2x+3=6，∴x=3【點睛】本題考查了立方根以及解方程，正確把握立方根的定義是解題的關鍵．【題型4與立方根有關的計算】【例4】（2025·全國·八班級專題練習）如圖，小明設計了一個計算程序，當輸入x的值為-5時，則輸出的值為（

）A．-1 B．-2 C．-3 D．3【答案】C【分析】依據流程圖按步驟求解即可．【詳解】解：依據流程圖可得3===?2?1=?3．故選C．【點睛】本題考查了依據流程圖計算和立方根的運算，解決本題的關鍵是看懂流程圖并正確的計算．【變式4-1】（2025春·四川成都·八班級校考期中）計算：38【答案】5【分析】依據立方根的意義求出立方根，再進行減法運算即可．【詳解】解：38故答案為：52【點睛】本題考查求一個數的立方根，正確計算是解題的關鍵．【變式4-2】（2025春·全國·八班級期中）若某自然數的立方根為a，則它前面與其相鄰的自然數的立方根是（

）A．a?1 B．3a?1 C．3a3【答案】C【分析】先求出該自然數，再求出與其相鄰的自然數的立方根即可．【詳解】解：∵某自然數的立方根為a，∴該自然為a3∴它前面與其相鄰的自然數的立方根是3a故選C．【點睛】本題考查求一個數的立方根．嫻熟把握立方根的定義：一個數x的立方為a，則x叫做a的立方根，是解題的關鍵．【變式4-3】（2025春·全國·八班級專題練習）定義新運算：對任意實數a、b，都有a△b=a?b2，例如，3△4=3?4【答案】?2【分析】依據題目所給的定義新運算，先求出2△1的值，再求出2△1△3的值，最終求出2△1【詳解】解：∵a△b=a?b∴2△1∴1△3=1?3∴3故答案為：?2．【點睛】本題考查了新定義運算，立方根的求法，解題的關鍵是依據題意得到算式，然后由立方根的運算法則進行求解即可．【題型5算術平方根、平方根、立方根的綜合應用】【例5】（2025春·浙江寧波·八班級統考期中）已知?8的平方等于a，b的平方等于121，c的立方等于?27，d的算術平方根為5．（1）寫出a，b，c，d的值；（2）求d+3c的平方根；（3）求a?b【答案】（1）a=64,b=±11,c=?3,d=25；（2）它的平方根為±4；（3）-35【分析】（1）依據乘方、算術平方根、平方根與立方根定義得出a，b，c，d的值；（2）把c，d的值代入d+3c中求值，再求平方根即可；（3）把a，b，c，d的值；代入a?b【詳解】（1）由題意得，a=64,b=±11,c=?3,d=25；（2）當c=?3,d=25時，d+3c=25+3×(?3)=25?9=16，因此它的平方根為±4；（3）當a=64,b=±11,c=?3,d=25時，a?b【點睛】本題考查了平方根，立方根，算術平方根的定義，求出a、b、c、d的值是解題的關鍵．【變式5-1】（2025春·河南商丘·八班級統考期中）2a?1的平方根為±3，3a?b+1的立方根為2，則32a+2b+1的值為（

A．?3 B．3 C．±3 D．不確定【答案】B【分析】依據平方根定義立方根定義列式求出a，b，代入求解即可得到答案；【詳解】解：∵2a?1的平方根為±3，3a?b+1的立方根為2，∴2a?1=(±3)2=9解得：a=5，b=8，∴32a+2b+1故選B；【點睛】本題考查平方根的定義，立方根的定義，解題的關鍵是依據定義列式求解．【變式5-2】（2025春·八班級單元測試）簡答：(1)設a3+64+|b3-27|=0,求(a+b)(2)已知225的算術平方根是a,-512的立方根是b,求2a-【答案】(1)1;(2)6.【分析】（1）依據算術平方根及確定值的非負性可求出a及b的值，進而可得出答案；（2）首先依據算術平方根和立方根的定義求得a、b的值，然后將a、b的值代入化簡即可．【詳解】(1)

由題意知:a3+64=0,b3-27=0,解得a=-4,b=3.∴(a+b)2=(-4+3)2=(-1)2=1.(2)

∵225=15=a,3-512=-8=∴2a-【點睛】本題主要考查的是算術平方根、立方根的定義.依據算術平方根和立方根的定義求得a、b的值是解題的關鍵．【變式5-3】（2025春·山東濟寧·八班級統考期中）已知：一個正數x的兩個平方根分別是a+3與2a?15，2b?1=13(1)求x的值；(2)求a+b?1的立方根．【答案】(1)x=49(2)3【分析】（1）依據平方根的定義可得a+3+2a?15=0，求出a即可解決問題；（2）先由算術平方根的定義求出b，即可求出a+b?1，再依據立方根的定義解答．【詳解】（1）解：由于一個正數x的兩個平方根分別是a+3與2a?15，所以a+3+2a?15=0，解得：a=4，所以正數x=3+4（2）解：由于2b?1=13所以2b?1=169，所以b=85，所以a+b?1=4+85?1=88，所以a+b?1的立方根是388【點睛】本題考查了平方根和立方根的學問，屬于基礎題型，熟知二者的概念及性質是解題的關鍵．【題型6利用立方根的定義解決實際問題】【例6】（2025·浙江·八班級假期作業）如圖的零件是由兩個正方體焊接而成，已知大正方體和小正方體的體積分別為125cm3和27cm3，現要給這個零件的表面刷上油漆，那么所刷油漆的面積是（A．161 B．186 C．195 D．204【答案】B【分析】先求出大正方體和小正方體的棱長，再求出零件的表面積即可求解．【詳解】解：∵大正方體的體積為125cm3，小正方體的體積為∴大正方體的棱長為5cm，小正方體的棱長為3∴大正方體的每個表面的面積為25cm2，小正方體的每個表面的面積為∴這個零件的表面積為：25×6+9×4=186cm∴要給這個零件的表面刷上油漆，則所需刷油漆的面積為186cm故選：B．【點睛】本題考查立方根，表面積．理解題意是解題的關鍵．【變式6-1】（2025春·浙江金華·八班級校考階段練習）如圖所示的正方形紙板是由兩張大小相同的長方形紙板拼接而成的，已知一張長方形紙板的面積為162cm2．(1)求正方形紙板的邊長；(2)若將該正方形紙板進行裁剪，然后拼成一個體積為343cm3的正方體無蓋筆筒，請你推斷該硬紙片是否夠用？若夠用，求剩余的硬紙片的面積；若不夠用，求缺少的硬紙片的面積．【答案】(1)18(2)夠用，剩余79平方厘米【分析】（1）依據正方形的面積公式進行解答；（2）由正方體的體積公式求得正方體的棱長，然后由正方形的面積公式進行解答．【詳解】（1）依題意得：162×2=18（2）依題意得：3343則剪切紙板的面積=7×7×5=245(cm2)，剩余紙板的面積=324?245=79(cm2)即剩余的正方形紙板的面積為79平方厘米．【點睛】本題考查了立方根，算術平方根，解題的關鍵是生疏正方形的面積公式和立方體的體積公式．【變式6-2】（2025春·安徽淮南·八班級統考階段練習）要生產一種容積為36π升的球形容器，這種球形的半徑是多少分米？（球的體積公式是V=43π【答案】這種球形的半徑是3分米【分析】依據球的體積公式列式求解即可；【詳解】解：設這種球形的半徑是R，由題意，得：43∴R3∴R=3答：這種球形的半徑是3分米；【點睛】本題考查立方根．嫻熟把握立方根的定義是解題的關鍵．【變式6-3】（2025春·全國·八班級專題練習）圖1是由27個同樣大小的立方體組成的魔方，體積為27(1)求出這個魔方的棱長．(2)圖2是這個魔方的一個面，圖中的陰影部分是一個正方形，求出陰影部分的面積及其邊長．【答案】(1)3(2)5；5【分析】（1）立方體的體積等于棱長的3次方，開立方即可得出棱長；（2）依據魔方的棱長為3，所以小立方體的棱長為1，陰影部分由大正方形的面積減去四個三角形的面積即可；開平方即可求出邊長．【詳解】（1）解：3∴這個魔方的棱長是3．（2）∵魔方的棱長為3，∴小立方體的棱長為1，∴S∴陰影部分的邊長是5【點睛】本題考查的是立方根及算術平方根在實際生活中的運用，解答此題的關鍵是依據立方根求出魔方的棱長．【題型7利用立方根探究規律】【例7】（2025春·廣東珠海·八班級珠海市九洲中學校考期中）據說，我國有名數學家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：一個整數的立方是59319，求這個整數．華羅庚脫口而出：“39.”鄰座的乘客格外驚異，忙問計算的奧妙．你知道華羅庚是怎樣快速精確?????地計算出來的嗎？請依據下面的問題試一試：（1）由103=1000，1003（2）由59319的個位上的數是9，你能確定359319（3）假如劃去59319后面的三位319得到數59，而33=27，43（4）已知19683，110592都是整數的立方，請你依據上述方法確定它們的立方根．【答案】（1）兩位數；（2）9；（3）3；（4）27，48【分析】（1）依據59319大于1000而小于1000000，即可確定59319的立方根是兩位數；（2）依據一個數的立方的個位上的數就是這個數的個位上的數的立方的個位上的數，據此即可確定；（3）依據數的立方的計算方法即可確定；（4）依據（1）（2）（3）即可得到答案．【詳解】解：（1）∵1000＜59319＜1000000，∴10＜3∴359319（2）只有個位上的數是9的數的立方的個位上的數照舊是9，∴359319的個位上的數是9（3）∵27＜59＜64，∴3＜59∴359319的十位上的數是3（4）經過分析可得，19683的立方根是兩位數，19683的立方根的個位上的數字是7，十位上的數字是2，故19683的立方根是27；同理可得，110592的立方根是48．【點睛】本題主要考查了立方根以及數的立方，理解一個數的立方的個位上的數就是這個數的個位上的數的立方的個位上的數是解題的關鍵．【變式7-1】（2025春·廣東汕尾·八班級華中師范高校海豐附屬學校校考期中）探究規律：(1)計算：①3?125=_________，②3?8=________，(2)歸納：由（1）的計算可得3?a(3)利用（2）探究出的規律，解答下題．若3x?1與32x?3互為相反數，求【答案】(1)①-5，5；②-2，2(2)?(3)x=【分析】（1）依據立方根的定義解答即可；（2）依據（1）總結規律即可解答；（3）依據（2）所得規律以及（3）的已知條件可得（x-1）+（2x-3）=0，然后求解即可．（1）解：①3?125=-5，3125=5；②（2）解：由（1）的計算可歸納：3?a=?3（3）解：∵3x?1與32x?3互為相反數∴3x?1+3【點睛】本題主要考查了求一個數的立方根、數字規律以及相反數的意義等學問點，機敏運用相關學問成為解答本題的關鍵．【變式7-2】（2025·全國·八班級假期作業）觀看下列規律回答問題：3?0.001=?0.1，3?1=?1，3?1000=?10(1)則30.000001=；3106=(2)已知3x=1.587，若3y=?0.1587，用含x的代數式表示y(3)依據規律寫出3a與a【答案】(1)0.01、100(2)﹣x(3)當a<?1或0<a<1時，3a>a；當a=?