專題3.7函數的應用（一）-重難點題型精講1．實際問題中函數建模的基本步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理清數量關系，初步選擇模型.

(2)建模：將自然語言轉化為數學語言，利用數學知識，建立相應的函數模型.

(3)求解：根據實際問題所需要解決的目標及函數式的結構特征正確求得函數模型的解.

(4)還原：應用問題不是單純的數學問題，既要符合數學學科背景又要符合實際背景，因此解出的結果要代入原問題中進行檢驗、評判，最后得出結論，作出回答.2．一次函數模型的應用一次函數模型：f(x)=kx+b(k,b為常數，k≠0).

一次函數是常見的一種函數模型，在初中就已接觸過.3．二次函數模型的應用二次函數模型：f(x)=+bx+c(a,b,c為常數,a≠0).

二次函數為生活中常見的一種數學模型，因二次函數可求其最大值(或最小值)，故最優、最省等最值問題常用到二次函數模型.4．冪函數模型的應用冪函數模型應用的求解策略

(1)給出含參數的函數關系式，利用待定系數法求出參數，確定函數關系式.

(2)根據題意，直接列出相應的函數關系式.5．分段函數模型的應用由于分段函數在不同區間上具有不同的解析式，因此分段函數在研究條件變化前后的實際問題中具有廣泛的應用.6．“對勾”函數模型的應用對勾函數模型是常考的模型，要牢記此類函數的性質，尤其是單調性：y=ax+(a>0,b>0)，當x>0時，在(0,]上遞減，在(,+)上遞增.另外，還要注意換元法的運用.【題型1一次函數模型的應用】【方法點撥】在應用一次函數的性質及圖象解題時，應注意一次函數有單調遞增（一次項系數為正）和單調遞減（一次項系數為負）兩種情況.【例1】（2021秋?通州區期中）南通至通州的某條公共汽車線路收支差額y與乘客量x的函數關系如圖所示（收支差額＝車票收入一支出費用）．由于目前本條線路虧損，公司有關人員提出了兩條建議：建議（Ⅰ）不改變車票價格，減少支出費用；建議（Ⅱ）不改變支出費用，提高車票價格．下面給出的四個圖形中，實線虛線分別表示目前和建議后的函數關系，則（）A．①反映了建議（Ⅰ），②反映了建議（Ⅱ） B．②反映了建議（Ⅰ），④反映了建議（Ⅱ） C．①反映了建議（Ⅰ），③反映了建議（Ⅱ） D．④反映了建議（Ⅰ），②反映了建議（Ⅱ）【變式1-1】（2022?曲靖模擬）某大型家電商場，在一周內，計劃銷售A、B兩種電器，已知這兩種電器每臺的進價都是1萬元，若廠家規定，一家商場進貨B的臺數不高于A的臺數的2倍，且進貨B至少2臺，而銷售A、B的售價分別為12000元/臺和12500元/臺，若該家電商場每周可以用來進貨A、B的總資金為6萬元，所進電器都能銷售出去，則該商場在一個周內銷售A、B電器的總利潤（利潤＝售價﹣進價）的最大值為（）A．1.2萬元 B．2.8萬元 C．1.6萬元 D．1.4萬元【變式1-2】某廠日生產文具盒的總成本y（元）與日產量x（套）之間的關系為y＝6x+30000．而出廠價格為每套12元，要使該廠不虧本，至少日生產文具盒（）A．2000套 B．3000套 C．4000套 D．5000套【變式1-3】（2021秋?岳麓區校級月考）某醫院工作人員所需某種型號的口罩可以外購，也可以自己生產，其中外購的單價是每個1.2元，若自己生產，則每月需投資固定成本2000元，并且每生產一個口罩還需要材料費和勞務費共0.8元，設該醫院每月所需口罩n（n∈N*）個，則自己生產口罩比外購口罩較合算的充要條件是（）A．n＞800 B．n＞5000 C．n＜800 D．n＜5000【題型2二次函數模型的應用】【方法點撥】在應用二次函數解決實際問題時，不能簡單套用頂點坐標公式，因為拋物線的頂點縱坐標不一定是實際問題的最值，一定要注意自變量的取值范圍，特別注意隱含條件，如：月份、天、周、商品件數等應為正整數.【例2】（2021秋?新鄉期末）某燈具商店銷售一種節能燈，每件進價10元，每月銷售量y（單位：件）與銷售價格x（單位：元）之間滿足如下關系式：y＝﹣10x+500（20＜x≤40且x∈N）．則燈具商店每月的最大利潤為（）A．3000元 B．4000元 C．3800元 D．4200元【變式2-1】（2021秋?浙江期末）某公司在甲、乙兩地銷售同一種產品，利潤（單位：萬元）分別為L1＝0.506x﹣0.0015x2，L2＝0.2x，其中x（單位：件）為在當地的銷量．若該公司在甲、乙兩地共銷售該產品150件，則公司能獲得的最大利潤為（）A．45.606萬元 B．45.6萬元 C．45.56萬元 D．45.51萬元【變式2-2】（2021秋?南昌期末）一般來說，產品進入市場，價格越高，銷量越小．某門店對其銷售產品定價為p元/件，日銷售量為q件，根據歷史數據可近似認為p，q滿足關系q＝200﹣p（80≤p≤150），如當定價p＝90元，毛收入為9900元．為了追求最大利潤，不會無限提高售價，根據信息推測每天最少毛收入為（）A．7500元 B．9600元 C．9900元 D．10000元【變式2-3】（2021秋?廬江縣期中）某種商品進價為4元/件，當零售價為6元/件時，日均銷售100件，銷售數據表明，單個每增加1元，日均銷量減少10件．該商家銷售此商品每天固定成本為20元，若要利潤最大，則該商品每件的價格應該定為（）A．8元 B．9元 C．10元 D．11元【題型3冪函數模型的應用】【方法點撥】(1)給出含參數的函數關系式，利用待定系數法求出參數，確定函數關系式.(2)根據題意，直接列出相應的函數關系式.【例3】（2022?廣西模擬）異速生長規律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數量關系通常以冪函數形式表示．比如，某類動物的新陳代謝率y與其體重x滿足y＝kxα，其中k和α為正常數，該類動物某一個體在生長發育過程中，其體重增長到初始狀態的16倍時，其新陳代謝率僅提高到初始狀態的8倍，則α為（）A．14 B．12 C．23 【變式3-1】（2021秋?南充期末）今年中國“芯”掀起研究熱潮，某公司已成功研發A、B兩種芯片，研發芯片前期已經耗費資金2千萬元，現在準備投入資金進行生產．經市場調查與預測，生產A芯片的凈收入與投入的資金成正比，已知每投入1千萬元，公司獲得凈收入0.25千萬元：生產B芯片的凈收入y（千萬元）是關于投入的資金x（千萬元）的冪函數，其圖象如圖所示．（1）試分別求出生產A、B兩種芯片的凈收入y（千萬元）與投入的資金x（千萬元）的函數關系式；（2）現在公司準備投入4億元資金同時生產A、B兩種芯片．設投入x千萬元生產B芯片，用f（x）表示公司所獲利潤，求公司最大利潤及此時生產B芯片投入的資金．（利潤＝A芯片凈收入+B芯片凈收入﹣研發耗費資金）【變式3-2】（2021秋?深圳期中）某家庭進行理財投資，根據長期收益率市場預測，投資債券等穩健型產品的收益f（x）與投資額x成正比，且投資1萬元時的收益為18萬元；投資股票等風險型產品的收益g（x）與投資額x的算術平方根成正比，且投資1萬元時的收益為0.5（Ⅰ）分別寫出兩種產品的收益與投資額的函數關系；（Ⅱ）該家庭現有20萬元資金，全部用于理財投資，問：怎樣分配資金能使投資獲得最大收益，其最大收益為多少萬元？【變式3-3】（2020秋?鄒城市期中）近年來，我國積極參與國際組織，承擔國際責任，為國家進步、社會發展、個人成才帶來了更多機遇，因此，面臨職業選擇時，越來越多的青年人選擇通過創業、創新的方式實現人生價值．其中，某位大學生帶領其團隊自主創業，通過直播帶貨的方式售賣特色農產品，下面為三年來農產品銷售量的統計表：年份201620172018銷售量/萬斤415583結合國家支持大學生創業政策和農產品市場需求情況，該大學生提出了2019年銷售115萬斤特色農產品的目標，經過創業團隊所有隊員的共同努力，2019年實際銷售123萬斤，超額完成預定目標．（Ⅰ）將2016、2017、2018、2019年分別定義為第1年、第2年、第3年、第4年，現有兩個函數模型：二次函數模型為f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）；冪函數模型為g（x）＝kx3+mx+n（k≠0）．請你通過計算分析確定：選用哪個函數模型能更好的反映該創業團隊農產品的年銷售量y與第x年的關系；（Ⅱ）依照目前的形勢分析，你能否預測出該創業團隊在2020年度的農產品銷售量嗎？【題型4分段函數模型的應用】【方法點撥】涉及分段函數的實際應用題，可以先將其當作幾個問題，將各段的變化規律分別找出來，再合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點值.【例4】（2022秋?平遙縣校級月考）某研究所開發了一種抗病毒新藥，用小白鼠進行抗病毒實驗，已知小白鼠服用1粒藥后，每毫升血液含藥量y（微克）隨著時間x（小時）變化的函數關系式近似為y=2?x8?x(0≤x≤6)（1）若小白鼠服用1粒藥，多長時間后該藥能起到有效抗病毒的效果？（2）某次實驗：先給小白鼠服用1粒藥，6小時后再服用1粒，請問這次實驗該藥能夠有效抗病毒的時間為多少小時？【變式4-1】（2022秋?襄都區校級月考）第四屆中國國際進口博覽會于2021年11月5日至10日在上海舉行．本屆進博會有4000多項新產品、新技術、新服務．某跨國公司帶來了高端空調模型參展，通過展會調研，中國甲企業計劃在2022年與該跨國公司合資生產此款空調．生產此款空調預計全年需投入固定成本260萬元，生產x千臺空調，需另投入資金R萬元，且R=10x2+ax，0≤x＜40901（1）求2022年該企業年利潤W（萬元）關于年產量x（千臺）的函數關系式；（2）2022年產量為多少時，該企業所獲年利潤最大？最大年利潤為多少？注：利潤＝銷售額﹣成本．【變式4-2】（2022?南京模擬）某電子廠生產某電子元件的固定成本是4萬元，每生產x萬件該電子元件，需另投入成本f（x）萬元，且f(x)=14x（1）求該電子廠這種電子元件的利潤y（萬元）與生產量x（萬件）的函數關系式；（2）求該電子廠這種電子元件利潤的最大值．【變式4-3】（2021秋?武城縣校級月考）2020年初新冠肺炎襲擊全球，嚴重影響人民生產生活．為應對疫情，某廠家擬加大生產力度．已知該廠家生產某種產品的年固定成本為200萬元，每年生產x千件，需另投入成本C（x）．當年產量不足50千件時，C(x)=12x2+20x（萬元）；年產量不小于50（1）寫出年利潤L（x）（萬元）關于年產量x（千件）的函數解析式；（2）當年產量為多少千件時，該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大？最大利潤是多少？【題型5“對勾”函數模型的應用】【方法點撥】結合實際問題，構建“對勾函數”模型，利用對勾函數的單調性或基本不等式進行解題，注意取值要滿足實際情況.【例5】（2022秋?太原月考）物聯網（InternetofThings，縮寫：IOT）是基于互聯網、傳統電信網等信息承載體，讓所有能行使獨立功能的普通物體實現互聯互通的網絡．其應用領域主要包括運輸和物流、工業制造、健康醫療、智能環境（家庭、辦公、工廠）等，具有十分廣闊的市場前景．現有一家物流公司計劃租地建造倉庫儲存貨物，經過市場調查了解到下列信息：倉庫每月土地占地費y1（單位：萬元），倉庫到車站的距離x（單位：千米，x＞0），其中y1與x+1成反比，每月庫存貨物費y2（單位：萬元）與x成正比；若在距離車站9千米處建倉庫，則y1和y2分別為2萬元和7.2萬元．（1）求出y1與y2的解析式；（2）這家公司應該把倉庫建在距離車站多少千米處，才能使兩項費用之和最小？最小費用是多少？【變式5-1】（2022?二七區校級開學）鄭州市某地鐵項目正在緊張建設中，通車后將給更多市民出行帶來便利，已知該線路通車后，地鐵的發車時間間隔t（單位：分鐘）滿足2≤t≤20，t∈N*，經測算，在某一時段，地鐵載客量與發車時間間隔t相關，當10≤t≤20時地鐵可達到滿載狀態，載客量為1200人，當2≤t＜10時，載客量會減少，減少的人數與（10﹣t）的平方成正比，且發車時間間隔為2分鐘時載客量為560人，記地鐵載客量為p（t）．（1）求p（t）的解析式；（2）若該時段這條線路每分鐘的凈收益為Q=6p(t)?3360t【變式5-2】（2022春?愛民區校級期末）已知快遞公司要從A地往B地送貨，A，B兩地的距離為100km，按交通法規，A，B兩地之間的公路車速x應限制在60～120km/h（含端點），假設汽車的油耗為（42+7x2400）元/時，司機的工資為（1）試建立行車總費用y元關于車速x的函數關系；（2）若不考慮其他費用，以多少車速行駛，快遞公司所要支付的總費用最少？最少費用為多少？【變式5-3】（2022?浙江開學）某地中學生社會實踐小組為研究學校附近某路段的交通擁堵情況，經實地調查、數學建模，得該路段上的平均行車速度v（單位：km/h）與該路段上的行車數量n（單位：輛）的關系為：v=600n+10，n≤933000n2+k，n≥10，n∈N?其中常數k∈R．該路段上每日t時的行車數量n＝﹣2（|t已知某日17時測得的平均行車速度為3km/h．（注：3.16＜（Ⅰ）求實數k的值；（Ⅱ）定義車流量q＝nv（單位：輛?km/h），求一天內車流量q的最大值（結果保留整數部分）．【題型6函數模型的綜合應用】【方法點撥】(1)求解已知函數模型解決實際問題的關注點①認清所給函數模型，弄清哪些量為待定系數；②根據已知利用待定系數法，確定模型中的待定系數.(2)利用函數模型，借助函數的性質、基本不等式等求解實際問題，并進行檢驗.【例6】（2022秋?余姚市校級月考）經長期觀測得到：在某地交通繁忙時段內，公路汽車的車流量y（單位：千輛/h）與汽車的平均速度v（單位：km/h）之間的函數關系為y=910vv2+11v+1600（（1）若要求在該時段內車流量超過9.1千輛/h，則汽車的平均速度應在什么范圍內？（2）在該時段內，當汽車的平均速度v為多少時，車流量最大？最大的車流量為多少？【變式6-1】（2022秋?中原區校級月考）.某網絡經銷商購進了一批以成都大運會為主題的文化衫進行銷售文化衫的進價為每件30元，當銷售單價定為70元時，每天可售出20件，每銷售一件需繳納網絡平臺管理費2元，為了擴大銷售，增加盈利，決定采取適當的降．價措施，經調查發現：銷售單價每降低1元，則每天可多售出2件（銷售單價不低于進價），若設這款文化衫的銷售單價為x（元），每天的銷售量為y（件）．（1）求每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數關系式；（2）當銷售單價為多少元時，銷售這款文化衫每天所獲得的利潤最大，最大利潤為多少元？【變式6-2】（2022?興縣校級開學）如圖，某農業研究所要在一個矩形試驗田ABCD內種植三種農作物，三種農作物分別種植在并排排列的三個形狀相同、大小相等的小矩形中，試驗田四周和三個種植區域之間均設有1米寬的非種植區．已知種植區的占地面積為200平方米．（1）設小矩形的寬為x米，試驗田ABCD的面積為S平方米，求函數S＝f（x）的解析式；（2）求試驗田ABCD占地面積的最小值．【變式6-3】（2021秋?石鼓區校級月考）如圖，計劃在一面墻進行粉刷與裝飾．墻長為18m．用彩帶圍成四個相同的長方形區域．（1）若每個區域的面積為24m2，要使圍成四個區域的彩帶總長最小，則每個區域長和寬分別是多少米？求彩帶總長最小值？（2）若每個區域矩形長為x（m）如圖，寬為長的一半．每米彩帶價格為5元，墻的粉刷與裝飾費用每平方米為10元．總費用不超過180元．問每個區域應如何設計？專題3.7函數的應用（一）-重難點題型精講1．實際問題中函數建模的基本步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理清數量關系，初步選擇模型.

(2)建模：將自然語言轉化為數學語言，利用數學知識，建立相應的函數模型.

(3)求解：根據實際問題所需要解決的目標及函數式的結構特征正確求得函數模型的解.

(4)還原：應用問題不是單純的數學問題，既要符合數學學科背景又要符合實際背景，因此解出的結果要代入原問題中進行檢驗、評判，最后得出結論，作出回答.2．一次函數模型的應用一次函數模型：f(x)=kx+b(k,b為常數，k≠0).

一次函數是常見的一種函數模型，在初中就已接觸過.3．二次函數模型的應用二次函數模型：f(x)=+bx+c(a,b,c為常數,a≠0).

二次函數為生活中常見的一種數學模型，因二次函數可求其最大值(或最小值)，故最優、最省等最值問題常用到二次函數模型.4．冪函數模型的應用冪函數模型應用的求解策略

(1)給出含參數的函數關系式，利用待定系數法求出參數，確定函數關系式.

(2)根據題意，直接列出相應的函數關系式.5．分段函數模型的應用由于分段函數在不同區間上具有不同的解析式，因此分段函數在研究條件變化前后的實際問題中具有廣泛的應用.6．“對勾”函數模型的應用對勾函數模型是常考的模型，要牢記此類函數的性質，尤其是單調性：y=ax+(a>0,b>0)，當x>0時，在(0,]上遞減，在(,+)上遞增.另外，還要注意換元法的運用.【題型1一次函數模型的應用】【方法點撥】在應用一次函數的性質及圖象解題時，應注意一次函數有單調遞增（一次項系數為正）和單調遞減（一次項系數為負）兩種情況.【例1】（2021秋?通州區期中）南通至通州的某條公共汽車線路收支差額y與乘客量x的函數關系如圖所示（收支差額＝車票收入一支出費用）．由于目前本條線路虧損，公司有關人員提出了兩條建議：建議（Ⅰ）不改變車票價格，減少支出費用；建議（Ⅱ）不改變支出費用，提高車票價格．下面給出的四個圖形中，實線虛線分別表示目前和建議后的函數關系，則（）A．①反映了建議（Ⅰ），②反映了建議（Ⅱ） B．②反映了建議（Ⅰ），④反映了建議（Ⅱ） C．①反映了建議（Ⅰ），③反映了建議（Ⅱ） D．④反映了建議（Ⅰ），②反映了建議（Ⅱ）【解題思路】根據函數解析式的變化得出圖象的變化即可．【解答過程】解：設目前車票價格為k1，支出費用為b1，則y＝k1x﹣b1，對于建議（I），設建議后的支出費用為b2（b2＜b1），則y＝k1x﹣b2，顯然建議后，直線斜率不變，在y軸上的截距變大，故圖象①反映了建議（I）；對于建議（II），設建議后的車票價格為k2（k2＞k1），則y＝k2x﹣b1，顯然建議后，直線斜率變大，在y軸上的截距不變，故圖象③反映了建議（II）．故選：C．【變式1-1】（2022?曲靖模擬）某大型家電商場，在一周內，計劃銷售A、B兩種電器，已知這兩種電器每臺的進價都是1萬元，若廠家規定，一家商場進貨B的臺數不高于A的臺數的2倍，且進貨B至少2臺，而銷售A、B的售價分別為12000元/臺和12500元/臺，若該家電商場每周可以用來進貨A、B的總資金為6萬元，所進電器都能銷售出去，則該商場在一個周內銷售A、B電器的總利潤（利潤＝售價﹣進價）的最大值為（）A．1.2萬元 B．2.8萬元 C．1.6萬元 D．1.4萬元【解題思路】設該賣場在一周內進貨B的臺數為x臺，則一周內進貨A的臺數為（6﹣x），根據已知條件，先求出x的取值范圍，再寫出y關于x的函數關系式，再結合函數的單調性，即可求解．【解答過程】解：設該賣場在一周內進貨B的臺數為x臺，則一周內進貨A的臺數為（6﹣x），由題意可得，x≥2x≤2(6?x)，解得2≤x≤4，且xy＝0.2（6﹣x）+0.25x＝0.05x+1.2，函數y＝0.05x+1.2隨著x的增大而增大，故y的最大值為0.05×4+1.2＝1.4（萬元）．故選：D．【變式1-2】某廠日生產文具盒的總成本y（元）與日產量x（套）之間的關系為y＝6x+30000．而出廠價格為每套12元，要使該廠不虧本，至少日生產文具盒（）A．2000套 B．3000套 C．4000套 D．5000套【解題思路】設利潤為z，則z＝12x﹣y＝12x﹣（6x+30000）＝6x﹣30000，由z≥0求解一元一次不等式得答案．【解答過程】解：設利潤為z，則z＝12x﹣y＝12x﹣（6x+30000）＝6x﹣30000，由z＝6x﹣30000≥0，得x≥5000．∴要使該廠不虧本，至少日生產文具盒5000套．故選：D．【變式1-3】（2021秋?岳麓區校級月考）某醫院工作人員所需某種型號的口罩可以外購，也可以自己生產，其中外購的單價是每個1.2元，若自己生產，則每月需投資固定成本2000元，并且每生產一個口罩還需要材料費和勞務費共0.8元，設該醫院每月所需口罩n（n∈N*）個，則自己生產口罩比外購口罩較合算的充要條件是（）A．n＞800 B．n＞5000 C．n＜800 D．n＜5000【解題思路】根據已知條件，可得關于n的不等式，求解后可得正確的選項．【解答過程】解：由已知條件可得，0.8n+2000＜1.2n，即n＞5000，故自己生產口罩比外購口罩較合算的充要條件是n＞5000．故選：B．【題型2二次函數模型的應用】【方法點撥】在應用二次函數解決實際問題時，不能簡單套用頂點坐標公式，因為拋物線的頂點縱坐標不一定是實際問題的最值，一定要注意自變量的取值范圍，特別注意隱含條件，如：月份、天、周、商品件數等應為正整數.【例2】（2021秋?新鄉期末）某燈具商店銷售一種節能燈，每件進價10元，每月銷售量y（單位：件）與銷售價格x（單位：元）之間滿足如下關系式：y＝﹣10x+500（20＜x≤40且x∈N）．則燈具商店每月的最大利潤為（）A．3000元 B．4000元 C．3800元 D．4200元【解題思路】先建立二次函數模型，再由二次函數的性質求解最值．【解答過程】解：設燈具商店每月的利潤為z元，則z＝（x﹣10）（﹣10x+500）＝﹣10（x﹣30）2+4000≤4000，故選：B．【變式2-1】（2021秋?浙江期末）某公司在甲、乙兩地銷售同一種產品，利潤（單位：萬元）分別為L1＝0.506x﹣0.0015x2，L2＝0.2x，其中x（單位：件）為在當地的銷量．若該公司在甲、乙兩地共銷售該產品150件，則公司能獲得的最大利潤為（）A．45.606萬元 B．45.6萬元 C．45.56萬元 D．45.51萬元【解題思路】設該公司在甲地銷x輛，那么乙地銷150﹣x輛，根據條件列出關于利潤的函數，求可借助二次函數求其最值．【解答過程】解：設該公司在甲地銷x輛，x∈[0，150]，那么乙地銷150﹣x輛，利潤L（x）＝0.506x﹣0.0015x2+0.2（150﹣x）＝﹣0.0015x2+0.306x+30，為開口向下的拋物線，對稱軸方程為x＝102，∴x＝102時，L（x）取到最大值，這時最大利潤為45.606萬元，故選：A．【變式2-2】（2021秋?南昌期末）一般來說，產品進入市場，價格越高，銷量越小．某門店對其銷售產品定價為p元/件，日銷售量為q件，根據歷史數據可近似認為p，q滿足關系q＝200﹣p（80≤p≤150），如當定價p＝90元，毛收入為9900元．為了追求最大利潤，不會無限提高售價，根據信息推測每天最少毛收入為（）A．7500元 B．9600元 C．9900元 D．10000元【解題思路】根據已知條件，結合二次函數的性質，即可求解．【解答過程】解：設每天的毛收入為y元，單價為p元/件，則y＝pq＝（200﹣p）p＝﹣p2+200p，由對稱軸為p＝100，開口向下，故當p＝150時，毛收入y有最小值，（200﹣150）×150＝7500元．故選：A．【變式2-3】（2021秋?廬江縣期中）某種商品進價為4元/件，當零售價為6元/件時，日均銷售100件，銷售數據表明，單個每增加1元，日均銷量減少10件．該商家銷售此商品每天固定成本為20元，若要利潤最大，則該商品每件的價格應該定為（）A．8元 B．9元 C．10元 D．11元【解題思路】由題意，列出利潤關于商品定價的函數關系f（x）＝（x﹣4）[100﹣10（x﹣6）]﹣20，利用二次函數的性質，即可求得最大值．【解答過程】解：由題意，設該商品定價為x元，利潤為f（x），故f（x）＝（x﹣4）[100﹣10（x﹣6）]﹣20＝﹣10x2+200x﹣660，為開口向下的二次函數，對稱軸為x＝10，故當x＝10時，f（x）取得最大值，因此若要利潤最大，則該商品每件的價格應該定為10元，故選：C．【題型3冪函數模型的應用】【方法點撥】(1)給出含參數的函數關系式，利用待定系數法求出參數，確定函數關系式.(2)根據題意，直接列出相應的函數關系式.【例3】（2022?廣西模擬）異速生長規律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數量關系通常以冪函數形式表示．比如，某類動物的新陳代謝率y與其體重x滿足y＝kxα，其中k和α為正常數，該類動物某一個體在生長發育過程中，其體重增長到初始狀態的16倍時，其新陳代謝率僅提高到初始狀態的8倍，則α為（）A．14 B．12 C．23 【解題思路】設初始狀態為（x1，y1），變化后為（x2，y2），根據x1，x2，y1，y2的關系代入后可求解．【解答過程】解：設初始狀態為（x1，y1），變化后為（x2，y2），則x2＝16x1，y2＝8y1，又∵y1=kx∴8y∴8＝16α，即α＝log168=log故選：D．【變式3-1】（2021秋?南充期末）今年中國“芯”掀起研究熱潮，某公司已成功研發A、B兩種芯片，研發芯片前期已經耗費資金2千萬元，現在準備投入資金進行生產．經市場調查與預測，生產A芯片的凈收入與投入的資金成正比，已知每投入1千萬元，公司獲得凈收入0.25千萬元：生產B芯片的凈收入y（千萬元）是關于投入的資金x（千萬元）的冪函數，其圖象如圖所示．（1）試分別求出生產A、B兩種芯片的凈收入y（千萬元）與投入的資金x（千萬元）的函數關系式；（2）現在公司準備投入4億元資金同時生產A、B兩種芯片．設投入x千萬元生產B芯片，用f（x）表示公司所獲利潤，求公司最大利潤及此時生產B芯片投入的資金．（利潤＝A芯片凈收入+B芯片凈收入﹣研發耗費資金）【解題思路】（1）根據已知條件，分別設出正比例函數，以及冪函數，通過代入對應點的坐標，即可求解．（2）由題意可知，f（x）＝0.25（40﹣x）+x12【解答過程】解：（1）設芯片的凈收入y（千萬元）與投入的資金x（千萬元）的函數關系式為y＝kx，∵已知每投入1千萬元，公司獲得凈收入0.25千萬元，∴k＝0.25，故y＝0.25x，生產B芯片的凈收入y（千萬元）是關于投入的資金x（千萬元）的冪函數關系式為y＝xα，由圖象可知，y＝xα的圖象過點（4，2），即2＝4α，解得α=1故所求函數的關系式為y=x（2）由題意可知，f（x）＝0.25（40﹣x）+x12故當x12=2，即x＝4時，f（x故公司最大利潤為9千萬元，此時生產B芯片投入的資金為4千萬元．【變式3-2】（2021秋?深圳期中）某家庭進行理財投資，根據長期收益率市場預測，投資債券等穩健型產品的收益f（x）與投資額x成正比，且投資1萬元時的收益為18萬元；投資股票等風險型產品的收益g（x）與投資額x的算術平方根成正比，且投資1萬元時的收益為0.5（Ⅰ）分別寫出兩種產品的收益與投資額的函數關系；（Ⅱ）該家庭現有20萬元資金，全部用于理財投資，問：怎樣分配資金能使投資獲得最大收益，其最大收益為多少萬元？【解題思路】（Ⅰ）設f（x）＝kx，g（x）＝mx，代入已知數據解出k和m的值即可；（Ⅱ）設投資債券類產品為x萬元，則投資股票類產品為（20﹣x）萬元，故收益y＝f（x）+g（20﹣x）（0≤x≤20），然后結合換元法和二次函數的性質即可得解．【解答過程】解：（Ⅰ）設f（x）＝kx，g（x）＝mx，則f（1）＝k?1=18，g（1）＝m?1∴k=18，m∴f（x）=18x（x≥0），g（x）=12x（Ⅱ）設投資債券類產品為x萬元，則投資股票類產品為（20﹣x）萬元，∴收益y＝f（x）+g（20﹣x）=18x+1220?x令t=20?x∈[0，25則y=18（20﹣t2）+12t=?18（∴當t＝2，即x＝16時，收益最大，為3萬元．故投資債券類產品16萬元，投資股票類產品4萬元時，其收益最大，為3萬元．【變式3-3】（2020秋?鄒城市期中）近年來，我國積極參與國際組織，承擔國際責任，為國家進步、社會發展、個人成才帶來了更多機遇，因此，面臨職業選擇時，越來越多的青年人選擇通過創業、創新的方式實現人生價值．其中，某位大學生帶領其團隊自主創業，通過直播帶貨的方式售賣特色農產品，下面為三年來農產品銷售量的統計表：年份201620172018銷售量/萬斤415583結合國家支持大學生創業政策和農產品市場需求情況，該大學生提出了2019年銷售115萬斤特色農產品的目標，經過創業團隊所有隊員的共同努力，2019年實際銷售123萬斤，超額完成預定目標．（Ⅰ）將2016、2017、2018、2019年分別定義為第1年、第2年、第3年、第4年，現有兩個函數模型：二次函數模型為f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）；冪函數模型為g（x）＝kx3+mx+n（k≠0）．請你通過計算分析確定：選用哪個函數模型能更好的反映該創業團隊農產品的年銷售量y與第x年的關系；（Ⅱ）依照目前的形勢分析，你能否預測出該創業團隊在2020年度的農產品銷售量嗎？【解題思路】（Ⅰ）利用待定系數法分別求出二次函數模型f（x）和冪函數模型g（x）的解析式，再分別計算與2019年實際銷量的誤差，選誤差較小的模型能更好的反映該創業團隊農產品的年銷售量y與第x年的關系；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知選用二次函數模型f（x）＝7x2﹣7x+41進行預測，計算f（5）即可預測出該創業團隊在2020年度的農產品銷售量．【解答過程】解：（Ⅰ）若選擇二次函數模型：依題意，將前三年數據分別代入f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），得f(1)=41f(2)=55f(3)=83，即解得a=7b=?7所以f（x）＝7x2﹣7x+41，將x＝4代入f（x），得f（4）＝7×42﹣7×4+41＝125，所以，此與2019年實際銷售量誤差為125﹣123＝2（萬斤），若選擇冪函數模型：依題意，將前三年數據分別代入g（x）＝kx3+mx+n（k≠0），得g(1)=41g(2)=55g(3)=83，即解得k=7所以g（x）=7將x＝4代入g（x），得g（4）=76所以，此與2019年銷售量的實際誤差為132﹣123＝9（萬斤），顯然2＜9，因此，選用二次函數f（x）＝7x2﹣7x+41模型能更好的反映該創業團隊農產品的年銷售量y與第x年的關系．（Ⅱ）依據（Ⅰ），選用二次函數模型f（x）＝7x2﹣7x+41進行預測，得f（5）＝7×52﹣7×5+41（萬斤），即預測該創業團隊在2020年的農產品銷售量為181萬斤．【題型4分段函數模型的應用】【方法點撥】涉及分段函數的實際應用題，可以先將其當作幾個問題，將各段的變化規律分別找出來，再合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點值.【例4】（2022秋?平遙縣校級月考）某研究所開發了一種抗病毒新藥，用小白鼠進行抗病毒實驗，已知小白鼠服用1粒藥后，每毫升血液含藥量y（微克）隨著時間x（小時）變化的函數關系式近似為y=2?x8?x(0≤x≤6)（1）若小白鼠服用1粒藥，多長時間后該藥能起到有效抗病毒的效果？（2）某次實驗：先給小白鼠服用1粒藥，6小時后再服用1粒，請問這次實驗該藥能夠有效抗病毒的時間為多少小時？【解題思路】（1）根據y≥4，代入第一段解析式中求不等式即可．（2）根據分段函數的函數值要不低于4，分段求解即可．【解答過程】解：（1）設服用1粒藥，經過小小時能有效抗病毒，即血液含藥量須不低于4微克，可得0≤解得163所以163（2）設經過x小時能有效抗病毒，即血液含藥量須不低于4微克；若0＜x≤6，藥物濃度2x8?x解得163若6＜x≤12，藥物濃度(12?化簡得x2﹣20x+100≥0，所以6＜x≤12；若12＜x≤18，藥物濃度12﹣（x﹣6）≥4，解得x≤14，所以12＜x≤14；綜上x∈故14?16所以這次實驗該藥能夠有效抗病毒的時間為263【變式4-1】（2022秋?襄都區校級月考）第四屆中國國際進口博覽會于2021年11月5日至10日在上海舉行．本屆進博會有4000多項新產品、新技術、新服務．某跨國公司帶來了高端空調模型參展，通過展會調研，中國甲企業計劃在2022年與該跨國公司合資生產此款空調．生產此款空調預計全年需投入固定成本260萬元，生產x千臺空調，需另投入資金R萬元，且R=10x2+ax，0≤x＜40901（1）求2022年該企業年利潤W（萬元）關于年產量x（千臺）的函數關系式；（2）2022年產量為多少時，該企業所獲年利潤最大？最大年利潤為多少？注：利潤＝銷售額﹣成本．【解題思路】（1）由題意可知x＝10時，R＝4000，代入函數中可求出a，然后由年利潤等于銷售總額減去投入資金，再減去固定成本，可求出年利潤W（萬元）關于年產量x（千臺）的函數關系式；（2）分別當0≤x＜40和x≥40求出函數的最大值，比較即可得答案．【解答過程】解：（1）由題意知，當x＝10時，R（x）＝10×102+10a＝4000，所以a＝300．當0≤x＜40時，W＝900x﹣（10x2+300x）﹣260＝﹣10x2+600x﹣260；當x≥40時，W=900x?所以W=?10（2）當0≤x＜40時，W＝﹣10（x﹣30）2+8740，所以當x＝30時，W有最大值，最大值為8740；當x≥40時，W=?當且僅當x=10000x，即x＝100時，W有最大值，最大值為因為8740＜8990，所以當2022年產量為100千臺時，該企業的年利潤最大，最大年利潤為8990萬元．【變式4-2】（2022?南京模擬）某電子廠生產某電子元件的固定成本是4萬元，每生產x萬件該電子元件，需另投入成本f（x）萬元，且f(x)=14x（1）求該電子廠這種電子元件的利潤y（萬元）與生產量x（萬件）的函數關系式；（2）求該電子廠這種電子元件利潤的最大值．【解題思路】（1）根據已知條件，結合利潤等于總收入減去總成本，即可求解．（2）根據（1）的結論，分類討論求得兩段函數的最值，通過比較大小，即可求解．【解答過程】解：（1）當0＜x≤6時，y=8x?當6＜x≤20時，y=8x?故該電子廠這種電子元件的利潤y（萬元）與生產量x（萬件）的函數關系式為y=?（2）當0＜x≤6時，函數y=?14x2所以y=?14x2則ymax當6＜x≤20時，因為x+64x≥264=16所以y=?x?64x+34≤?16+34=18，即當x＝因為17＜18，所以當x＝8時，y取得最大值18，則利潤的最大值為18萬元，故該電子廠這種電子元件利潤的最大值18萬元．【變式4-3】（2021秋?武城縣校級月考）2020年初新冠肺炎襲擊全球，嚴重影響人民生產生活．為應對疫情，某廠家擬加大生產力度．已知該廠家生產某種產品的年固定成本為200萬元，每年生產x千件，需另投入成本C（x）．當年產量不足50千件時，C(x)=12x2+20x（萬元）；年產量不小于50（1）寫出年利潤L（x）（萬元）關于年產量x（千件）的函數解析式；（2）當年產量為多少千件時，該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大？最大利潤是多少？【解題思路】（1）根據已知條件，結合利潤＝銷售額﹣成本公式，分類討論，即可求解．（2）根據已知條件，結合二次函數的性質，以及基本不等式的公式，即可求解．【解答過程】解：（1）∵每千件商品售價為50萬元，∴x千件產品銷售額為50x，當0＜x＜50時，L（x）＝50x?(當x≥50時，L（x）＝50x?(51x+綜上所述，L（x）=?（2）當0＜x＜50時，L（x）=?則L（x）≤L（30）＝250萬元，當x≥50時，L（x）=400?(x+3600x)≤400?2x?360x=400﹣120＝由于280＞250，則當年產量為60千件時，該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大，最大利潤是280萬元．【題型5“對勾”函數模型的應用】【方法點撥】結合實際問題，構建“對勾函數”模型，利用對勾函數的單調性或基本不等式進行解題，注意取值要滿足實際情況.【例5】（2022秋?太原月考）物聯網（InternetofThings，縮寫：IOT）是基于互聯網、傳統電信網等信息承載體，讓所有能行使獨立功能的普通物體實現互聯互通的網絡．其應用領域主要包括運輸和物流、工業制造、健康醫療、智能環境（家庭、辦公、工廠）等，具有十分廣闊的市場前景．現有一家物流公司計劃租地建造倉庫儲存貨物，經過市場調查了解到下列信息：倉庫每月土地占地費y1（單位：萬元），倉庫到車站的距離x（單位：千米，x＞0），其中y1與x+1成反比，每月庫存貨物費y2（單位：萬元）與x成正比；若在距離車站9千米處建倉庫，則y1和y2分別為2萬元和7.2萬元．（1）求出y1與y2的解析式；（2）這家公司應該把倉庫建在距離車站多少千米處，才能使兩項費用之和最小？最小費用是多少？【解題思路】（1）根據已知條件，設出y1，y2的解析式，再結合在距離車站9千米處建倉庫，y1和y2分別為2萬元和7.2萬元，即可求解．（2）根據已知條件，結合基本不等式的公式，即可求解．【解答過程】解：（1）設y1=kx+1(k≠0)，y2＝mx（m≠0當x＝9時，y1=k9+1=2，y2＝9m＝7.2，解得k＝20故y1=20x+1，y2（2）設兩項費用之和為z，則z＝y1+y2=20x+1+0.8x=20x+1+0.8(x+1)?0.8≥220x+1故這家公司應該把倉庫建在距離車站4千米處，才能使兩項費用之和最小，最小費用是7.2萬元．【變式5-1】（2022?二七區校級開學）鄭州市某地鐵項目正在緊張建設中，通車后將給更多市民出行帶來便利，已知該線路通車后，地鐵的發車時間間隔t（單位：分鐘）滿足2≤t≤20，t∈N*，經測算，在某一時段，地鐵載客量與發車時間間隔t相關，當10≤t≤20時地鐵可達到滿載狀態，載客量為1200人，當2≤t＜10時，載客量會減少，減少的人數與（10﹣t）的平方成正比，且發車時間間隔為2分鐘時載客量為560人，記地鐵載客量為p（t）．（1）求p（t）的解析式；（2）若該時段這條線路每分鐘的凈收益為Q=6p(t)?3360t【解題思路】（1）先分別寫出分段函數，再結合p（2）＝560，即可求解．（2）根據已知條件，分段求出凈收益Q，再通過比較大小，即可求解．【解答過程】解：（1）當2≤t＜10時，p（t）＝1200﹣k（10﹣t）2，當10≤t≤20時，p（t）＝1200，∵p（2）＝1200﹣k（10﹣2）2＝1200﹣64k＝560，∴k＝10，∴p（t）=?10（2）Q=6p(t)?3360t當2≤t＜10時，Q=6(?10t2+200t+200)?3360t?360=840?60(t+36t)≤840﹣60×2t?36t當10≤t≤20時，Q=7200?3360t?360≤384﹣360＝24，當t綜上所述，當發車時間間隔為6分鐘時，該時段這條線路每分鐘的凈收益最大．【變式5-2】（2022春?愛民區校級期末）已知快遞公司要從A地往B地送貨，A，B兩地的距離為100km，按交通法規，A，B兩地之間的公路車速x應限制在60～120km/h（含端點），假設汽車的油耗為（42+7x2400）元/時，司機的工資為（1）試建立行車總費用y元關于車速x的函數關系；（2）若不考慮其他費用，以多少車速行駛，快遞公司所要支付的總費用最少？最少費用為多少？【解題思路】（1）依題意設車速為xkm/h，即可得到函數解析式；（2）利用基本不等式求最值，即可得解．【解答過程】解：（1）設車速為xkm/h，則時間為100x依題意可得y=100x(42+7x2400（2）y=7x當且僅當7x4=11200x，即所以以80km/h車速行駛，快遞公司所要支付的總費用最少，最少費用為280元．【變式5-3】（2022?浙江開學）某地中學生社會實踐小組為研究學校附近某路段的交通擁堵情況，經實地調查、數學建模，得該路段上的平均行車速度v（單位：km/h）與該路段上的行車數量n（單位：輛）的關系為：v=600n+10，n≤933000n2+k，n≥10，n∈N?其中常數k∈R．該路段上每日t時的行車數量n＝﹣2（|t已知某日17時測得的平均行車速度為3km/h．（注：3.16＜（Ⅰ）求實數k的值；（Ⅱ）定義車流量q＝nv（單位：輛?km/h），求一天內車流量q的最大值（結果保留整數部分）．【解題思路】（Ⅰ）根據題意把17時測得的平均行車速度為3km/h代入函數解析式即可求出k；（Ⅱ）根據分段函數求最值的方法，分別利用函數單調性求每段的最值，即可得出函數q＝nv的最大值．【解答過程】解：（Ⅰ）由17時測得的平均行車速度為3km/h，代入v=600可得：3300010解得k＝1000．（Ⅱ）①當n≤9時，q＝nv=600n所以q≤600×99+10②當n≥10時，q＝nv=33000n由函數f（x）＝n+1000n在（0，1000）上遞減，在（1000，且1000∈（31，32），知q=33000n+1000n，當n＝31，n＝代入n＝31，32計算，結果均為522，故qmax≈522．綜上可知，一天內車流量q的最大值為522輛?km/h．【題型6函數模型的綜合應用】【方法點撥】(1)求解已知函數模型解決實際問題的關注點①認清所給函數模型，弄清哪些量為待定系數；②根據已知利用待定系數法，確定模型中的待定系數.(2)利用函數模型，借助函數的性質、基本不等式等求解實際問題，并進行檢驗.【例6】（2022秋?余姚市校級月考）經長期觀測得到：在某地交通繁忙時段內，公路汽車的車流