專題53固定面積的存在性問題【題型演練】一、解答題1．【探索發(fā)現(xiàn)】如圖1，是一張直角三角形紙片，，小明想從中剪出一個以為內(nèi)角且面積最大的矩形，經(jīng)過多次操作發(fā)現(xiàn)，當沿著中位線DE、EF剪下時，所得的矩形的面積最大，隨后，他通過證明驗證了其正確性，并得出：矩形的最大面積與原三角形面積的比值為______．【拓展應用】如圖2，在中，，BC邊上的高，矩形PQMN的頂點P、N分別在邊AB、AC上，頂點Q、M在邊BC上，求出矩形PQMN面積的最大值用含a、h的代數(shù)式表示；【靈活應用】如圖3，有一塊“缺角矩形”ABCDE，，，，，小明從中剪出了一個面積最大的矩形為所剪出矩形的內(nèi)角，直接寫出該矩形的面積．2．已知二次函數(shù)（a＞0）的圖象與x軸交于A、B兩點，（A在B左側，且OA＜OB），與y軸交于點C．（1）求C點坐標，并判斷b的正負性；（2）設這個二次函數(shù)的圖像的對稱軸與直線AC交于點D，已知DC：CA=1：2，直線BD與y軸交于點E，連接BC，①若△BCE的面積為8，求二次函數(shù)的解析式；②若△BCD為銳角三角形，請直接寫出OA的取值范圍.3．“構造圖形解題”，它的應用十分廣泛，特別是有些技巧性很強的題目，如果不能發(fā)現(xiàn)題目中所隱含的幾何意義，而用通常的代數(shù)方法去思考，經(jīng)常讓我們手足無措，難以下手，這時，如果能轉換思維，發(fā)現(xiàn)題目中隱含的幾何條件，通過構造適合的幾何圖形，將會得到事半功倍的效果，下面介紹兩則實例：實例一：1876年，美國總統(tǒng)伽非爾德利用實例一圖證明了勾股定理：由四邊形得，化簡得：．實例二：歐幾里得的《幾何原本》記載，關于的方程的圖解法是：畫，使，，，再在斜邊上截取，則的長就是該方程的一個正根(如實例二圖)．根據(jù)以上閱讀材料回答下面的問題：（1）如圖1，請利用圖形中面積的等量關系，寫出甲圖要證明的數(shù)學公式是，乙圖要證明的數(shù)學公式是，體現(xiàn)的數(shù)學思想是；（2）如圖2，按照實例二的方式構造，連接，請用含字母、的代數(shù)式表示的長，的表達式能和已學的什么知識相聯(lián)系；（3）如圖3，已知，為直徑，點為圓上一點，過點作于點，連接，設，，求證：．4．【探索發(fā)現(xiàn)】如圖①，是一張直角三角形紙片，，小明想從中剪出一個以為內(nèi)角且面積最大的矩形，經(jīng)過多次操作發(fā)現(xiàn)，當沿著中位線、剪下時，所得的矩形的面積最大，隨后，他通過證明驗證了其正確性，并得出：矩形的最大面積與原三角形面積的比值為_____________．【拓展應用】如圖②，在中，，邊上的高，矩形的頂點、分別在邊、上，頂點、在邊上，則矩形面積的最大值為_________．（用含的代數(shù)式表示）【靈活應用】如圖③，有一塊“缺角矩形”，，，，，小明從中剪出了一個面積最大的矩形（為所剪出矩形的內(nèi)角），求該矩形的面積．【實際應用】如圖④，現(xiàn)有一塊四邊形的木板余料，經(jīng)測量，，，且，，木匠徐師傅從這塊余料中裁出了頂點、在邊上且面積最大的矩形，求該矩形的面積．5．某研究性學習小組在探究矩形的折紙問題時，將一塊直角三角板的直角頂點繞矩形ABCD(AB＜BC)的對角線的交點O旋轉(①→②→③)，圖中的M、N分別為直角三角形的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點．(1)該學習小組成員意外的發(fā)現(xiàn)圖①中(三角板一邊與CC重合)，BN、CN、CD這三條線段之間存在一定的數(shù)量關系：CN2＝BN2+CD2，請你對這名成員在圖①中發(fā)現(xiàn)的結論說明理由；(2)在圖③中(三角板一直角邊與OD重合)，試探究圖③中BN、CN、CD這三條線段之間的數(shù)量關系，直接寫出你的結論．(3)試探究圖②中BN、CN、CM、DM這四條線段之間的數(shù)量關系，寫出你的結論，并說明理由．6．如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點D為AB邊上一點，連接CD，∠ADC＝120°，把△ADC繞點A逆時針旋轉得到（旋轉后點C、D的對應點分別為、），設旋轉的度數(shù)為m（0°≤m≤360°）．（1）當m＝30°時，如圖2，連接C并延長，交AB于點E．請直接寫出∠AC的度數(shù)；（2）在（1）的條件下，請判斷△DCE的形狀，并說明理由；（3）①小明在探究的過程中發(fā)現(xiàn)：當m＝90°時，如圖3，四邊形ACB為平行四邊形，請證明小明的結論的正確性；②請你再探究：在△ADC繞點A逆時針旋轉過程中，是否存在其他的情形，使以A、B、C、四點組成的四邊形為平行四邊形？若存在，請在備用圖中畫出旋轉后的圖形，并請直接寫出m的值；若不能，請說明理由．7．如圖示AB為⊙O的一條弦，點C為劣弧AB的中點，E為優(yōu)弧AB上一點，點F在AE的延長線上，且BE=EF，線段CE交弦AB于點D．①求證：CE∥BF；②若BD=2，且EA：EB：EC=3：1：，求△BCD的面積（注：根據(jù)圓的對稱性可知OC⊥AB）．8．如圖，已知正方形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA=AB=2，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A，B，交正x軸于點D，E是OC上的動點（不與C重合）連接EB，過B點作BF⊥BE交y軸與F（1）求b，c的值及D點的坐標；（2）求點E在OC上運動時，四邊形OEBF的面積有怎樣的規(guī)律性？并證明你的結論；（3）連接EF，BD，設OE=m，△BEF與△BED的面積之差為S，問：當m為何值時S最小，并求出這個最小值．9．在一次數(shù)學活動課上，兩個同學利用計算機軟件探索函數(shù)問題，下面是他們交流片斷：圖1：小韓：若直線x=m（m＞0）分別交x軸，直線y=x和y=2x于點P、M、N時，有=1．圖2：小蘇：若直線x=m（m＞0）分別交x軸，雙曲線y=（x＞0）和y=（x＞0）于點P、M、N時，有=…問題解決（1）填空：圖2中，小蘇發(fā)現(xiàn)的=；（2）若記圖1，圖2中MN為d1，d2，分別求出d1，d2與m之間的函數(shù)關系式．并指出函數(shù)的增減性；（3）如圖3，直線x=m（m＞0）分別交x軸，拋物線y=x2-4x和y=x2-3x于點P，M，N，設A，B為拋物線y=x2-4x，y=x2-3x與x軸的非原點交點．當m為何值時，線段OP，PM，PN，MN中有三條能圍成等邊三角形？并直接寫出此時點A，B，M，N圍成的圖形的面積．10．如圖：已知直線與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，拋物線經(jīng)過點B，且與x軸交于點．(1)求該拋物線的解析式；(2)已知點M是拋物線上的一個動點，并且點M在第一象限內(nèi)，連接、，設點M的橫坐標為m，四邊形的面積為S，求S與m的函數(shù)表達式，并求出S的最大值；(3)若點P在平面內(nèi)，點Q在直線上，平面內(nèi)是否存在點P使得以O，B，P，Q為頂點的四邊形是菱形．若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．11．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)交x軸于點，，交y軸于點，在y軸上有一點，連接．(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)若點D為拋物線在x軸負半軸上方的一個動點，求的面積的最大值；(3)拋物線的對稱軸上存在著點P，使為等腰三角形．符合條件的點P坐標有若干個，請求出任意一個符合要求的點P的坐標．12．如圖，拋物線與x軸交于，兩點．(1)求該拋物線的解析式；(2)若拋物線交y軸于C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得的周長最小？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．(3)在拋物線的第二象限圖像上是否存在一點P，使得的面積最大？若存在，求出點P的坐標及的面積最大值；若不存在，請說明理由．13．如圖，已知拋物與軸交于，兩點，與y軸交于點C，連接．(1)求拋物線的解析式；(2)若點P為線段上的一動點（不與B、C重合），軸，且交拋物線于點M，交x軸于點N，求的面積的最大值；(3)若點D為拋物線的頂點，在y軸上是否存在點E，使E到點B的距離與點E到點D的距離之差最大？若存在，請直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由．14．如圖1，拋物線與x軸相交于原點O和點A，直線與拋物線在第一象限的交點為B點，拋物線的頂點為C點．(1)求點B和點C的坐標；(2)拋物線上是否存在點D，使得？若存在，求出所有點D的坐標；若不存在，請說明理由；(3)如圖2，點E是點B關于拋物線對稱軸的對稱點，點F是直線下方的拋物線上的動點，與直線交于點G．設和的面積分別為和，求的最大值．15．如圖，在中，，，，點P從點A出發(fā)沿方向向點B運動，速度為，同時點Q從點B出發(fā)沿方向向點A運動，速度為，當一個運動點到達終點時，另一個運動點也隨之停止運動．(1)______；______；(2)設點P的運動時間為x秒，的面積為，當存在時，求y與x的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；(3)當點Q在上運動時，多少秒時的面積為？16．如圖，是的兩條弦，且于點(1)如圖1：若，求證；(2)如圖2：若，求弓形的面積．(3)連結，若，①與具有怎樣的數(shù)量關系，并證明．②在上存在點，滿足，點是的中點，連結，已知，求的半徑．17．如圖，直線與軸交于點，直線與軸交于點，且經(jīng)過定點，直線與交于點．(1)填空：________；________；________；(2)在軸上是否存在一點，使的周長最短？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由；(3)若動點在射線上從點開始以每秒1個單位的速度運動，連接，設點的運動時間為秒．是否存在的值，使和的面積比為？若