山東省名校聯盟2024?2025學年高一下學期3月校際聯考數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知向量，則（）A． B． C． D．2．已知是虛數單位，則（

）A． B． C． D．3．在中，已知，則的面積為（）A． B． C．1 D．24．在中，在線段上，為的角平分線，若，則（）A． B．C． D．5．如圖，在測量河對岸的塔高時，可以選取與塔底在同一水平面內的兩個測量基點．現測得，在點測得塔頂的仰角為，則塔高（）A． B． C． D．6．已知復數可以表示為，其中，是以軸非負半軸為始邊，向量所在射線為終邊的角．已知與的乘積，則將向量繞原點逆時針旋轉，長度變為原來的2倍后，得到向量的坐標為（）A． B． C． D．7．如圖所示，的三條邊均與圓相切，其中，則圓的半徑約為（）

A．5.861 B．5.674 C．5.076 D．4.9268．已知向量是平面向量，，若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知平面向量，則下列說法正確的是（）A． B．C．向量與的夾角的余弦值為 D．向量在上的投影向量為10．設為復數，則下列結論正確的有（）A． B．C．若，則 D．若，則11．已知三角形的外心，重心，垂心依次位于同一條直線上，且重心到垂心的距離是重心到外心距離的兩倍．若的外心為，重心為，垂心為為邊的中點，且，則下列結論正確的有（）A． B．C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知i為虛數單位，若復數為純虛數，則的值為．13．如圖，在中，點滿足，過點的直線分別交直線于不同的兩點，設，則的值為．14．在圓內接四邊形中，，則面積的最大值為．四、解答題（本大題共5小題）15．在三角形中，分別是邊的中點，已知．(1)求三角形的面積；(2)求三角形的周長．16．已知復數，其中i為虛數單位．(1)若，求；(2)若，求的值．17．已知是平面內兩個不共線的向量．(1)若，求證：三點共線；(2)試確定實數，使和共線；(3)若，求實數的值．18．已知三角形的內角的對邊分別是，且滿足．(1)求角A的大小；(2)若三角形的面積為10，內切圓的半徑為1，求；(3)若的角平分線交于，且，求三角形面積的最小值．19．個有次序的實數所組成的有序數組稱為一個維向量，其中稱為該向量的第個分量.特別地，對一個維向量，若，則稱為維信號向量．設，，則和的內積定義為，且．(1)直接寫出4個兩兩垂直的4維信號向量；(2)證明：不存在14個兩兩垂直的14維信號向量；(3)已知個兩兩垂直的2024維信號向量.若它們的前個分量都是相同的，求證：．

參考答案1．【答案】D【詳解】由向量，得.故選D．2．【答案】A【詳解】.故選A．3．【答案】A【詳解】.故選A.4．【答案】C【詳解】在中，為的角平分線，，，即，因此，所以.故選C．5．【答案】A【詳解】在中，由正弦定理得，則，在中，，所以.故選A．6．【答案】B【詳解】設射線為終邊的角為，而，則，，，向量對應復數，所以向量的坐標為.故選B．7．【答案】C【詳解】令圓切直線于點，連接，設圓半徑為，依題意，，則，則，得，因此.

故選C．8．【答案】B【詳解】設向量共起點，由，得，令，則，，因此點的軌跡是以線段為直徑的圓，令圓心為，則，圓半徑為1，由與的夾角為，得向量的終點在與所成角為的兩條射線上，如圖，

而是圓上的點與射線上的點間距離，過作垂直于射線于，，所以的最小值為.故選B．9．【答案】ABD【詳解】由向量，得，，對于A，，則，A正確；對于B，，B正確；對于C，，則，C錯誤；對于D，，向量在上的投影向量，D正確.故選ABD．10．【答案】AB【詳解】設，對于A，，則，，A正確；對于B，，B正確；對于C，取，滿足，而，，C錯誤；對于D，取，，而，D錯誤.故選AB．11．【答案】ACD【詳解】對于A，由重心為G，得，則，A正確；對于B，外心為O，有，，，B錯誤；對于C，由重心為G，得，由歐拉線定理得，因此，C正確；對于D，由，得，則，，D正確.故選ACD．12．【答案】【詳解】，因為純虛數，則.13．【答案】3【詳解】由，得，而，，則，又、、三點共線，則，所以.14．【答案】【詳解】在中，，由余弦定理得，則，，是四邊形外接圓直徑，，

設，則，在中，，由正弦定理得，即，在中，，，當且僅當時取等號，所以面積的最大值為.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）如圖，因分別是邊的中點，則設.注意到，則.則由余弦定理：.解得.則在三角形中，.由余弦定理可得，從而.則三角形的面積為：；（2）由（1）易得三角形的周長為16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）首先，復數的模長平方，共軛復數.代入方程得：，展開并整理實部和虛部：，根據復數相等的條件，得到兩個方程：，解得，代入第一個方程：，因此，復數；（2）考慮.則.相減得：其中，（因為），且。因此：解得：，因此，，即，，故.17．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）,所以，則有，又與有公共點，因此三點共線.（2）由于和共線，存在實數使得：和共線，有，則有，解得，所以.（3），則，，由，則，解得.18．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）由正弦定理邊角互化可得：又，則，從而，結合，則或（舍去）.故.（2）因三角形的面積為10，內切圓的半徑為.則，則.又由（1），.則由余弦定理：.化簡后可得：；（3）如圖，過D點做AB，AC垂線，垂足為E，F.由（1）可得，則，又由角平分線性質可得，又注意到，，則，設，則.又，則.其中.故三角形面積為：.注意到.則.要使最小，則需使最大.注意到，則由基本不等式取等條件可得，要使最大，需滿足.則，此時，即三角形為等邊三角形.19．【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)證明見解析；【詳解】（1）由題可得4個兩兩垂直的4維信號向量可以為：；（2）證明：假設存在14個兩兩垂直的14維信號向量，任取其中兩個不同向量，.因，則設與中，有個分量相同，則有個分向量不同.因，則.再取任意與和不同向量，設在與相同分量的7個位置中，有個分量與相同，則有個分量與相反，在與相反分量的7個位置中，有個分量與相同，則有個分量與相反.因，則.由上可得在與相同分量的7個位置中，有個分量與相同，則有個分量與相反，在與相反分量的7個位置中，有個分量與相同，則有個分量與相反.