乾縣第一中學2024-2025學年高二第一次階段性檢測數學試題注意事項：1.答卷前，考生務必填寫答題卡上的有關項目.2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑：如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結束后，將答題卡交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.下列各式正確的是（）A. B.C. D.2.在平行六面體中，為AC與BD的交點，若，，，則下列向量中與相等的向量為（）A. B.C. D.3.雙曲線的兩條漸近線的夾角的大小等于（）A. B. C. D.4.已如向量，，且與互相垂直，則（）．A. B. C. D.5.若正三棱錐的所有棱長均為3，則該正三棱錐的體積為（）A.3 B. C. D.6.已知空間中三點，則以為鄰邊的平行四邊形的面積為（）A.B.C.3D.7.在中，，則的長為（）A. B.4 C. D.58.已知點A，B，C，D，P，Q都在同一個球而上，為正方形，若直線PQ經過球心，且平面.則異而直線PA，QB所成的角的聶小值為（）A.60° B.45° C.30° D.15°二、多選題（本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯或者不選得0分。）9.設，為隨機事件，且，是，發生的概率.，，則下列說法正確的是（）A.若，互斥，則 B.若，則，相互獨立C.若，互斥，則，相互獨立 D.若，獨立，則10.已知空間三點，，，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.11.函數y=fx的定義域為，區間，對于任意，，恒滿足，則稱函數在區間上為“凸函數”.下列函數在定義域上為凸函數的是（）A. B.C D.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線過點，且在軸上的截距是在軸上截距的2倍，則直線的方程為__________.13.方程的兩根為，且，則____________.14.如圖，在正方體中，，點E，F分別為，的中點，則平面截正方體所得截面面積為___________，動點滿足，且，則當取得取小值時二面角的余弦值為___________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，角所對的邊分別為．（1）若，求的值；（2）求面積的最大值．16.已知空間三點.（1）求（2）求的面積；17.我們可以用“配方法”和“主元法”等方法證明“二元不等式”：，當且僅當時，等號成立．公眾號：高中試卷君（1）證明“三元不等式”：．（2）已知函數．①解不等式；②對任意x∈0,+∞，恒成立，求實數18.如圖，四邊形是直角梯形，為的中點，是平面外一點，是線段上一點，三棱錐的體積是.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.19.一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數稱為數列，數列中的每一個數叫做這個數列的項.數列的第一個位置上的數叫做這個數列的第1項，常用符號表示，第二個位置上的數叫做這個數列的第2項，常用符號表示，，第個位置上的數叫做這個數列的第項，常用符號表示.定義：一個正整數稱為“漂亮數”，當且僅當存在一個數列，滿足①②③：①都是正整數；②；③.（1）寫出最小的“漂亮數”；（2）當時，求出所有的“漂亮數”.1.【答案】D【解析】【分析】根據指數冪運算求解.【詳解】對A：原式，所以A選項錯誤；對B：原式，所以B選項錯誤；對C：原式，所以C選項錯誤；對D：顯然，所以原式，所以D選項正確.故選：D2.【答案】C【解析】因為在平行六面體中，，所以，故選C.3.【答案】B【解析】【分析】求得雙曲線的兩條漸近線方程，得到斜率和傾斜角，再求出漸近線夾角的大小.【詳解】雙曲線的兩條漸近線的方程為，由直線的斜率為，可得傾斜角為，的斜率為，可得傾斜角為，所以兩條漸近線的夾角的大小為，故選：B.4.【答案】B【解析】【分析】計算，根據向量垂直得到答案.【詳解】，，則，與互相垂直，則，.故選：B.【點睛】本題考查了根據向量垂直求參數，屬于簡單題.5.【答案】C【解析】如圖，正三棱錐，，取中點，連接，取等邊三角形的中心，連接，由正四面體的性質可知，頂點與底面中心連線垂直底面，∴平面即三棱錐的高為，∵，∴，∴，∴，∴.故選：C【答案】D【解析】夾角的余弦值為.因此夾角的正弦值為，故以為鄰邊的平行四邊形的面積為.故選D.7.【答案】C【解析】【分析】根據題意可知，所以根據兩角和的正弦公式可求得，再根據正弦定理可求得.【詳解】根據三角形內角和為，所以可知，則，根據正弦定理可知，代入解之可得.故選：C8.【答案】A【解析】設球的半徑為，記中心為，因為為正方形，直線PQ經過球心，且平西.所以PQ過點且PQ的中點為球心，設球心為，以為原點，OB、OC、OP分別為x，y，z軸正半軸，建立空間直角坐標系，設，，則，，，，所以，，所以，所以，，又，即.所以，當且僅當時等號成立，設直線PA，QB所成的角為則，又，所以.故選A.9.【答案】ABD【解析】【分析】利用互斥事件的概率公式可判斷A選項；由相互獨立事件的概念可判斷B選項；由互斥事件和相互獨立事件的概念可判斷C選項；由相互獨立事件的概念，可判斷D選項.【詳解】對于選項A，若互斥，根據互斥事件的概率公式，則，所以選項A正確，對于選項B，由相互獨立事件的概念知，若，則事件是相互獨立事件，所以選項B正確，對于選項C，若互斥，則不一定相互獨立，例：拋擲一枚硬幣的試驗中，事件：“正面朝上”，事件：“反面朝上”，事件與事件互斥，但，，不滿足相互獨立事件的定義，所以選項C錯誤，對于選項D，由相互獨立事件的定義知，若，獨立，則，所以選項D正確，故選：ABD.10.【答案】AC【解析】【分析】由條件可得的坐標，然后逐一判斷即可.【詳解】因為，，，所以所以，，所以不共線.故選：AC11.【答案】AD【解析】對A：，，，由在0,+∞上單調遞增，故其等價于，化簡可得，故滿足題意，故A正確；對B：，，，取，，可得，，又，故此時不滿足題意，故B錯誤；對C：，，，化簡得恒成立，不滿足題意，故C錯誤；對D：，，，左右平方后化簡可得，故滿足題意，故D正確.故選：AD.【答案】或【解析】設在軸上的截距為，則在軸上的截距為，若，則過原點，故的方程為，即；若，則的方程為，所以，所以，所以的方程為，即.綜上所述，直線的方程為，或.13.【答案】-3【解析】【分析】根據根與系數的關系即可求得答案.【詳解】∵方程的兩根為，∴，，由題意得：；，∵，∴，，故，故答案為：-3.14.【答案】18；【解析】略15.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據正弦定理可得，從而可求的值；（2）利用基本不等式可得，再根據余弦定理可得的范圍，從而可得的范圍，結合三角形面積公式，即可得面積的最大值．【小問1詳解】由正弦定理，可得，【小問2詳解】，，由余弦定理可得，，，，，當且僅當時，等號成立，此時面積取得最大值16.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出向量坐標，再根據模長公式計算即可；（2）先求出向量，的夾角，再利用三角形的面積公式即可求解；【小問1詳解】，【小問2詳解】設向量，的夾角為，由，，，，又三角形中，.17.【答案】（1）見解析（2）①；②.【解析】小問1詳解】因為，則（當且僅當時取等），所以（當且僅當時取等），同理（當且僅當時取等），（當且僅當時取等），三式相加可得：，又因為，所以，所以（當且僅當時取等）.【小問2詳解】①由可得：，所以，即，即，則，所以，解得：②因為當x∈0,+∞當且僅當，即時取等，所以當x∈0,+∞對任意x∈0,+∞則，所以，解得：.所以實數的取值范圍為：.18.（1）證明：如圖，連接交于點，因為，所以，所以，因為，所以，所以，即.又因為平面，所以平面，又平面，所以.又因為，所以，又平面，所以平面.（2）解：以為原點，所在直線分別為軸，平行于的直線為軸，建立空間直角坐標系如圖所示，則.設，則，即點，則三棱錐的體積，解得，所以.則，設平面的法向量，由，令，得平面的一個法向量，易知，為平面的一個法向量，所以，由圖可知二面角是銳二面角，故二面角的余弦值是.19.【答案】（1）6（2）【解析】【分析】（1）直接根據“漂亮數”的定義即可證明最小的“漂亮數”為6；（2）先證明或，利用分類討論的思想可得和，根據“漂亮數”的定義求出即可.【小問1詳解】若是“漂亮數”，設，滿足，則，所以，即，故，得，則，所以，此時，假設，則，又，所以全部可能取值為，經驗證，上述的取值都不等于1，不符合題意.所以，又，故6為“漂亮數”，所以最小的“漂亮數”是6；【小問2詳解】若，設，滿足，則，