第1頁/共1頁高三數學9月月考卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別求出集合和，然后，利用交集的運算可得答案.【詳解】，，.故選：C2.已知復數滿足，則的共軛復數在復平面中的對應點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】求出復數后可求，從而可得復數在復平面中的對應點，故可得正確的選項.【詳解】，故，其對應的點為，該點在第四象限，故選：D.3.設等差數列前項和為，若，則的公差為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根據等差數列的基本量的計算即可求解.【詳解】由，故，則，由得，故，故公差為，故選：C4.已知，則（）A.或7 B.或 C.7或-7 D.-7或【答案】B【解析】【分析】根據輔助角公式可求，故可求的值.【詳解】因為，故，故，故，故，故選：B.5.已知且，若函數的值域為，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用對數函數和指數函數的單調性，對進行分類討論，可得答案.【詳解】的值域為，且，當時，則，為增函數，，而時，為增函數，此時，，不符題意；當時，則，減函數，，而時，為減函數，此時，，因為的值域為，當且僅當時，滿足題意，此時，，則，整理得，，解得；綜上，時滿足題意.故選：A6.已知點在所在的平面內，且.過點的直線與直線分別交于，設，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平面向量基本定理可得，再利用基本不等式可求最小值.【詳解】設的中點為，連接，則，故即，故為的中點，因為三點共線，故存在實數，使得，故，而，因為不共線，故即，，當且僅當時等號成立，故的最小值為，故選：C.7.已知函數是上的奇函數，則（）A.2 B.-2 C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正切的和角公式化簡得，結合題意得分母為偶函數，則，繼而即可求解.【詳解】，是上的奇函數，又為奇函數，則分母上的函數需為偶函數，，.故選：.8.若不等式恒成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，依題意可得恒成立，求出函數的導函數，分、兩種情況討論，說明函數的單調性，求出，即可得到，從而得到，再利用導數求出的最小值，即可得解.【詳解】令，則恒成立，又，當時，恒成立，所以在上單調遞增，且時，不符合題意；當時，令，解得，令，解得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以，所以，令，，則，所以當時，當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以，即的取值范圍是.故選：B【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是推導出，從而得到.二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共計18分，9.已知函數的部分圖象如圖所示，則（）A. B.C.的圖象關于直線對稱 D.在上的值域為【答案】BC【解析】【分析】根據圖象求出函數的解析式，結合三角函數的性質，逐次判斷各選項即可得到結論．【詳解】由函數部分圖象可知：，又因為，即結合函數的單調性可得,故A錯誤；即所以,故B正確；所以．對于選項C：當時，可得，所以的圖象關于直線對稱，故C正確；對于選項D：當時，，所以，即，故D錯誤；故選：BC．10.已知等差數列的首項為，公差為，其前項和為，若，則下列說法正確的是（）A.當時，最大B.使得成立的最小自然數C.D.數列中的最小項為【答案】ACD【解析】【分析】利用等差數列及，判斷出，，再利用等差數列和等差數列前項和的性質逐項判斷即可.【詳解】若，則，所以，即等差數列an為遞減數列，對于A，由，知等差數列an前7項為正數，其余項為負數，故當時，最大，故A正確；對于B，，故所以使得成立的最小自然數不是，故B錯誤；對于C，，則，故C正確；對于D，當或時，；當時，；由，所以中最小項為，故D正確.故選：ACD11.已知定義域為的偶函數滿足，當時，則下列結論正確的有（）A.B.的圖象關于點成中心對稱C.D.【答案】ABD【解析】【分析】對A，利用賦值法再結合偶函數即可求解；對B，先推出的周期，再結合中心對稱的結論即可求解；對C，利用周期性即可求解；對D，利用函數的奇偶性，單調性，再結合函數的對稱性即可求解.【詳解】對A，滿足，令，則，即f1=0又為偶函數，，故A對；對B，，，故的周期，再根據，即，∴fx的圖象關于點成中心對稱，故B對；對C，由B知：的周期，故，，令，則f2又當時，，即，即，，故，故C錯誤；對D，滿足，∴fx關于1,0又當時，∴fx在0,2當時，，當時，為偶函數，，，當且僅當時，即時等號成立，，故D對.故選：ABD.【點睛】關鍵點點睛：解答此類有關函數性質的題目，關鍵點在于要結合函數性質，利用賦值法以及代換法，推出函數相應的性質.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分.12.已知平面向量，若，則______．【答案】【解析】【分析】根據向量坐標運算和向量垂直的坐標表示即可得到方程，解出即可.【詳解】，因為，所以，即，解得.故答案為：.13.已知，分別為直線和曲線上的點，則AB的最小值_______【答案】【解析】【分析】利用數形結合思想可知直線與曲線相切的切點到直線的距離是最小值，從而利用導數來求出切點，再用點到直線的距離公式求出最小值即可.【詳解】直線與曲線相切于點A，由題意的最小值為切點A到直線的距離，如圖所示，對求導有，由可得，即，故的最小值為.故答案為：.14.已知數列有30項，，且對任意，都存在，使得.（1）__________；（寫出所有可能的取值）（2）數列中，若滿足：存在使得，則稱具有性質.若中恰有4項具有性質，且這4項的和為20，則__________.【答案】①.②.1047【解析】【分析】①根據題意代入即可求解；②先根據題意分析出具有性質的項，易知從開始是以為首項為公差的等差數列，再根據等差數列求和即可求解.【詳解】當時，，當時，，或，當時，，或，或時有或，當時，，或，或時有或，或時有或或，綜上所述：的所有可能取值為：.中恰有4項具有性質，且這4項的和為20，故，，即具有性質，則易知從開始是以為首項為公差的等差數列，.故答案為：；1047.【點睛】關鍵點點睛：本題考查數列新定義問題的求解，涉及到根據新定義求解數列中的項、數列求和等知識；關鍵是能夠準確理解所給的新定義，得到所給數列性質與等差數列之間的關系.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數列的前項和為，且.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和.【答案】（1），（2），.【解析】【分析】（1）利用得出數列是等比數列，從而可得通項公式；（2）由已知求得，得出是等差數列，求出其前項和，然后根據絕對值的性質得出數列與的前項和的關系，從而求得結論．【小問1詳解】由，則當時兩式相減得，所以.將代入得，，所以對于，故an是首項為2，公比為2的等比數列，所以.【小問2詳解】.，因為當時，當時，所以當時，，當時，.故.16已知函數.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）討論的單調區間.【答案】（1）（2）答案見詳解【解析】【分析】（1）求導，可得，，結合導數的幾何意義求切線方程；（2）求導可得，分類討論的符號以及與0的大小關系，利用導數判斷原函數的單調性.【小問1詳解】當時，則，，可得，，即切點坐標為，切線斜率為，所以切線方程為，即.【小問2詳解】由題意可知：的定義域為，且，（i）若，則，令，解得；令，解得；可知在內單調遞減，在內單調遞增；（ⅱ）若，令，解得或，①當，即時，令，解得或；令，解得；可知在內單調遞減，在內單調遞增；②當，即時，則，可知在內單調遞增；③當，即時，令，解得或；令，解得；可知在內單調遞減，在內單調遞增；綜上所述：若，的單調遞減區間為，單調遞增區間為；若，的單調遞減區間為，單調遞增區間為；若，的單調遞增區間為，無單調遞減區間；若，的單調遞減區間為，單調遞增區間為.17.已知的內角所對的邊分別為，且（1）求角A；（2）若為邊上一點，為的平分線，且，求的面積【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據題意利用正弦定理邊化角，再結合三角恒等變換運算求解；（2）根據面積關系可得，再結合余弦定理解得，進而可得面積.【小問1詳解】因為，由正弦定理可得，且，即，整理可得，且，則，可得，又因為，則，可得，所以.【小問2詳解】因為為的平分線，則，因為，則，即，可得，在中，由余弦定理可得，即，整理可得，解得或（舍去），所以的面積.18.如圖，平面四邊形中，，對角線相交于．（1）設，且，（ⅰ）用向量表示向量；（ⅱ）若，記，求的解析式．（2）在（ⅱ）的條件下，記△，△的面積分別為，，求的取值范圍．【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ），；（2）.【解析】【分析】（1）（ⅰ）由平面向量的線性運算即可求解，（ⅱ）根據已知條件可得，將（ⅰ）中的結論兩邊同時平方再展開化簡即可求解；（2）利用三角形的面積公式結合（ⅱ）中的結論將面積之比表示為關于的函數，再利用導數判斷單調性即可求解.【詳解】（1）（ⅰ）因為，，所以，即，所以，（ⅱ）因為，，所以，因為且，所以，即，所以，整理可得：，即，.（2）由（1）知：，由三角形面積公式可得：，記，所以，所以在上單調遞減，所以，所以的取值范圍為.19.已知函數.（1）當時，求的單調區間；（2）若在1,+∞上恒成立，求實數的取值范圍；（3）帕德近似（Padeapproximation）是數學中常用的一種將三角函數?指數函數?對數函數等“超越函數”在一定范圍內用“有理函數”近似表示的方法，比如在附近，可以用近似表示.（i）當且時，試比較與的大小；（ii）當時，求證：.【答案】（1）減區間為，無增區間（2）（3）（i）答案見解析；（ii）證明見解析【解析】【分析】（1）求導，判斷導函數的符號，可得函數的單調區間.（2）采用分離常數的方法得（），設，求?x在1,+∞上的最小值即可.（3）（i）構造函數，利用函數單調性及，比較與的大小；（ii）利用（i）的結論，進行證明.【小問1詳解】當時，，則.所以的減區間為0,+∞，無增區間.【小問2詳解】因為在1,+∞上恒成立，所以，所以（）設，則再設，則，則在1,+∞上恒成立，所以在1,+∞單調遞增，所以，所以?′x>0在1,+∞上恒成立，所以所以.又在1,+∞上恒成立，所以.【小問3詳解】（i）記，則，所以Fx在0,+∞上單