wordword/word金湖二中07~08年度第二學期期中考試高二理科數學試題2008．4．28一、填空題（14小題，共70分）1．在矩陣變換下，點A（2，1）將會轉換成▲．2．二階行列式的運算結果為▲3．圓在矩陣對應的變換作用下的結果為▲．4．一射手對同一目標獨立地進行4次射擊，已知至少命中一次的概率為，則此射手的命中率是▲5．已知二項分布滿足X～B（6，），則P(X=2)=▲，EX=▲。6．設隨機試驗的結果只有A與，,令隨機變量，則的期望為▲7．在棱長為的正方體中，向量與向量所成的角為▲．8．已知關于面的對稱點為，而關于軸的對稱點為，則▲9．已知，則的最小值是▲10．已知△ABC，A(1,1)，B(2,3)，C(3,－1)，在矩陣作用所得到的圖形圍成的面積是___▲．11．設矩陣的逆矩陣是，則的值為▲12．一袋中裝有5個白球，3個紅球，現從袋中往外取球，每次取出一個，取出后記下球的顏色，然后放回，直到紅球出現10次停止，設停止時,取球次數為隨機變量,則__________▲__________（只需列式，不需計算結果）．13．在空間四邊形中，和為對角線，為的重心，是上一點，，以為基底，則___▲14．在下列四個命題中：①已知A、B、C、D是空間的任意四點，則；②若{}為空間的一組基底，則{}也構成空間的一組基底；③；④對于空間的任意一點O和不共線的三點A、B、C，若（其中），則P、A、B、C四點共面． 其中是真命題的有▲（填序號）二、解答題（6大題,共90分）.15．(本題14分)已知變換A：平面上的點P（2，－1）、Q（－1，2）分別變換成點P1（3，－4）、Q1（0，5）（1）求變換矩陣A；（2）判斷變換A是否可逆，如果可逆，求矩陣A的逆矩陣A－1；如不可逆，說明理由．16．(本題14分)兩個人射擊，甲射擊一次中靶概率是，乙射擊一次中靶概率是，（Ⅰ）兩人各射擊一次，中靶至少一次就算完成目標，則完成目標概率是多少？（Ⅱ）兩人各射擊2次，中靶至少3次就算完成目標，則完成目標的概率是多少？（Ⅲ）兩人各射擊5次，是否有99％的把握斷定他們至少中靶一次？17．(本題15分)如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分別是A1B1，A1A的中點，（1）求 （2）求 （3）18．(本題15分)在一次抗洪搶險中，準備用射擊的方法引爆從橋上游漂流而下的一巨大汽油罐.已知只有5發子彈備用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功，每次射擊命中率都是.，每次命中與否互相獨立.(1)求油罐被引爆的概率.(2)如果引爆或子彈打光則停止射擊，設射擊次數為ξ，求ξ的分布列及ξ的數學期望19．(本題16分)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E是棱BC的中點，點F是棱CD上的動點．（Ⅰ）試確定點F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；（Ⅱ）當D1E⊥平面AB1F時，求二面角C1―EF―A的余弦值以及BA1與面C1EF所成的角的大小．DD1C1B1A1DCBAEF20．(本題16分)當兔子和狐貍處于同一棲息地時，忽略其他因素，只考慮兔子數量和狐貍數量的相互影響，為了簡便起見，不妨做如下假設：（1）由于自然繁殖，兔子數每年增長10%，狐貍數每年減少15%；（2）由于狐貍吃兔子，兔子數每年減少狐貍數的0.15倍，狐貍數每年增加兔子數的0.1倍；（3）第n年時，兔子數量用表示，狐貍數量用表示；（4）初始時刻（即第0年），兔子數量有只，狐貍數量有只。請用所學知識解決如下問題：（1）列出兔子與狐貍的生態模型；（2）求出、關于n的關系式；（3）討論當n越來越大時，兔子與狐貍的數量是否能達到一個穩定的平衡狀態，說明你的理由。金湖二中07~08年度第二學期期中考試高二理科數學試題2008．4．28一、填空題（14小題，共70分）1．（2，5）2．—23．4．5．46．1-p7．8．9．10．111．12．13．14．①②二、解答題（6大題,共90分）.15．(本題14分)解：假設所求的變換矩陣A=，………………2分依題意，可得及………………6分即解得所以所求的變換矩陣。…………8分（2）A可逆………………10分………………14分16．(本題14分)解：（Ⅰ）共三種情況：乙中靶甲不中；甲中靶乙不中；甲乙全。∴概率是。………………5分（Ⅱ）兩類情況:共擊中3次；共擊中4次，．………………10分（III），能斷定.………………14分17．(本題15分)解：（1）以射線建立坐標系，……………1分則B（0，1，0）………………5分………………10分………………15分．18．(本題15分)解：（1）“油罐被引爆”的事件為事件A，其對立事件為，則P()=C………………3分∴P(A)=1-答：油罐被引爆的概率為………………6分（2）射擊次數ξ的可能取值為2，3，4，5， P(ξ=2)=，P(ξ=3)=C ，P(ξ=4)=C，P(ξ=5)=C……………12分ξ2345P………13分故ξ………13分Eξ=2×+3×+4×+5×=.………………15分19．(本題16分)解：（1）以A為原點，直線AB、AD、AA1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，………………1分不妨設正方體的棱長為1，且，則D1C1D1C1B1A1DCBAEF于是由于是，可解得所以當點F是CD的中點時，………………8分（2）當時，F是CD的中點，平面AEF的一個法向量為而在平面C1EF中，所以平面C1EF的一個法向量為，又因為當把,都移向這個二面角內一點時，背向平面AEF，而指向平面C1EF故二面角C1―EF―A的余弦值為………………13分又,,所以BA1與平面C1EF所成的角的大小為．………………16分20．(本題16分)解：⑴……4分⑵設，∴=……=又矩陣M的特征多項式=令得：特征值對應的一個特征向量為特征值對應的一個特征向量為……10分且∴=∴………………14分⑶當n越來越大時，越來越接近于0，,分別趨向于常量210,140。即隨著時間的增加，兔子與狐貍的數量逐漸增加，當時間充分長后，兔子與狐貍的數量達到一個穩定的平衡狀態。………………16分16．已知矩陣M有特征值及對應的一個特征