第五講

邏輯函數卡諾圖化簡法第1頁

§1.６.3邏輯函數卡諾圖化簡法一、邏輯函數卡諾圖表示1．相鄰最小項概念假如兩個最小項中只有一個變量互為反變量，其余變量均相同，則稱這兩個最小項為邏輯相鄰，簡稱相鄰項。比如，最小項ABC和就是相鄰最小項。若兩個相鄰最小項出現在同一個邏輯函數中，能夠合并為一項，同時消去互為反變量那個變量。如2.用卡諾圖表示最小項

變量有個最小項，用一個小方格代表一個最小項，變量全部最小項就與個小方格對應。第2頁小方格排列

美國工程師卡諾（Karnaugh）將邏輯上相鄰最小項幾何上也相鄰地排列起來

卡諾圖（K-map）。如三變量Ａ、Ｂ、Ｃ有８個最小項，對應８個小方格ＡＡＢＢＣＣＣ原變量和反變量各占圖形二分之一這么排列，才能使邏輯上相鄰最小項幾何上也相鄰地表現出來。第3頁2、圖形法化簡函數

卡諾圖（K圖）圖中一小格對應真值表中一行，即對應一個最小項，又稱真值圖AB00011011m0m1m2m3AABBABBAABABAB1010m0m1m2m3miABC01000111100001111000011110m0m1m2m3m4m5m6m7m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11ABCD二變量K圖三變量K圖四變量K圖第4頁（2）三變量卡諾圖(b)（1）二變量卡諾圖(b)卡諾圖結構“1”原變量；“0”反變量；

“mi”

最小項第5頁（3）四變量卡諾圖(b)仔細觀察能夠發覺，卡諾圖實際上是按格雷碼排列，含有很強相鄰性：第6頁每行、列兩頭相鄰3、卡諾圖上相鄰項只要小方格在幾何位置上（不論上下左右）相鄰，它代表最小項在邏輯上一定是相鄰。五變量卡諾圖折疊相鄰m0ABCDABCDm1ABCDm3mABCD2m567mmABCDABCDmABCD4ABCDABCDmm13ABCDABCD1412m15mABCDABCDABCDmABCD8m1011m9mABCDABCD(a)（1）直觀相鄰性：（2）循環相鄰性：（3）對稱相鄰性：第7頁4、用卡諾圖表示邏輯函數解：該函數為三變量，先畫出三變量卡諾圖，然后依據真值表將8個最小項L取值0或者1填入卡諾圖中對應8個小方格中即可。（1）從真值表到卡諾圖例1某邏輯函數真值表以下，用卡諾圖表示該邏輯函數。第8頁例1:圖中給出輸入變量A、B、C真值表，填寫函數卡諾圖ABCF00000101001110010111011100111000ABC010001111011100000010111001110邏輯函數卡諾圖表示第9頁（2）從邏輯表示式到卡諾圖

如表示式不是最小項表示式，不過“與—或表示式”，可將其先化成最小項表示式，再填入卡諾圖。也可直接填入。解：寫成簡化形式：

然后填入卡諾圖：解：直接填入：例3用卡諾圖表示邏輯函數假如表示式為最小項表示式，則可直接填入卡諾圖。

例2用卡諾圖表示邏輯函數:第10頁例3畫出卡諾圖

解:直接填入ABCD00011110000111100010001000110111ABCD0001111000011110第11頁例：將F(A、B、C、D)化為最簡與非—與非式。解：0100011110001110CDABAB111111BCD11ACDABC11AC1111m14,m15兩次填10000邏輯函數卡諾圖表示第12頁（1）2個相鄰最小項結合，２項能夠而合并為１項，并消去1個不一樣變量。1．卡諾圖化簡邏輯函數原理:含有相鄰性最小項能夠合并，并消去不一樣因子，合并結果為這些項公因子．（2）4個相鄰最小項結合，４項能夠而合并為１項，并消去2個不一樣變量。

（3）8個相鄰最小項結合，８項能夠而合并為１項，并消去3個不一樣變量。二、邏輯函數卡諾圖化簡法

總之，個相鄰最小項結合，項能夠而合并為１項，能夠消去n個不一樣變量。第13頁2n項相鄰，并組成一個矩形組，2n項能夠而合并為１項，消去n個因子，合并結果為這些項公因子。

化簡依據第14頁利用卡諾圖化簡規則相鄰單元格個數必須是2n個，并組成矩形組時才能夠合并。ABCD0001111000011110ADABCD0001111000011110第15頁2．用卡諾圖合并最小項標準（圈“１”標準）

（1）圈能大則大；（并項多，消變量多）但每個圈內只能含有2n（n=0,1,2,3……）個相鄰項。（2）圈數能少則少；（與或式中乘積項少）（3）不能漏圈；卡諾圖中全部取值為1方格均要被圈過，即不能漏下取值為1最小項。（4）可重復圈。但在新畫包圍圈中最少要含有1個末被圈過1方格，不然該包圍圈是多出。第16頁

（1）畫出邏輯函數卡諾圖。（2）合并相鄰最小項，即依據前述標準圈“１”。（3）寫出化簡后表示式。每一個圈寫一個最簡與項，規則是，取值為１變量用原變量表示，取值為0變量用反變量表示，將這些變量相與。然后將全部與項進行邏輯加，即得最簡與—或表示式。3．用卡諾圖化簡邏輯函數步驟：第17頁K圖特點圖形法化簡函數

k圖為方形圖。n個變量函數--k圖有2n個小方格，分別對應2n個最小項；

k圖中行、列兩組變量取值按循環碼規律排列，使變量各最小項之間含有邏輯相鄰性。上下左右幾何相鄰方格內，只有一個因子不一樣

有三種幾何相鄰：鄰接、相對（行列兩端）和對稱（圖中以0、1分割線為對稱軸）方格均屬相鄰0001111000011110m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11ABCD四變量K圖兩個相鄰格圈在一起，結果消去一個變量ABDADA1四個相鄰格圈在一起，結果消去兩個變量八個相鄰格圈在一起，結果消去三個變量十六個相鄰格圈在一起，結果mi=1卡諾圖化簡函數規則：

幾何相鄰2n（n=1、2、3…i）個小格可合并在一起組成正方形或矩形圈，消去n個變量，而用含（i-n）個變量積項標注該圈。第18頁一、依據函數填寫卡諾圖1、已知函數為最小項表示式，存在最小項對應方格填1，其余方格均填0。2、若已知函數真值表，將真值表中使函數值為1那些最小項對應方格填1，其余格均填0。例子3、函數為一個復雜運算式，則先將其變成與或式，再用直接法填寫。舉例二、圈“1”步驟1、孤立單格單獨畫圈2、圈數量少、范圍大，圈可重復包圍但每個圈內必須有新最小項3、含1方格都應被圈入，以預防遺漏乘積項圖形法化簡函數返回第19頁圖形法化簡函數

與或表示式簡化步驟

先將函數填入對應卡諾圖中，存在最小項對應方格填1，其它填0。

合并：按圈“1”標準將圖上填1方格圈起來，要求圈數量盡可能少、范圍盡可能大，圈可重復包圍但每個圈內必須有新最小項。

每個圈寫出一個乘積項。按取同去異標準

最終將全部積項邏輯加即得最簡與或表示式返回第20頁例：將F(A、B、C、D)化為最簡與非—與非式解：0100011110001110CDAB111111111111ACADBCBDABC化簡得：最簡與非—與非式為：圖形法化簡函數第21頁例：圖中給出輸入變量A、B、C真值表，填寫函數卡諾圖ABCF00000101001110010111011100111000ABC010001111011100000ABABCF=ABC+AB得：圖形法化簡函數第22頁例：將F(A、B、C、D)化為最簡與非—與非式解：0100011110001110CDAB111111111111ACADBCBDABC化簡得：最簡與非—與非式為：圖形法化簡函數第23頁利用卡諾圖化簡ABC0001111001該方框中邏輯函數取值與變量A無關，當B=1、C=1時取“1”。例1：第24頁ABC0001111001ABBCF=AB+BC化簡過程：卡諾圖適合用于輸入變量為3、4個邏輯代數式化簡；化簡過程比公式法簡單直觀。第25頁例3：用卡諾圖化簡邏輯代數式

首先：邏輯代數式

卡諾圖

CAB01000111101110000AB1第26頁例2：化簡F(A,B,C,D)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15)ABCD0001111000011110A第27頁例3.用卡諾圖化簡邏輯函數：

L（A,B,C,D）=∑m（0,2,3,4,6,7,10,11,13,14,15）

解：（1）由表示式畫出卡諾圖。解：（1）由表示式畫出卡諾圖。例4.用卡諾圖化簡邏輯函數：注意：圖中虛線圈是多出，應去掉。（2）畫包圍圈，合并最小項，

得簡化與—或表示式:

（2）畫包圍圈合并最小項，得簡化與—或表示式:第28頁例4.某邏輯函數真值表以下，用卡諾圖法化簡該邏輯函數。（2）畫包圍圈合并最小項。有兩種畫圈方法：（a）：寫出表示式：

解：（1）由真值表畫出卡諾圖。（b）：寫出表示式：經過這個例子能夠看出，一個邏輯函數真值表是唯一，卡諾圖也是唯一，但化簡結果有時不是唯一。

第29頁ABC0100011110111111說明一：化簡結果不唯一。ABC0100011110111111第30頁4．卡諾圖化簡邏輯函數另一個方法——圈0法例５.已知邏輯函數卡諾圖如圖所表示，分別用“圈1法”和“圈0法”寫出其最簡與—或式。解：（1）用圈1法畫包圍圈，得：（2）用圈0法畫包圍圈，得：

第31頁作業1.16(1)(2)(3)(4)(5)(6)第32頁第六講含有沒有關項邏輯函數卡諾圖化簡法第33頁

第六講邏輯函數卡諾圖化簡法（2）課題：邏輯函數最簡式其它形式；含有約束邏輯函數化簡課時安排：2重點：含有約束邏輯函數化簡難點：含有約束邏輯函數化簡教學目標：使同學掌握用卡諾圖法求最簡式其它形式方法，了解約束條件，掌握用約束條件化簡邏輯函數方法，了解多輸出邏輯函數化簡方法。教學過程：一、用卡諾圖法求最簡式其它形式二、用卡諾圖檢驗函數是否最簡三、含有約束項邏輯函數化簡法1、約束概念和約束條件2、有約束邏輯函數表示方法3、含有約束邏輯函數化簡4、多輸出邏輯函數化簡第34頁3、含有沒有關項邏輯函數化簡約束項：值恒為0最小項任意項：使函數值能夠為1，也能夠為0最小項無關項：約束項和任意項均為無關項。含有沒有關項函數兩種表示形式：1、L=∑m(…)+∑d(…)2、L=∑m(…)，給定約束條件為ABC+ACD=0第35頁解：設紅、綠、黃燈分別用A、B、C表示，且燈亮為1，燈滅為0。車用L表示，車行L=1，車停L=0。列出該函數真值。例６.在十字路口有紅綠黃三色交通信號燈，要求紅燈亮停，綠燈亮行，黃燈亮等一等，試分析車行與三色信燈之間邏輯關系。顯而易見，在這個函數中，有5個最小項為無關項。最小項性質：每一組輸入變量都使一個，而且僅有一個最小項值為１，所以當限制一些輸入變量不出現時，能夠用它們對應最小項為０表示。這么第36頁帶有沒有關項邏輯函數最小項另一個表示式為：Ｆ=∑m（）+∑d（）如本例函數可寫成Ｆ=∑m（2）+∑d（0,3,5,6,7）或寫成上例表示式可為或第37頁2．含有沒有關項邏輯函數化簡

化簡含有沒有關項邏輯函數時，要充分利用無關項能夠當0也能夠當1特點，盡可能擴大卡諾圈，使邏輯函數更簡。例７.不考慮無關項時，表示式為：注意:在考慮無關項時，哪些無關項看成1，哪些無關項看成0，要以盡可能擴大卡諾圈、降低圈個數，使邏輯函數更簡為標準。考慮無關項時，表示式為:第38頁例：已知函數：

求其最簡與或式0100011110001110CDAB解：

填函數卡諾圖1111111

00000

化簡不考慮約束條件時：考慮約束條件時：0100011110001110CDAB1111111

00000第39頁例８.某邏輯函數輸入是8421BCD碼，其邏輯表示式為：

L（A,B,C,D）=∑m（1,4,5,6,7,9）+∑d（10,11,12,13,14,15）

用卡諾圖法化簡該邏輯函數。解：（1）畫出4變量卡諾圖。將1、4、5、6、7、9號小方格填入1；將10、11、12、13、14、15號小方格填入×。（2）合并最小項，如圖（a）所表示。注意，1方格不能漏。×方格依據需要，能夠圈入，也能夠放棄。（3）寫出邏輯函數最簡與—或表示式:假如不考慮無關項，如圖（b）所表示，寫出表示式為：第40頁例９：F=∑m(1，3，5，7，9）+∑d(10，11，12，13，14，15）

11

11

××××

1××AB00FCD01111000011110第41頁

11

11

××××

1××AB00FCD01111000011110L=D第42頁1××11××1

1

×

1×AB00FCD01111000011110L=A+D例１０：F=∑m(0，2，4，6，9，13）+∑d(1，3，5，7，11，15）第43頁形如：L=∑m(…)，給定約束條件為：

ABC+ACD=0

×

×

×ABCD0001111000011110約束條件相當于：∑d(11,14,15)

第44頁例11：化簡含有約束邏輯函數給定約束條件為:

111

×××

×1

××ABCD0001111000011110

第45頁

111

×××

×1

××AB00CD01111000011110Y第46頁例１2：已知真值表如圖，用卡諾圖化簡。101狀態未給出，即是無所謂狀態。第47頁ABC0001111001化簡時能夠將無所謂狀態看成1或0，目標是得到最簡結果。認為是1AF=A第48頁四、其它形式最簡式和多輸出邏輯函數化簡1、邏輯函數最簡式其它形式采取前述方法，化簡結果通常為與或表示式。若要求用其它形式表示則用反演定理來轉換。（1）“與非與非式”——在卡諾圖中圈“1”得“與或”式，然后用反演定理轉換求得。例12：第49頁例13：L(A,B,C,D)=∑m（1,5,8,12）+∑d（3,7,10,14,15）ABCD0001111000011110（2）“與或非式”、“或與式”、“或非或非式”——在卡諾圖上“圈0”得到F最簡與或式，再由反演律求得。第50頁ABC0001111001ABC00011110012、多輸出邏輯函數化簡

前述均為單輸出邏輯函數，而實際電路經常有兩個或兩個以上輸出端。化簡多輸出邏輯函數時，不能單純追求單一函數最簡式，因為這么做并不一定能確保整個系統最簡，應該統一考慮，盡可能利用公共項。例14：對多輸出函數解：各自卡諾圖化簡結果以下第51頁ABC0001111001ABC0001111001將兩個輸出函數視為一個整體，其化簡過程以下邏輯圖如Ｐ２８圖１．２０，圖１．２１第52頁1111