第02講二次根式的性質課程標準學習目標①二次根式的性質②③二次根式的性質.掌握二次根式的性質，并能夠熟練的進行應用。掌握二次根式的性質，并能夠熟練的進行應用。掌握二次根式的性質，并能夠熟練的進行應用。知識點01二次根式的性質二次根式的性質：二次根式具有雙重非負性，二次根式本身大于等于0，被開方數大于等于0。即≥0，≥0。幾個非負數的和等于0，這幾個非負數分別等于0【即學即練1】1．已知，則a+b的值是（）A．1 B．3 C．5 D．6【分析】直接利用二次根式有意義的條件得出a，b的值，進而得出答案．【解答】解：∵，∴a﹣3＝0，2﹣b＝0，解得：a＝3，b＝2，∴a+b＝5．故選：C．知識點02的性質的性質：一個非負數的算術平方根的平方等于它本身。即a。【即學即練1】2．化簡（﹣）2的結果是（）A．±3 B．﹣3 C．3 D．9【分析】根據二次根式的性質即可求出答案．【解答】解：原式＝3，故選：C．知識點03的性質的性質：一個數的平方的算術平方根等于這個數的絕對值。即|a|。再根據a的正負去絕對值符號。【即學即練1】3．化簡：＝（）A． B．﹣2 C．4 D．2【分析】利用二次根式的性質進行化簡，即可得到答案．【解答】解：．故選：D．題型01二次根式的性質【典例1】下列各式中，正確的是（）A． B．﹣ C． D．【分析】利用二次根式的性質對每個選項進行逐一判斷即可得出結論．【解答】解：∵＝|﹣3|＝3，∴A選項的結論不正確；∵﹣＝﹣3，∴B選項的結論正確；∵＝|﹣3|＝3，∴C選項的結論不正確；∵＝3，∴D選項的結論不正確，故選：B．【變式1】下列計算結果正確的是（）A． B． C． D．【分析】利用二次根式的性質和立方根的概念進行化簡，從而作出判斷．【解答】解：A、原式＝2，故此選項符合題意；B、原式＝1，故此選項不符合題意；C、原式＝2，故此選項不符合題意；D、原式＝4，故此選項不符合題意；故選：A．【變式2】下列運算結果錯誤的是（）A． B． C．＝±2 D．＝﹣2【分析】根據二次根式的性質，算術平方根以及立方根的定義逐項進行判斷即可．【解答】解：A．＝|﹣2|＝2，因此選項A不符合題意；B．（﹣）2＝（﹣）×（﹣）＝2，因此選項B不符合題意；C．＝2，因此選項C符合題意；D．＝﹣2，因此選項D不符合題意；故選：C．題型02二次根式的非負性【典例1】若+＝0，則x2023+y2024的值（）A．0 B．1 C．﹣1 D．2【分析】先根據非負數的性質求出x、y，再代入x2023+y2024，計算即可．【解答】解：∵+＝0，∴x﹣1＝0，x+y＝0，∴x＝1，y＝﹣1，∴x2023+y2024＝1+1＝2．故選：D．【變式1】已知實數m，n滿足+|n﹣2|＝0，則m+2n的值為（）A．3 B．﹣3 C．0 D．1【分析】根據二次根式及絕對值的非負性求得m，n的值，然后代入m+2n中計算即可．【解答】解：∵+|n﹣2|＝0，≥0，|n﹣2|≥0，∴m+1＝0，n﹣2＝0，解得：m＝﹣1，n＝2，則m+2n＝﹣1+2×2＝3，故選：A．【變式2】已知（4﹣a）2與互為相反數，則a﹣b的平方根是（）A． B． C． D．【分析】根據算術平方根、偶次方的非負性求出a、b的值，再求出a﹣b的值，由平方根的定義進行計算即可．【解答】解：由題意得，（4﹣a）2+＝0，而（4﹣a）2≥0，≥0，∴4﹣a＝0，b+1＝0，解得a＝4，b＝﹣1，∴a﹣b＝5，∴a﹣b的平方根是，故選：C．【變式3】已知a、b、c都是實數，若，則的值等于（）A．1 B．﹣ C．2 D．﹣2【分析】先根據平方，絕對值和算術平方根的非負性求出a，b，c的值，再將a，b，c代入中即可求解．【解答】解：∵，，|2b﹣|≥0，（c+2a）2≥0，∴a﹣2＝0，2b﹣＝0，c+2a＝0，∴a＝2，b＝，c＝﹣4，∴＝＝＝2，故選：C．【變式4】若直角三角形的兩邊長分別為a，b，且滿足+|b﹣4|＝0，則該直角三角形的第三邊長為（）A．5 B． C．4 D．5或【分析】根據非負數的性質列出方程求出a、b的值，根據勾股定理即可得到結論．【解答】解：∵+|b﹣4|＝0，∴a2﹣6a+9＝0，b﹣4＝0，∴a＝3，b＝4，∴直角三角形的第三邊長＝＝5，或直角三角形的第三邊長＝＝，∴直角三角形的第三邊長為5或，故選：D．題型03利用性質化簡【典例1】實數a，b，c在數軸上的對應點如圖所示，化簡﹣a+|b﹣a|+的結果是（）A．﹣b﹣c B．c﹣b C．2a﹣2b+2c D．2a+b+c【分析】根據數軸，確定a、b、c的正負，確定b﹣a的正負，然后再化簡．【解答】解：由數軸知：c＜0，b＜0＜a，∴b﹣a＜0，∴原式＝﹣a﹣（b﹣a）﹣c＝﹣a﹣b+a﹣c＝﹣b﹣c．故選：A．【變式1】已知實數a在數軸上的對應點位置如圖，則化簡的結果是（）A．2a﹣3 B．﹣1 C．1 D．3﹣2a【分析】根據數軸上a點的位置，判斷出（a﹣1）和（a﹣2）的符號，再根據非負數的性質進行化簡．【解答】解：由圖知：1＜a＜2，∴a﹣1＞0，a﹣2＜0，原式＝a﹣1﹣[﹣（a﹣2）]＝a﹣1+（a﹣2）＝2a﹣3．故選：A．【變式2】實數a，b在數軸上的位置如圖所示，化簡：結果為（）A．﹣2a B．﹣2b C．﹣2a﹣2b D．0【分析】利用數軸上點的位置確定出a+b，a﹣b的符號，再利用絕對值的意義和二次根式的性質化簡運算即可．【解答】解：由題意得：a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴a+b＜0，a﹣b＜0，∴原式＝﹣（a+b）+＝﹣a﹣b﹣（a﹣b）＝﹣a﹣b﹣a+b＝﹣2a．故選：A．【變式3】實數a在數軸上的位置如圖所示，則化簡結果為（）A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．無法確定【分析】先根據點a在數軸上的位置判斷出a﹣4及a﹣11的符號，再把原式進行化簡即可．【解答】解：∵由圖可知：4＜a＜10，∴a﹣4＞0，a﹣11＜0，∴原式＝+＝a﹣4+11﹣a＝7．故選：A．題型04根據性質求取值范圍【典例1】若，則x的取值范圍是（）A．x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3【分析】根據題意可知x﹣3≥0，直接解答即可．【解答】解：∵，即x﹣3≥0，解得x≥3，故選：B．【變式1】若，則x應滿足的條件是（）A．x＞3 B．x≤3 C．x＜3 D．x＝3【分析】直接利用二次根式的性質得出3﹣x≥0，進而得出答案．【解答】解：∵，∴3﹣x≥0，解得：x≤3．故選：B．【變式2】已知＝1﹣2a，那么a的取值范圍是（）A．a＞ B．a＜ C．a≥ D．a≤【分析】根據二次根式的性質列出關于a的不等式，求出a的取值范圍即可．【解答】解：∵＝1﹣2a，∴2a﹣1≤0，解得a≤．故選：D．1．下列計算正確的是（）A．＝﹣3 B．＝3 C．＝±3 D．＝±3【分析】根據二次根式的性質進行化簡，從而作出判斷．【解答】解：A、原式＝3，故此選項不符合題意；B、原式＝3，故此選項符合題意；C、原式＝3，故此選項不符合題意；D、原式＝3，故此選項不符合題意．故選：B．2．下列值最小的是（）A． B．2﹣1 C．（﹣2）0 D．【分析】根據二次根式的性質，負整數指數冪，零指數冪直接計算后進行比較即可得到答案．【解答】解：由題意可得，，，（﹣2）0＝1，，∴．故選：B．3．如果，那么x的取值范圍是（）A．x＜3 B．x≤3 C．x＞3 D．x≥3【分析】根據二次根式的性質，可得答案．【解答】解：∵，∴3﹣x≥0，解得x≤3，故選：B．4．實數a，b在數軸上對應點的位置如圖所示，化簡|a|+的結果是（）A．2a﹣b B．﹣2a+b C．﹣b D．b【分析】直接利用數軸上a，b的位置，進而得出a＞0，b﹣a＜0，再利用絕對值以及二次根式的性質化簡得出答案．【解答】解：由圖可知：a＞0，b﹣a＜0，則|a|+＝a﹣（b﹣a）＝a﹣b+a＝2a﹣b．故選：A．5．+|x﹣3|＝0，則xy＝（）A．81 B．64 C．27 D．63【分析】根據非負數的性質列式求出x、y的值，然后代入代數式進行計算即可得解．【解答】解：由題意得，x﹣y+1＝0，x﹣3＝0，解得x＝3，y＝4，所以，xy＝34＝81．故選：A．6．若＝﹣m，則實數m在數軸上的對應點一定在（）A．原點左側 B．原點右側 C．原點或原點左側 D．原點或原點右側【分析】利用二次根式的性質得出m的取值范圍，進而結合數軸的特點得出答案．【解答】解：∵＝﹣m，∴﹣m≥0，∴m≤0，∴實數m在數軸上的對應點一定在原點或原點左側．故選：C．7．2、5、m是某三角形三邊的長，則等于（）A．2m﹣10 B．10﹣2m C．10 D．4【分析】直接利用三角形三邊關系得出m的取值范圍，再利用二次根式的性質化簡得出答案．【解答】解：∵2、5、m是某三角形三邊的長，∴5﹣2＜m＜5+2，故3＜m＜7，∴原式＝m﹣3+7﹣m＝4．故選：D．8．當1＜x＜4時，化簡|x﹣4|的結果為（）A．3 B．2x﹣5 C．﹣2x﹣3 D．﹣5【分析】根據二次根式的性質化簡，然后去絕對值計算即可．【解答】解：∵1＜x＜4，∴＝|x﹣4|+|x﹣1|＝4﹣x+x﹣1＝3，故選：A．9．若，則a2015+b2015的值等于（）A．2 B．0 C．1 D．﹣2【分析】根據算術平方根的非負性可得a+1＝0，b﹣1＝0，從而可得a＝﹣1，b＝1，然后把a，b的值代入式子中進行計算，即可解答．【解答】解：∵，∴a+1＝0，b﹣1＝0，∴a＝﹣1，b＝1，∴a2015+b2015＝（﹣1）2015+12015＝﹣1+1＝0，故選：B．10．實數a，b表示的點在數軸上的位置如圖，則將化簡的結果是（）A．4 B．2a C．2b D．2a﹣2b【分析】先根據點在數軸上的位置確定a+2、b﹣2、a﹣b的正負，再化簡絕對值，最后加減．【解答】解：由數軸知：﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，a＜b，∴a+2＞0，b﹣2＜0，a﹣b＜0．∴＝|a+2|+|b﹣2|+|a﹣b|＝a+2+2﹣b+b﹣a＝4．故選：A．11．計算的結果是2．【分析】根據（）2＝a即可得出答案．【解答】解：（）2＝2，故答案為：2．12．若＝m﹣1，則m的取值范圍是m≥1．【分析】直接利用二次根式的性質得出m﹣1的取值范圍進而得出答案．【解答】解：∵＝m﹣1，∴m﹣1≥0，解得：m≥1．故答案為：m≥1．13．已知實數x，y滿足|x﹣5|，則代數式x﹣y＝17．【分析】根據已知條件兩個非負數相加為0，即每個式子都為0，求出兩個未知數的值，再將其代入所求代數式即可．【解答】解：∵，∴x﹣5＝0，y+12＝0，∴x＝5，y＝﹣12，∴x﹣y＝5﹣（﹣12）＝17．故答案為：17．14．當﹣3＜x＜5時，化簡：＝8．【分析】利用完全平方公式變形得到原式＝+，再根據二次根式的性質得|x+3|+|x﹣5|，然后利用絕對值的意義去絕對值，再合并即可．【解答】解：原式＝+＝|x+3|+|x﹣5|，∵﹣3＜x＜5，∴原式＝x+3﹣（x﹣5）＝x+3﹣x+5＝8．故答案為：8．15．點A（a，b）為平面直角坐標系中第三象限內一點，已知點A到y軸的距離為5，且|b+1|＝3，則的值為1．【分析】直接利用第三象限內點的坐標特點得出a，b的值，進而利用二次根式的性質得出答案．【解答】解：∵點A（a，b）為平面直角坐標系中第三象限內一點，點A到y軸的距離為5，且|b+1|＝3，∴a＝﹣5，b＜0，則b+1＝﹣3，解得：b＝﹣4，∴＝＝1．故答案為：1．16．若實數m，n滿足等式．（1）求m，n的值；（2）求3n﹣2m的平方根．【分析】（1）直接利用算術平方根以及絕對值的性質分析得出答案；（2）結合（1）中所求，結合平方根的定義分析得出答案．【解答】（1）解：∵∴2m+4＝0，4﹣n＝0．∴m＝﹣2，n＝4；（2）由（1）知m＝﹣2，n＝4，∴3n﹣2m＝3×4﹣2×（﹣2）＝16，∴3n﹣2m的平方根為±4．17．（1）若＝﹣1﹣x，則x的取值范圍為x≤﹣1；（2）已知實數a，b，c在數軸上的對應點如圖所示，化簡﹣|c﹣a|+．【分析】（1）根據二次根式的性質得出﹣1﹣x≥0，從而求出x的取值范圍；（2）由數軸得，a＜b＜0＜c，進一步得出c﹣a＞0，b﹣c＜0，再根據二次根式的性質化簡即可．【解答】解：（1）∵，∴﹣1﹣x≥0，∴x≤﹣1，故答案為：x≤﹣1；（2）由數軸得，a＜b＜0＜c，∴c﹣a＞0，b﹣c＜0，∴＝﹣a﹣（c﹣a）+（c﹣b）＝﹣a﹣c+a+c﹣b＝﹣b．18．若x＜3，化簡，小明的解答過程如下：解：原式＝……第一步＝x﹣3+5﹣x……第二步＝2……第三步（1）小明的解答從第二步開始出現錯誤．（2）請寫出正確的解答過程．【分析】（1）根據二次根式和絕對值的性質分析即可；（2）先正確化簡二次根式和絕對值，再算加減即可．【解答